Сравнительный анализ двух моделей движения двухслойной жидкости в приближении Экмана Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5

Сравнительный анализ двух моделей движения двухслойной жидкости в приближении Экмана

Лидия А.Компаниец* Татьяна В.ЯкубайлиК Кирилл Ю.Гуревич*

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, 660036, Красноярск, Россия

Людмила В.Гаврилова§

Институт градостроительства, управления и региональной экономики,

Сибирский федеральный университет,

пр. Свободный 82, Красноярск, 660041, Россия

Екатерина А.Кирилюк^

Институт математики, Сибирский федеральный университет,

пр. Свободный 79, Красноярск, 660041, Россия

Получена 11.02.2008, окончательный вариант 11.03.2008, принята к печати 10.04.2008 Рассматриваются две модели экмановского типа для стационарного ветрового движения двухслойной жидкости, при этом верхний и нижний слои однородны, но имеют разные плотности. Для них найдены аналитические решения в двумерном и трехмерном случаях. В случае 2D считается, что дно неровное, а коэффициенты турбулентного обмена в верхнем и нижнем слоях зависят от глубины. В случае 3D считается, что дно ровное и коэффициенты турбулентного обмена постоянны в каждом слое. Найденные решения могут применяться для оценки положения линии 'раздела двух слоёв и в качестве тестов при отладке программ расчёта течений двухслойной жидкости.

Ключевые слова: аналитическое решение, стационарное ветровое течение, приближение Эк-мана, двухслойная жидкость.

Данная работа продолжает исследования, изложенные в [1], в которой для одной модели экмановского типа стационарного ветрового движения жидкости [2, 3] было найдено аналитическое решение. При этом на линии раздела между слоями ставилось условие проскальзывания.

Теперь исследована модель двухслойной жидкости [4], в которой между слоями ставится условие равенства скоростей и напряжения трения. Сравнивают аналитические решения для этих двух моделей.

* e-mail: [email protected] te-mail: [email protected] ^e-mail: [email protected] §e-mail: [email protected] ^e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Известно, что модели экмановского типа для однородной жидкости весьма хорошо описывают изменение по глубине водоема скорости ветрового течения под действием силы Кориолиса в точках акватории, достаточно удаленных от берега [4, 5, 6, 7]. Результатов как теоретических, так и практических для двухслойной жидкости гораздо меньше (усредненные по глубине уравнения двухслойной жидкости рассматривались в статье [8], в статье [9] проводились расчеты по модели, где в верхнем слое скорости считались усредненными по глубине, а в нижнем слое зависели от глубины).

Итак, рассмотрим уравнение стационарного движения двухслойной жидкости в 2-Б и 3-Б случаях.

2-О случай. Предположим, что: а) верхний и нижний слои однородны, но имеют разные плотности; б) коэффициенты вертикального турбулентного обмена зависят от глубины; в) отклонение свободной поверхности от равновесного положения мало и влияние ветра можно рассматривать на невозмущенной поверхности [10]; г) на дне ставятся условия проскальзывания, а для вертикальной составляющей вектора скорости принимается условие т11 \г=_н = —идН/дх.

Тогда для двумерного в вертикальной плоскости движения уравнения, описывающие в линейном приближении стационарные течения в верхнем слое водоема, имеют вид

(1)

0

0

(2)

К

с граничными условиями на поверхности и между слоями

(3)

(4)

В нижнем слое

(5)

К

(6)

н

а граничные условия между слоями и на дне таковы:

(7)

кьп11.

(8)

На боковых границах для обоих слоев ставится условие равенства нулю полного потока. Индексы «I» относятся к верхнему, а «II» —к нижнему слою жидкости; и = и(ж, г), т = ад(ж, г) —компоненты вектора скорости течения; д — ускорение свободного падения; £1 = £1 (ж) и £11 = £11 (ж) —отклонение поверхности жидкости и линии раздела слоев от их равновесных положений z = 0 и z = — к соответственно; тш(ж) —напряжение трения ветра; р1 и р11 — постоянные плотности воды; К^(ж, г) и К^1 (ж, г) —заранее известные коэффициенты вертикального турбулентного обмена; К1,2 —коэффициент трения между слоями; кь —коэффициент придонного трения; Н(ж) —глубина водоема. Ось z направлена вертикально вверх. Условия (4) и (7) задают закон зависимости трения между слоями от разности скоростей выше и ниже линии раздела слоев. Назовем данную модель моделью 1.

Если между слоями ставится условие равенства скоростей и напряжения трения [4], то в соотношениях (2) - (8) формулы (4), (7) переходят в

р1 К —

Р 2 дг

= р11кIі

дм11

2_ —Н

.III

2_ —Н

= —Н

= —Н

(9)

Видоизмененную систему уравнений назовем моделью 2. Легко видеть, что модель 2 является предельным случаем модели 1 при К1,2 ^ то.

Проинтегрируем уравнения (1) и (5) по

Кі (ж,г)

дм1 (ж, г)

дг

= Ф1Д(ж)г + Фм(ж), Кі1 (ж, г)

дм11 (ж, г)

дг

= Ф2,1(ж)г + ф2,2 (ж).

Тогда

м1(ж,г) =

— Н

ф1,1(ж)п + Ф1,2(ж) Кі (ж,П)

^П + Ф1,3(ж),

(10)

I

2

11* \ [ Ф2,1(ж)п + Ф2,2(ж) 23

м (ж,г)=У ----------К"(ж,п)-------^ + ф’(ж). (11)

— Н 2

1,3,

В частности, ^(ж, г)| _ , = Ф1,3(ж)

Н

-Н

П/ Л\ I ф2,1(ж)п + Ф2,2(жК 23

“ (ж'г)|»_—Н = I —Кр(жп— + ф,(ж)

с1(ж)Ф2,1(ж) + с2(ж)Ф2,2(ж) + Ф2,3(ж),

где

С1(ж)

—Н —Н

■/крЬй *'• С2 (ж)=/

—Н —Н

К"(ж, п)

^п.

1

Подставляя найденные u1 (x, z) и u11 (x, z) в равенства (2) - (6) и вводя обозначения

0 z 0 z

(„И = | ,hj *), №) = / dz / dn

— h — h — h —h

— h z —h z

“2(x) = /dz / кИкп)dn b2(x) = /dz / к?кп)d"-

— H — H — H —H

получим уравнения

a1(x)^1,1(x) + 61(x)^1,2(x) + h^1,3(x) = 0, (12)

а2(х)Ф2,1(х) + 62(х)Ф2’2(х) + (H — к)Ф2,3(х) = 0. (13)

Граничные условия на поверхности, между слоями и на дне запишем в виде

р1 Ф1’2(х)= тw (x), (14)

р1 (ф1’1(х)(—h) + Ф1,2(х)) =

= K1,2 (Ф1,3(х) — е1(х)Ф2,1(х) — е2(х)Ф2,2(х) — Ф2,3(х)) , (15)

р11 (Ф2’1(х)(—h) +Ф2’2(х)) =

= K1,2 (Ф1,3(x) — е1(х)Ф2,1(х) — с2(х)Ф2,2(х) — Ф2,3(х)) , (16)

р11 (—^2-1(x)H + ^2’2(x)) = kb^2’3(x). (17)

Итак, (12) - (17) представляют собой линейную систему шести уравнений относительно шести неизвестных и позволяют найти решение уравнений (1), (2), (5), (6),

которое удовлетворяет граничным условиям (3), (4), (7), (8).

В модели 2

a1(x)^1,1(x) + b1 (x)^1,2(x) + h^1,3(x) = 0, (18)

a2(x)^2,1(x) + b2 (x)^2,2(x) + (H — h)^2,3(x) = 0. (19)

р1 ^1’2(x)= тw (x), (20)

р1 (^1,1(x)( —h) + Ф1,2(x)) = р11 (^2,1(x)(—h) + Ф2,2(x)) , (21)

^1,3(x) = (H — h)2 • KLФ2,1^) + ^Ф2,2И + Ф2’3И, (22)

р11 (—Ф^фН + Ф2’2^)) = kb Ф2,3 (x). (23)

Рассмотрим модель 1, Kf = const, Kf1 = const. Распределение скорости по глубине в первом и втором слоях задается полиномами

u1 (xz) = рК1 (уc1(x) + zc2(x) + c3(x)), (24)

рII К" V 2

2

Тогда С =1 и имеем систему уравнений с пятью неизвестными, решение которой определит необходимые коэффициенты:

к I / к //\ г.

— “6 С1(ж) + "2 С2(ж) — С3(ж)к = 0

— к3 + Н3 гг,, к2 — Н2 гг/ч гг / \ / Г1-х

-С1 (ж)+------~---С2 (ж) + Сз (ж) ( к + Н) = 0,

6 1 ^ 2

—Я - ТЩ!Т") С"<ж> + (1 + рРК" Я) С"(ж) — РИК^С"(ж) = °

— ^с{ (ж) + кС^ (ж) — c2I (ж) = -1,

, К1-2 к2) ^ К1,2 ^ К1-2 к2 „ К1-2 „

к+тйт) Сі(ж) + рщ'*(ж) — рикртС> (ж) + рпк^2(ж)к—

К1,2 К1,2

IIС3^ (ж) = 1 + к.

2

р" К" 3 рI К.

Для модели 2 получаем следующую систему уравнений:

к I / \ к I / \ I, .

--6"С1(ж) + у С2 (ж) — С3(ж)к = °,

тш(ж) /—к3 + Я3 „ к2 — Я2 „ ^

(ж) + ------о-С2 (ж) + С3 (ж)( —к + Я) = °

р" К" V 6 1 2

—Я — т-)С"(ж) + I1 + Я)С-I (ж) — c3I (ж) = °

— кс{ (ж) + кС^ (ж) — c2I (ж) = —1,

1 / к2 ) 1 / к2

' -с((ж) — кС2(ж) + с3(ж) = -Л^Л ^c^I(ж) — к^(ж) + Сз3I(ж)

Примеры расчетов для модельного водоема, сравнение с результатами [2], [3], оценка положения свободной поверхности и линии раздела слоёв для модели 1 приведены в работе [11]. Рис. 1-2 иллюстрируют сходимость решения модели 1 к решению, полученному по модели 2. Расчеты проводили при следующих параметрах: глубина верхнего слоя к =15 м, глубина водоема Я = 28 м. Для параметризации ветрового воздействия была взята формула

д?/

= тш (ж) = 0раад|ад|,

рК2 ИТТ

0

Рис. 1. Распределение скоростей по глубине при (а) К1,2 = 0, 0026 кг/(м2с) и (б) К1,2 = 0, 26 кг/(м2с)

где в = 0, 0026, ра = 1, 225 кг/м3 — плотность воздуха, и> = 5 м/с — скорость ветра.

Рис. 2. Распределение скоростей по глубине (а) K1,2 = 260 кг/(м2с), модель 1, (б) модель 2

Плотности в нижнем и верхнем слоях жидкости рассчитывали из уравнения состояния пресной воды

р(Т) = ро(1 — 0, 68 • 10—6(T — 4)2).

Температура верхнего слоя 15 °С, а нижнего — 5 °С, при этом р1 = 999, 91772 кг/м3, р11 = 999, 99932 кг/м3. Коэффициенты турбулентного обмена К^ = 0, 02 м2 /с, KfJ =

0,002 м2/с, коэффициент придонного трения kb = 0.

Аналитические решения и результаты численных расчетов показывают, что при больших К1,2 модели 1 и 2 дают близкие значения скоростей как в верхнем, так и в нижнем слоях.

3-D случай. Предположим, что H = const, К1 = К11 = const, на дне ставится условие прилипания. Выпишем уравнения, описывающие стационарные течения в верхнем и нижнем слоях в соответствии с [2, 3, 12, 13, 8]:

^ ^ = K1 IdZ’T, (26>

—Г I

1м' + д—— = К.

—у

—^'' + д ( 1 г^тт

.II

К' —2v' (27)

—г2 ,

_р_ р'', \ —с'' / —ж + р' + дртт —с! —ж К'' —2м'' (28)

р' р'' \ —с'' у —у + р' + дртг —с' —у = К —г2 ' (29)

Здесь х, у, г — оси прямоугольной системы координат, причем ось г направлена вертикально вверх; и(ж, у, г), «(ж, у, г), ад(ж, у, г) — компоненты вектора скорости течения; I — параметр Кориолиса.

Граничные условия для первого слоя имеют вид

р' К1 ——

Р К —г

р' К1 —— Р К —г

= г"1 р' К1 ——

'х ’ р К —г

К1,2 (м' — м''),

2 = — К

р' К £

= К 1-2(«' — V1' ).

2 = —К

(30)

(31)

Здесь тх, ту —напряжение ветра на невозмущенной свободной поверхности. Граничные условия для второго слоя:

р'' К''

дм''

р'' К''

дг

—V''

2 = —К

= — К

= р'К' £ = р' к'£

=-К

= К 1’2(м' — м''), К 1-2(«' — V''),

-К

(32)

У

0

0

2

2

,'' I

м“ 1 и = 0, V 1 н- = 0. 12=-#’ I 2= — Н

(33)

Для модели 2 условия (31), (32) превращаются в

р' К' — р К2 дг

дм''

р' К' £

= —К

= —К

р'' К'' -

,'' I

р'' к'' ——

р 2 дг

—К

—К

=—К

=—К

=—К

''

=—К

Уравнения неразрывности для первого и второго слоев , соответственно, следующие:

(34)

0 0

д ' д '

— м' іг + — V' іг = 0,

—ж У —у ]

—К —К

— К —К

— [ м''іг + — [ V11 іг = 0.

—ж 7 —у ]

—Н —Н

'

м

2

2

'

V

2

2

Для упрощения вычислений запишем систему уравнений (26)—(29) в комплексной форме.

Введем обозначения:

Ш1 = и1 + , Ш11 = и11 + , т^ = тх + *ту,

дС1 = 5С1 ,5С1 5С11 = дС11 ,5С11

дп дж + ду , дп дж + ду

Тогда общее решение системы уравнений (26)-(29) можно представить таким образом:

Ш1 = + д2е-^ к12 + ,

1 г дп’

Ш^| ^ + (1-

а граничные условия (30)-(33) примут вид

р' К' «1(^1 е—аіК — ^2в“1К) = К1-2

'

^1в—аіК+^2е“іК+ід—^—

1 дп

— ^зв—“2К — ^4в“2К — —^ + Г1 — —''

1 ур'' —п у р''/ —п

р'' К'' «2(^3 е—“2 К — ^4в“2К) = р' К' а1(^1в—аіК — ^2в“іК), (36)

Д3е—“2н + д^н + И ( А —^ + (і — 1_^ —^

+ ^е + і ^р" —п + ^ р'^ —п

а1 — л/ ', а2 —

К ' 2 К ''

Обозначим:

в1 = р К «1, ^2 = р К2 «2,

51 = ід—С' £2 = *д А —С' + Л — —с''

г дп ’ г Ч/°1/ дп у Р1// дп

Выпишем решение системы (36), считая, что й! и <52 — параметры:

т ^ в252е“2(я-^) + т ^ е-“!^ + в2^4(е“2(2Я+ е“2^)

А ^ ^ ^2 =-------------------------------в^м^)-------------------,

£3 = -Д4е2“2Я - 52е“2Я,

^4=-

К1,2(е«2(2Н—К) — е«2К) + ^(е“2(2Н—К) + е“2К)(в! + К1-2 еЬ(«1^)) Р1

х| тше—аіК — К

1,2

^1 — ^2 + — е—“іК + ^2 еа2(Н—К) Р1

- в!" (в252 е“2 (я-л) + т^е-“1Л) (в1 + к!-2 сЬ(а^))) .

Легко заметить, что коэффициенты ^,^2,^3 и ^4 представляют собой линейные функции от 5", 52 и т^. Способ нахождения величин 5" и 52 описан в работе [1]. Если использовать постановку задачи, описанную в работе [4] (модель 2), то

= Ае“12 + £2е-“12 + 5", Ш2 = £3е“22 + Д4е-“22 + 52,

^1 = е“іК( — в2Є2“2 Кв1^2 — в2Є2“2Н в1^2 + в2Є2“2Кв1^1 + в2Є2“2Н в1^1 + +2в152в2е(“2К+“2Н) — тж в1е(“іК+2“2Н) — тш в2 е(“іК+2“2Н) +

+ Т^ в1Є(“іК + 2“2К) — т Ж в2Є(“іК+2“2К))/((— в2Є(2“іК+2“2Н) —

— в2Є(2“іК+2“2К) — в, е(2аіК+2а2#)

в1е(

+ в1е

(2аіК+2а2К) — в2е2°2#

— в2Є

2а2К

+

+в1Є2а2Н — в1Є2а2К)в1),

^2 = (—в2в152Є(аі К+2“2К) — в2в152Є(“іК+2“2 Н) +

+в2в151Є(“іК+2“2К) + в2 в151Є(“іК+2“2Н) + 2в152в2Є(“2К+“2Н+“іК) —

—т ™ в!Є2“2Н + т ™ в2Є2“2 Н + е2“2Кт ^ в2 + е2“2Кт ^ в1)/

/((— в2Є(2“іК + 2“2Н) — в2Є(2“іК + 2“2К) — в1Є(2“іК+2“2Н) + в1Є(2“іК+2“2К) —

— в2Є2“2Н — в2Є2“2К + в1Є2“2Н — в1Є2“2К)в1),

Д3 = —е“2Н (в1 51 е(а2 Н+2аі К+а2 К) — в152Є(“2Н+2аіК + «2К) +

+ 2т ^ е(а2К+а2Н + аіК) — в1 51 е(«2К+«2Н) + в152Є(“2К+«2Н) +

+в152 е(2“іК+2“2К) — 52в2е(2“іК+2“2К) — 52в1е2а2К —

— 52в2 е2“2К)/(—в2Є(

— в2Є(2аіК+2а2Н) — в2Є(2аіК+2а2К) — в, е(2аіК+2а2Н)

+в1е

(2аіК+2а2К)

— в2 е

2а2Н

— в2е2“2К + в1Є2“2Н — в1 е2“2К)

в1е(

+

2^Н

е2а2 К )

£4 = (в151е(2“іК+“2К) — в152е(2“іК+“2К) + в152е(а2Н+2аіК) +

+в252 е(“2 Н+2аіК) + 2т ^ е(аі К+“2К) — в152 е“2Н — в151е“2К + е“2 Н в252+

X

+в1Б2е“2к)/(-в2е(2“1к+2“2Н) - в2е(2а1 к+2“2к) - в1е(2“1^+2“2Я) +

+в1е(2“1к+2“2к) - в2е2а2Н - р2в2а2к + в1е2а2Н - в1е2“2^)-

Отметим интересный факт: если К^ = К^1, р1 = р11, то дрейфовая (определяемая напряжением ветра) составляющая течения для модели 2 совпадает с аналогичной составляющей течения однородной жидкости в бассейне глубиной Н с условием прилипания на дне [8].

Анализа геострофической (т. е. определяемой наклоном свободной поверхности) составляющей течения в литературе практически нет, так как для ее определения необходимо решать сложную краевую задачу. В частном случае напряжения ветра, задаваемого формулой тх/р1 = -ау, ту/р1 = ах, это удается сделать, что позволяет проанализировать течение в целом.

Рис. 3. Спирали Экмана, сплошная линия соответствует верхнему слою, пунктирная — нижнему слою; К1,2 = 2 кг/(м2с), модель 1

Для двухслойной жидкости проводилась серия тестовых расчетов с целью определения влияния на решение изменения плотности воды в верхнем и нижнем слоях.

Расчеты проводили при следующих значениях параметров: Н =10 м, Н = 24 м,

I = 0, 00015, тW = 0,003 • (-у + *х)), для вычисления р1 и р11 брали различные значения температуры и солености воды в верхнем и нижнем слоях. Некоторые варианты расчетов в случае, когда плотность воды вычисляется по формуле Буссинеска

( Т Б \

р(Т, Б) = 1025,41 • 0, 97529 + -0,00317 • —— + 0, 02737 • — ,

у 17,5 35/

приведены на рис. 3-4. На рис. 3,а отображены результаты расчетов для К^ = 0,003 м2/с, р1 = 1009,187 кг/м3 (при температуре воды в верхнем слое 20°С и солености 16 %с) и

К^1 = 0,0005 м2/с, р11 = 1013, 949 кг/м3 (при температуре воды в нижнем слое 3°С и солености 18о/оо), на рис. 3,б приведены результаты расчетов для К^ = 0,002 м2/с, р1 = 1011, 601829 кг/м3 (при температуре воды в верхнем слое 7°С и солености 16о/оо) и К^1 = 0,001 м2/с, р11 = 1013, 762807 кг/м3 (при температуре воды в нижнем слое 4°С и солености 18о/оо); К1,2 = 2 кг/(м2с). На рис. 4 представлены результаты аналогичных расчетов в случае К1,2 = 20 кг/(м2с).

Рис. 4. Спирали Экмана, сплошная линия соответствует верхнему слою, пунктирная — нижнему слою; К1,2 = 20 кг/(м2с), модель 1

Рис. 5. Спирали Экмана, сплошная линия соответствует верхнему слою, пунктирная — нижнему слою, модель 2

Аналогичные расчеты проводились и для модели 2, результаты приведены на рис. 5 (рис. 5,а соответствует К = 0,003 м2/с, р1 = 1009,187 кг/м3, К1/ = 0,0005 м2/с, р11 = 1013, 949 кг/м3, рис. 5,б — К1 = 0, 002 м2/с, р1 = 1011, 601829 кг/м3, К1/ = 0,001 м2/с, р11 = 1013, 762807 кг/м3).

Найденное модельное трехмерное течение позволяет оценить уменьшение скорости жидкости при понижении температуры верхнего и нижнего слоев, а также сложную структуру течения, в которой учтена геострофическая составляющая. Полученное решение также может применяться при тестировании программ расчета трехмерного течения двухслойной жидкости.

Список литературы

[1] Т.В.Гапеева, К.Ю.Гуревич, Л.А.Компаниец, Аналитическое решение одной модели движения двухслойной жидкости (3^ случай), Вестник КрасГУ. Физико-математические науки, Красноярск, (2006), №4, 43-49.

[2] З.Н.Добровольская, Г.П.Епихов, П.П.Корявов, Н.Н.Моисеев, Математические модели для расчета динамики и качества сложных водных систем, Водные ресурсы, (1981), №3, 33-51.

[3] З.Н.Добровольская, А.И.Симонов, Математическое моделирование течений в стратифицированном водоеме, Моделирование и экспериментальные исследования гидрологических процессов в озерах, Л., Наука, Ленинградское отделение, 1986, 6-10.

[4] П. П. Корявов, Многослойная модель экмановского типа для расчета ветровых течений, Сообщения по прикладной математике, М., Вычислительный центр АН СССР, 1991, 26 с.

[5] Г.И.Марчук, В.П Кочергин, В.И.Климук, В.А.Сухоруков, Динамика однородного слоя океана, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1976, 17 с.

[6] V.W.Ekman, On the influence of the Earth rotation on ocean currents, Arkiv Mat., Astron., Fysik., 2(1905), №11, 1-52.

[7] P.Welander, Wind action on a shallow sea: some generalisations of Ekman’s theory, Tellus, 9(1957), 45-52.

[8] P.Welander, Wind-driven circulation in one- and two-layer oceans of variable depth, Tellus XX, 1(1968), 1-16.

[9] А.Л.Чикин, Построение и численное 3-D модели гидродинамики Азовского моря, Вычислительные технологии, 6(2001), 686-691.

[10] В.Ю.Ляпидевский, В.М.Тешуков, Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости, Новосибирск, СО РАН, 2000, 420 с.

[11] Л.А.Компаниец, Т.В.Якубайлик, Аналитическое решение одной модели ветрового движения двухслойной жидкости, Вычислительные технологии, 9(2004), 372-383.

[12] Г.В.Еремеева, Ю.Г.Филиппов, Г.Я.Шкудова, Некоторые особенности циркуляции в районах отмелых и приглубых шельфов глубоких морей, Гидродинамические методы моделирования процессов на морях СССР, М., Гидрометеоиздат, (1987), 4755.

[13] K.Hutter, G.Bauer, Y.Wang, P.Giiting, Forced motion response in enclosed lakes, Physical Processes in Lakes and Oceans, Coastal and Estuarine Studies, 54(1998), 137166.

- 20S -

Comparative Analysis of Two Models of the Two-Layer Fluid Motion by means of Ekman’s Approximation

Lidiya A.Kompaniets Tat’yana V.Yakubailik Kirill Yu.Gurevich Lyudmila V.Gavrilova Ekaterina A.Kirilyuk

Two Ekman’s type models for stationary wind-driven motion of two-layer fluid are proposed. Upper and lower layers are homogeneous with different densities. The analytic solutions in the twodimensional and three-dimensional cases are found for this models. For the 2-D case it is assumed that the bottom of the water basin is not flat and the vertical turbulent exchange coefficients in upper and lower layers depend on the depth. For the 3-D case the vertical turbulent exchange coefficients are constant in each layer and the bottom of the water basin is flat. The obtained solutions could be useful for the evaluation of the boundary location between layers and as a test in the analysis of computational algorithms which are applied for solving problem of the wind current in a two-layer liquid.

Keywords: analytical solution, stationary wind-driven motion, Ekman’s approximation, two-layer liquid