О некоторых классах пространств Вейтценбека Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.764.21; 514.822

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ПРОСТРАНСТВ ВЕЙТЦЕНБЕКА

© И. А. ГОРДЕЕВА Владимирский Государственный Гуманитарный Университет, кафедра информатики e-mail: igordeeva@list.ru

Гордеева И. А. — О некоторых классах пространств Вейтценбека // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 70—75. — Многообразие Вейтценбека это триплет (M,g, V), где M это дифференцируемое многообразие размерности n > 2 с метрикой g определенной сигнатуры и линейной связностью V с тензором кривизны R = 0, тензором кручения S = 0 и обладающей свойством метричности Vg = 0. Теория такого рода многообразий носит название "новая теория гравитации". Мы рассматриваем свойства трех классов такого рода многообразий и на их основе доказываем теоремы исчезновения. Ключевые слова: Связность с кручением, тензоры кривизны и кручения, телепараллелизм, пространства Вейтценбека.

Gordeeva I. A. — About some classes of Weitzenbock manifolds // Izv. Penz. gos. pedagog. univ.

im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 70—75. — Weitzenbock manifold is the triple (M,g, V), where M is a differential manifold of dimensional n > 2 with metric g of certain signature and linear connection V of curvature tensor R = 0, torsion tensor S = 0 and having the metrically property Vg = 0. The theory of these manifolds was called the "the new theory of gravity". We consider properties of some classes of these manifolds and prove vanishes theorems as corollaries of these properties.

Keywords: Connection with torsion, curvature tensor, torsion tensor, teleparallelism, Weitzenbock manifold.

1. Введение

1.1. Рассмотрим п-мерное (п > 0) С “-многообразие М с линейной связностью V, обладающее нулевой кривизной К = 0 и ненулевым кручением Б = 0. В этом случае (см. [14], стр. 133-135) любой вектор Хх, заданный в некоторой точке х € М может быть включен в некоторое поле Х абсолютно параллельных векторов и это поле определяется (локально) единственным образом. На этом основании связность V называется связностью абсолютного параллелизма.

С другой стороны (см. там же) связность V нулевой кривизны К = 0 характеризуется существованием п независимых полей Х\,Х^,... ,Хп абсолютно параллельных векторов или ковекторов (1-форм).

Подобную связность построил Э. Картан (см. [4]) на 2-мерной сфере евклидова пространства. Эта связность в дополнение обладала еще свойством метричности: абсолютно параллельными были два ортогональных векторных поля Х1 и Х2.

Цитируемая работа Э. Картана, как и две другие его работы (см. [3] и [5]) были написаны с целью введения в круг исследования физиков-теоретиков пространств-времен, которые обладали ненулевым кручением.

1.2. Спустя более чем пятьдесят лет идея Э. Картана получила развитие в целой серии работ по так называемой "новой теории гравитации"(см. об этом в [9]) пространства-времени (М, д), которое обладает наряду со связностью Леви-Чивита V связностью V с ненулевыми кривизной К и кручением Б и свойством метричности Vg = 0.

В частности, были рассмотрены пространства-времена с нулевой кривизной К = 0 и ненулевым кручением Б = 0. Эти пространства получили название "пространств (многообразий) Вейтценбека"или "пространств телепараллелизма"(см., например, [1], [6], [7]).

В работах [11] и [12] нами была получена классификация многообразий (М, д, V) за счет поточечно неприводимого разложения тензора Т = Т + Т2 + Т3 тензора деформации Т = V — V относительно действия группы О(ц), где ц = дх для произвольной х € М. В следующем параграфе изучим свойства трех классов многообразий Вейтценбека, когда Т = Т1, Т = Т2 и Т = Т3.

2. Пространства Вейтценбека

2.1. В начале рассмотрим пример Э. Картана (см. [4]) многообразия с несимметрической метрической связностью. Пусть Б2 - сфера радиуса К без полюсов евклидова пространства Е3, С1 - долгота и С2 - широта точки сферы, тогда первая квадратичная форма сферы имеет вид: ¿в2 = К2((сов2^2)^С1 <8> ¿С1 + ¿с2 <8> ¿С2), а метрический тензор д имеет компоненты: дц = К2сов2С2, д22 = К2, д12 = д21 = 0. Тогда векторы Х1 = {(КсовС2)-1; 0} и Х2 = {0, К-1} будут единичными векторами в направлении "востока"и "севера". Полагаем, что в некоторой связности V векторы Х1 и Х2 переносятся параллельно вдоль любого направления на сфере, т.е. VkХ^' = дкХ^' + Де!а^2 Г^ =0 и VkХ^ = дкХ^ + Г"к2 = 0.

При — П < С2 < 2 отсюда последует: г21 = —¿дС2, а остальные символы Кристоффеля связности V равны нулю. При п = 2 тензор кривизны К обладает лишь одной существенной компонентой К1212. Остальные компоненты Кijkl либо равны нулю, либо совпадают с ней с точностью до знака. А так как Г21 единственная компонента из всех Г, отличная от нуля, и производная от нее по С1 равна нулю, то К1212 = 0. Тогда все коэффициенты К^ = 0 тензора кривизны К, а единственным отличным от нуля компонентом тензора кручения Б будет б1! = — Б^ = 2¿дС2.

Непосредственно проверяется выполнение условий Vg = 0. Воспользуемся известным соотношением (см. [13], стр. 141)

Vigjk = дigjk — Г^' дрк — Ггkgjp

и подставим в него компоненты метрического тензора д.

V1 ди = д1 ди — Г цдр1 — Г цд1р = д1(К2сов2с2) = 0 V2gll = д2д11 — 2Г^1 д1р = д2(К2сов2С2) + 2tgС2К2cos2С2 = 0 Vlg22 = д1д22 + 2ГР2д2р = д1(К2) = 0 V2g22 = д2д22 + 2Гр2д2р = д2(К2) = 0 Vlgl2 = Vlg2l = V2gl2 = V2g2l = 0.

Таким образом, (Б2,д, V) являет пример многообразия Римана-Картана (М, д, V). В дополнение, если К = 0, тогда V носит название связности Вейтценбёка или абсолютного параллелизма. Многомерные обобщения пространства (Б2,д, V) носят название пространств Вейтценбека (см. [1], [6], [7]).

2.2. Пространство Вейтценбека или пространство абсолютного параллелизма (см. [1], [6], [7]) - это пространство, которое допускает параллельное перенесение п произвольных векторных полей ^ с локальными компонентами С^),С^),... , С^) по любой кривой, то есть VkС^) = VkСi2) = • • • = VkСin) = 0. Дифференцируя и альтернируя последнее, получим условия интегрируемости, которые являются тождествами Риччи (см. [14], стр. 136)

2Уу = К^ — 2БРk УрС\

которые дают

К^ = 0.

Это условие должно удовлетворяться тождественно по отношению к выбору вектора Ср. Отсюда следует, что тензор кривизны равен нулю. И, обратно, если К = 0, то существуют п линейно независимых векторов С\ являющихся решениями уравнения VkСij) = 0. Таким образом, если матрица С^-) невырождена, то пространство не имеет кривизны. Если одновременно кручение также равно нулю, то пространство является плоским.

3. Характеристики трех классов многообразий Вейтценбека

3.1. Тензор кручения Б связности V является гладким сечением тензорного расслоения Л2М<8>ТМ. В свою очередь, для тензорного расслоения Л2М <8> Т*М имеет место (см. [15], доклад XVI) поточечно 0(ц)-неприводимое разложение

Л2М ® Т*М = Р1(М) 0 Р2(М) 0 рз(М),

при этом ортогональные проекции на компоненты этого разложения определяются равенствами (см., напр., [12]):

(1)БЬ(Х,У,Я) = 3-1(БЬ(Х,У,Я) + БЬ(У,Я,Х) + БЬ(Я, Х, У)); ( 2)БЬ(Х, У, Я) = д(Х, Я)0(У) — д(У, Я)0(Х); (3)БЬ(Х,У,Я) = БЬ(Х,У,Я) —(1) БЬ(Х,У,Я) —( 2) БЬ(Х,У,Я),

0(Х) := (п — 1)-1д(Б(Х^Х),Xi) для произвольных Х, У, Я € СТОТМ и локального ортонормированного базиса Х1,..., Хп векторных полей.

Будем говорить, что многообразие Римана-Картана (М, д, V), равно как и его присоединенная связность V, принадлежат классу ра или ра 0 ре для а, в =1, 2, 3 и а < в, если в каждой точке х € М тензор БЬ является сечением соответствующего тензорного расслоения ра(М) или ра(М) 0 Ре(М).

В [11] нами были доказаны две леммы о принадлежности многообразий Римана-Картана к отдельным классам.

Лемма 1. Связность V принадлежит классу р1 0 р2 тогда и только тогда, когда ее тензор кручения удовлетворяет алгебраическому уравнению вида

Б(X, У, Я) + Б(Х, Я, У) = д(Х, Я)В(У) + д(Х, У)В(Я) + д(У, Я)А(Х)

для некоторых гладких 1-форм А и В и произвольных гладких векторных полей X, У и Я на М.

Лемма 2. Связность V принадлежит классу р2 тогда и только тогда, когда ее тензор кручения удовлетворяет алгебраическому уравнению вида

Б(X, У, Я) — Б(Х, Я, У) + д(Х, У)С(Я) — д(Х, Я)С(У) = 0

для некоторой гладкой 1-формы С и произвольных гладких векторных полей X, У и Я на М.

Отметим здесь же, что метрическая связность V класса р2 в литературе (см. [16]; [17]; [18] и др.) называется еще полусимметрической.

3.2. Локальные компоненты тензора деформации Т = V — V и кручения Б связаны равенствами (см. [17], стр. 80)

Т'к' = Б'к' + Бijk + Б'к', (3.1)

где gilTjk и Бijk gklБij .

При этом компоненты тензора кривизны К многообразия (М, д) находятся из равенства (см. [14], стр. 133).

ту I ____ ^7 Т1 I _1_ Х7 Т1 I Т1 т , гр l^ т /о о\

Кijk = ^Т'к + Vj Т'к Т'т Т'к + ТшТ'к . (3.2)

Тензор Риччи Кгс имеет локальные компоненты

Д._ 7~> k _ \~7 гр к ^ гр k гр к^ I , гр 1т k /о о\

ij := Кк' = viТ к' — Vk — + Т'к . (3.3)

Для многообразий Вейтценбека класса р. имеем Т € СТОЛ3М и тогда из (3.3) последует

р р k \7Т'^^Т' 1т1 k

Кij := Кк' = V k+ Т'к .

Откуда в случае положительно определенной метрики имеем Кгс(Х, X) = д(Т(X),Т(X)) > 0 или подробнее в координатной форме

К'X'Х' = — (VkTijk)XiXj + Т^Т^XiXj = (^Хi)(TjklXj) > 0

для произвольного X € СТОТМ. Первое слагаемое —(VkТ' k)Х'Х' в данной формуле обратится в нуль, так как Т' кососимметричен по всем индексам, а свертка с — (VkТ' k) с Х'Х' предполагает симметрирование по индексам г и , второе слагаемое это квадрат тензора Т^Х', который больше или равен нулю, если метрика положительно определена.

Справедлива

Теорема 1. Если многообразие Вейтценбёка (М, д, V) является многообразием класса р. с положительно определенной метрикой д, то кривизна Риччи риманова многообразия (М, д) неотрицательная.

Согласно формулам (3.1) и (3.2) тензор кривизны К риманова многообразия определяется через тензор кручения Б связности V многообразия Вейтценбека (М, д, V).

Заметим, что в силу (3.1), условия Т € СТОЛ3М и Б € СТОЛ3М равносильны. Поэтому справедливо Следствие. На римановом многообразии (М, д) с положительно определенной метрикой д и отрицательной кривизной Риччи не существует связностей Вейтценбека с кососимметричным ковариантным тензором кручения.

3.3. Для многообразия Вейтценбека (М, д, V) класса р2 связность V является полусимметрической (см. [14], стр. 152) и мы имеем Tkij = ду^ — дь^', где ^ = п..Т^к. Тогда (3.2) имеет вид

К' к = — ^д^к — д'^г) + ^ (^д^к — д'к^О—

—(^д^ш — д'тМ )(^ш^ы — gjk ^т) + (^^т — д^ш^Н^^к — gik <^т) = выполнив преобразования, получим

= — д^^^к + д'к Vi ш1 + gilVj <^к — gik Vj ^ — д«^- <^к + д' ^^к+

+gil д'к(^т^т) — д'к <^ш1 + д'^^'^к — д' ^^к — д'^к^т^^ + д'к ^ ш1 =

далее сгруппировав, замечаем закономерность

1

— — gjl(ViWk — WjWfc + 2 gik wm^m) + gjk (ViWl — + 2 9U +

+gii(Vj — + 2 ) — gik(Vj — wj + 2 gji^m^™) —

обозначив содержимое скобок через w с двумя индексами, получим

— — gjlwik + gjk wil + gilwjfc — Й^А^Ъ

где Wji — VjWi — Wj Wi + 1 gji Wmwm.

В этом случае тензор Риччи имеет вид

Rjk Rljk gjfc(g' wil) + (n 2)wjk,

откуда

Wjk — n-2(Rjk — 2(n — 1)Rgjk)

для скалярной кривизны Д многообразия (M, g). В итоге

Rjjki n 2( gjiRjk + gjkRji + gjiRjk gjkRji)+

+ 2(n 1 )(n 2) (gjigjk — gjkgji — giigjk + gjkgji)

или

1R

Rjjki n 2 (gjiRjk gjkRji + gjkRji gjiRjk) + (n i)(n 2) (gjigjk gjigjk). (3.4)

Выражение (3.4) означает равенство нулю тензора Вейля W многообразия (M,g) (см. [16], стр. 115). Доказана

Теорема 2. Если многообразие Вейтценбёка (M, g, V) принадлежит классу р2 и dim M > 4, то рима-новое многообразие (M, g) конформно плоское.

Справедливо

Следствие. На n-мерном (n > 4) римановом многообразии (M, g) нельзя задать полусимметричную связность Вейтценбека V, если (M, g) не является конформно плоским.

3.4. В заключение рассмотрим многообразие Вейтценбека (M, g, V) класса рз. В этом случае

Tkjk — 0; Tjjk + Tjfci + ïbj — 0. (3.5)

и, следовательно, в силу (3.5) и (3.3)

Д :— Rijgij — VіTbfc — VfcTjik — T^Tjl + TjTik — T^ — TijfcTkij —

— 1(T-_ T-., )Tkij — i(— T-, ■ — T> • • — T-, )Tkij — —1T, ■ Tkij

— 2^Tijk T — 2^ Tjki Tkij T — 2TkijT .

Значит, для многообразия Вейтценбека (M, g, V) класса рз с положительно определенной метрикой g скалярная кривизна Д риманова многообразия (M, g)

Д — — 2IITу2 < 0. (3.6)

Доказана следующая

Теорема 3. Если многообразие Вейтценбёка (M, g, V) с положительно определенной метрикой g принадлежит классу рз, то риманово многообразие (M, g) имеет неположительную скалярную кривизну R < 0.

Из (3.6) следует, что условие R = 0 означает V = V. Поэтому справедливо Следствие. На римановом многообразии (M, g) с положительно определенными метрикой и скалярной кривизной нельзя задать связность Вейтценбека V класса рз.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aldrovandi R., Pereira J.G., Vu K.H. Selected topics in teleparallel gravity // Brazilian J. Ph. 2004. V. 34. P. 1374-1380.

2. Barua B., Ray A.K. Some properties of semi-symmetric connection in Riemannian manifold // Ind. J. Pure Appl. Math. 1985. V. 16. №7. P. 726-740.

3. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part I // Ann. Ec. Norm. 1923. V. 40. P. 325-412.

4. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part I // Ann. Ec. Norm. 1924. V. 41. P. 1-25.

5. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. Part II // Ann. Ec. Norm.. 1925. V. 42. P. 17-88.

6. Fernandez O.E., Bloch A.M. The Weitzenbock connection and time reparameterization in nonholonomic mechanics // J. of math. physics.. 2011. V. 52. 012901.

7. Hayashi K., Shirafuji T. New general relativity // Phys. Rev. D. 1979. V. 19. P. 3524-3553.

8. Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Shur’s theorem // Int. J. Contemp. Math. Sciences. 2008. V. 3. №25. P. 1223-1232.

9. Trautman A. Einstein-Cartan theory // Encyclopedia of Mathematical Physics. Elsevier, Oxford. 2006. V.

2. P. 189-195.

10. Yano K. On semi-symmetric metric connection // Rev. Roum. Math. Pure Appl. 1970. V. 15. P. 1579-1586.

11. Гордеева И.А., Паньженский В.И., Степанов С.Е. Многообразия Римана-Картана // Итоги науки и техники (совр. мат-ка и ее прил-я). М.: ВИНИТИ РАН, 2009. Т. 123. С. 110-141.

12. Гордеева И.А., Степанов С.Е. Псевдокиллинговы и псевдогармонические векторные поля на многообразии Римана-Картана // Мат. заметки. 2010. Т. 87 №2. С. 267-279.

13. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981. 344 c.

14. Норден А.П. Пространства аффинной связности М.: Наука, 1981. 463 c.

15. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/79. М.: Мир, 1985. 323 c.

16. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948. 316 c.

17. Яно K., Бохнер C. Кривизна и числа Бетти. M.: ИЛ, 1957. 152 c.