О нечётности совершенных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика

№ 6(32)

МАТЕМАТИКА

УДК 511.2

Р.З. Ахмадуллин

О НЕЧЁТНОСТИ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

Показано, что множество нечётных совершенных чисел при определённых допущениях конечно. Предложены новые подходы в рассмотрении чисел, являющихся функциями от суммы своих делителей.

Ключевые слова: совершенное число, нечётное совершенное число, дружественные числа, теория чисел.

Введение. Постановка задачи

Совершенное число (др.-греч. аргбцО^ теХею^) - натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т.е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). Совершенные числа образуют последовательность: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, ... (последовательность А000396 в ОЕШ). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число 2Р-1(2Р-1) является совершенным, если число М = 2Р-1 является простым (так называемые простые числа Мерсенна) [1]. Числа Мерсенна получили известность в связи с эффективным тестом простоты Люка - Лемера, благодаря которому простые числа Мерсенна давно удерживают лидерство как самые большие известные простые числа, однако неизвестно, бесконечно ли множество этих чисел.

Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом, но нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует.

Известно, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 2800 (!) различных простых делителей [2]. Также известно, что нечётных совершенных чисел нет в интервале [1,., 102500]. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org. Таким образом, возникает гипотеза о том, что нечётных совершенных чисел не существует. Займёмся проверкой этой гипотезы.

§1. Необходимое условие

Пусть £ - некоторое натуральное число, тогда по основной теореме арифметики имеем

о а а аи 1 аи

£ = Р11 • Р2 ••• Рп-11 • Рп , где р, - простые числа, а, - некоторые натуральные числа, а, > 1, п - количество

сомножителей числа (здесь и далее ' = 1,...,п). Если рп> рп-1 >...> рь то такое представление единственно и называется каноническим. Сумма всех положительных делителей 5 равна

Б = (1 + р1 + р12 + ...+ р? )(1 + р2 + р22 + ...+ ра )-(1 + рп + р2п +... + рапп)

или, с учётом формулы для суммы геометрической прогрессии,

Б р+а -1 р2+а2 -1 р1;а- -1

(ц - 1) (р2 - 1) (рп - 1) .

Пусть 5 - совершенное число. Из определения совершенного числа следует 5 = (1 + р + р2 + ...+ р?)-(1 + рп + р2п + ...+ рапп)-5 ,

-1 р1+а2 -1 р1+ап -1

или --^-----^-= 2 . (1)

(И - 1)р? (р2 - 1)ра22 (рп - 1)рапп

Уравнение (1) - это диофантово уравнение с неопределенным числом неизвестных (содержащее 2п неизвестных, значение п - количество сомножителей некоторого числа не фиксировано).

§2. О системах уравнений, эквивалентных формуле (1)

Перепишем равенство (1) в следующем виде:

А+а1 -1 = 2(р2 - 1)ра2... (рп - 1)рап

(п -1) рГ1 р2+а2 -1 р1:ап -1

Обозначим

4 а1 1

0 = 2 (р2 - 1)* р^2 (рп - 1)* р0/ = П ( - 1)р.

1 1+а2 , „1+ап л 1 1

р2+а2 -1 рп ап -1 1=1 рт1 -1

Рассмотрим следующее уравнение:

р1+а -1

—-= ?1. (2)

(и - 1)ра

Согласно равенству (1), 0' = Ч', ' = 1,...,п. Очевидно, что 2 > ч > 1. При а, > 1 и р(') <рг (р(') - 1-е по счёту простое число, ' = 1,...,п) выполняются неравенства

рг +1

1+а

< р' 1 < р'

,=1 (рг -1 )рГ' р'-1

< р ('+1) р ('+1)-1

Из уравнения (2) с учётом того, что 1 < а1 < получаем неравенства

Л . = 1 + > ^ > £1+1 = 1 + ± > 1;

р1 -1 р1 -1 р\ р

1 ,11 ,1

1+—- > ч > 1+—; —- > ч -1 > —

р\-1 р\ р -1 р\

Из последнего неравенства следует, что

1

-> -1-

1

-> р: -1 ^ ——т +1 > р{; ?1 -1 — — ^р1 — 1 7 4 -1 р1 4-1

Р1 -1 4 -1

Значит, из формулы (2) при 1 < а1 < получаем неравенства

1 1

+1 > Р1 —

41 -1

41 -1

(3)

Поскольку р1 - натуральное число, то оно определяется однозначно:

Р1 =1

1

41 -1

если

1

41 -1

- - целое,

. 41 -1

4 -1_

+1, если -

4 -1

- - нецелое.

С учётом определения функции «потолок» получаем более удобную запись этого условия:

1

Р1 =-1.

41 -1

Для показателя степени а1 из того же уравнения (2) получаем следующую зависимость:

а = -1п(41 - р (41 -1))

1 1п(

Таким образом, при заданном рациональном числе д1 натуральные значения р1 и а1 определяются однозначно. Аналогично получаются значения рг и а, для г = 2,...,п. Заметим, что значение

1

1

(Р1 -1)Р11 = Р? _= р - (Р1 + .. 1 ) а ,1)

и = р1 , а1-п(а1

1 1 + (Р1 + •••Р11 )

41-1 Р!а -1-1 ра1 -1 1+Р1+... ра (Р1 -1)^

может быть целым только при а1 = 1. Поскольку, согласно уравнению (1), Qi = 4, г = 1,...,п, то, заменив значения 41 на QI■, получаем систему из 2п уравнений с 2п неизвестными:

Р1 =

1

Q\ -1

— 2,

а = -1п^1 - Р1 (Q\ -1)) —1; 1 1п( Р1)

Рп =

Qn -1

— р(п), ап = -/п(& -Рп -1)) — 1

(4)

1п( Рп )

где

Qi = 2

(А -1) р? (■-1 -1) рй1 (■+1 -1)р^1 (рп -1)р1

1+а1 1

Р1 1 -1

1+ аг

Р- ■-

1+аг,

Р1+1■+

р: ап -1

(- 1)р?. ■=г

п\г

= ^ ^ 1

1=1 Р} ' -1

, п.

Очевидно, что если некоторый набор чисел {р, а, ' = 1,...,п} удовлетворяет системе (4), то он будет также являться решением уравнения (1). Заметим, что возможна прямая подстановка всех неизвестных в каждое из уравнений системы (4), что даёт систему уравнений от одной переменной вида

/ (р) = 0; ' = 1,.п,

1 /п,' (; ) = 0, ()

но уже при малых значениях п запись этих уравнений сверхгромоздка, их «этажность» растёт как ~пп. Из теории систем алгебраических уравнений известно, что в общем случае (без ограничений на целостность показателей степеней а' и простоту чисел р) при данном п система уравнений (*) имеет конечное число решений, если выполнены два условия:

1) каждое из уравнений системы (*) имеет конечное число решений (при п = 2 это не так);

2) отсутствуют эквивалентные между собой уравнения.

Рассмотрим теперь уравнение (1) с точки зрения понятия «делимость». Число (1 + р1 + р2 +... + рГ1) может делиться только на те простые числа, которые являются сомножителями числа 5 и, возможно, ещё на число 2, очевидно также, что оно не делится на число рь т.е.

„1+а1 Л п\1 (. л

(1+р + р2 +...+#)=» = 25(а, *) Пр;™, у 7 (р-1) 1=1 1

где 5(аь рх) формально определяется так:

Г 0, если р1 = 2,

5(а1, р1 ) = 1 0, если р1 Ф 2 и а1 - чётное,

[ 1, если р1 Ф 2 и а1 - нечётное,

(согласно лемме 1 при п > 2 одно и только одно из чисел 25(а', р') равно 2, остальные равны 1), а111-1 - некоторое неотрицательное число (параметр).

Следовательно, получаем следующую формальную систему уравнений:

1+а1 1 п\1 (, ,)

(р 1) 2 -I пр ; ••

1+а 1 1 1= (5)

п1+ап 1 П-1 , П

= 2«(ап, Рп^ ; >Га(',1 )= аг; ' = 1,...,п. (р -1) И^ ' ^ " ' '

_ \Рп Ч 1=1 1=1

С учётом того, что разложение натуральных чисел на множители определяется однозначно, система уравнений (5) является системой с 2п уравнениями и с 2п неизвестными (не с (п2+п) неизвестными). Числа а(у) однозначно определяются некоторой функцией факторизации ¥(р1,а1,', 1) и считаются параметрами. Вычисление этих параметров является проблемой факторизации (разложения на множители) и сама эта задача намного сложнее исходной.

Из системы (5) непосредственно следует, что

1п (1 + 25

1(1+25(а', р >(Л - 1)п п\>Г)

--1; ' = 1,...,п,

1п(р')

относительно значений р' получаем алгебраические уравнения степени а'+1, сле-

довательно, неизвестные pi и могут быть выражены через параметры а(1,^ в явном виде. Система уравнений (5) при данном п также имеет конечное число решений, если в ней отсутствуют тождества и эквивалентные между собой уравнения.

Таким образом, совместно две неэквивалентные системы (4) и (5) дают 4п уравнений при 2п неизвестных, что явно избыточно для вычисления значений р и а, при больших п (хотя и связано с существенными практическими трудностями) и ставит вопрос о разрешимости уравнения (1) при этих значениях п.

§3. О показателе степени в системе уравнений (4)

Рассмотрим уравнение

- 1п

а = -

1

д -1 ^ д -1

1

-1

1п (* - ( -»)"

1п

1

1п

1

(6)

д -1 д -1

при д е 2; 2 > д > 1. Эта функция имеет бесконечно много разрывов второго рода

(бесконечных) слева в точках д = (I е N). Ниже приведён график (приблизительный: без учёта окрестностей точек разрыва и особенностей представления чисел с плавающей запятой в вычислительных системах) этой функции при 1 < д < 2.

а

15

10

Покажем, что если предел ап при дп^+1 существует, то он равен 1. Поскольку (в силу определения функции «потолок»)

1 <-

1

дп-1

(дп-1)< дп <1+

1

р(п) -1

< 2,

то согласно теореме Вейерштрасса об ограниченной убывающей последовательности

1

Иш

дп ^ дп -1

(дп -1) = 1.

Значит (если предел существует),

ln (q« —тг(q"- 1)l ln i

lim an = lim —^-qS-1-J— = lim ( q« 1 =1.

qn ^ qn ^ ln-^ qn ^ In- 1

Чп _ 1 Чп _ 1

При фиксированном р = —1— и а > 2 область допустимых значений ч сильно

Ч _1

ограничена по сравнению с «первоначальной». Легко убедиться, что в этом случае на «первоначальном» отрезке {1+1/р; 1+1/(р+1)} значения ч ограничены неравенством

1 ,1 1 1 +-> ч > 1 +----.

Р +1 Р р( р +1)2

Отношение длины этого отрезка к «первоначальному» с ростом р стремится к нулю как 1/р.

На интервале (1;2) сумма всех отрезков, для которых а > 2, равна

К = У-1-« 0,244,

р (р + 1)2 , ,

причём основной вклад в эту сумму дают первые члены суммы. Например, если считать, что произвольное р > 29, то вероятность того, что показатель степени а у этого основания будет больше 1 и меньше, чем Кр ^ 0,0078.

Интересные результаты можно получить при многократной (бесконечной) самоподстановке уравнений (6) и (2). По определению эта итерация не меняет множество значений, удовлетворяющих уравнению (6), однако при а{ Ф 1 значение 1/(Ч—1) нецелое, и на каждом шаге итерации какая-то часть значений а1 «теряет-

1+а,- л р, ' _1

ся». Например, однократно подставив в уравнение (6) значения ч = —'-,

(р, _1) р?

получим функцию двух переменных, которая уже не имеет бесконечных разрывов

ln

A =-

( 1+а,- л / а,- ( 1+а,- л лл 1

Р ' -1 (Р, - 1)Р,' Р1 ' -1

(p, -1)ра ра -1 Up.- ~г)p? ln (р, -1)ра'

-1

а' 1 р''_1

и при 3 < р' < 106, 1 < а' < 106 все значения которой меньше 6 (при больших pi -меньше 1,8; с ростом р{ значение А' стремится к 1 независимо от значений а). Вторая подстановка даёт функцию 4-х переменных и т.д. Предположительно, при многократных итерациях все значения А стремятся к 1 и меньше 2, а это означает, что все степени А (кроме какого-то определённого их числа) равны 1.

Этот вывод распространяется на все диофантовы уравнения, представимые в виде

п „1+а1 _ 1

П—-1- = Р (п) .

' =1 (р _ 1) р?

Таким образом, если для некоторых q = F(n) удаётся доказать существование предела, то, начиная с некоторых значений n, показатель степени ап может быть равен только 1 (поскольку он может быть только натуральным числом и меньше 2).

Почему этот вывод важен?

В отношении нечётных совершенных чисел из него следовала бы конечность значений n, при которых могут существовать эти числа, а значит, и конечность самого множества возможных нечётных чисел (с учётом лемм 1 и 3). Это относится и ко многим другим числам, представимым в этом виде, для которых можно доказать (например, из соображений делимости), что все степени в разложении их на множители чётные, кроме некоторого конечного их числа (например, это «слегка избыточные» числа).

Абсолютное большинство обнаруженных на сегодняшний день пар дружественных чисел имеют вид D = pk • p1 • • • pn (все степени простых чисел в разложении его на множители, кроме одного, равны 1). В противоположном случае, при котором в разложении дружественного числа на сомножители имеется более одного сомножителя со степенью больше 1, эти же сомножители являются общими для этой пары.

Если предположить, что это представление верно для всех дружественных чисел, то легко доказать, например, что не существует чётно-нечётной пары дружественных чисел (если количество сомножителей у каждого дружественного числа D больше 1, то это следует из их общего представления, остальные случаи анализируются с учётом системы (4); подробное доказательство здесь не рассматривается).

§4. Некоторые леммы

Из соображений неделимости нечётного совершенного числа на 2 с учётом формулы (1) доказываются леммы 1 и 2. Их вывод полностью элементарен и очевиден (и есть у многих авторов, начиная с Леонарда Эйлера, впервые рассматривавшего нечётные совершенные числа и высказавшего гипотезу, что таких чисел не существует).

Лемма 1. У нечётного совершенного числа один и только один из показателей степени а, в каноническом разложении на простые сомножители нечетный и имеет вид а, = 4к+1, к е (здесь М0 - множество всех натуральных чисел и

число 0), соответственно все остальные показатели степеней а, - чётные. Имеем

(1 + р1 + р1 +... + р* )...(1 + рп + р2 +... + рап ) = 2• ра ••• рПЦ • р? .

Все р, - нечётные простые числа, следовательно, в левой части равенства один и только один из сомножителей (1 + pi + р2 +... + р*) чётен, а все остальные сомножители должны быть нечетными. Очевидно, что сумма (1 + р, + р2 +... + р*)

2 а,

нечетна только при условии четности а, так как все значения р,,р,,...,р,] нечётны. И наоборот, (1 + р, + р2 +... + р* ) чётна только при условии нечётно-

сти a-.

1+а1 1

Заметим, что сумма (1 + рг + р2 +... + р? ) = —г-, которая чётна, не может

У ' (Р, -1)

делиться на 4. Если показатель степени сомножители нечётный и имеет вид а, = 4к -1, то эта сумма равна

1+ а, л 4к 1 ( рк - Л

Р ' - 1 = = (Р-1 (рк + 1) (р2 +1) .

(р, -1) (рг -1) (р, -1)р ^р' )

и при нечётном простом рг кратна 4, следовательно, аг имеет вид 4к+1.

Лемма 2. Простое число, входящее в каноническое разложение числа £ = ра ■ р^2 ■■■ ра-1 ■ рГ со степенью аг = 4к+1 также имеет видрг = 4/+1. Пусть показатель степени при рг имеет вид а г = 4к+1, тогда

р1+" - 1 р4к+2 -1 р2к+1 - 1 (р2к+1 +1) (р, -1) (рг -1) (рг -1)^р г

Если р' = 4/-1, то число (р2к+1 +1) кратно 4, что невозможно, следовательно,

нечётное р г имеет вид 4/+1.

Лемма 3. Для заданного (фиксированного) значения п>3 может существовать лишь конечное число нечётных совершенных чисел.

Доказательство. Пусть п > 3 задано. Поскольку при п >3 рг Ф 2 (согласно Л. Эйлеру), то р+1 > рг+2 и значит, что выполняются неравенства

1+аг 1 , л 1+а',1 л , л

рг > рг -1 > рг +1 > р,+1 > р,+1 '+' -1 > р,+1 +1 .

р< - 1 (рг - 1)рг р' р<+1 - 1 (рг +1 - Рi+1

р1п ап -1 <...< р2+а2 -1 <_ рг1 -1

(рп -1)* рап (рг -1)* ра22 (рг -1)*р?

независимо от значений показателей степеней а. Из уравнения (1)

1+ а. л 1+ а2 л 1+ап л

р1 -1 рг 2 -1 ... рп п -1 = 2

(р - 1)р? (р2 - 1)р? (рп - 1)рап

последовательно уменьшая значения индексов, получаем

( 1+а, , Л

А 1 -1

(л -1) рг1

1+а1 л { 1+

„ р пК пр2

> 2, откуда—-— > V2, или —=—> р1:

рх -1 пг -1

р 1 -1

1-1-1

р2 2 -1 (р1 -1)рГ1 Црг - 1)ра21 J

\ п-1

> 2^1 +--. ==—> рг и т.д.

В общем случае

11

-к+1

2пк_1 ( _ 1)р/ _ 1

11/=1 1+ a,

Pj _1

■> pk; к = 1,...,n _ 1, (7)

к-1 (р. _ 1) причём необходимо = 2 Д —— > 1.

1=1 Р/_1

Заметим, что это условие выполняется для всех достаточно больших значений р, независимо от значений а, (поскольку для них значение Ьк сколь угодно близко к 2), значит, существует лишь конечный набор значений {р,, , = 1,...,к-1}, при которых оно, возможно, неверно либо значение Ьк не является минимальным. Таким образом, значения простых чисел рк ограничены. Например, поскольку при р,-> р(/) верны неравенства

1 >-

р, +1

> (Pi _ l) P? > Рг _ 1

1 +ai

Рг ' _1 рг

> р (г)_ 1

Р(()

то из формулы (7) последовательно получаем

1 +--¡=— > р2; 1 +--¡=— > р3; 1 +--¡==—> р4, если р3 > 17 и т.д.

n_|_1 .....

Только значение рп не ограничено неравенством (7). С другой стороны, значение рп определяется из системы (4) при известных значениях рь...,рп-1, ab..., an-1

однозначно по формуле рп = —1—, значит, рп < —1--+1.

Ип Qn _ 1 ' Ип Qn _1

Пусть значениярг, i = 1,...,п-1, заданы, множество {Х} - некоторый произвольный набор натуральных чисел, меньших п, и множество {aX} - набор показателей степеней с этими индексами. Заметим, что выполняется неравенство

lim Q = 2 lim П ^^ = 2 П ^^ П^-1

{ax}-+- n W}-+- )=\ р, aj _ 1 {п_1}\|X} р^^ _ 1 {*> рг

(поскольку сомножители рг здесь несокращаемы, кроме случая рг = 2). Значит, существует инфимум inf Qn (наибольшая нижняя грань) множества дискретных значений Qn, такой, что inf Qn>1 при некоторых значениях aг (включая несобственное значение +<»). Таким образом, значение рп также ограничено, а именно

1

рп <-+1.

п inf Qn _ 1

Например: для п = 3 получаем, что рп<16; для п = 4 - рп < 36; для п = 5 -рп < 1296 и так далее, при этом для некоторых показателей степеней aг берутся бесконечно большие значения. Численные расчёты показывают, что нечётные совершенные числа, если они существуют, имеют не менее п = 2800 различных простых делителей [2] и, скорее всего, их нет и при больших значениях п (напомним, что «этажность» непосредственной формулы, дающей значения рг по системе (4)

растёт как ~пп и предположительно все эти значения равны 1 или 0, если при этом аг - натуральное).

Неконструктивное доказательство конечности множества значений а, следующее. Пусть теперь заданы значения рг, ■ = 1,...,п, и существуют значения а, такие, что уравнение (1) верно. Если существует другой набор значений а,, при которых уравнение (1) также верно, то очевидно, что в этом наборе, хотя бы одно из чисел

п р1+а' - 1

а■ будет меньше, чем в первом (иначе П—■-> 2). В третьем наборе нату-

■ =1 (р - 1)Ра

ральных значений аг хотя бы один из показателей степеней будет меньше, чем во втором, и т.д., однако эти переходы от одного возможного решения к другому не могут продолжаться бесконечно. Таким образом, при фиксированных значениях рг существует лишь конечный набор гипотетических значений аг, при которых уравнение (1) верно.

Из этих утверждений следует верность леммы 3.

Замечания

Чтобы доказать конечность множества всех нечётных совершенных чисел нужно каким-либо образом ограничить значения п, при которых системы (4) и (5) целочисленно разрешимы.

При известных значениях рг численные значения показателей степеней аг могут быть получены из системы (4), причём все они должны быть натуральными. Поскольку при больших значениях п показатели степеней а , скорее всего, уменьшаются, то достаточно показать, что хотя бы два из них будут меньше двух

(а< 2).

Условие (2) можно записать так:

а, +1 а, , 1 п

Р11 - А1—4 +-7 =

-1 -1

Это каноническая запись уравнения степени а1+1 относительно неизвестной р! и далеко не при каждых значениях а! и д1 оно разрешимо в радикалах (и тем более в целых числах). С другой стороны, система уравнений (4) получена исходя из того, что значение натурального р1 определено при любых значениях а! и д1:

р1 = —1—, следовательно, на эту систему могут быть наложены дополнительные -1

ограничения.

Лемма 4. Показатель степени ап - наименьший среди значений аг. Поскольку

р1+а1 -1 а1 1 _ а. +1

А1 <т-1) < А1 ,

(р1 -1)

то из системы уравнений (5) получаем следующие линейные неравенства:

1

-1п

( п\г (. л ^

1)

1п(рг ) I 1=1 1 J ^ 1п(рг )

1

( п\\ (. л ^

(г,1)

2°(а', р)Пр1 > а, >-1 + -^1п 2°(а', рП

1 1=1

■ = 1,..., п;

^а(г',1 )= а1, 1 = 1,...,п, а(,1 )> 0.

1=1

Поскольку числа а, - натуральные, то они из этого условия при заданных зна-

чениях pi и а(']) определяются однозначно, т.е.

1

(

1п (р)

-1п

25(а'', р' )П ра

ц,]0 1п 25(а, Р'

Пр

]=1 у

1п25

1 П

-+ ( ) /а(1,1) 1п(р]), ' = 1,...,п , (8)

1п ( Р,) 1п ( Р,) ]=1

либо не существуют, если значение

1п(Р,)

1п

П\' л ^

25(а,-, Р, Пра ]=1

- целое (что не-

возможно для простых значений р,, р]). Очевидно, что они должны совпадать со значениями а,, полученными из систем (4) и (5). Верны неравенства

V"\' " '4 П ('',]) ('',') (а) ^ 1п(р]) ^1-1 1

/тЛ ^ ' — /7^ ' — П — /7^ ' <Г /7 * _1_ < 1* ] = 1 " — 1

/а(',1) =/а(',1)— а(',') = а, — а(',') < а,; ]=1 ]=1 ^ ] 1п (Р")

а„ <

1п25(а", р") (П,) 1п( Р]) 1п25(а", р -+ /а'^П, 1)-— <-

1п2

/ ч ■ / - / ч - , ч + а, <-+ а,.

1п(Рп) 1= 1п(Р") 1П(Р") 1 1п3 1

Следовательно, аП< а,.

§5. Некоторые частные решения систем (4) и (5)

Легко показать, что при п = 1 обе системы (4) и (5) не имеют решений в натуральных числах.

Для системы (4) при п = 2 получаем

й = 2

(Р2—1)Ра\ ^ =Лр\ — оА1 .

1+а2 л '

Р2 2 — 1

Qг = 2

1+ а1 1 Р1 1 — 1

Р = 1 а =— 1п(р — 0 (р — 1))

Р2 =

— 1 1п( Р1)

1 — 1п(Р2 — 62 (2 — 1)) .

Р1 =

02 — ^ а2 1п( Р2)

v'1 а2 +1

(Р2 — 1) р21 — 1

1+а9 !

Р2 2 — 1

2 р^1 — 2 р°2 — р2+ а2 +11

1+ а9 л

Р2 — 1

Р2+а2 — 1 . = 1 + _ 2Р2а2 — 2

р22+1 — 2 р22 +1 р22+1 — 2 р22 +1'

при Р2 = 3 получаем, что Р1 = 2 и 1 = 2 = 1; при Р2 > ' Р1 = 2; тогда

при р2 > 4 верно неравенство 2р^2 — 2 < рО2+1 — 2рО2 +1, следовательно, также

Р = 1 +-^^—2-= 2а+1 — 1 = 2а+1 — 1;

2 p\a\ +1 — 2 p\a\ +1

поскольку р2 - простое, то а1 +1 также простое (иначе оно тождественно разлагается на множители);

1

- 1п(2а1 +1 -1 - ^ (2а1 +1 - 2)) - ^^)

1п(2а1+1 -1)

- 1п(2 - 2 -1п(2 - 2

4 1+а, , '

р2 2 -1

1п(2а1+1 -1)

( 2а1+1 - 2 ) 2а1+1 -1 ( +1 -1)2 -1

1п(2)

1п(2)

■ = а1.

Таким образом, приходим к известной формуле: = 2а1(2а1 +1 -1), где

(2а +1 -1) и а1+1 - простые.

Для системы (5) при п = 2 получаем

1+а -1

1 + р + р2 + ...+ ра = = 25(а1, р1 )ра22;

(А -1)

1+а2 1

1+р2+р2+_+р^2 = =25( а2, р2) ра1. (р2 -1)

Если 25(а2, р2^ = 2, то сумма (1 + р2 + ...+ р^2) чётна, следовательно, прир2 ф 2 (по условию р2 > 3) а2 - нечётное при нечётном р2, значит,

р2+ а2 -1 = (рГ^ - 1)

(1+а2)/2 л/ 1+а, Л

(р2 - 1) (р2 - 1)

р22 +1

= 2 р1.

Если

(р(1 + а2)/2 - 1)

(р2 -1)

нечётно, то получаем систему

чётно, то 2 р?1 кратно 4, откуда р1 = 2. Если

(р(1 + а2)/2 - 1) (2 -1)

(р(1+а2)/2 -1)

(р2 -1)

1+а9

= А1

' 2И = ра1 ^ 2(( -1) = р?1 -к (р2 -1). (р2 -1) У 7

[ р22 +1=2 рк

Поскольку р1 -1 не делится на р?1 к при а1 - к > 1, то р1 = 2 либо

) = 1, т.е. а2 = 1

= 1, т.е. а2 = 1 или р2 +1 = 2 р11. С учётом второго уравнения полу-

(р^2 -1 (р2 -1)

1+а1 1

чаем —1-= рГ2 . Если а2 = 1, то

(А -1)

р1+а1 -1

= р2 = 2 р^ -1; р1+а1 -1 = 2 р^ +1 - р - 2 р^ +1; р + 2 р? = р?1 +1 + 2 , значит, 2 делится на р1. Таким образом, во всех случаях р1 = 2 .

а2 =

Из аналогичных соображений приходим к выводу, что случай 25(fl1' Pl ^ = 2 невозможен (по условию p2 > 3), кроме случая p1 = 2, p2 = 3, a1 = a2 = 1.

Подстановка значения p1 = 2 в систему (5) при n = 2 в итоге даёт ту же формулу: S2 = 2ai(2ai+1 -1) , где 2ai -1 и a1 +1 - простые. Заметим, что при p1 = 2 также следует обратное: n = 2 (согласно Л. Эйлеру), поэтому при n > 2 можно считать, что p1 > 3 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Совершенное число // Википедия - свободная энциклопедия: электронный ресурс. URL: Ьйр://га^к1ре(11а.о^/№1к1/Совершенное_число, 14.01.14.

2. БухштабА.А. Теория чисел. М., 1966. 386 с.

Статья поступила 02.02.2014г.

Ahmadullin R.Z. ON ODD PERFECT NUMBERS

A perfect number is a natural number equal to the sum of all its proper divisors (all positive divisors other than the number itself). Perfect numbers form a sequence: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328 ...

Let S = pf1 • pf2 ■■■ p«--1 • p"n" be a perfect number, wherept are primes, ai are some natural

numbers, ai> 1, i = 1,...,«, and n is the number of factors of the number S. Then

Pi

1+ai

-1

p2+a2 -1

1+an 1

Pn n - 1

(л- 1)P1a1 (P2-1)*pa2 (Pn-1)*pa

- = 2.

(1)

Equation (1) is a Diophantine equation with an indefinite number of unknowns; it contains 2« unknowns, the value of n (the number of factors of the number) is not fixed. This equation is equivalent to the two systems:

*=-L- * 2, a = -ln(Q1 - p (Q1-1}) * 1; ^ 1 ln( p0

where

а -1 1

^ P (n),

-in(Qn - Pn (Qn -1)) > 1s

ln(Pn ) '

Q = 2 (P1 - i) pa1 (P.-1 - i)p"i (P.+1 - ^Ofi1

^ -1 pi^M -1 pi^^i -1

P1

( - i)p'/. .=^

n\i

=2П 1+a j -j=i Pj -1

(Pn -1)p"n

Pn+a" - 1

(2)

and

Pi

1+ ai

(Pi -1)

n\1 (1 j)

28<A> Pi ^np"

(ai.Pi).

j=i

Pn 1 = 2S("n, Pn )rT r,"

(Pn - 1)" 2 }=T

Za

j=1

(j).

a.; i = 1,

(3)

1

1+a

18 P.3. AxMagynnuH

where 5 (ab p{) is formally defined as follows:

i 0, if p1 = 2, §(a1; p1 ) = -j0, if p1 * 2 and a1 - even, [ 1, if p1 ^ 2 and a1 - odd.

With allowance for the fact that the factorization of natural numbers is determined uniquely, the system of equations (5) is a system of 2n equations and 2n unknowns (not with (n2 + n) unknowns). The numbers a(i,j are uniquely determined by a factorization function F (p1, a1, i, j) and are considered as parameters.

From the system of equations (2) we obtain the equation

in fq - (q-^J-1

a = - V q 1-J— (4)

q -1

at 2 > q > 1. This function has an infinite number of (infinite) left discontinuities of the second kind at the points q = (l + 1) / l (l £ N). Hypothetically, beginning from some values of n, most of exponents of an in system (2) can be equal only to 1.

It is proved that for a given (fixed) value n > 3 there exists only a finite number of odd perfect numbers.

Keywords: odd perfect number, amicable numbers, number theory.

AHMADULLINRobert Zabitovich (M. Sc., Bashkir State Pedagogical University named after M. Akmulla, Ufa, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Sovershennoe chislo. Vikipediya - svobodnaya entsiklopediya: elektronnyy resurs. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number, 14.01.14. (in Russian)

2. Bukhshtab A.A. Teoriya chisel. Moskow, 1966. 386 p. (in Russian)