CC BY
59
No. 6 (54) 2014
О. В. Русаков, канд. физ.-мат. наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета,
Д. Б. Аплеев, аспирант Санкт-Петербургского государственного университета, [email protected]
обобщение модели васичека на случай многих факторов: пример спот-ставки с двумя факторами
В работе рассматривается обобщение модели Васичека, когда спот-ставка представлена взвешенной суммой процессов Орнштейна-Уленбека с различными параметрами вязкости (viscosity) . Данное обобщение моделирует и количественно отражает такую неоднородность рынка, когда спот-ставку формируют агенты с различными типами поведения . Мы даем формулу для прогноза спот-ставки и оценки квадратичных рисков прогноза . Для оценки весов агентов и коэффициента «инертности» их инвестиций мы используем численное обратное преобразование Лапласа, примененное к ряду автоковариаций исторических данных спот-ставок . В результате мы получаем численные результаты для спот-ставок облигаций США, Японии и России, где выделяются два типа агентов по критерию «инертности» их денег и оцениваются их удельные веса . Полученные в статье результаты могут использоваться в информационных системах поддержки принятия решений в части прогнозирования поведения спот-ставки и быть полезны как инвестору, принимающему тактические и/или стратегические решения, так и аналитику для оценки количественных характеристик динамики и рисков рыночных процентных ставок .
Ключевые слова: стохастические модели процентных ставок, модель Васичека, процессы Орнштейна-Уленбека, численное обратное преобразование Лапласа, мультиагентские модели .
введение
В условиях низких процентных ставок, удерживаемых основными мировыми центральными банками, ценообразование на рынках ставок и облигаций остается подверженным воздействию регуляторов. Однако в последние годы как в академических работах, так и в заявлениях представителей центральных банков все более значимое место занимает проблематика завершения периода низких ставок. В этом случае вновь приобретают актуальность модели рынка, основанные на моделировании динамики краткосрочной ставки как результата взаимодействия рыночных участников.
Мы предлагаем такую стохастическую модель рынка ставок, в которой учитывают-
ся взаимодействия участников рынка, инвестирующих как «длинные», так и «короткие» деньги. В работе приводятся формулы для прогноза поведения ставки заимствования и для среднеквадратичного риска предлагаемого прогноза. Эти формулы могут найти применение во всякой информационно-аналитической системе, которая используется участниками рынка для количественного анализа в целях поддержки тактических и/или стратегических инвестиционных решений.
В основе абсолютного большинства моделей лежит стохастический процесс (или процессы), дающий описание динамики спот-ставки на строгом математическом языке. Классическая модель Васичека [1] использует для моделирования спот-ставки процесс Орнштейна-Уленбека (ОУ) — ста-
№ 6 (54) 2014
ционарный гауссовский марковский процесс, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению Ланжеве-на диффузионного типа. Ряд ограничений этой модели (возможное принятие ставкой отрицательных значений и др.) был во многом преодолен в более поздних моделях (Кокс-Ингерсолл-Росс [2], Блэк-Дерман-Той [3], Перес-Абреу и Барндорфф-Ниль-сен [4] и др.) Хотя эти модели формально обобщаются на случай многомерного ведущего броуновского движения, они остаются по сути однофакторными — с одним многомерным фактором.
При этом стохастический процесс не теряет марковского свойства. Достаточно хорошо обоснованные многофакторные модели (в которых марковское свойство часто пропадает) детально рассматривает Шонбу-хер (напр. [5]).
В данной работе рассматривается обобщение модели Васичека, когда спот-ставка описывается не одним, а взвешенной суммой нескольких (детально рассматривается случай двух) независимых процессов ОУ с различными весами. Далее по умолчанию подразумевается, что получившийся в результате суммирования случайный процесс центрирован и нормирован, т. е. обладает нулевым средним и единичной дисперсией (стационарность остается). При этом модель становится многофакторной, каждый фактор в которой — стохастический процесс ОУ со своей вязкостью и весом.
Хорошо известно, что в модели Васиче-ка параметр вязкости, естественно, интерпретируется как скорость, с которой ставка стремится к равновесному состоянию. В случае нашей многофакторной модели каждый параметр вязкости характеризует «свой» процесс ОУ. Каждая вязкость «посылает свою долю ставки» к равновесному состоянию с соответствующей скоростью. Такая доля ставки определяется соответствующим весовым коэффициентом каждого процесса ОУ, участвующего в суммировании. Весовой коэффициент определяет долю дисперсии процесса ОУ с данной вязко-
стью в общей дисперсии суммы процессов (в стохастической многофакторной модели).
Предлагаемый в данной работе подход призван отразить неоднородную структуру рынка, на котором присутствуют агенты с различными типами поведения. Меньшие значения вязкости соответствуют более инертным агентам, чье влияние на ставку менее подвержено текущей рыночной конъюнктуре и характеризуется большей консервативностью и устойчивостью, — «инвесторам». Большие значения вязкости присущи более активным, часто торгующим участникам рынка — «спекулянтам». Параметр весов, в свою очередь, соответствует доле влияния агентов каждого типа на результирующую спот-ставку. Естественная экономико-финансовая интерпретация подобной классификации — это условное разделение рыночных участников на «инвесторов» и «спекулянтов».
Цель данной работы заключается в разработке математической модели и инструментального средства, которые позволят осуществить декомпозицию процесса спот-ставки на исходные процессы, оценить параметры этих процессов и осуществить прогнозирование значения спот-ставки и соответствующих рисков такого прогноза.
Основная аналитическая проблема в случае использования двух и более независимых процессов ОУ (с различными вязкостя-ми) заключается в том, что их взвешенная сумма теряет свойство марковости. Вследствие этого в модели возникает как минимум один дополнительный стохастический параметр, а это влечет появление дополнительных рисков прогноза. В работе решается задача формализации этих дополнительных параметров (параметра) и оценивания возникающих в этой связи рисков. Детально рассматривается случай суммы двух независимых процессов ОУ — тогда возникает один дополнительный стохастический параметр.
Статья организована следующим образом.
В части «Математическия модель» представлена математическая модель, обобща-
No. 6 (54) 2014
ющая модель Васичека, на случай, когда спот-ставка представлена взвешенной суммой нескольких процессов ОУ. Продемонстрирована логика эволюции данной модели из традиционной модели Васичека. Для процесса спот-ставки в данной модели приведены формулы условного математического ожидания и дисперсии.
В части «Обратное преобразование Лапласа» рассматривается обратное преобразование Лапласа в контексте предложенной обобщенной модели Васичека. Показано, что автоковариационная функция процесса спот-ставки в обобщенной модели соответствует обратному преобразованию Лапласа от распределения случайной величины, принимающей значения, равные вязкостям процессов ОУ, входящих в качестве слагаемых в процесс спот-ставки. Далее показано, как с помощью численного обращения преобразования Лапласа на основе статистической обработки эмпирических данных оцениваются значения вязкостей и веса, с которыми процессы ОУ входят в результирующий процесс ставки.
В части «Данные» дано описание эмпирических данных, используемых для численного анализа. Мы основываемся на ежедневных данных о рыночных доходностях трехмесячных облигаций США, ставок российского денежного рынка, а также ставок по краткосрочным японским облигациям.
В части «Результаты» представлены результаты численного анализа эмпирических исторических данных. Приведены результаты применения численного обращения преобразования Лапласа, получены оценки значений вязкости и дана их интерпретация.
В заключение работы приведены основные выводы, а также список использованной литературы.
Математическая модель
Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) Ланжевена (Langevin), задающее классический гауссовский процесс Орнштейна-Уленбека, имеет вид
dUx (t) = -XUx (t)dt + JKdW(t), (1)
здесь непрерывное время t > 0; интенсивность (параметр вязкости — viscosity) Х> 0; (начальное, стартовое) значение U(0) eN(0,1) — стандартно нормально распределенная случайная величина, которая не зависит от dW(t) — ведущего стандартного броуновского движения. Решение этого СДУ (1) есть
t _
и (t) = U (0)е~и + \J2ke-x (t-J)dW(u), (2)
0
где случайные элементы Ux(0) и dW суть в точности из (1), т. е. имеется точное равенство этих элементов из (2) с соответствующими элементами в (1), а именно для самих случайной величины и процесса, а не только равенство для их распределений. Заметим, что представление (2) гарантирует стационарность Ux (t), нулевое среднее и единичную дисперсию. Случайные процессы вида (2) будем называть стандартными (или стандартизованными) процессами ОУ.
Представление (1) является выражением в виде авторегрессии и обеспечивает марковость [одного] процесса ОУ. Представление (2) дает естественную интерпретацию для ОУ как для процесса скользящего среднего по гауссовскому «белому шуму» dW со скользящим экспоненциальным ядром e~w-u).
Исторически развитие стохастических моделей спот-ставки от модели Васичека шло в основном в сторону усложнения стохастического дифференциального уравнения, задающего процесс спот-ставки. При этом даже при включении многомерного фактора (многомерного броуновского движения) модель оставалась марковской, что позволяло достаточно просто строить прогноз, зная лишь последнее из наблюдаемых значений. При этом построенный прогноз обладал свойством оптимальности (здесь оптимальность понимается в смысле среднеквадратичных рисков) и представлялся в виде точки — конкретного значения
№ 6 (54) 2014
на время горизонта прогноза, или же в виде линии — траектории для прогноза.
Мы предлагаем весьма простое обобщение модели Васичека — вместо одного процесса ОУ используется взвешенная сумма нескольких независимых ОУ с разными вязкостями (интенсивностями). Уже в этом случае модель спот-ставки перестает быть марковской (и тем более диффузионной), однако продолжает оставаться стационарной.
Итак, предварительно центрированный и нормированный линейным преобразованием стохастический процесс, описывающий поведение ставки, мы представляем в следующем виде:
х, = а^С) +... + арк('), п е N (3)
где непрерывное время ' > 0; «весовые» параметры 0 < а1 < 1 и аП +... + атп = 1;
0 <Х1 < ...Хп ; все их - совокупно независимые стандартные (с нулевым средним и единичной дисперсией) процессы ОУ (вида (1), (2)) с вязкостями, равными Х1,
1 = 1.....п, соответственно.
Очевидно, что процесс х{ стационарен и что х, е N(0,1) для любого фиксированного ' > 0. Так как для одного процесса ОУ ковариация имеет экспоненциально убывающий вид (это широко известный факт, который нетрудно, например, вывести из (2) с помощью формулы Ито) ^),их^ +')) = ехр{-Х,}, Vs,t > 0, то ковариационная функция для суммирующего процесса х, равна
^(х8,х{+8) = а2е+... + аП. (4)
Вследствие потери марковского свойства мы уже не можем говорить о переходном распределении Р(х,+81 х8), когда процесс стартует в произвольный момент времени s из точки г, проходит затем еще время ,. В этом случае (в отличие от случая, когда х представляет собой один процесс ОУ) при каждом произвольном, но фиксированном вещественном г е Я условное математическое ожидание Е(х,+81 х8 = г)
и условная дисперсия 0(х(+8 I х8 = г) станут уже величинами случайными.
Сфокусируемся сначала на изучении свойств условного математического ожидания Е(х,+81 х8 = г). Такое условное математическое ожидание играет важную (если не сказать первостепенную) роль в построении прогноза. Вследствие разложения Валь-да прогноз, построенный на таких условных математических ожиданиях, будет оптимальным в смысле минимизации квадратичного риска (см., например, [6]).
Так как процесс х{ из (1) не потерял стационарности, то распределение условного математического ожидания Е(х,+81 х8 = г) является одинаковым для всех s > 0 при фиксированном , > 0 . Вследствие этого мы можем говорить о возможности применения разложения Вальда для стационарных процессов второго порядка.
Заметим, что один стандартный процесс ОУ обладает марковским свойством и имеет переходное распределение нормального типа из точки фазового пространства г за время , со следующими параметрами (напр., [7]):
Е(их(' + s) I их(^ = г) = ге"", (5) 0(и, (' + s)Шx (^ = г) = 1 - е-2 м. (6)
Этот факт является нетрудным следствием из представления (2).
Рассмотрим модель рынка облигаций с нулевым купоном, когда спот-ставка описывается суммой двух независимых процессов ОУ с весами Та и а, вязкостями и Хп соответственно; здесь параметр 0<а< 1 (играет роль коэффициента аП) показывает вклад в общую единичную дисперсию для суммы процессов ОУ, которые мы тоже предварительно нормируем (так, чтобы дисперсия сечений их суммы была единичной). Таким образом, после центрирования и нормирования спот-ставка описывается процессом
х, (') + ур-аи^ ('), ' > 0. (7)
No. 6 (54) 2014
Наша задача — вычислить условное математическое ожидание и дисперсию процесса хГ. Очевидно, что у процесса х, остается свойство стационарности, но не менее очевидно, что х, — уже не марковский процесс. Поэтому мы уже не можем говорить о переходном распределении как о таковом. Однако следует изучить условные распределения Р(х{ I х0) и Р(х{+8 I х8), которые будут совпадать для любого в > 0.
Итак, в случае одного процесса (а = 1, например) при фиксировании х0 = их (0) = г условное распределение зависит от одного уже не случайного параметра г. Однако в случае суммы двух независимых ОУ условное распределение станет зависимо не только от г, но еще и от некоторой случайной величины, которую обозначим X. Таким образом, как мы увидим вскоре, для условного распределения случайная величина X будет играть роль смешивающего параметра. Наша первоочередная задача — разобраться в том, что такая случайная величина одна, понять устройство этой случайной величины X, вычислить ее распределение.
Утверждение 1. В случае 0 < а < 1 имеет место следующее равенство по распределению:
Е(х, I х0 = г) = Ьр-ч + (г - Х)е^Г, (8)
где случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами:
Е X = аг; ОХ = а(1-а). (9)
Доказательство. Для описания механизма работы случайной величины X воспользуемся известными сведениями из теории Броуновских мостов (напр., [8]) и их применимости к процессам ОУ [7]. В силу стационарности достаточно рассмотреть только момент времени Г = 0. Если в представлении (7) зафиксировать начальное значение процесса х0 = г, то х0 можно сопоставить броуновский мост, заданный на интервале [0,1] который выходит из нуля, а в момент времени 1 попадает в точку г. Заметим, что время броуновского моста отлично от времени Г в формуле (7), задающей процесс х.
Рассмотрим точку а е [0,1] времени броуновского моста — это значение некоторой нормальной случайной величины, которую мы и возьмем в качестве X. Дальше после точки ае[0,1] вдоль времени броуновского моста приращение моста есть разность г - X, и таким образом X — это и есть единственный параметр, который нам требуется. Распределение X есть условное распределение величины 4аи.к (0) при условии, что х0 = г. Это нетрудно видеть, так как х0 =4эи^ (0) + ^ 1 - а их (0) — сумма двух независимых нормальных случайных величин.
Отсюда следует требуемая формула для условного математического ожидания нашего процесса х через физическое время Г после его старта: Е(х, I х0 = г) = Хе^ + (г -Х)е^Г.
Случайная величина X, как видно, это сечение броуновского моста (выходящего из нуля и «входящего» в точку г через единицу времени моста). Такая случайная величина известна — она имеет нормальное распределение с параметрами Е (X) = аг и D(X) = а(1 - а). Последнее равенство является непосредственным следствием того, что ковариация двух сечений броуновского моста, взятых в точках (моментах времени моста) и и V, равна тнп{иу} - uv, где и, V е [0,1].
Следствие утверждения 1. Применение формулы повторного математического ожидания для левой части (7) при подстановке в (8) дает вывод: условное математическое ожидание Е(х,+в I х8 = г), Ув > 0 есть нормальная случайная величина со средним и дисперсией, соответственно равными
Е{Е(х, I х0 = г)} = г(ое"^ + (1 - а)е^2' ),(10)
D{E(х, I х0 = г)} = а(1 - а)(е~ ^ - е^2'). (11)
Заметим, что значение условной дисперсии от г не зависит, поэтому
D(xt I х0 = г) = а(1 - е"*1') + (1 - а)(1 - е^2').
Следующее утверждение обобщает утверждение 1 на случай произвольного количества факторов — процессов ОУ в (3).
№ 6 (54) 2014
Утверждение 2. В случае суммы п независимых стандартных процессов ОУ в представлении (3) имеет место следующее равенство по распределению, обобщающее (8):
E (x I x0 = z) = \ff4 +... \ +
=1
n-1
(12)
+ (г )е~к',
I=1
где случайный вектор (^.....£п-1) имеет
(п - 1)-мерное нормальное распределение с параметрами:
Е\ 1 = апг; 1 = аП (1- ауп) ] = 1.....п -1, (13)
со^I,\к) = -а(паП, 1 < I < к < п-1. (14)
Доказательство. Доказательство этого утверждения по сути повторяет доказательство утверждения 1. Формула для ковариа-ции броуновского моста является ключевой.
Обратное преобразование Лапласа
Как уже упоминалось, ковариационная функция процесса ОУ представляет собой экспоненту с показателем -X,. Из этого факта мы получаем без особых затруднений формулу (4) для автоковариации х. Теперь заметим, что е—\ , > 0 есть преобразование Лапласа ( [9]) [нормированной] вероятностной меры, вырожденной в точке Х> 0. Напомним, что преобразованием Лапласа вероятностной меры dF( х), сосредоточенной на х > 0 (F = F(х), — функция распределения этой меры), называется
f{F}(s) = |е~sхdF(х), s > 0. (15)
0
Если F(х) — функция распределения некоторой неотрицательной случайной величины п, то преобразование Лапласа однозначно определяет ее распределение f(s) := Е(е-), s > 0.
Теперь обратим внимание на то, что ковариационная функция (4) для двух слагаемых, т. е. >/ае~м + V1 - ае"^, есть преобразование Лапласа при аргументе , > 0 от распределения случайной величины п, прини-
мающей значения Х1 >0 с вероятностью 0 < а < 1 и Хп > 0с вероятностью 1 - а. Наши дальнейшие действия преследуют следующую цель: по наблюдениям стационарного процесса х, с ковариацией Ях(,) на интервале наблюдений (который позволяют имеющиеся данные) 0 < , < Т оценить автоковариационную функцию Ях (,) и решить уравнение
ae
+ (1-а)е^ = Rx (t)
(16)
относительно a, А1, А2, т. е. фактически обратить преобразование Лапласа (4), выраженное в виде равенства для ковариации, при n= 2.
Отметим, что преобразование Лапласа численно плохо обращается уже для функций, а у нас случай даже не функции, а дискретной меры. Задача решается с помощью численного метода, основанного на регуляризации Тихонова (известного также как regularization collocation method [10]).
Алгоритм наших действий таков. Берем исторические данные на некотором временном интервале t е [0,7]. Время предполагаем непрерывным. Единица времени соответствует одному году. Оцениваем вязкости 11, 12 — это оценки А1, А2 — атомы распределения, полученные алгоритмом обращения преобразования Лапласа. При этом в хвосте Rx (t) отрезаем отрицательные значения, как только они возникнут. Коэффициент а оцениваем путем оценки производной в нуле для Rx (t). Хвост Rx (t) восстанавливаем по Тауберовым теоремам [9]. Тауберовы теоремы устанавливают соответствие поведения в нуле и в бесконечности преобразований Лапласа для вероятностной меры.
Сначала для верификации метода проведем указанные действия на модельных процессах. На рис. 1 представлены результаты численного моделирования (единичной реализации) процесса xt с параметрами a = 0,3 ; Х1 = 0,1; Х2 = 0,5, а также сравнение графиков эмпирической ковариационной функции и теоретической функции, равной взвешенной сумме двух экспонент.
95
No. 6 (54) 2014
0,02-
0,00-
-0,02-
o
1 I I I Г 50 100 150 200 250
t
1 I I Г 10 15 20 25
t
Рис. 1. Слева: реализация процесса х(; справа: ее эмпирическая ковариационная функция 1,0 0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -0,0
4 -
3 -2 -1 -0
-1 -
6 о о о о о i о о О ff о g о о о о о о о о о
о о сР ° о V
т
т
т
т
10
20
30
40
50
t
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
X
Рис. 2. Слева: ковариационная функция процесса х„ а также «составляющих» его процессов ОУ; справа: график обратного преобразования Лапласа ковариационной функции процесса х,
Наша дальнейшая задача сводится к получению процедуры по выделению из эмпирической автоковариационной функции, вычисленной по историческим данным, оценок значений параметров 11, 12 и а для исходного процесса х, удовлетворяющего модели (7). В качестве инструментального средства для такой процедуры использованы численные алгоритмы обращения преобразования Лапласа, верифицированные на модельных данных.
Данные
В соответствии с классической моделью Васичека процесс ОУ используется для мо-
96
делирования спот-ставки, однако при решении задачи калибровки модели не выработано однозначного подхода для определения рыночной ставки, которую следует использовать в качестве эмпирического аналога модельной спот-ставки.
Среди наиболее адекватных кандидатов на роль «прокси» для спот-ставки рассматривают [11] две основные категории ставок: 1) краткосрочные ставки на рынке межбанковского кредитования; 2) краткосрочные ставки по государственным облигациям. При этом принято считать, что, несмотря на высокую ликвидность, недостаток первой категории ставок заключается в том, что мотивы участников, занимающих
№ 6 (54) 2014
на овернайт и на более длительные сроки, различаются.
В нашей работе используются временные ряды рыночных доходностей трехмесячных государственных облигаций США, рыночные доходности по наиболее краткосрочным из доступных выпусков локальных (рублевых) облигаций РФ, а также рыночные доходности годовых облигаций Японии.
В первом случае временной ряд состоит из 749 наблюдений, охватывающих период с 01.09.2011 по 01.09.2014. Каждое наблюдение соответствует торговому дню. Источник — данные Казначейства США, http://www.treasury.gov/. Во втором случае используется рыночная доходность краткосрочного выпуска ОФЗ серии 25071 за период с 01.01.2013 по 01.01.2014. На рассматриваемом периоде временной ряд визуально демонстрирует стационарное поведение. Ряд состоит из 250 дневных наблюдений. Источник — данные Московской Биржи, http://moex.com/. В третьем случае временной ряд охватывает период с 01.09.2010 по 01.09.2014, что соответствует 983 торговым дням. Источник данных — сайт Министерства финансов Японии, http://www.mof.go.jp/.
Результаты
Описанные алгоритмы численного обращения преобразования Лапласа применены к эмпирическим временным рядам значений наблюдаемых коротких ставок для трех случаев — доходности трехмесячных облигаций США, краткосрочных облигаций России и годовых облигаций Японии.
В первом случае на рис. 3а представлен результат применения процедуры численного обратного преобразования Лапласа к эмпирической автоковариационной функции временного ряда (рис. 3Ь). Для оценки устойчивости результата анализ проведен по скользящему окну шириной 720 наблюдений, окно было сдвинуто 29 раз.
Из графика видно, что два основных пика относительно устойчивы и сосредоточе-
ны в значениях 0,045 и 0,28. Численно эти значения совпадают с параметрами вязкости исходных процессов ОУ.
Частотные характеристики полученных эмпирическим путем оценок приведены на гистограммах 3с и 3d. В частности, среднеквадратичное отклонение составляет соответственно 0,005 и 0,006.
В случае с доходностями российских облигаций (рис. 4Ь) исходный временной ряд демонстрирует стационарное поведение. Для анализа используется скользящее окно шириной 220 наблюдений, 30 шагов скольжения. В результате применения численной процедуры на графике обратного преобразования Лапласа (рис. 4а) вновь наблюдается два пика, соответствующих параметрам «вязкости» 0,10 и 0,39. За счет меньшей глубины истории устойчивость оценок ниже, чем в первом рассматриваемом случае. Гистограммы оценок приведены на рис. 4с и 4d, они также свидетельствуют о меньшей устойчивости оценок параметров. Среднеквадратичные отклонения параметров, равные соответственно 0,017 и 0,036, в несколько раз выше, чем в первом случае.
Наконец, на рис. 5 продемонстрированы результаты применения аналогичной процедуры к данным японского рынка, а именно к ряду рыночных доходностей годовых облигаций (рис. 5Ь). Из графика обращенного преобразования Лапласа вновь видно (рис. 5а), что наблюдаемые пики в значениях 0,9 и 0,35 обладают достаточно высокой устойчивостью и небольшим стандартным отклонением — 0,005 и 0,02 соответственно. Анализ проводился по скользящему окну глубиной 950 наблюдений, 33 шага скольжения. На рис. 5с и 5d приведены гистограммы оценок параметров, полученных при движении скользящего окна.
Полученный результат свидетельствует о возможной неоднородности структуры процесса ставки. В случае, если бы наблюдаемый ряд данных являлся реализацией одного процесса ОУ, как в традиционной модели Васичека, а не суммы двух взвешенных процессов ОУ, на графике обратного пре-
NO. 6 (54) 2014
journal of applied informatics
(a)
(b)
-10
-20
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,030 0,040 0,050
0,260 0,275 0,290
Рис. 3: — результат применения обратного преобразования Лапласа к временному ряду доходности UST 3M; (Ь) — график доходности UST 3M; (^ и — гистограммы оценок
параметров вязкости
0 -
-50 -
(a)
(b)
(c)
(d)
0,4 0,3 -0,2 -0,1 -0,0
IIL_D
0,4 0,3 0,2 0,1 -0,0
J
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
л
0,08 0,12 0,16 Л1
0,35 0,40 0,45 0,50 Л2
Рис. 4: — результат применения обратного преобразования Лапласа к временному ряду доходности ОФЗ 25071; (Ь) — график доходности ОФЗ 25071 в 2013 г.; (^ и — гистограммы
оценок параметров вязкости
98
30
20
10
0
50
№ 6 (54) 2014
Рис. 5: — результат применения обратного преобразования Лапласа к временному ряду доходности JGB (Ь) — график доходности JGB (^ и (d) — гистограммы оценок
параметров вязкости
образования Лапласа наблюдался бы один явный пик, а не два, как в данных примерах.
Предложенный алгоритм позволяет численно оценить значения параметров «вязкости» исходных процессов. Из графиков видно, что во всех трех примерах значения численно весьма близки — 0,045 и 0,28 в примере с облигациями США, 0,10 и 0,39 — для облигаций РФ и 0,9 и 0,35 — для облигаций Японии. С другой стороны, анализ с использованием скользящего окна свидетельствует о большей устойчивости параметров в первом и третьем примере, чем во втором. Отчасти это может объясняться большей глубиной истории соответствующих временных рядов (в первом и третьем примере).
Таким образом, найдены численные оценки параметров предлагаемого в настоящей работе обобщения модели Васичека. Полученный процесс, выраженный в виде взвешенной суммы процессов ОУ (для исследованных данных — двух процессов ОУ) с известными или оцененными коэффициентами, может быть использован для про-
гнозирования, оценки рисков, лежать в основе формул ценообразования производных инструментов на ставку.
Заключение
В работе предложена математическая модель краткосрочной процентной ставки, обобщающей модель Васичека. В ней краткосрочная процентная ставка описывается средневзвешенной суммой независимых процессов Орнштейна-Уленбека с разными параметрами. Такой подход призван отразить неоднородную структуру рынка, на котором присутствуют агенты с различными типами поведения, каждый из которых описывается «своим» процессом Орнштейна-Уленбека.
Возможны различные естественные экономико-финансовые интерпретации применения нескольких процессов: разделение рыночных участников на «инвесторов» и «спекулянтов» или на резидентов и нерезидентов для данного локального рынка.
No. 6 (54) 2014
journal of appüed informatics
Для оценки параметров модели продемонстрирован механизм, основанный на применении обратного преобразования Лапласа к ковариационной функции. Основная идея заключается в том, что ковариационная функция взвешенной суммы независимых процессов Орнштейна-Уленбека представляет собой взвешенную сумму экспонент с параметрами, равными значениям параметров вязкости. В результате применения обратного преобразования Лапласа (для меры) к ковариационной функции возможно численно оценить значения исходных параметров.
В работе применен устойчивый к зашум-лению данных численный алгоритм обращения преобразования Лапласа, основанный на принципах регуляризации Тихонова. Данный метод позволяет получить численные оценки параметров исходных процессов.
Результат эмпирического анализа наблюдаемых рыночных краткосрочных ставок по облигациям РФ, США и Японии с помощью обращения преобразования Лапласа свидетельствует о возможной неоднородности структуры процесса ставки, в частности, о том, что ее «составляют» два процесса Орнштейна-Уленбека. Это делает возможным получение более качественных прогнозов и оценки рисков спот-ставки с помощью обобщения (предлагаемым в работе методом) модели Васичека.
Список литературы
1. Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics, 1977, vol. 5, no. 2, рр. 177-188.
2. Cox J. C, Ingersoll J. E, Ross S. A. A theory of the term structure of interest rates. Econometrica, 1985, р. 53.
3. Black F., Derman E., Toy W. A one-factor model of interest rates and its application to Treasury bond options. Financial Analyst Journal, 1990.
4. Perez-Abreu V., Barndorff-Nielsen O. Stationary and self-similar processes driven by Levy processes — Stochastic Processes and their Applications, Volume 84, Issue 2, 1999, рр. 357-369.
5. Schonbucher P. Credit Derivatives and Pricing Models. N. Y.: Wiley, 2003.
6. Ширяев А. Н. Вероятнось-2. М.: Издательство МЦНМО, 2004.
7. Русаков О. В. Пуассоновские субординаторы, поле Винера-Орнштейна — Уленбека и связь броуновских мостов с переходными характеристиками процессов Орнштейна — Уленбека. Вероятность и статистика. 16, Зап. научн. сем. ПОМИ, 384, ПОМИ, СПб., 2010, рр. 225-237.
8. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.
9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984.
10. Egonmwan A. The Numerical Inversion of the Laplace Transform. — Lap Lambert Academic Publishing, GmbH & Co KG, Saarbrucken, 2012, рр. 1-81.
11. James J., Webber N. Interest Rate Modelling. Chichester: John Wiley, 2000.] 12. Björk, T. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press, 1998.
13. Rusakov O. V. Sums of Independent Poissonian Subordinators and Their Relation with Strictly instable Processes of the Ornstein-Uhlenbeck Type. Journal of Math Sci. 2009, Volume 159, no. 3, рр. 350-357.
References
1. Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of Financial Economics, 1977, vol. 5, no. 2, рр. 177-188.
2. Cox J. C., Ingersoll J. E., Ross S. A. A theory of the term structure of interest rates. Econometrica, 1985, no. 53.
3. Black F., Derman E., Toy W. A one-factor model of interest rates and its application to Treasury bond options. Financial Analyst Journal, 1990.
4. Perez-Abreu V., Barndorff-Nielsen O. Stationary and self-similar processes driven by Levy processes — Stochastic Processes and their Applications, 1999, Volume 84, Issue 2, рр. 357-369.
5. Schonbucher P. Credit Derivatives and Pricing Models. N. Y.: Wiley, 2003.
6. Shirjaev A. N. Verojatnos'-2. M.: MCNMO, 2004.
7. Rusakov O. V. Puassonovskie subordinatory, pole Vinera-Ornshtejna-Ulenbeka i svjaz' brounovskih
№ 6 (54) 2014
mostov s perehodnymi harakteristikami processov Ornshtejna-Ulenbeka. — Verojatnost' i statistika. 16, Zap. nauchn. sem. POMI, 384, POMI, SPb., 2010, pp. 225-237.
8. Oksendal'B. Stohasticheskie differencial'nye uravnenija. Vvedenie v teoriju iprilozhenija. M.: Mir, 2003.
9. Feller V. Vvedenie v teoriju verojatnostej i ee prilozhenija. M.: Mir, 1984.
10. Egonmwan A. The Numerical Inversion of the Laplace Transform. -Saarbrucken: Lap Lambert
Academic Publishing, GmbH & Co KG, 2012, pp. 1-81.
11. James J., Webber N. Interest Rate Modelling. Chichester: John Wiley, 2000.
12. Björk, T. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press, 1998.
13. Rusakov O. V. Sums of Independent Poissonian Subordinators and Their Relation with Strictly a-stable Processes of the Ornstein-Uhlenbeck Type. Journal of Math Sci, 2009, Volume 159, no. 3, pp. 350-357.
O. Rusakov, PhD in Physic & Mathematic, Associate Professor of Saint-Petersburg State University, [email protected]
D. Apleev, Postgraduate of Saint-Petersburg State University, [email protected]
A multifactorial generalization of the Vasicek model: example of spot-rates with two factors
We introduce a generalization of the Vasicek model, when a spot-rate consists in a weighted sum of the Ornstein-Uhlenbeck processes with different values of the viscosity parameter. Our generalization gives a model and quantitative valuation in such type of the market non-homogeneity, when the spot rate is forming by agents of different types of their behavior. We derive formulae for the spot-rate forecast and for estimation of the corresponding square risks. For estimation of weights of agents and estimation of an inertness coefficient of their investments, we execute method of the numerical inverse Laplace transform, which is applied to historical data of auto-covariance time series of the spot rates. As a result, we obtain a number of numerical expressions for the spot-rates of obligations of USA, Japan, and Russia, where two types of agents are distinguished by inertness of their money criteria, and their corresponding two relative weights are estimated. The results obtained in the paper may be applied in decision support systems for spot-rates forecasting. Developed methods may be helpful for an investor who makes tactical or/and strategic decisions as well as an analyst for estimating quantitative characteristics of market interest rates risk and dynamics.
Keywords: Stochastics models of interest rates, Vasicek model, Ornstein-Uhlenbeck processes, numerical inverse Laplace transforms, multi-agent models.
ч 101
