Научная статья на тему 'О напряженном состоянии обладающей ползучестью круглой мембраны в процессе термофиксации'

О напряженном состоянии обладающей ползучестью круглой мембраны в процессе термофиксации Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
59
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МЕМБРАНА / ОБОЛОЧКА / ТЕРМОФИКСАЦИЯ / УПРУГОСТЬ / ПЛАСТИЧНОСТЬ / ПОЛЗУЧЕСТЬ / ДЕФОРМАЦИЯ / НАПРЯЖЕНИЕ / УРАВНЕНИЯ / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Панамарев Виктор Александрович

Рассмотрена круглая мембрана, поле напряжений которой отрицательно. Приведена математическая модель термофиксации, позволяющая создать в мембране положительное поле напряжений и придать ей устойчивость. Библ. 3.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «О напряженном состоянии обладающей ползучестью круглой мембраны в процессе термофиксации»

МЕТАЛЛУРГИЯ И МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ

УДК 539.37:621.98

В.А. Панамарев Сибирский государственный индустриальный университет

О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ОБЛАДАЮЩЕЙ ПОЛЗУЧЕСТЬЮ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ В ПРОЦЕССЕ ТЕРМОФИКСАЦИИ

Термофиксацией называют нагрев и выдержку нагретого твердого тела в зажатом (фиксированном) состоянии, которое исключает возможность его деформирования. Известно, что термофиксация используется при правке тонких стержней и плоских мембран. Например, круглая мембрана с жестким контуром в процессе изготовления или эксплуатации может упруго искривиться и принять форму пологой оболочки вращения. Механическое выпрямление такой оболочки односторонними внешними усилиями приводит к ее прогибу в противоположную сторону с характерным звуковым эффектом типа хлопка, поэтому такие оболочки иногда называют «хло-пунами». Это происходит за счет возникающих в мембране отрицательных напряжений, вызывающих потерю ее устойчивости. Под-жатие мембраны внешними усилиями к плоской поверхности также создает в ней отрицательные напряжения и приводит к потере устойчивости после удаления внешних нагрузок.

Если же подвергнуть выпрямленную мембрану термофиксации, то возникшие в ней фиксированные деформации будут представлять собой в общем виде сумму деформаций упругости, пластичности, ползучести и температуры. В процессе термофиксации за счет температуры и длительности процесса происходит изменение напряженного состояния мембраны. Возникшие в ней необратимые (остаточные) деформации пластичности и ползучести могут привести к положительным деформациям мембраны после ее охлаждения до исходной температуры и, тем самым, придать ей устойчивое плоское натяжение на жесткий контур.

На практике такого рода правку часто подбирают опытным путем методом проб и ошибок. В настоящей работе исследуется изменение напряженного состояния круглой мембраны в процессе ее правки посредством термофиксации. Материал мембраны считается несжимаемым и обладающим ползучестью.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в момент времени ¿0 = 0 в результате осесимметрич-ного нагружения при температуре Т0 пологая оболочка вращения с жестким контуром, упруго деформируясь, превратилась в плоскую мембрану. При этом в мембране возникло поле отрицательных (сжимающих) напряжений: радиального о^; Т0) = О] и окружного о2(^0; Т0) = о2, являющимися функциями радиуса пластины г. Напряжение по высоте мембраны о3 в силу малости ее толщины полагается равным нулю. При этом напряженное состояние мембраны становится плоским. Возникшие при этом радиальные и окружные логарифмические деформации мембраны обозначим соответственно в1 = в1 и в2 = е2 . Условие несжимаемости материала для логарифмических деформаций имеет вид в1 + е2 + в3 = 0. Следовательно, деформация по толщине определяется по выражению е3 = - (в1 + е2). Рассматриваемое далее напряженно-деформированное состояние мембраны будем соотносить с конкретными значениями ее радиуса г.

Зафиксируем деформации в1 , е2 и нагреем мембрану до температуры Т > Т0. В этом случае исходные деформации мембраны, оставаясь зафиксированными отрицательными вели* *

чинами е1 , е2 , останутся неизменными по величине, но будут состоять в общем случае уже из упругих, пластических и температурных составляющих:

8* = ге, + е? + ет :

8* — 8е ^^ 8р 8 .

(1)

Температурная логарифмическая деформация определится выражением

ет = 1п[1 + а(Т - Т0)] ,

(2)

где а - коэффициент температурного расширения материала мембраны.

Упругие деформации несжимаемого материала согласно закону Гука [1] удовлетворяют соотношениям

= 1 (О " °'5°2) ' Е

е1 = 1 (о2 - °,5°1) , Е

(3)

где Е - зависимый от температуры модуль Юнга.

Коэффициент Пуассона V равен 0,5. Пластические деформации свяжем степенным законом деформационной теории Девиса-Надаи [2]

Со временем термофиксации (при t > 0) исходные деформации е*, 8* останутся неизменными по величине, но будут состоять в общем случае уже из упругих, пластических, температурных и развивающихся во времени деформаций ползучести е, е2 соответственно:

е* = ее(г,т) + ер(Г;Т) + еТ + еС(Г,Т) ; е*2 = ее2 0;Т) + ер 0;Т) + ет + е2 0;Т). (9)

Дифференцируя эти равенства по времени, получим соотношения скорости упругих деформаций и деформаций ползучести

ер = Ло™-1(о1 - °,5о2 ); ер = Лот-1(о2 - °,5о1);

= 7?

2 2 о, = \/о, + о2 - о1о2

(4)

(5)

где oi - интенсивность напряжений; т и А -зависимые от температуры пластические характеристики материала мембраны.

Из соотношений (2) - (5) следуют выражения для определения напряжений в момент выпрямления и нагрева мембраны в каждой точке радиуса г:

о =

2Е(2 е + е2)

1 = 3(1 + ЛЕот-1)

2Е(2 е2 + е1) 3(1 + ЛЕот-1) Е

I л т —

--+ Лог- = е,'

О,

о9 =

(6) (7)

где использованы следующие обозначения:

т.

е = е1 - е

__* Т

е2 = е2 - е ;

- .4 _2 - 2 -е ^з (е1 + е2 + е1е2).

(8)

После численного решения нелинейного алгебраического уравнения (7) можно определить поле напряжений в момент начала термофиксации из выражений (6). Поля напряжений обозначим о = о(°;Т) и о2 = о2(0;Т); эти напряжения будут отрицательными, поскольку отрицательными являются определяющие их величины е и е2 .

о = ¿5 + ¿1;

о = ¿| + ¿|.

(10)

Поскольку ¿1 = ¿2 = 0 по условиям термо-

фиксации, ¿'

V _ А.Р _

0 в силу отсутствия ак-

тивного этапа нагружения оболочки, ¿т = 0 в силу неизменной разности температур д = Т - Т0 (точкой здесь и далее обозначены производные по времени).

Используем закон установившейся ползучести в степенной форме [3]

ес2-ВоГ\о2- 0,5ох),

(11)

где п и В - зависимые от температуры характеристики ползучести материала мембраны.

Интенсивность напряжений определяется соотношением (5); получаем связи скоростей деформаций ползучести с напряжениями. Дифференцируя закон Гука (3) по времени, свяжем скорости упругих деформаций со скоростями изменения напряжений

¿1 = - 0,5ст2);

¿1 ^(Й2-0,5ст1).

(12)

Из соотношений (10) - (12) получаем систему дифференциальных уравнений для напряжений как функций времени t при заданной температуре Т: о^Т) и о2(^;Т):

(Ст! - 0,562)+ЕВС"~1(С1 - 0,5о2) = 0;

(ст2 - 0,56^ +ЕВС"-\С2 -0,50^ = 0-

(13)

Начальные условия этой системы (о1(0;Т) и о2(0;Т)) являются решениями системы уравне-

2

ний (6), (7). Система (13) с указанными начальными условиями допускает решение в аналитическом виде

82 = 82 +

а^Т) —

а1 (0;Т)

81 = 81 +

1

+ ЛоГ%;Т0)

[а^Т) - 0,5а2 (?1;Т0)];

+ Лот-%;То)

[а2 (^;То) - 0,5^;^)] ;(17)

{1 +1 (п - 1)£Е[а, (0;Т )п-1]}п-1

а2 (Г ;Т) =-^-г,

{1 +1 (п - 1)£Е[а,(0;Т )п-1]}п-1

(0;Т) = ^(0;Т) + а2(0;Т) - а^Т^(0;Т) .(14)

Зная напряжения в любой момент термофиксации, можно определить соответствующие им упругие составляющие деформации мембраны по закону Гука (3). Когда обратимые упругие и температурные деформации известны, можно определить необратимые (остаточные) деформации мембраны 80 и 80, состоящие из деформаций пластичности и деформаций ползучести [1]: 80 = 8 ? + 8^ и

82 = 82 + 82 . Эти остаточные деформации можно выразить как разность фиксированных деформаций и их обратимых составляющих:

80(1;Т) = 8! - (8Т + 8е) = 8! - 1п[1 +

+ а(Т - Т,)] -1 [а^;Т) - 0,5а2 (Г;Т)];

Е

82(Г,Т) = 82 - (8Т + 82) = 82 - 1П[1 +

+ а(Т -Т0)] -1 [а2(г;Т) - 0,5^^)]. (15)

Е

Если в момент времени ^ = охладить нагруженную мембрану до исходной температуры Т0, то полностью исчезнут ее температурные деформации: 8 = 0. При этом фиксированные деформации мембраны 8* и 8* можно будет представить в следующем виде:

81=81 (11,т )+^ (^Т)+8еее);

82 = 822(Ч;Т) + 82(^Т) + 82(Ч;Т0) . (16)

Используя соотношения упругости и пластичности (3) - (5), выражения (16) можно представить в следующем виде:

Е

Из этих соотношений можно выразить напряжения, возникшие в мембране после ее термофиксации и охлаждения до исходной температуры Т в произвольной точке радиуса мембраны г

а1(г1;Т0) =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2Е(28 + 82) 3[1 + ЛЕаГ-1(Г1;Т0)]!

а2 (Ц;Т0) = 2Е(212 + 81)

Е

а, (Ч';Т0 )

= * О = * О

где 8! = 8* - 8° ; 82 = 82 - 82 ;

3[1 + ЛЕа"т-1(г;Т0)] + Лат) = 8,

(18) (19)

8 Ч 3 (8

4^=2 =2 = =

8182 )

После определения интенсивности напряжений мембраны а.(^ ;Т0) из нелинейного алгебраического уравнения (19) можно из выражений (18) определить поля напряжений в мо-ме1нт окончани2я термофиксации и последующего охлаждения, которые обозначим а1 = а1(?1;Т0) и а2 = а2(?х;Т). Эти напряжения, являющиеся функциями радиуса мембраны г, могут быть и положительными, и отрицательными, и нулевыми в зависимости от значений

= * 0 = * 0 величин 8 = 8* - 8^ и ^ = 8* - 80 .

Естественная цель правки заключается в получении неотрицательньного поля напряжений а1 = а1(г1;Т0), а2 = а2(г1;Т0) в выпрямленной мембране после ее термофиксации и охлаждения. Нулевое поле напряжений создаст устойчивое положение плоской мембраны, а положительное поле напряжений натянет мембрану на ее жесткий контур. Результаты термофиксации зависят не только от значений используемых температур и длительности

процесса, но и от величины изначальных от* *

рицательных напряжений а* и а*, определяемых тем или иным способом выпрямления изогнутой мембраны. Зная заранее исходные величины а* и а*, Т0 и Т при ^ = 0 можно

определить длительность термофиксации для осуществления рассматриваемой правки.

Выводы. Практический метод проб и ошибок по определению длительности термофик-

*

а

2

*

сации заменяется математическим моделированием этого процесса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

2. Бурлаков А.В., Львов Г.И., Марачковский О.К. Ползучесть тонких оболочек. - Харьков: Вища школа, 1977. - 123 с.

3. Горев Б.В., Клопотов И.Д., Раевская Г.А., Соснин О.В. К вопросу обработки металлов давлением в режиме ползучести // ПМТФ. 1980. № 5. С. 185 - 191.

© 2018 г. В.А. Панамарев Поступила 04 апреля 2018 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.