CC BY
52
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 2 (35). С. 180—198
Теоретическая физика
УДК 514.82:514.774.2
КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ 4-МНОГООБРАЗИЯ КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Л. Н. Кривоносое1, В. А. Лукьянов2
1 Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева,
Россия, 603600, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.
2 Заволжский филиал Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева,
Россия, 606520, Нижегородская обл., Заволжье, ул. Павловского, 1а.
Вычислены базисные калибровочно-инвариантные тензоры, алгебраически выражающиеся через матрицу конформной кривизны. В частности, разложение основного тензора на калибровочно-инвариантные неприводимые слагаемые состоит из 4-х слагаемых, одно из которых определяется только одним скаляром. Этот скаляр, во-первых, входит в уравнения Эйнштейна с космологическим членом в виде космологического скаляра. Во-вторых, метрика, будучи умноженной на этот скаляр, становится калибровочно-инвариантной. В-третьих, геометрическая точка, не являющаяся калибровочно-инвариантной, после умножения на квадратный корень из этого скаляра становится калибровочно-инвариантным объектом — материальной точкой. В-четвертых, уравнения движения материальной точки оказываются точно такими же, как и в общей теории относительности, что позволяет отождествить корень квадратный из этого скаляра с массой. В итоге получен неожиданный результат: космологический скаляр совпадает с квадратом массы. В-пятых, космологический скаляр позволяет ввести на многообразии калибровочно-инвариантную 4-меру. С помощью этой меры найден новый вариационный принцип для уравнений Эйнштейна с космологическим членом. Матрица конформной кривизны кроме компонент основного тензора содержит и другие компоненты. Найдены все основные калибровочно-инвариантные тензоры, выражающиеся через эти компоненты. Они имеют валентность 3 или 1. Выполнение уравнений Эйнштейна равносильно калибровочной инвариантности одного из этих ковекторов. Поэтому многообразия конформной связности, где выполняются уравнения Эйнштейна, можно подразделить на 4 вида по типу этого ковектора: времениподобный, пространственноподобный, светоподобный или нулевой.
Ключевые слова: конформная связность, калибровочная группа, уравнения Эйнштейна, космологический член.
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1291 © 2014 Самарский государственный технический университет.
Образец цитирования: Л. Н. Кривоносо в, В. А. Лукьянов, “Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности без кручения и их применения для моделирования пространства-времени” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(35). С. 180-198. doi: 10.14498/vsgtu1291.
180
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
Введение. Статья является непосредственным продолжением исследований, опубликованных в [1], в частности, сохраняются обозначения и терминология. Хотя в [1] мы определили наше понимание калибровочной группы, но в настоящей статье это понятие становится центральным. Поэтому разъясним его подробнее. Структурная группа слоя расслоенного пространства действует в разных слоях независимо и потому не является функцией точки базового многообразия. Но в большинстве задач, требующих для решения рассмотрения расслоенного пространства, исследуемый объект задан не в отдельной точке базового пространства, а непрерывно или гладко зависит от точки некоторого подмножества базы. Поэтому и параметры структурной группы, действующей на этот объект, должны быть непрерывными или гладкими функциями точки этого подмножества. Группы, параметры которых являются функциями точки пространства-времени, в физике называются калибровочными. Таким образом, структурная группа расслоенного пространства чаще всего используется как калибровочная группа базы. Но использование структурной группы слоя как калибровочной группы базы осуществляется, как правило, при задании в расслоенном пространстве дополнительной геометрической структуры — связности. В статьях [1-6] 4-многообразие конформной связности с сигнатурой угловой метрики (—+ ++) трактуется как модель пространства-времени, поэтому структурную группу слоя расслоенного пространства мы называем калибровочной группой.
Напомним [1], что 4-многообразие конформной связности мы рассматриваем как базу расслоенного пространства, слоем которого служит 5-мерное проективное пространство P5 с фиксированной в нем квадрикой. Для обеспечения необходимой сигнатуры угловой метрики эту квадрику в подходящем репере из 6 точек проективного пространства {X0, X1, X2, X3, X4, X5} следует задать в виде
-(xi)2 + (Ж2)2 + (хз)2 + (X4)2 + 2x0X5 = 0. (1)
Уравнения инфинитезимальных перемещений этого репера имеют вид
dX0 = XowO + XiUi,
dX5 = -Xinijш3 - X5W0, (2)
dXi = XoWi + Xkшк - X5nijш3,
где nij — стандартный тензор Минковского сигнатуры (—+ ++), индексы i, j, k, ... принимают значения 1, 2, 3, 4. Матрица пфаффовых форм
/ ш0 Ш1 ш2 ш3 ш4 0
ш1 0 ш2 ш3 ш1 ш4 ш1
Q = ш2 ш2 ш1 0 ш13 - ш2 - ш 24 -ш2
ш3 ш3 ш2з 0 - ш 34 -ш3
ш4 ш4 ш4 ш4 0 - ш4
V 0 ш11 -ш2 -ш3 -ш4 ш0 - ш00
Сведения об авторах: Леонид Николаевич Кривоносое (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. прикладной математики. Вячеслав Анатольевич Лукьянов, старший преподаватель, каф. информатики и общеобразовательных дисциплин.
E-mail addresses: [email protected] (L.N. Krivonosov, Corresponding author), [email protected] (V.A. Luk’yanov)
181
Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов
называется матрицей конформной связности. Её задание на каждой карте некоторого атласа определяет структуру многообразия конформной связности. Через матрицу Q вычисляется матрица Ф конформной кривизны, состоящая из внешних 2-форм:
Ф = dQ + Q Л Q =
В развернутом виде
Ф0 = dw0 + ш,
Ф*
Ф* = dw* + w
ф0 Фo Ф1 Ф2 Фз Ф4 0
Ф1 0 Ф1 Ф1 ф1 Ф1
Ф2 Ф1 0 -ф2 -ф2 - Ф2
Ф3 Ф1 ф2 0 -фЗ - Фз
Ф4 Ф1 ф2 фЗ 0- Ф4
0 Ф1 -ф2 -Фз -ф4 - ^o Фo
, w*,
wjk + w* Л wj I n*mn • + n njn wm Л w n,
w*k + woo Л w*,
wk + w* Л woo.
(3)
j
j
Калибровочная группа порождается следующими преобразованиями репера:
1) преобразованиями перенормировки
Xo = AXo, X5 = -Хъ, X* = X*;
2) преобразованиями нормализации
Xo = Xo, Х5 = Х5 - n*jAjX* --n*jA*AjXo, X* = X* + A*Xo;
3) преобразованиями Лоренца
Xo = Xo, X5 = X5, X* = Aj Xj,
где (Aj) — матрица Лоренца, определяемая условиями n*j-m-n = Птп. Это все те проективные преобразования P5, которые квадрику (1) переводят в себя и оставляют неподвижной точку Xo.
Из уравнений (2) вытекают следующие формулы преобразования компонент матрицы конформной связности:
1) преобразования перенормировки
dA
1
wo = wo + —, w* = Aw*, w* = T w*, wj = w:
2) преобразования нормализации
A
*
w
oo
wo - Akw
w,
o
= w* + dA* - Akwk + A*w° - A*Akwk + 1 nmnAmAnn*kwk;
k w* = w*,
w*j = w*j + A*wj - nmj Amn*kw
k
182
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
3) преобразования Лоренца
ш
ш0,
Ш = (л )fcш
Шг
i = a?ш = (A-i)mdAr+(A-1 )тшглк,
к
где (А-1)к — матрица, обратная к матрице Лоренца (Aj).
Из этих формул видно, что квадратичная форма ф = щшгш! изменяется только при перенормировке:
ф = A 2ф.
Она называется угловой метрикой.
В свою очередь, калибровочные преобразования матрицы конформной связности Q индуцируют преобразования компонент матрицы Ф конформной кривизны:
1) преобразования перенормировки
Ф0 = Ф0, Ф = АФг, Ф = Афг, ф! = Ф"'; (4)
2) преобразования нормализации
Ф0 = Ф0 - А?Фк,
Ф = Фг,
Ф = Ф! + АгФ! - П™" АтПгкФ?,
Фг = Фг - АкФк + АгФ0 - АгАкФк + 2птпАтАиЩкФк;
(5)
3) преобразования Лоренца
Ф0
Ф0
ф0,
Фг = (А-1)? Фк, Фг = Ак Фк, Ф = (A-^mAk. (6
Так как в этих формулах внешние 2-формы Фк преобразуются только через самих себя, они образуют геометрический объект, называемый кручением. Внешние 2-формы Ф1, Ф2, Ф3, Ф4, Ф0 также образуют геометрический объект, который не получил в литературе никакого названия. Но в [2] мы называем многообразие конформной связности беззарядным при равенстве нулю этих внешних форм, имея в виду сам этот геометрический объект называть зарядом. Если на беззарядном многообразии конформной связности выполняются уравнения Эйнштейна Фк-? = 0, то Картан назвал этот случай нормальной конформной связностью. Заметим, что судя по ссылке [7, с. 178], Картан знал, что условие Фк-? = 0 — уравнения Эйнштейна. Всё изложенное выше составляет основу понятия многообразия конформной связности и введено Карта-ном в [7]. Только Картан рассматривал случай многообразия произвольной размерности, а квадратичную форму угловой метрики считал положительно определённой. Нормальная конформная связность Картана (НКСК) в современной литературе является объектом интенсивного исследования (см., например, [8-13]).
Точку Хо репера мы считаем общей точкой базы и слоя. Из (2) следует, что при шг = 0 получается dX0 = Хош0, поэтому пфаффовы формы шг должны
183
Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов
быть базисными. Если ua —локальные координаты базового многообразия, то имеют место равенства
и* = ва dua. (7)
Величины Ва зависят от локальных координат и образуют невырожденную квадратную матрицу 4-го порядка. Они задают вложение касательного векторного слоя (размерности 4) в 5-мерный проективный слой. Образом служит 4-мерная аффинная плоскость, которая получается удалением из проективной 4-плоскости, натянутой на точки Xo, Xi, X2, X3, X4, проективной 3-плоскости, натянутой на 4 точки
Ya = 1аХ0 + Ва Xi,
где 1а — коэффициенты разложения пфаффовой формы и0 = ladua. В модуле над кольцом гладких функций, порождённом дифференциалами dua, действует группа общекоординатных преобразований. Но в этом же модуле, взяв за базис пфаффовы формы и*, с помощью формул и* = Ли* и и* = = (Л-1)кик можно задать действие калибровочных преобразований перенормировки и Лоренца, действие преобразований нормализации в этом случае является тождественным.
Как указано в [3], мы не умеем решать уравнения Янга—Миллса на 4-многообразии конформной связности с кручением, поэтому мы вынуждены ограничиться многообразиями с нулевым кручением, Ф* = 0. В этом случае уравнения Янга—Миллса во многих случаях становятся уже решаемыми в конечном виде [4-6].
Решение уравнений Янга—Миллса для центрально-симметрической метрики из [4], выражающееся через эллиптическую функцию Вейерштрасса, многократно использовалось в статьях [14, 15] для исследования структуры кварков, адронов, атомного ядра и других целей. Уравнения Янга—Миллса на 4-многообразиях с конформной структурой изучались в работах [8-10]. Однако в отличие от нашей работы [3] в них уравнения Эйнштейна не выводятся из уравнений Янга—Миллса, а постулируются путём наложения соответствующих условий на компоненты связности, и только после этого составляются уравнения Янга—Миллса. В [8] рассматривается частный случай конформной связности, именно, НКСК. Но выше мы уже отмечали, что в определение НКСК входит условие Фк^ = 0, а это и есть уравнение Эйнштейна. В работах [9, 10] вместо конформной связности рассматривается эквивалентная ей тви-сторная связность специального вида, компоненты которой удовлетворяют условию
Фк„)к = 0 (в обозначениях Меркулова: Pmn = Q(mn) = 1 Rmn - 12Rgmn).
В [8] не только выведены уравнения Янга—Миллса, но и найдено их решение для однородной метрики Феффермана.
При Ф* = 0 формулы (4), (5) и (6) существенно упрощаются:
Ф° = ф0, Ф = Лф*, Ф = Ф^'; (8)
Ф0 = фО, ф( = ф(, Ф = ф* - Лкфк + Л*Ф0; (9)
184
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
ф0 = ф°, Фг = лкФк, ф = (л-1)к Ф^лт.
(10)
Все калибровочно-инвариантные тензоры могут быть найдены только на основе преобразований (8), (9) и (10), если к ним добавить еще оператор Ходжа *, действующий на базисные внешние 2-формы согласно правилу [4, с. 352]
* (ш1 Л ш2) = ш3 Л ш4, * (ш1 Л ш3) = —ш2 Л ш4,
* (ш1 Л ш4) = ш2 Л ш3, * (ш2 Л ш3) = —ш1 Л ш4, (11)
* (ш2 Л ш4) = ш1 Л ш3, * (ш3 Л ш4) = —ш1 Л ш2
и продолженный на остальные 2-формы по линейности.
Из формул (8)—(10) видим, что внешняя 2-форма Ф0, а также *Ф0 инвариантны относительно всех калибровочных преобразований, а формы Ф2 (и *ф2) изменяются только при лоренцевых преобразованиях по формуле (10). Поскольку это закон преобразования аффинора относительно линейной группы лоренцевых преобразований, а техника работы с аффинорами хорошо известна, калибровочные преобразования (10) никаких хлопот не доставляют. К тому же, используя (7), можно получить Ф^ = ВвФ2Вга, где (Вв) — обратная матрица для (Вга).
Величины Ф^ относительно координатных преобразований образуют аффинор, инвариантный относительно всех калибровочных преобразований. Аффинор Ф2 (или равносильно Ф^) мы назвали в [1] основным аффинором многообразия конформной связности без кручения. Однако имеется много других калибровочно-инвариантных тензоров. Их отыскание и является целью настоящей статьи. При решении этой задачи преобразования перенормировки (8) тоже не создают проблем. Но преобразования нормализации (9) выражают внешние 2-формы Фг через все внешние формы Фг, Фк и Ф0 — в этом все сложности. Заметим, что представление тензоров через греческие индексы а, в, ... называется голономным представлением, а через латинские i, j, ... — неголономным представлением. Взаимный переход между греческими и латинскими индексами осуществляется с помощью величин Вга. В большинстве случаев работать с неголономным представлением удобнее, так как, во-первых, сигнатура угловой метрики ф = щшгш2 задана в явном виде, а в голономном представлении ф = дарduadue она глубоко скрыта в коэффициентах дав; во-вторых, оператор Ходжа в неголономном представлении задан чрезвычайно простыми формулами (11), а в голономном представлении он намного сложнее. Но когда приходится решать уравнения Янга—Миллса или Эйнштейна, без голономного представления не обойтись. Так как дад =
= Щ К Вв и det (Пгз) = —1,
д d=f det (gal3) = — (det (ва))2 . (12)
Отметим, что закон изменения угловой метрики при перенормировке ф = = Л2ф в неголономном представлении возникает за счет формул шг = Лшг, при этом коэффициенты тензора Минковского щ не меняются. В голономном представлении, наоборот, не меняются дифференциалы dua, но меняются коэффициенты
9af3 = Л дав. (13)
185
Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов
1. Формы и тензоры, выражаемые через Ф0 и Ф]. Если wq = 1гшг, то преобразование нормализации с Аг = 1г приводит к wq =0, что мы и предполагаем выполненным. Положим
ф°
г
-<£j W
2 гmn
Л wn
Ф
ijmn
= Пгк Ф
к
jmn'
Тогда, согласно (3),
Фо = 2ЪЫш3 л ^
где Ъ[г^ =f Ъу — Ъ^. В [1, c. 401] доказано, что тензор Ф^тп допускает следующее разложение на неприводимые слагаемые:
Фгjmn — Cгjmn 2 Щ ◦ Emn + 2 ^j 0 Ъ[тп] g R^j 0 nmn.
2
(14)
Здесь Cijmn — тензор Вейля конформной кривизны для квадратичной формы угловой метрики ф,
Emn — Rmn 4 R^mn Ъ( mn) + 2 ^mn, Л = 4 (R 6Ъ) , Ъ(mn) = Ъmn + Ъnm,
(15)
Rmn — тензор Риччи этой же квадратичной формы, R = nmnRmn, Ъ = nmnЪmn, кружком обозначено произведение Кулкарни—Номидзу двух тензоров:
c def
cmn — аг-
+ ajncгm ^nCjm O^mAn.
Напомним [1, c. 395], что для 4-валентного тензора aгjmn, кососимметричного как по первой паре индексов, так и по второй, символом *aгjmn мы обозначаем результат действия оператора Ходжа на левую пару индексов ij, а ajmn — результат его действия на правую пару индексов mn. Тензор ajmn называется равнодуальным, если *aгjmn = ajmn, и косодуальным, если *ajmn = — ajmn. Перечислим несколько свойств равнодуальности и косоду-альности.
1. Тензор ajmn равнодуален (косодуален) тогда и только тогда, когда
* * * * агjmn = — агjmn ( a4jmn = aгjmn).
2. Если тензор ajmn равнодуален (косодуален), то таковы же и тензоры
^jmn и a*jmn.
3. Если тензор amn кососимметричен, то тензор nj ◦ amn равнодуален.
4. Если тензор amn симметричен, то тензор nj ◦ amn косодуален тогда и только тогда, когда njaj = 0.
5. Если тензор amn симметричен, то тензор nj ◦ amn равнодуален тогда и только тогда, когда amn = Аnmn.
В разложении (14) второе слагаемое косодуальное, т.к. nmnEmn = 0 (свойство 4), последние два равнодуальны (свойства 3 и 5). Тензор Вейля CV/mn также равнодуален [1, с. 397]. Применяя свойство 1, из формулы (14) получаем следующее разложение на неприводимые слагаемые:
^jmn — Cijmn 2 ^j 0 Emn 2 ^j 0 Ъ[mn] + gR^j 0 nmn.
2
(16)
186
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
Так как — Rijmn + Vij ° bmn [1, формулы (22) и (23)], при bmn — О
формулы (14) и (16) переходят в разложения на неприводимые слагаемые для тензора Римана:
R
ijmn
— C
ijmn
- - nij °
R
ijmn
— -a
ijmn 2 nij °
|Rmn 4 Rnmn) 24 RVij ° nmn,
^Rmn 4 Rnmn) + 24 RVij ° Vmn.
1
2
1
Путём свёртки равенств (14) и (16) с rfn, используя формулу
nin(nij ° Cmn)
2cjm n cin9jr
получим ещё два разложения на неприводимые слагаемые:
nt'n^ijmn — ф jm — Ejm b[jm] + Лnjm, n'in(*^tjmn) — Ejm + b[jm] — EVjm.
(17)
Тензор Emn из (15) естественно назвать конформным тензором Эйнштейна , так как его обращение в нуль даёт уравнение Эйнштейна с космологическим членом [1, с. 398]. Роль космологической константы играет скаляр Л — 1 (R — 6b), но только он не является константой. Это функция на 4-многообразии, которая изменяется только при преобразовании перенормировки по закону
Л — 1 л. (18)
Тензор Emn имеет нулевой след: nmnEmn — 0. В голономном представлении он записывается в виде
Еав — Raf3 4 Rgaft Ь(«в) + 2 Ьдав.
2
Здесь левая часть калибровочно-инвариантна, а слагаемые в правой части — нет. Для получения калибровочно-инвариантного выражения запишем равенство (17) в голономном представлении
Еав Фав + Ь[а/3] Лда/3. (19)
Здесь все 4 тензора калибровочно-инвариантны. Симметризуя это равенство, получим другое калибровочно-инвариантное представление тензора Еар:
Еав — 2Ф(ав) — Л9»в, Ф(ав) =f (20)
Уравнения Эйнштейна без космологического члена также можно записать в трёх эквивалентных формах:
Ra/3 6 Rg®e b(a/3), Фав + Ь[а0] 0, Ф(«в) 0 (21)
Свёртывая первое из этих уравнений с дав, убеждаемся, что Л — 0.
187
Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов
При Л = 0 последнее слагаемое в равенстве (19) задаёт на 4-многообразии калибровочно-инвариантную метрику
ds2 = Лщ wlwj = Лдав duadue. (22)
Если мы точку Хо 4-многообразия конформной связности без кручения снабдим множителем VK то получим калибровочно-инвариантный объект у/|Л|Хо, который будем называть материальной точкой. Метрика (22) позволяет составить функционал действия для движения материальной точки
Sm = J |ds| = J /Щ^/|gaeduadue|.
В силу закона преобразования (18) Л можно свести к константе в некоторой окрестности точки хо 4-многообразия путем подходящей перенормировки. Тогда, полагая равной нулю вариацию SSm, придём к известным в общей теории относительности уравнениям движения материальной точки
У|л!
d2ua due du1
_____ _|_ Га__________
ds2 в ds ds
0.
Здесь Г()7 —символы Кристоффеля квадратичной формы дарduadue, а s —
инвариантный параметр. Это позволяет нам трактовать величину Лу/|Л} как массу. Таким образом, масса непосредственно связана с космологическим скаляром. Отсюда следует, что уравнения Эйнштейна с космологическим членом предпочтительнее уравнений Эйнштейна без него, так как при выполнении последних, как мы видели, Л = 0, следовательно, в пространстве-времени нет массы.
Итак, при Л = 0 многообразие конформной связности без кручения является лоренцевым многообразием с дополнительной структурой. Дополнительная структура задается конформным тензором Эйнштейна Еад с нулевым следом, кососимметрическим тензором b[ap], а также внешними формами Фг, которые не образуют геометрического объекта, но из них в дальнейшем будет сконструировано несколько тензоров. Калибровочно-инвариантный тензор Вейля не является самостоятельным объектом, так как выражается через вторые частные производные метрического тензора. Калибровочно-инвариантный тензор еО3 оператора Ходжа также алгебраически выражается через метрический тензор. Формула (17) показывает, что разложение тензора
г]гп(*Ф*^тп) на неприводимые слагаемые не даёт новых неприводимых тензоров второй валентности. Но априори не исключена возможность образования таких тензоров путём разложения на неприводимые слагаемые тензоров Пгп (*Фг-,тп) и ПгпФ jmn. Этот вопрос будет исследован в разделе 3.
2. Вариационный принцип для уравнений Эйнштейна с космологическим членом. Космологический скаляр Л, если он не равен нулю, позволяет сконструировать калибровочно-инвариантную внешнюю 4-форму
0 = Л2шА ш2 Л ш3 Л ш4
Л2 det (Да) du1 Л du2 Л du3 Л du4.
188
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
Отсюда с помощью формулы (12) можно получить неориентированный элемент объёма dV = Л2 y/—§du1du2du3du4. Из законов преобразований (13) и (18) видно, что этот элемент объема калибровочно-инвариантен.
Рассмотрим гравитационный функционал действия
Sg = j Л2^—gdu1du2du3du4.
Интегрирование осуществляется по координатной окрестности данной точки xo многообразия. На границе окрестности никаких ограничений не накладывается. Свёртывая (19) c дав, получим
Л = 1 дав Фае = 8 д“'5 Ф(ав).
Будем варьировать функционал Sg по переменным дав. При этом Ф(ар) есть калибровочно-инвариантный тензор, не зависящий от дав, поэтому
^Ф(«в) = о.
Следовательно,
5 (Л2) =2Л5Л = 1ф(а13)5дав.
Вариация от у/—д вычислена в [16, c. 351], 5у/—д = — ^л/—ддав5дав. Поэтому ^Sg = / 2H1$(ae) — Лд<*р) '/-д$да13 du1du2du3du4.
Так как 10 вариаций 5дав независимы, то при Л = 0 равенство 5Sg = 0 возможно только при
1ф(ав) — Лдав = 0.
Согласно (20), это и есть уравнение Эйнштейна с космологическим членом. Как видим, приведённый вариационный принцип не имеет ничего общего с указанным в [1] вариационным принципом для уравнений Эйнштейна без космологического члена.
3. Разложение на неприводимые слагаемые тензоров и
Мы снова отправляемся от формулы (14). Чтобы иметь возможность вместо 4-валентных тензоров работать с более привычными 2-валентными, применим стандартный приём — использование собирательных индексов:
12 —► 1, 13 —► 2, 14 —► 3, 34 —► 4, 42 —► 5, 23 —► 6.
Тогда любой тензор aijmn, кососимметричный как по первой, так и по второй парам индексов, заменится двухвалентным тензором в 6-мерном векторном
189
Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов
пространстве. Поэтому тензор aijmn может быть задан квадратной матрицей 6-го порядка, которую целесообразно разбить на 4 блока из квадратных
матриц 3-го порядка
X =
X Y
U V )’ где
a1213 a1214 a1234 a1242 a1223
a1313 a1314 1 , Y _ 1 a1334 a1342 a1323
a1413 a1414 a1434 a1442 a1423
и т. д. Для тензора ajmn соответствующая матрица имеет вид
X Y \ ( 0 -E \ _( Y -X
U V \ E 0 \ V —U
(23)
а для тензора *aijmn матрица будет такой:
( 0 E е ( X Y е _ ( U V е
\ -E 0 ) Д U V ) _ ^ -X -Y )■
Здесь E — единичная матрица 3-го порядка. Отсюда следует, что матрицы равнодуального и косодуального тензоров имеют соответственно вид
X
Y
Y
X
и
XY
YX
(24)
Будем применять оператор Ходжа к правой паре индексов каждого слагаемого равенства (14). Тензор Вейля Cijmn равнодуален, поэтому его матрица имеет вид 1-й матрицы (24), причём все алгебраические соотношения между его компонентами сводятся к тому, что матрицы X и Y симметричны и име-(т нулевые следы [1, с. 400]. Формула (23) даёт для тензора C*jmn матрицу
^ ■ Матрицы Y и (—X) по-прежнему симметричны и с нулевыми следами, следовательно, тензор C*jmn обладает всеми алгебраическими свойствами тензора Вейля, в частности
( Y -X
-X -Y
nin C
ijmn
0.
(25)
Второе слагаемое равенства ((4) ^щ о Emn косодуально, поэтому его мат-
p. /0.\ ( M N \ /'l 7^ Л*
рица имеет вид 2-й матрицы (24) I M N I ’ а матрица тензора (2nij ◦ Emn)*
имеет вид
N -M N M
M _-2
J , где , согласно [1, формула (
( En - E22 -E23
I - E32 E11 - E33
-- E42 -E43 E1-1
( 0 E14 - E13
N _ - I -E14 0 E12
2 E13 -E12 0
190
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
Покомпонентные вычисления при выполнении операции свёртывания с тензором пгп приводят к формуле
Пт(1 Vij ° Emn^ = 0.
(26)
вид
Третье слагаемое (14) 2Щ°b[mn] равнодуально, поэтому его матрица имеет U V
V -U
где
0 —b[23] 1 ю 1 / О b[14] со 1
b[23] 0 —b[34] 1 lV = 2 ( — b[14] 0 b[12]
b[24] СО 0 , b[13] -b[12] 0
Следовательно, матрица тензора (2щ ° b[mn])* имеет вид ^ —U — V^J . Отсюда, свёртывая с тензором rf'n, найдём матрицу тензора пгп (2nj ° b[mn])*:
/ 0 b[34] b[42] b[23]
-b[34] 0 -b[14] b[13]
-b[42] b[14] 0 — b[12]
V -b[23] -b[13] b[12] 0
Это можно записать и так:
п ( г) nij ° b[mn] ) * b[jm].
(27)
Осталось 4-е слагаемое равенства (14). Так как матрица тензора п: ° nmn имеет вид 2 ^ ^ , матрица тензора (пг? ° nmn)*, согласно первой форму-
ле (24), имеет вид 2 ^E Е^ , следовательно, матрица тензора (2Лщ ° nmn)* 0 E
(28)
, 1 . ( 0 E
+ эМ E 0
такова: 3Л ( e 0 ) . Свёртывая с nin, получим
Пт( ^Лпг? ° nmn) =0.
Итак, матрица тензора Ф*mn имеет вид
Y —X -X —Y
N —м\ / V —U
+ 1 N M + \ -U -V
Здесь все 4 слагаемых неприводимы. Формулы (25)—(28) приводят к следующему равенству:
nm^ijmn + *b[jm] = 0. (29)
191
Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов
В силу косодуальности тензора 2 Щ ◦ Emn и равнодуальности остальных трёх слагаемых равенства (14) формулы (25)—(28) остаются в силе и при перебрасывании в этих формулах знака * справа налево. Поэтому справедлива формула
Г)т (*Ф ijmn) + *b[jm] = 0. (30)
Таким образом, новых неприводимых двухвалентных тензоров, линейно выражающихся через матрицу конформной кривизны, кроме Лдар, Еар, Ъ[ар] (и, конечно, *Ъ[ав]), не существует. При Ъа/3 — 0 будет Фijmn = Rijmn и формулы (29) и (30) дают два свойства тензора Римана:
ga&R*afil& = 0, да& ((Кад1&) = 0.
4. Тензоры и формы, порожденные внешними 2-формами Ф*. В этом разделе мы будем иметь дело с 3-валентными тензорами. Приведём нужные нам факты о разложении таких тензоров на неприводимые компоненты. Согласно схеме Юнга, произвольный 3-валентный тензор Tijk раскладывается на 4 инвариантных и неприводимых относительно линейной группы GL (4) слагаемых:
Tijk
1
g (T(ijk) T(jik)) , Tijk
3 (Tijk + Tkji - Tjik - Tjki) ,
Tijk
3
g (Tijk + Tjik Tkij Tkji) , Tijk — g (T(ijk) + T(jik)) .
Мы обозначаем T(jk) — Tijk + Tjki + Tkij. Если Tijk — -Tikj, то последний
тензор обращается в нуль, и получим разложение
Tijk = 3T(ijk) + 3 (Tijk + Tkji) + 3 (Tijk + Tjik) .
3
3
(31)
Но если группу GL (4) уменьшить до линейной подгруппы группы инвариантности уравнения щuiuj — 0, последние два слагаемых в (31) уже не будут неприводимыми. В этом случае неприводимые слагаемые будут иметь вид
Tijk — 3 T(ijk), Tijk — 3 ^Tijk + Tkji 3 VijTk 3 VjkTi + 3 VikTjj ,
Tijk — 3 ^Tijk + Tjik 3 VijTk + 3 VjkTi + 3 VikTjj ,
kji 31
2 ^ 1
3 Vij Tk + 35
(32)
Tijk — n (VijTk + VjkTi 2VikTj) , Tijk — n (2VijTk VjkTi VikTj) ,
4 9 5 9
где Tk — nijTijk — 3г)4Tijk — 2nijTijk. При этом pijTijk — 0 при p — 1, 2,3;
45 p
n ^T(ijk) 0 при p 2, 3, 4, 5; T(ijk) T(ijk).
1
p
192
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
Приступим к конструированию калибровочно-инвариантных тензоров. Наша задача состоит в том, чтобы в равенствах (9)
Ф = Фг - Лk(Фк - 5?Ф0) (33)
(5к — символ Кронекера) исключить параметры Л? преобразования нормализации.
I. Самый простой способ — умножить (33) внешне на шг и воспользоваться тождеством Бианки (Фк — 5кФ0) Лшг = 0 [3, формула (18)]. Получим ФгЛшг =
= ФгЛшг. Так как шг не меняется при преобразовании нормализации, Фг Л шг = = Фг Л шг. Это означает, что 3-форма
Ф = Фг Л шг (34)
инвариантна относительно преобразования нормализации. Из законов преобразований шг и Фг, описанных во введении, легко установить, что Ф также
инвариантна относительно преобразований Лоренца и перенормировки. Если положить
Фг = ^Фг^'кЛ шк, Ф = ^jkВ Л В Л шк,
то из (34) получаем инвариантный относительно преобразования нормализации тензор
Фгjk = Ф(гук).
1
Тензор Ф«вл = ВгаBpBкФ{г]к) инвариантен относительно всех калибровочных преобразований. Поскольку он кососимметричен по всем трём индексам, то неприводим. Ковектор пгт * Фгтп имеет своими компонентами величины Ф(г^к), следовательно, их инвариантность равносильна инвариантности относительно преобразования нормализации ковектора г)гт * Фгтп.
II. Запишем равенство (33) в компонентах:
Фгтп = Фгтп — Лк(Фгтп + 5г Ь[тп]). (35)
Свернём эти равенства с пгт. Введя обозначения
__ Лт^ тэ Кгт ^
п — 'I Фгmn, Вп — 'I Фгтп 2 2
и используя разложение (17), получим
Вп = Вп — Лк (пкгЕгп + Л5п). (36)
22
Обозначим
ПкгЕгп +Л5кп d=f Лкп = 2 пкгФ(гп).
2 2
Тогда из (36) получим
Лк = (Вп — Вп){Л-1)пк.
2 2 2 к
193
Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов
Подставим это в (33):
Ф* = ф + (Bn - Bn) (А-1)П(Ф? - S?Фо)
(37)
Учитывая, что матрица АП, а вместе с ней и обратная матрица (А-1)П, инва-
2 2 риантны относительно преобразований нормализации, мы можем переписать равенства (37) в виде
Ф* - Bn(A-1)n(Ф? - S*kФО) = Ф* - Bn(А-1)^Ф? - S*kфО) 2 2 2 2
Это означает, что внешние 2-формы
Ф* d=f Ф* - Bn (А-1 )П(Ф? - S?Ф°)
(38)
инвариантны относительно преобразования нормализации. Отсюда легко получить, что внешние 2-формы Фа = Ф*Вга инвариантны относительно всех
2 2
калибровочных преобразований и преобразуются по ковекторному закону относительно координатных преобразований.
Свёртка компонентной записи равенства (38)
Ф*тп = фгmn - Bp (А ) k (Ф*тп - S* b[nm])
2 2 2
c n*m даёт п*тФ*mn = 0, следовательно, в формулах (32) 4-й и 5-й тензоры 2
равны нулю, поэтому разложение на неприводимые слагаемые имеет вид (31):
Фгjk = 7.Ф (*jk) + X (Фг/к + Фkj*) + X (Ф*jk + Ф j*k).
2 3 2 3 2 2 3 2 2
Вычислим первое слагаемое. Так как (Ф? - SkФ°) Л ш* = 0 [3, формула 18],
из (38) имеем Ф* Л ш* = Ф* Л ш*, что равносильно 2
Ф(У?) = Ф(*7к). (39)
2
Ш. Вместо свёртывания с n*m имеется другой способ исключения параметров Л* преобразования нормализации в равенствах (33), основанный на внешнем умножении. Равенства (33) можно умножить внешне 4-мя способами: на Ф°, ФП, *Ф°, *Ф™ Обозначим
(ф? - s?фО) л фО (ф? - s*kФО) Л ФП (ф? - S*kфО) Л*ф0
а?ш1 Л ш2 Л ш3 Л ш4,
3
АПш1 Л ш2 Л ш3 Л ш4,
4n
А?ш1 Л ш2 Л ш3 Л ш4,
5
ф* Л фО
ф* л ФП
ф* л *ф0
В*ш1 Л ш2 Л ш3 Л ш4,
3
Впш1 Л ш2 Л ш3 Л ш4,
4
= В*ш1 Л ш2 Л ш3 Л ш4,
5
194
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
Ф? - 5?Ф00) Л *ФП = Л w2 Л w3 Л w4, Фг Л *ФП = Б^1 Л w2 Л w3 Л w4.
6
п — J-'n"
6
Тогда теми же рассуждениями, что и в п. II этого раздела, доказывается, что внешние 2-формы
Фг d=f Ф, - Бп{Л-1) П(Ф? - 5?Ф§), p = 3,4, 5,6,
р p
(40)
инвариантны относительно преобразований нормализации, а внешние формы
Фа = Ф'Ба инвариантны относительно всех калибровочных преобразований р р
и преобразуются по ковекторному закону относительно координатных преобразований. Формула (39) остаётся в силе:
^(ijk) =Ф(ijk), p = 3, 4 5 6 (41)
Р
но теперь, записывая (40) в компонентах и свёртывая с nim, имеем
Фimn = Бп - Bj (Л-1)кЛП = 0, Р = 3, 4, 5, 6, (42)
Р 2 p Р ? 2
и поэтому каждый тензор Ф^к имеет в разложении 5 неприводимых слагае-
p
мых вида (32), хотя 1-е слагаемое у них одно и то же— (41). Формулы (42)
дают 4 ковектора пгтФ'тп, инвариантных относительно преобразований нор-
p
мализации. В голономном представлении будем иметь 4 ковектора давФад7,
p
инвариантных относительно всех калибровочных преобразований, кроме перенормировки. Но если Л = 0, то получим 4 калибровочно-инвариантных ковектора Л-1давФад7, p = 3, 4, 5, 6.
p
IV. Применяя оператор Ходжа к внешним 2-формам Фг, p = 2, 3, 4, 5, 6,
p
заданных формулами (38) и (40), получим 5 ковекторов с компонентами из внешних 2-форм:
*Фг
p
def
Ф'
Р+5
*Фг - Бп\
(Л-1)П И -5? *Ф
p
p = 2 3 4 5 6
(43)
инвариантных относительно преобразований нормализации. Переходя к го-лономному представлению Фа = Фг Бга и выписывая компоненты, получим
Р+5 Р+5
новые 5 тензоров валентности три Фад7, инвариантные относительно всех ка-
Р+5
либровочных преобразований. Они все приводимы. Но следует иметь в виду, что неприводимые компоненты пары тензоров Фад7 и Фад7 не имеют ничего
Р Р+5
общего. Например, свёртка компонентной записи (43)
Ф'тп
Р+5
*Фг
- Bj (Л-1)к ((Фктп)* - 5к * b{nm])
195
Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов
с пгт в силу (29) даёт один и тот же ковектор пгт * Фгтп (найденный в п. I), поэтому в разложении на неприводимые компоненты (32) последние два
Р+5
слагаемых одинаковые при p = 2, 3, 4, 5, 6, но первые слагаемые, в отличие от Ф«в y , — разные.
p
Замечание. В специальных случаях некоторые из матриц могут ока-
p
заться вырожденными. Понятно, что в таких случаях конструкция соответствующего ковектора Фг из внешних 2-форм не проходит. Например, если вы-
p
полняются уравнения Эйнштейна (21) Ф(гп) = 0, то матрица Л^ = 2rfkФ(гп)
2
является нулевой, поэтому, вследствие (36), получаем вместо 3-валентного
тензора Фгтп лишь инвариантный относительно преобразования нормали-2
зации ковектор Вп = пгтФгтп. Справедливо и обратное: если ковектор Вп 2 2 инвариантен относительно преобразования нормализации, то выполняются уравнения Эйнштейна. В самом деле, свертывая (35) с пгт, получим
ЛкЯгт{Фкгтп - ^b[nm|) = ЛкAП = 2ЛкП^Ф(гп) = 0.
22
Так как Лк — произвольные функции, приходим к требуемому Ф(гп) = 0. Таким образом, доказано, что в пространстве конформной связности без кручения уравнения Эйнштейна без космологического члена выполняются тогда и только тогда, когда ковектор Вп = пгтФгтп является инвариантным
2
относительно преобразования нормализации.
Эта характеризация конформных многообразий Эйнштейна [1, с. 394] позволяет классифицировать их по типу ковектора Вп на времениподобные, про-
2
странственноподобные, светоподобные и изотропные (когда ковектор Вп ну-
2
левой). Хотя конформные многообразия Янга—Миллса [3, с. 437] автоматически являются конформными многообразиями Эйнштейна, эта классификация для них бесполезна, так как они всегда изотропны. Это объясняется тем, что компонентны тензора пгтФгтп (с точностью до знака и порядка) такие же, как компоненты внешней 3-формы *Фг Л шг, которая в конформном многообразии Янга—Миллса равна нулю [2, с. 440].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ/ REFERENCES
1. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Уравнения Эйнштейна на четырехмерном многообразии конформной связности без кручения” // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2012. Т. 5, №3. С. 393-408. [L. N. Krivonosov, V. A. Luk’yanov, “Einstein’s equations on a 4-manifold of conformal torsion-free connection”, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2012, vol. 5, no. 3, pp. 393-408 (In Russian)].
2. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна”// Изв. вузов. Матем., 2009. №9. С. 69-74; L. N. Krivonosov, V. A. Luk’yanov, “The relationship between the Einstein and Yang-Mills equations”, Russian Math. (Iz. VUZ), 2009, vol. 53, no. 9, pp. 62-66 doi: 10.3103/S1066369X09090072.
3. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла”// Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2009. Т. 2, №4. С. 432-448.
196
Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности ...
[L. N. Krivonosov, V. A. Luk’yanov, “Connection of Young-Mills Equations with Einstein and Maxwell’s Equations”, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2009, vol. 2, no. 4, pp. 432-448 (In Russian)].
4. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики”// Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2011. Т. 4, №3. С. 350-362. [L. N. Krivonosov, V. A. Luk’yanov, “The full decision of Young-Mills equations for the central-symmetric metrics”, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2011, vol. 4, no. 3, pp. 350-362 (In Russian)].
5. L. N. Krivonosov, V. A. Luk’yanov, “Purely time-dependent solutions to the Yang-Mills equations on a 4-dimensional manifold with conformal torsion-free connection”, J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2013, vol. 6, no. 1, pp. 40-52.
6. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Решение уравнений Янга-Миллса для центральносимметрической метрики при наличии электромагнитного поля” // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия, 2013. №3. С. 54-63. [L. N. Krivonosov, V. A. Luk’yanov, “Solution of Yang-Mills equations for central-cymmenric metric in the presence of electromagnetic field”, Prostranstvo, vremya i fundamental’nyye vzaimo-deystviya, 2013, no. 3, pp. 54-63 (In Russian)].
7. Э. Картан, Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань: Изд-во Казанского университета, 1962. 210 с. [E. Kartan, Prostranstva affinnoy, proektivnoy i konformnoy svyaznosti [Space of affine, projective and conformal connection], Kazan, Kazan University Publ., 1962, 210 pp. (In Russian)]
8. M. Korzynski, J. Lewandowski, “The normal conformal Cartan connection and the Bach tensor”, Class. Quantum Grav., 2003, vol. 20, no. 16, 3745, arXiv: gr-qc/0301096 doi: 10. 1088/0264-9381/20/16/314.
9. С. А. Меркулов, “Твисторная связность и конформная гравитация” // ТМФ, 1984. Т. 60, №2. С. 311-316; S. A. Merkulov, “Twistor connection and conformal gravitation”, Theoret. and Math. Phys., 1984, vol. 60, no. 2, pp. 842-845 doi: 10.1007/BF01018984.
10. S. A. Merkulov, “A conformally invariant theory of gravitation and electromagnetism”, Class. Quantum Grav., 1984, vol. 1, no. 4, 349 doi: 10.1088/0264-9381/1/4/007.
11. C. Kozameh, E. T. Newman, P. Nurowski, “Conformal Einstein equations and Cartan conformal connection”, Class. Quantum Grav., 2003, vol. 20, no. 14, 3029, arXiv: gr-qc/0302080 doi: 10.1088/0264-9381/20/14/305.
12. E. Gallo, C. Kozameh, E. T. Newman, K. Perkins, “Cartan normal conformal connections from pairs of second-order PDEs”, Class. Quantum Grav., 2004, vol. 21, no. 17, 4063, arXiv: gr-qc/0404072 doi: 10.1088/0264-9381/21/17/004.
13. K. Perkins, The Cartan-Weyl Conformal Geometry of a Pair of Second-OrderPartial-Differential Equations, Doctoral Dissertation, University of Pittsburgh, 2006, http:// d-scholarship.pitt.edu/8445/.
14. A. P. Trunev, “Quark dynamics in atomic nuclei and quark shells” // Scientific Journal of KubSAU, 2013. №86(02), 59. 27 с., http://ej.kubagro.ru/2013/02/pdf/59.pdf
15. A. P. Trunev, “Cosmology of inhomogeneous rotating universe and reality show”, Scientific Journal of KubSA U, 2014, no. 95(01), 28, 30 pp., http://ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/28. pdf.
16. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля/ Теоретическая физика. Т. 2. М.: Наука, 1973. 504 с. [L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Teoriya polya [Field Theory], Teoreticheskaya fizika [Theoretical Physics], vol. 2, Moscow, Nauka, 1973, 504 pp. (In Russian)]
Поступила в редакцию 10/XII/2013; в окончательном варианте — 21/II/2014; принята в печать — 21/II/2014.
197
L. N. Krivonosov, V. A. Luk’yanov
MSC: 53C07, 81T13; 51B20, 83C05, 53Z05
GAUGE-INVARIANT TENSORS OF 4-MANIFOLD WITH CONFORMAL TORSION-FREE CONNECTION AND THEIR APPLICATIONS FOR MODELING OF SPACE-TIME
L. N. Krivonosov1, V. A. Luk’yanov2
1 Nizhny Novgorod State Technical University,
24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation.
2 Zavolzhskij Branch of Nizhny Novgorod State Technical University,
1a, Pavlovskogo st., Zavolzh’e, Nizhegorodskaya obl., 606520, Russian Federation.
We calculated basic gauge-invariant tensors algebraically expressed through the matrix of conformal curvature. In particular, decomposition of the main tensor into gauge-invariant irreducible summands consists of 4 terms, one of which is determined by only one scalar. First, this scalar enters the Einstein’s equations with cosmological term as a cosmological scalar. Second, metric being multiplied by this scalar becomes gauge invariant. Third, the geometric point, which is not gauge-invariant, after multiplying by the square root of this scalar becomes gauge-invariant object — a material point. Fourth, the equations of motion of the material point are exactly the same as in the general relativity, which allows us to identify the square root of this scalar with mass. Thus, we obtained an unexpected result: the cosmological scalar coincides with the square of the mass. Fifth, the cosmological scalar allows us to introduce the gauge-invariant 4-measure on the manifold. Using this measure, we introduce a new variational principle for the Einstein equations with cosmological term. The matrix of conformal curvature except the components of the main tensor contains other components. We found all basic gauge-invariant tensors, expressed in terms of these components. They are 1- or 3-valent. Einstein’s equations are equivalent to the gauge invariance of one of these covectors. Therefore the conformal connection manifold,, where Einstein’s equations are satisfied, can be divided into 4 types according to the type of this covector: timelike, spacelike, light-like or zero.
Keywords: conformal connection, gauge group, Einstein’s equations, cosmological term.
Received 10/XII/2013;
received in revised form 21/II/2014;
accepted 21/II/2014.
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1291 © 2014 Samara State Technical University.
Citation: L. N. Krivonosov, V. A. Luk’yanov, “Gauge-invariant Tensors of 4-Manifold with Conformal Torsion-free Connection and their Applications for Modeling of Space-time”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 2(35), pp. 180-198. doi: 10.14498/vsgtu1291. (In Russian)
Authors Details: Leonid N. Krivonosov (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics. Vyacheslav A. Luk’yanov, Senior Lecturer, Dept. of Computer Science and General Disciplines.
E-mail addresses: [email protected] (L.N. Krivonosov, Corresponding author), [email protected] (V.A. Luk’yanov)
