О наилучшем приближении непрерывного многозначного отображения алгебраическим полиномом Текст научной статьи по специальности «Математика»

к __

2><>с-ш„+*-/,» = 5о,*> к = 0,т„-\, (9)

1=0

где а^ „ и С_к „ определяются равенствами (3) и (6) соответственно.

Доказательство. Из (4) следует

к _

£ = 0,ОТ„-1, (10)

(=0

где Ат^+р^п, р~ 0,1,... - коэффициенты тейлоровского разложения функции А (л) в окрестности точки Хп. С другой стороны, из свойств собственных и присоединенных функций вытекает

к _

2>/,„(0к = 0,т„-1. (11)

(=0

Кроме того, нетрудно показать, что

&mn+p,n=-!o4>p,n(x)(P'n„-iAx)dx> Р = 0,т„-1. (12)

Из (10) - (12) следует (9). □

Возвратимся к доказательству теоремы единственности. Согласно (9), из тп=тп, ak n = ак>„, к = 0,тп -1 вытекает С_/ п = С_, „, 1 = \,т„.

Отсюда, в силу (6) и Х„ = Хп, п = 0,оо, получаем, что и

следовательно, согласно теореме 3, L = L . □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Freiling G. and Yurko V. A. Inverse spectral problems for second-order differential operators. Part 1 // Schriftenreiche des FB Mathematik der Universitaet-GN-Duisburg. 1999. Vol. 458. 118 s.

2. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

3. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук, думка, 1977.

УДК 519.853.3 + 517.518.82 И. Ю. Выгодчикова

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНОГО МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ

1. Пусть gfi) и g2(t) - непрерывные на отрезке [0; l] функции, причём gx(t) <g2(t) при t е [0;l], Обозначим через pn(A,t) = a0+alt+...+a„t" полином п-ой степени с вектором коэффициентов А = (а0,а1,...,а„),

ф(0 = к(0.^2(0] - многозначное отображение (м.о.), сопоставляющее каждому значению г е [0;1] соответствующий отрезок.

Рассмотрим следующую задачу о наилучшем приближении м.о. ф(/) полиномом п-ой степени:

тахтак{р„(А,1)~ р„(А,1)}---> т£ С1)

/ф;1] ЛеЯ

Обозначим через р= М тахтах{/;„(А, 1)-£[(¡),ё2(0-Р„(Л0 .

АеК■+> Ге[0;1]

2. Рассуждениями, аналогичными [1, гл. 6, §8], сведём задачу (1) к задаче выпуклого программирования. Для этого обозначим

У = {I, I) е Я2, в = {($,*)е Я21\ 6 {-1,1}/ е [0Д]>,

+ йрп{АЛ - &(*)]+-ФпШ) - г2(0].

Тогда задача (1) эквивалентна задаче;

<// (2) фЫ) = тах р{А, У)-> М .

Уев

Функция F(Л,7) непрерывна вместе с = на Я"+1*С.

8А

Более того, она выпукла по на /?"+1 при каждом фиксированном У е б. Следовательно, (см., например, [2]), и функция ф(А) является выпуклой на

, причём её субдифференциал выражается формулой

11(А)={УеС/Р(А,Г)=<р(А)}. Тогда, в соответствии с известной теоремой выпуклого анализа [2], имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы вектор А* был решением задачи (2), а следовательно, и задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы 0л+1 е где Зф(А) определяется формулой (3).

3. С помощью теоремы 1, а также леммы [1, с. 292, лемма 8.1] доказаны следующие факты.

ТЕОРЕМА 2. Решение задачи (1) существует. Для того чтобы вектор А был решением задачи (1), необходимо и достаточно чтобы:

а) либо нашлась хотя бы одна точка С е [0;1], в которой уклонение м.о. ф(г) от полинома р„(А*было максимальным на [0;1] и совпадало одновременно с уклонениями р„(А*,() от функций и £2(0> то есть:

р„(А*/) ~ = g2(t*) - р„(А*,Г) = 14

(3)

= max max\p (A*,t) - g,(0,g2(0 ~ PJA* J)}= i

б) либо нашлись точки {t, \i = 0, л + LO < t0 < tl <... < tn+y < 1, в которых уклонение м.о. ф(?) от полинома р„(А*,t) было максимальным на [0;l], то есть р(А*) = тах\рп(А*,tj)~ g^tj), g2(tt)~ / = 0, и + 1; причём

если р(А*) = p„(A*,tj)-gi (i,) (соответственно, р(А*) = g2(ti)- р„(А*,1,)), то р (A*) = g2(ti+1)-pJA*,ti+l) (соответственно, р(А*)= p„(A*,ti+1)~ - g¡(ti+i)) для всех I = 0,и.

ТЕОРЕМА 3. Если выполняется неравенство

P>^max[g2(i)-gi(0], (4)

2 fe[0,l]

то решение задачи (1) единственно.

Нижеследующие простые примеры показывают, что решение задачи (1), в случае, если не выполняется условие (4), может быть неединственным, и даже в случае единственности решения, оно может не совпадать с решением задачи П. JI. Чебышева об отыскании полинома наилучшего

приближения для функции g(0=^(gi(0 + £г(0)-

Возьмём gi(0=0, g2(t)=l + t, (е [0;1].

Рассмотрим случаи:

при п - 0 единственным решением задачи (1) является Po(t)= 1, в то время как р\ (f) s 3/4 - единственное решение соответствующей задачи

П. JI. Чебышева о наилучшем приближении функции g{t) = +1) полиномом 0-степени на отрезке [0; l];

при п = 1, как следует из теоремы 2 (выполняется ситуация а)), решениями задачи (1) являются все полиномы p1(a,t)= a + (l - a)t, У a e [ОД].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демьянов В ФМсиюземов В. Н. Введение в минимакс. М: Наука, 1972.

2. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука,

1981