CC BY
24
Вычислительные технологии Том 11, часть 1, Специальный выпуск, 2006
О НЕКОТОРЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ
МОДЕЛЕЙ ЭКМАНОВСКОГО ТИПА ОДНОСЛОЙНОЙ И ДВУХСЛОЙНОЙ жидкости
Л. А. Компаниец Институт вычислительного моделирования СО РАН,
Красноярск, Россия e-mail: [email protected]
Solutions of the 3D Ekman's type model for a stationary wind current in one- and two-layer fluid are found. For the two-layer fluid density and turbulent exchange coefficients are discontinuous at the surface between the layers. Obtained solutions could be useful as a test for computational algorithms.
1. Случай ветрового движения однородной жидкости
Рассмотрим случай ветрового движения однородной жидкости, при этом будем считать, что выполняется приближение гидростатики, нелинейными членами и горизонтальным турбулентным обменом можно пренебречь [1]:
дг] ^ К^11 ^дх дг2'
(1)
д^ Т.д2у
д— + 1и = К——.
ду дг2
Уравнение неразрывности имеет вид
ди ^ ду ^ дь) ^ дх ду дг
Здесь х, у, г — прямоугольная система координат, ось х направлена па восток, ось у — на север, ось г — вертикально в верх; (и, V, ю) — вектор скорости те чения, и = и(х, у, г), V = v(x, у, г), ю = ю(х, у, г); п = п(х, у, г) — возвышение свободной поверхности; К — постоянный коэффициент вертикального турбулентного обмена для скорости; I — параметр Кориолиса; д — ускорение свободного падения; плотность р постоянная.
Граничные условия по вертикали для горизонтальных составляющих скорости таковы:
^ ди pKTz
= TW, рк^
'х > о
z=0
У
z=0
TW. (3)
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.
На дне ставится условие проскальзывания Кгди/дг = кьи, Кгду/дг = кьу, кь — коэффициент придонного трения.
Отметим, что кь = го соответствует случаю прилипания и|^=_н = 0 у| _н = 0, а кь = 0 — проскальзыванию без трения.
Для вертикальной компоненты скорости на поверхности имеем
4=0 = 0, (4)
а на дне
\ дН дН
Ч=-я = " « (5)
Отметим, что в случае условий прилипания = 0,
Стенки бассейна считаются вертикальными, и на границе бассейна ставится условие равенства нулю нормальной составляющей полного потока.
Интегрируя уравнение (2) от дна до свободной поверхности с учетом граничных условий (4), (5), получаем уравнение
о о
дд
—— иаг + — V аг = 0. (6)
дх } ду У
_н _н
В системе уравнений (1), (2), (6) уравнения (1), (6) можно рассматривать независимо от уравнения (2),
Введем обозначения
дг]дг] .дг] гддг]
\¥ = и + гу, т- = т-+гт~, Ь =— — дп дх ду 1 дп
и запишем уравнения и граничные условия для горизонтальных составляющих скорости в комплексном виде:
К
К
дШ
дг дШ
1 ЪТу
дг
х=0
г=_Н
(8)
кьШ.
Общее решение уравнения (7) имеет вид
И
IV = Вхеаг + В2е~аг + 5, а=\/ —
К
коэффициенты В\ и В2 определяются в зависимости от граничных условий,
ху
для уравнения (7) получено в 1905 году [2] для бассейна бесконечной глубины.
Р
Аналитическое решение для бассейна конечной глубины с условием прилипания на дне выписано в работе [3]:
w= 1 smh(a(H + z)) tw /cosh (az) \ s л/ilK cosh (aH) p \cosh (аЯ) J
Первое слагаемое отвечает случаю дрейфового течения Vn = 0, второе — описывает течение, обязанное градиентам уровня (геострофическое течение). Учет условий проскальзывания на дне приводит к формуле [4]
kb
cosh (a(z + Н)) Н--sinh (a(z + Н)) w
W = u + iv =---. , , К®---—---
Ka sinh (aH) + kb cosh (aH) p
kb cosh (az) _ Л s
K a sinh (aH) + kb cosh (aH)
При kb = го это решение совпадает с решением (10),
Уравнение для функции тока Ф, позволяющее найти параметр дп/дп, получается стандартным образом [3] после выделения в (11) действительной и мнимой частей,
В силу выполнения условия (6) можно ввести функцию тока в соответствии с формулами
0 0 0 0 дФ f [ дФ [ Г
-т— = / udz = Ее / Wdz, — -7— = / vdz = Im / Wdz.
ду J J дх J J
—H —H —H —H
В самом деле, из формулы (11) следует, что горизонтальные скорости линейны относительно величин S и тw, поэтому после интегрирования (11) от дна до поверхности получаем
0
[ Wdz = Dl ~ °2 - -(Die~ah - D2eah) + HS = jS + Ftw, aa
—H
где 7 и F — некоторые комплексные числа. Следовательно, ( 0
^ = [ udz = Ее7^ - ? Im7^ + Re(Frw), ду J l ду l дх
—H
0
= [ vdz = f Ee7|^ - f Im7^ + Im(iV). дх l дх l ду
—H
(12)
Чтобы получить уравнение для функции Ф, продифференцируем первое уравнение ух
д2 Ф д2 Ф о (д2п д2п\ дКе^т™) д1т ^т™) . . + = + +----51-• (13)
дх2 ду2 1 \дх2 ду2) ду дх
В уравнение (13) входит неизвестная величина д2п/дх2 + д2п/ду2. Чтобы исключить
ху
найдем сумму этих уравнений:
где F(tw) = д/дх (Re(Frw)) + д/ду (Im(Frw)).
Подставляя полученное выражение в уравнение (13), полностью доопределяем уравнение (13). На границе бассейна G ставятся стандартные [3] в таких случаях условия Фс = 0. Уравнение для функции тока решается (как правило, численно) в области, ограниченной береговой линией. После нахождения функции Ф величины дп/дх, дп/ду находятся из системы уравнений (12), а скорости течения определяются по формулам (9). В одном частном случае уравнение (13) имеет точное решение.
Рассмотрим движение жидкости в круговом цилиндре радиуса R с ровным дном под действием ветра, задаваемого формулой
rx/P = -у, ry/Р = х (14)
Тогда F(rw) является константой, а задача
д2Ф д2Ф
——■ + ——■ = F(rw)
дх2 ду2
в круге радиуса R с граничным уеловием Фс = 0 имеет решение Например, если на дне ставится условие прилипания, то
2 ( F
d = п
2 К
E =
H , H 2 sh17t— smh7r — _a_a
Н , Н cos 27г— + cosh 27г— dd
HH sm 27Г— — smh 27Г— __a_
Н Н , Я' 27Г— cos 27г—+ cosh 27Г — d d d
C
1
D
HH
2 cos7t— cosh7t — _a_
Н , Н
cos In—- + cosh27r— dd
- 1,
F=
1
HH sm 27Г— + smh 27Г— __a_
H H , H 2tv— cos 2tv— + cosh 2tv— d d d
+ 1.
2. Случай двухслойной жидкости
Считается, что перенос массы через границу раздела плотности отсутствует. Это соответствует случаям, когда граница раздела находится ниже слоя ветрового перемешивания либо разность плотностей в верхнем и нижнем слое достаточно велика.
Выпишем уравнения, описывающие стационарные течения в верхнем и нижнем слоях в бассейне постоянной глубины в соответствии с [5-7]:
' J I , ¿V
к1
,д 2 и1
дг2
1
lu1 + g
дп
ду
к
д2
i
-Iv11 + g ( 1 -
lu11
дг2 ' pi ^ q^ii
IT
P
+ g 1 -
P
дх дп11
+ g
+ g
p1 дп1
Pii дх
p1 дп1
к
ii
pii ду pii ду
к
ii
дг2 d2vH дг2
(15)
(16)
(17)
(18)
Здесь индекс "/" относится к верхнему, а индекс "17" — к нижнему слою жидкости; К1 и К11 — постоянные коэффициенты вертикального турбулентного обмена в верхнем и нижнем слоях соответственно; г/1 и П11 — отклонения поверхности жидкости и границы раздела слоев от их равновесных положений г = 0и г = — К соответственно; р1 и р11 — постоянные плотности воды; Н — постоянная глубина водоема. Граничные условия для первого слоя имеют вид
.I Т/1
р1 К
ди1
дг
I Т/1
= т:, р1 к
ду1
*=0
р1 К1
ди1
дг
= К12 (и1 — и11), р1 К1
дг ду1
ту
у '
*=-Ь
дг
*=0
*=-Ь
= К 12 (у1 — V11)
(19)
(20)
Граничные условия для второго слоя:
р11 К11 р11 К11
ди11
дг ди11
р1 К1
ди1
*=-Ь
дг
р1 К1
дг ду1
= К12 (и1 — и11)
*=-Ь
*=-Ь
дг
*=-Ь
и
111
\г=-И
= 0, V
111
\г=-И
К 12(у1 — V11);
0.
(21)
(22)
К12
Уравнения неразрывности для первого и второго слоев имеют соответственно вид
о о
дд
— / иЧг + — / ьЧг = 0; (23)
дх } ду У
-ь -ь
д_
ду
-ь
и11 йг +
-н
д_
ду
-ь
V11 йг = 0.
(24)
-н
Для упрощения вычислений запишем систему уравнений (15)—(18) в комплексной форме, Введем обозначения:
W1 = и1 + ги1, Шп = и11 + гу
11
п дг] дг] ^ .дг] дг] дг] ^ .дг]
11
дп дх ду ' дп дх ду Тогда общее решение системы уравнений (15)—(18) можно представить в виде
W1
Б1еа1 * + Б2е-а1 * +
W11 = П3еа2 * + П4е~
гд дг/1
I дп '
р1 дг]1
гд
+ т
р11 дп
+ 1-^Т7
11
дг/
11
дп
(25)
(26)
Здесь «1 = у/й/К1, а2 = л/И/К11. Введем обозначения:
А = р1 К1 аъ в2 = р11 К11 а.2 _1ддП1 _гд г р1 дп1
р
р дг] / р ^ дг]
+ V 71
11
дп
:
1
Граничные условия (19), (20) примут вид
( - в2) = т™, р1(В1е_а1к - В2еа1 н) = К12 [Б1е_а1Ь + В2еа1к + £ - Вз,е_а2к - В4еа2к - £2]
в2(Язе_а2Л - ^4е°2Л) = в1(^1е_а1 Л - В2еа1 к), к Пзе_а2Н - ВАеа2н + £ = 0.
(27)
Выпишем решение системы (27), считая, что и Б2 — параметры: р2Б2еа2(Н_к) + т ™ е_аф + р2В4(еа2 (2Н_к) + еа2 Л)
А = тг + Яг,
й
А
в 12 втЬ^^)
Яз = -Д^
2а2Н
£2 е
«2 Н
т ™ е_а1 Ь—К12
В4
е-а1Л-Ъ8,2еа2(н-Л) е^-^+^е-^^г+К12 со^ацК))
в1
К12(еа2(2Н-И) _ еа2Л) + Ы^Н-Н) + + ^/2 соЛ^Л,))
Легко заметить, что коэффициенты В1,В2,В3 и Я4 представляют собой линейные функции от £1, £2 и т
Для нахождения величин £1 и Б2 воспользуемся соотношениями (25) и (26):
о
[ ШЧг = 1)1-1)2 - _ В2еаф) + ИБг = 71 ^ + + ^т™
] «1 «1 _н
Аналогично для второго слоя:
_Н
Шпйг=—(В3е-аф-В4еаф)-—(В3е-а1Н - В4еа1Н)+(Н - ВД^^г^+^т«,. «2 «2
В силу выполнения условия неразрывности (23) можно ввести функцию тока для верхнего слоя в соответствии с формулами
(П'1
ду
и1 ¿г = Ее / Ш1 ¿г, -
(П'1
дх
_ь,
_ь,
о о
: J V1 ¿г = 1т J Ш1 ¿г,
что приводит к соотношениям
( о
^= (иЫг = -9-КеЪд4- - 911шЪд4- - Я1Ш51 ду ] 1 ду 1 дх 1
1 / дп11'
— у1т^
д Ф1
Р дГ + (1_ Р
р11 дх
Р
III
дх
+ Ее(^\т ™) дп1
дх
_ь,
1 дх 1 ду 1
р1 дп1 р11 ду
р1 дп1
Ь 1-^77
р1 \ дп
Р
и
р11 дх
И1-
р
,11
— у1т$1
р дг]Л + ( 1 _
р11 ду
р
л
дп
и
ду
+ 1т(*\ т ™).
и
ду
р1 \ дп
п
дх
о
о
о
Чтобы получить уравнение для функции Ф1, продифференцируем первое уравнение ух
д2Ф1 д2Ф1
+
дх2
+ 1-
р
ду2 1
— уЕе71
д2 г]1 д2 г]1
р
11
11
д2г] дх2
+
дх2 д2г]п ду2
+
ду2 ду
— уЕе^1
д2 п1 д2 г]1^
11 ^ дх2 ду2
Шт^т™) дх
(29)
Аналогично для второго слоя в силу (24) имеем
дФ
11
ду
-ь
и11 бЬ = — ^Неу!^--7111172^-
I ду I дх
— уЕе$2
-у1п1#2 д Ф11
р1 д]1 р11 дх
+
1-1-
р"
д]
11
дх
+ Ее(^т :),
дх
-у1т#2
-ь
д дп]1 д дп]1 д
V11 = --—1ш72--Ь тЕе£2
I дх I ду I
р1 д]1
р11 ду
р1 д]1
р
11
дх
р1 д]1 р11 ду
+ 1-
р1 \ д]
р
11
11
ду
+ 1т(^2 Т : ),
Ь 1-
11
р"
д]
11
ду
д]
дх
11
(30)
что позволяет получить уравнение для функции тока во втором слое:
Л /д 2 г]1
д2 ф11 д2 ф11
+
дх2
+ 1-^77
ду2 1 д2]11
дт-> ( д2 ]1 д2 ]1
—Ее72 I--1--
I \ дх2 ду2
— уЕе$2
Р_
Г.П
р
11
дх2
+
д2]
11
ду2
+
р11 \ дх2 дЕе(^т:) д1т )
+
д2]1 ду2
ду
дх
+
(31)
В уравнения (29), (31) входят неизвестные величины
[ д2г] \ дх2
I д2ц1
ду
р1 / р11 \ дх2 ду
1 д2]г
+ I +
1 ——
Рп
д2г]п д2г]п
дх2
ду2
х
у
(32) второе
-у1п171
д2цг д2цг
ду2 ду2 р1 д2]11 д2]11
— у 1т
д2 ]1 д2 11 ^ дх2 ду2
дх2
+
ду2
+ Р1 (т:) = 0,
(33)
где А(т:) = д/дх (Ее(£\т:)) + д/ду (1т(£\т:)).
х
и найдя сумму этих уравнений, получим
у
-у1ту2
д2цг д2цг
+
дх2 ду2
1 д2]11 д2]11
- у1т$2
р1 /
рп \ дх2 ду2
+
дх2
+
ду
2
+ Р2 (т:) =0,
(34)
0
1
р
0
где Р2(тш) = д/дх (Ке(^2т'ш)) + д/ду (1т(^2тад)), Решив систему линейных уравнений (33), (34), находим выражения
как функции от напряжения ветра. Подставив (35) в уравнения (29) и (31), полностью определяем правые части уравнений Пуассона для функций тока в первом и втором слоях. На границе бассейна О ставятся уеловия = 0 и Ф^ = 0, После нахождения функций ф7 и Ф77 величины дт]1 /дх, дт]1 /ду, дт/11 /дх и дт/11 /ду находятся из системы уравнений (28), (30), а скорости течения определяются по формулам (25) и (26),
Легко показать, что в случае движения жидкости в цилиндрическом бассейне постоянной глубины под действием ветра, заданного формулой (14), решение может быть выписано в явном виде.
[1] Кочергин В.П. Теория и методы расчета океанических течений. М.: Наука, 1978. 127 с.
[2] Ekman V.W. On the influence of the Earth rotation on ocean currents // Arkiv Mat., Astron., Fysik. 1905. Bd. 2, N 11. P. 1-52.
[3] Welander P. Wind action on a shallow sea: some generalisations of Ekman's theory // Tellus. 1957. Vol. 9. P. 45-52.
[4] Гаврил ob а Л.В., Гапеева T.B., Компаниец Л. А. Обобщение решения уравнений типа Экмана на случай переменного коэффициента турбулентного обмена // XII Междунар. конф. "Математика. Компьютер. Образование". Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. Т. 12, ч. 2. С. 660-666.
[5] Welander P. Wind-driven circulation in one- and two-layer oceans of variable depth // Tellus XX. 1968. Vol. 1. P. 1-16.
[6] Добровольская 3.H., Епихов Г.П., Корявов П.П., Моисеев Н.Н. Математические модели для расчета динамики и качества сложных водных систем // Водные ресурсы. 1981. № 3. С. 33-51.
[7] Гапеева Т.В., Гуревич К.Ю., Компаниец Л.А. Аналитическое решение одной задачи движения двухслойной жидкости (3-D случай) // Вест. КрасГУ. 2006 (в печати).
(35)
Список литературы
Поступила в редакцию 4 апреля 2006 г.
