О МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ МНОГОМЕРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2021, Том 23, Выпуск 1, С. 43-59

УДК 517.952

DOI 10.46698/u4295-5273-0507-x

О МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ МНОГОМЕРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

И. В. Рахмелевич1

1 Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, РОССИЯ, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 E-mail: igor-kitpd@yandex. ru

Аннотация. Рассмотрен класс мультипликативных дифференциальных уравнений в частных производных. Левая часть уравнения представлена в виде произведения линейных дифференциальных выражений произвольного порядка, а правая часть является функцией независимых переменных и искомой функции. Для уравнения с одномерными линейными дифференциальными операторами и факторизуемой правой частью получены решения с аддитивным, мультипликативным и комбинированным разделением переменных. При этом исходное уравнение редуцировано либо к обыкновенному дифференциальному уравнению, либо к уравнению в частных производных меньшей размерности. Показано, что если операторы в левой части уравнения являются однородными, то уравнение имеет решения в виде обобщенных полиномов. Также для уравнения с однородными операторами найдены автомодельные решения и сформулированы достаточные условия их существования. Получены решения типа бегущей волны для случая операторов с постоянными коэффициентами и правой части, зависящей от линейной комбинации независимых переменных. Показано, что если правая часть уравнения зависит от нескольких линейных комбинаций на подмножествах независимых переменных, то имеются решения типа многомерных бегущих волн, зависящие от этих линейных комбинаций. Получено решение в виде разложения по собственным функциям ядер линейных операторов, входящих в состав левой части уравнения. Также исследованы некоторые уравнения с многомерными линейными операторами. В частности, получены решения с разделением переменных для случая факторизуемых многомерных операторов, а также решения типа многомерных бегущих волн и решения в виде функций от аргументов более сложной структуры. Рассмотрены случаи, когда правая часть уравнения содержит степенные и экспоненциальные нелинейности по искомой функции.

Ключевые слова: мультипликативное дифференциальное уравнение, линейный дифференциальный оператор, разделение переменных, решение типа бегущей волны, автомодельное решение.

Mathematical Subject Classification (2010): 35G20.

Образец цитирования: Рахмелевич И. В. О мультипликативных многомерных дифференциальных уравнениях в частных производных // Владикавк. мат. журн.—2021.—Т. 23, вып. 1.—С. 43-59. DOI: 10.46698/u4295-5273-0507-x.

Введение

Одним из основных направлений современной математической физики является исследование многомерных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и нахождение их точных решений [1-12]. Важным классом таких уравнений являются мультипликативные уравнения, которые содержат произведения частных производных искомой функции или степенных функций от этих производных. Задачи, сводящиеся

© 2021 Рахмелевич И. В.

к уравнениям такого типа, встречаются, в частности, при описании движении нелинейной вязко-пластической среды, а также в теории оптимальной коррекции случайных возмущений [1]. Результаты исследования таких уравнений представлены как в известных справочниках [1, 3], так и в оригинальных работах [6, 7, 9]. Так, в работе [9] для мультипликативного уравнения произвольного порядка получены автомодельные решения, решения типа бегущей волны, псевдополиномиальные решения и некоторые обобщения указанных типов решений. При этом существенный интерес представляет исследование общих свойств решений для наиболее широких классов таких уравнений. С этой целью в данной работе рассматривается класс мультипликативных дифференциальных уравнений, содержащих произведение дифференциальных выражений, включающих линейные дифференциальные операторы, действующие по некоторым подмножествам независимых переменных. Рассмотрены случаи, когда уравнение содержит как одномерные, так и многомерные линейные дифференциальные операторы. При этом в качестве основного метода исследования используется метод разделения переменных (РП), который остается одним из наиболее эффективных и широко используемых методов решения линейных и нелинейных уравнений в частных производных.

1. Постановка задачи. Уравнение с одномерными линейными операторами

Рассмотрим следующий класс многомерных мультипликативных дифференциальных уравнений относительно неизвестной функции и(Х 1,Х2,... ):

N

и(Х1, Х2, . . . , ХN)) = /(Х1, . . . , ХN) д(п). (1.1)

г=1

Здесь ЬХ; — линейный одномерный дифференциальный оператор порядка Мг, действующий по переменной Хг, который имеет вид

М;

( д \т

т=1

где атг (Хг) — некоторые заданные функции.

Представим множество значений I = |1,...,Ж} индекса п, нумерующего независимые переменные, в виде объединения К непересекающихся подмножеств 1к (к = 1,..., К); <1к Q (I \ 1к). Тогда множество переменных X = {Х1, Х2,..., ХN} может быть разбито на К непересекающихся подмножеств Х^ = {Хп}пе/к. Число элементов в множествах , Хк обозначим как N. Также далее всюду будем обозначать Лп = кег ЬХп. Для сокращения записи будут использоваться обозначения вида и(Х), /(X) вместо и(Х1, . . . ,Х^, /(Хь...,Х^.

Теорема 1.1. Пусть правая часть уравнения (1.1) удовлетворяет условиям

N

/ (X )=П /г(Хг), д(и) = 1. (1.3)

г=1

Тогда уравнение (1.1) имеет множество решений вида

к

и(Х) = ^ Ц ^п(Хп), (1.4)

1=1 пе/

причем функции Уп(хп) удовлетворяют уравнению

[Уи(Хп)]Мк-1ЬХп Уп = Хп/п(Хи), (1.5)

где Лп — постоянные, удовлетворяющие условию

N

П Лп = 1. (1.6)

п

п=1

< Пусть г € 1к — некоторое произвольно выбранное значение индекса. Из соотношений (1.2) и (1.4) получаем

ЬХгп(Х) = П vj{xj). (1.7)

Подставим функцию (1.4) в уравнение (1.1). Тогда с учетом (1.3) и (1.7) это уравнение можно преобразовать к виду

Левая часть уравнения (1.8) представлена в виде N сомножителей, зависящих от разных переменных. Так как правая часть (1.8) постоянна, то каждый из этих сомножителей должен быть равен некоторой постоянной Л^. Тогда из (1.8) следует уравнение (1.5) и соотношение (1.6) для постоянных. >

Следствие 1.1. В частности, множеству решений (1.4) принадлежат следующие решения уравнения (1.1):

1) при К = N — решение с аддитивным разделением переменных:

и(Х ) = ^ Уп(хп), Ьхп Уп = Лп/п(жп); (1.9)

п=1

2) при К = 1 — решение с мультипликативным разделением переменных:

N

и(Х) = Л Уп(Жп), К(Жп)^Уп = Лп/п(Хп). (1.10)

Следующая теорема определяет возможность понижения размерности уравнения (1.1) для некоторых частных случаев.

Теорема 1.2. 1. Пусть функции в правой части уравнения (1.1) имеют вид

к

/(X) = П /ы(Хк), д(и) = ехр(7и), (1.11)

к=1

где Хк —введенные выше подмножества независимых переменных. Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида

к

и(Х ) =

к=1

(X ) = ^ 1!к(Хк), (1.12)

причем функции (X*) удовлетворяют уравнениям

ехр(-7Ц*(X*)) Д (£*.Ц*(X*)) = Д(X), (1.13)

ге/к

где — некоторые постоянные, связанные соотношением

к

П^ = 1- (1-13а)

*=1

2. Пусть функции в правой части уравнения (1.1) имеют вид

к

/(X) = П Д№), 5(и)= и7- (1-14) *=1

Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида

*(Х) = П ^(Хл), (1.15)

к

и(Х ) =

*=1

причем функции Ц. (X*) удовлетворяют уравнениям

Ц(X*-7 [] (£л.Ц*(X*)) = /*(Х*), (1.16)

шк

где —некоторые постоянные, связанные соотношением (1.13а).

< 1. Подставляя функцию (1.12) в уравнение (1.1), с учетом (1.11) преобразуем его к виду

к (

' ' ' '->х.

П [Д(Х*) ехр(7Ц*(X*))] 1 П (Д*Ц*(X*)) = 1. (1.17)

л=1 I ге/к )

Левая часть уравнения (1.17) представлена в виде произведения К сомножителей, зависящих от разных подмножеств переменных. Так как правая часть (1.17) постоянна, то каждый из этих сомножителей должен быть равен некоторой постоянной . Отсюда следует уравнение (1.13) и соотношение (1.13а) для постоянных.

2. Подставляя (1.15) в уравнение (1.1), после некоторых преобразований приводим уравнение к виду

( Ц(X*)]м-Мк

Проводя для уравнения (1.18) рассуждения, аналогичные п.1 доказательства, приходим к уравнению (1.16) и условию для постоянных (1.13а). >

Теорема 1.3. Пусть функции в правой части уравнения (1.1) определяются выражениями

N

/(X) = П /г(Хг), 0(и)= ^, (1.19)

г=1

где N = N — N/K; K > 1 — один из делителей числа N. Предполагается также, что все подмножества Ii С I содержат одинаковое число элементов Ni = N/K. Тогда уравнение (1.1) имеет множество решений вида

к

u(X) = П1] vn(xn), (1-20)

1=1 гае/г

причем функции vn(xn) удовлетворяют уравнению

L xn Vn = А nfn(Xn), (1-21)

где Ап — постоянные, удовлетворяющие условию (1.6).

< Решение уравнения (1.1) ищем в виде (1.20). Из (1.2) и (1.20) получаем

ie/k Uk (Xk)

U{X) ЬхМъ), (1-22)

где

Uk(Xk ) = Y1 Vi(Xi)- (1.22а)

ie/k

Тогда левую часть (1.1) можно преобразовать так:

N K ( Л

П u(X)) = [u(X)]N П [Uk(Xk)]-Nk П (LxiVi(Xi^ . (1.23)

i=i k=1 l ie/k )

Так как по условию теоремы Nk = N/K для всех k, то из (1.23) находим

N N

П (Lxiu(X)) = [u(X)]N П (LXiVi(Xi^. (1.24)

i=1 i=1

С учетом (1.19) и (1.24) уравнение (1.1) приводится к виду

'jXjVi{x fi(Xi)

= (1.25)

i=1

Разделяя переменные в (1.25), получаем уравнения (1.21) для функций Vi(xi) и условие (1.6) для постоянных разделения. >

Теорема 1.4. Пусть в уравнении (1.1) ЬХг — однородные операторы вида

Мг / г\ \ т

= Е (¿) ■ (1.2а)

т=1 4 7

а правая часть (1.1) может быть представлена как

N

/ (X ) = /оП хГ. (1.27)

i=1

Тогда уравнение (1.1) имеет решение в виде обобщенного полинома

к

и(Х) —£ ^, (1.28) ¿е/г

где А — произвольные постоянные, а показатели ст определяются выражением

« = (1.29)

< Решение уравнения (1.1) ищем в виде (1.28). Тогда для некоторого произвольно выбранного значения г € можно записать

ьхмх) = Ак^$^Цх?- с1-30)

Х зе/к

Подставляя (1.28) в левую часть уравнения (1.1) и учитывая (1.30), находим

п фхмх)) = П (и П п (1-31)

¿=1 А=1 I \ ¿е/к ) ге/к 1 )

Далее, используя выражение (1.26) для оператора , получаем

(1.32)

Ш. т-1

) — £ (стг - ¿). (1.32а)

т=1 .7=0

На основании (1.31), (1.32), (1.32а) левую часть уравнения (1.1) преобразуем к виду

N N

П(4г и(Х )) — С )П ^, (1.33)

<-П х Н — С ( I , . . . , N /I Iх,

¿=1 ¿=1

где коэффициент С (ст1,..., стм) определяется выражением

к N

С) — П А^П). (1.33а)

к=1 ¿=1

Используя (1.27) и (1.33), получаем

N

С(СТ1,..., ^) П — /о. (1.34)

¿=1

Уравнение (1.34) можно удовлетворить только в том случае, если ст определяются выражением (1.29). При этом из (1.34) и (1.33а) следует, что постоянные А связаны соотношением

к N

П<кП ^(ст*) — /о. > (1.35)

к=1 ¿=1

Примечание. Если параметры уравнения таковы, что хотя бы при одном значении i € I выполнено условие Qi(o"i) = 0, то из соотношения (1.35) следует, что решение вида (1.28) существует только при /о = 0, т. е. при нулевой правой части уравнения (1.1).

Теорема 1.5. Пусть в уравнении (1.1) LXi — однородные операторы вида (1.26), а правая часть удовлетворяет условию

N N

/(X)= ^(у)П , y = П Xj, (1.36)

i=i j=i

где ^(y) — некоторая заданная функция. Пусть также для всех i € I выполнено условие

ai - ri = р, (1.37)

где р — некоторая постоянная.

Тогда уравнение (1.1) имеет автомодельное решение u = U (y), причем функция U (у) является решением следующего ОДУ:

N / Mi \

П Е a&ru(m)(y) = yp^(y)g(U). (1.38)

i=1 \m=1 /

< Подставляя функцию u = U(y) в уравнение (1.1), с учетом (1.26) и (1.36) получаем

N / Mi \ N

П Е «¡S^U^y) = ^(y)g(U^nxai. (1.39)

i=1 \ m=1 / i=1

Из (1.39) следует, что это уравнение может быть сведено к ОДУ относительно U(y) только в том случае, если для для всех i € I выполнено условие (1.37). Предполагая указанное условие выполненным, получаем уравнение (1.38) для функции U(y). >

Теорема 1.6. Пусть в уравнении (1.1) LXi — операторы с постоянными коэффициентами, т. е. ami(xi) = const при всех i € 1,1 ^ m ^ Mi. Пусть также правая часть удовлетворяет условию

N

/(X)= p(z), z = ^2 CiXi. (1.40)

i=1

Тогда уравнение (1.1) имеет решение типа бегущей волны u = U(z), причем функция U (z) удовлетворяет следующему ОДУ:

N / Mi \

П Е amic^U(m)(z) = ^(z)g(U). (1.41)

i=1 \m=1 J

< Подставим функцию u = U(z) в уравнение (1.1). При этом в силу условия ami(xi) = const каждый из сомножителей в левой части (1.1) зависит только от переменной u = U(z). Тогда, в результате элементарных преобразований, приходим к уравнению (1.41). >

2. Решения более общего вида с разделяющимися переменными

Пусть правая часть уравнения (1.1) имеет вид (1.3). Будем искать решение уравнения (1.1) более общего вида:

u(X) = W П Vn(Xn) П Wn(Xn) } , (2.1)

1=1 I rae/i raeJi )

где г>га(жга) — неизвестные функции, подлежащие определению в дальнейшем; ^га(жга) € Лп для всех п € /. Пусть г € — некоторое значение индекса. Используя выражение (2.1), преобразуем сомножитель в левой части (1.1), содержащий оператор :

LXiu = vn(xn) wn(xn) + LxtW% ^ < vn(xn) адга(жга) >. (2.2)

V¿ ^^i I I

ne/k neJfc les(í) ^ ne/¡ neJ¡ J

Здесь 2(i) — множество значений l, для которых i € J.

Из условия wn(xn) € Лп следует, что второе слагаемое в правой части (2.2) тождественно равно 0, поэтому

LXiu = —vn(xn) wn(xn). (2.3)

¿ ne/k neJk

Используя соотношение (2.3), левую часть уравнения (1.1) представим в виде N к f; ^

П М = П П Гтг п П ■ (2.4)

I V¿ I

í=i fc=i ¿e/k ^ ne/k neJk /

Для второго и третьего сомножителей в правой части (2.4) можно записать следующее:

П { П Vn(*n)j = П [Vi(x¿)]Nk, П { П Wn(xnU = П [Wi (x¿)]Nk. (2.5) íe/k l ne/k J ¿e/k ¿e/k l ne/k J ¿eJk

Учитывая (1.3), (2.4), (2.5), уравнение (1.1) можно представить в виде

N N

n{[Vi(x¿ )]Nk-1K(Xi)]0i LXi V¿} = П /¿(x¿), (2.6)

Xi

i=1 i=1

где й = Екез(г) ^.

Разделяя переменные в уравнении (2.6), получаем, что функции ^(ж^) должны удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ)

К(хг V = Лг/г(жг Ж (хг)]-^, (2.7)

причем постоянные Л^ должны удовлетворять условию

N

ПЛг = 1. (2.8)

г=1

Итак, в результате проведенных выше рассуждений доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть правая часть уравнения (1.1) имеет вид (1.3). Тогда уравнение (1.1) имеет множество решений вида (2.1); входящие в него функции г>га(жга) удовлетворяют уравнению (2.7), функции адга(жга) таковы, что для всех п € / € Лп, а постоянные Лп удовлетворяют соотношению (2.8).

В приведенных ниже теоремах 2.2, 2.3 предполагается, что множество 2 = {1,..., К} значений индекса к разбито на 5 непересекающихся подмножеств (з = 1,..., 5), причем подмножество состоит из К элементов. Теорема 2.2 содержит обобщение решения

типа бегущей волны на случай, когда решение зависит от нескольких линейных комбинаций независимых переменных.

Теорема 2.2. Пусть в уравнении (1.1) LXi — операторы с постоянными коэффициентами, т. е. ami(xi) = const при всех i € 1, 1 ^ m ^ Mi. Пусть также функции в правой части уравнения (1.1) определяются выражениями

к

f (X) = Л k(zk), zk = CiXi, g(u) = 1. (2.9)

k=1 i€/fc

Тогда уравнение (1.1) имеет множество решений вида

S

) = Е П Uk(zk). (2.10)

S

u(X ) = '

s=1k€Hs

Функции Цк(гк), входящие в (2.10), удовлетворяют уравнениям

Ц (гк )]Ка-1Тк Цк (гк) = Лк ^к (гк). (2.11)

Здесь Тк — нелинейные дифференциальные операторы, определяемые выражением

Mi

TkUk(Zk) = П amicmukm)(zk). (2.12)

ie/fc m=1

Постоянные Ak должны удовлетворять условию

к

L[Ak = 1. (2.13)

к=1

< Выбрав (2.10) в качестве предполагаемого вида решения и подставив в уравнение (1.1), преобразуем левую часть (1.1) следующим образом:

N S К ( Л

П * и = П П П * и = П [Цк (гк )]К*-1 П (Д* Цк (гк)) . (2.14)

г=1 8=1 кеП3 г&1к к=1 I г€/к )

Используя (2.14) и (2.9), уравнение (1.1) можно представить в виде С учетом (1.2) и выражения (2.9) для гк можно записать:

Дх4Цк(гк) = атгс™икт)(гк). (2.16)

т=1

Разделяя переменные в (2.15) и учитывая (2.16), получаем уравнение (2.11) с операторами Тк, определяемыми выражением (2.12), и условие (2.13) для постоянных разделения. >

Теорема 2.3. Пусть в уравнении (1.1) LXi — однородные операторы вида (1.26), а правая часть удовлетворяет условиям

f (X) = П Uk(Ук) П , Ук = П Xi, g(u) = 1, (2.17)

к=1 I ie/k J ¿e/fc

где ^fc (ук) — заданные функции. Пусть также для всех i € 1к выполнены условия

ai - ri = pfc, (2.18)

где pfc — некоторые постоянные.

Тогда уравнение (1.1) имеет множество решений вида

S

u(X) = E П Vk(Ук), (2.19)

s=i kens

где функции Vk(ук), входящие в (2.19), удовлетворяют уравнениям

[Vk (Ук )]К*-1Як Vk (ук) = Ак урк ^к (Ук). (2.20)

Здесь Кк — нелинейные дифференциальные операторы, определяемые выражением

Mi

Кк^к(Ук) = Д Е amiУ^Ч^Ы, (2.21)

ie/fc m=1

причем постоянные Ак должны удовлетворять условию (2.13).

< Подставив выражение (2.19) в уравнение (1.1), преобразуем левую часть этого уравнения аналогично теореме 2.2:

N S K ( Л

П u = П П П (^Xiu = П V(Ук)]Ks-1 П (bxi^к(Ук)) . (2.22)

i=i s=i кеп3 ie/fc к=1 I ie/fc J

Далее, используя (2.22), (2.17) и (1.26), преобразуем уравнение (1.1) к виду

ь=1 I V

В силу условий (2.18) при всех к справедливо соотношение

П п (V" £ } = 1. (2.23)

П*Г°' = • (2.24)

С учетом (2.24), уравнение (2.23) можно переписать в виде

П П (Е »-рГИ } - 1. (2.25)

к—11 — 1 /

Разделяя переменные в (2.25), получаем уравнение (2.20) с операторами Кк, определяемыми выражением (2.21), и условие (2.13) для постоянных разделения. >

3. Уравнение с многомерными линейными операторами

В данном разделе рассмотрим уравнение с линейными дифференциальными операторами, действующими по некоторым подмножествам независимых переменных:

К

[](ТХк «(X)) = / (ХМи). (3.1)

к=1

Здесь Тхк — линейный многомерный дифференциальный оператор порядка М*, действующий по подмножеству переменных X* , который имеет вид

Мк ' д "

т=

1 <г(т) ге/к

где аСТт (X*) — некоторые заданные функции, а(ш) = (шг}ге/к — мультииндекс, определяющий порядок дифференцирования по каждой из независимых переменных. Смысл обозначений X, X*, I* тот же, что и в п. 1. Предполагается также, что при всех ш для каждого из слагаемых, входящих в (3.2), выполнено условие

У^ шг = ш. (3.2а)

ге/к

Теорема 3.1. Пусть в уравнении (3.1) при всех к Тхк = Пге/к ТХ4, а правая часть удовлетворяет условиям (1.3). Тогда уравнение (3.1) имеет множество решений следующего вида:

я

«(Х) = £ П ГЬо*). (3.3)

«=1 кеп3 ге/к

Функции г>г(жг), входящие в (3.3), удовлетворяют уравнениям

К(хг)]К*-1Тх У = Лг/г(Жг), (3.4)

где Лг — постоянные, удовлетворяющие условию (2.8).

< Для произвольного к, используя функцию (3.3), определяющую предполагаемый вид решения, можно записать:

ь.-ПП-.иП^ (з-ч

1еп3 ¿е/г ге/к п г;

Учитывая (3.5), левую часть уравнения (3.1) представим в виде

П (2V) = П {(П П П чы) (П П }• (3.6)

к=1 «=11 \кеп31еп3 зе/1 / \кеп3 ге/к г' ' )

Первый сомножитель в круглых скобках в правой части (3.6) можно преобразовать так:

П П П ** X)= П П [Уг(Хг)]Кз. (3.7)

*еп31еп3 ^'е/; кеп3 ге/к

Тогда, с учетом (3.6), (3.7) и (1.3), уравнение (3.1) приводим к виду

ПМ ЫХг)}К°~1ЬХ1У^Хг)

^ Ш -1- (3-8)

Разделяя переменные в (3.8), получаем уравнение (3.4) для функций гг(жг). >

Следствие 3.1. Если все подмножества содержат по одному элементу, т. е. К = 1 при всех з = 1,..., Б, то множество решений (3.3) имеет вид

к

и(Х) = Е П гг(жг), (3.9)

к=1

а функции г^(жг) удовлетворяют линейным ОДУ:

¿ж гг = Аг/г(Жг). (3.10)

Данное утверждение непосредственно вытекает из теоремы 3.1.

Теорема 3.2. Пусть для всех к € 2, 1 ^ т ^ Мк существуют такие постоянные Сг (г € /к), для которых выполняются соотношения

^ ^(т) (Хк) Д С™; = £тк(¿к), (3.11)

где £тк(¿к) —некоторые произвольные функции; ¿к, /(ж1,... ) определяются соотношениями (2.9). Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Если д(и) = ехр(7и), то уравнение (3.1) имеет решение

к

и(Х) = ^ ик(¿к), (3.12)

к=1

где [/"к(¿к) удовлетворяют уравнениям

Мк

Е ^тк(¿к)икт)(^к) = Ак^к(¿к)ехр(7^к(¿к)). (3.13)

Т(т)

^тк (¿к )и т=1

2. Если д(и) = и7, то уравнение (3.1) имеет решение

к

и(Х) = Ц ик(¿к), (3.14)

к=1

где [/"к(¿к) удовлетворяют уравнениям

Мк

Е ^тк(¿к)и(т)(^к) = Ак^к(¿к)[ик(¿к)Г+1-К. (3.15)

Т(т) (^ \ — \ (иг Т (-, М7+1-К ,тк (¿к )и

т=1

3. Если д(и) = 1, то уравнение (3.1) имеет множество решений вида

я

и(Х) = £ [] ик(¿к), (3.16)

«=1кеп3

где Ц*(г*) удовлетворяют уравнениям

Мк

£ Стк(г*)Ц*т)(г*) = Лкр*(г*)[Ц*(г*)]1-К. (3.17)

т=1

Постоянные Лк во всех трех случаях должны удовлетворять условию (2.13).

< Предполагая выполненными условия (3.11), для всех к € 2 можно записать:

Мк

ТХкЦ*(г*) = Е Стк(г*)Ц*т)(г*). (3.18)

т=1

Рассмотрим частные случаи, перечисленные в условии теоремы.

1. При д(и) = ехр(7«), подставляя (3.12) в (3.1) и учитывая (2.9) и (3.18), приводим уравнение (3.1) к виду

й!22^1!^^)}-- с-«)

Разделяя переменные в (3.19), получаем уравнения (3.13) для функций Ц*(г*) и условие (2.13) для постоянных Лк.

2. При д(-и) = и7 путем аналогичных рассуждений, получаем уравнение (3.15).

3. Подставляя выражение (3.16) в левую часть (3.1), получаем

*=1 8=1 кеп3 I ку ку 1еп3 )

Внутреннее произведение в правой части (3.20) преобразуется так:

п {Ьии(к}? П №)} = П {Шгк)]К^ЬХкик(гк)} . (3.21)

кеп3 I к ( к) 1еп3 ) кеп Используя (3.18), (3.20), (3.21) и (2.9), уравнение (3.1) приводим к виду

П { ^ ^{гк)и1т\гк)\ = 1. (3.22)

'к

к=1 I гк\~к т=1

Разделяя переменные в (3.22), получаем уравнение (3.17). >

Теорема 3.3. Пусть в уравнении (3.1) при всех к Тхк — многомерный однородный по производным линейный оператор порядка М* с постоянными коэффициентами, определяемый выражением

Ьхк = £ аа(Мк) П — ' (3"23)

а(Мк) ге/к 4 7

где ) — мультииндекс, определенный выше, а для каждого слагаемого в правой части (3.23) выполняется условие

£ шг = М*. (3.23а)

ге/к

Пусть также для правой части (3.1) удовлетворяется условие

к к

/(X) = Ф(С)П , С =П ¿к, (3.24)

где ^ — некоторая постоянная, Ф(£) — заданная функция, ¿к определяются выражением (2.9). Тогда уравнение (3.1) имеет решение вида и(Х) = и((), причем функция и(() удовлетворяет уравнению

к1

П и{Мк)(0 = тг См"Меф(С ми), (3.25)

к=1 С0

а величины М^, Со, входящие в (3.25), определяются выражениями

кк МЕ = Е Мк, Со = П аст(Мк) П сГ;. (3.25а)

к=1 к=1 ст(Мк) ге/к

< Для предполагаемого вида решения и = и((") с учетом (3.23), (3.23а) можно записать следующее:

/ с \ Мк

= , (3.26)

где

Ск = £ аст(Мк) П ст;. (3.26а)

ст(Мк) ге/к

Подставляя (3.26) в левую часть (3.1), приводим ее к виду

кк

' ГС и(Мк

П( ¿Хки) = П {Ски(М)(СКМ-М4 . (3.27)

=1 =1

Далее, преобразуя уравнение (3.1) с учетом (3.24), (3.26), (3.26а) и (3.27), получаем уравнение (3.25) для и((") и выражение (3.25а) для С0. >

Теорема 3.4. Пусть в уравнении (3.1) при всех к операторы Ьхк определяются выражением

/ д \Мк

ге/к УдЖгУ

а правая часть (3.1) удовлетворяет условиям

к

/(Х) = [] ^к(Ук), Ук = Д Жг, д(и) = 1. (3.29)

к=1 ге/к

Тогда уравнение (3.1) имеет множество решений вида

я

и(Х) = ^ П ^(Ук), (3.30)

«=1 кеп3

причем функции Ук(у*) удовлетворяют уравнению

[^к(у* )]К-Х(Мк )(у*) = Лк у-Мк ^к(у*), (3.31)

а постоянные Л* связаны соотношением

К

[](А*Л*) = 1, А* = £ а*. (3.31а)

*=1 ге/к

< Используя выражения (3.28) и (3.30), можно записать:

len

где А* определяется второй формулой (3.31а). Подставляя (3.32) в (3.1) и учитывая (3.29), уравнение (3.1) представим в виде

Л Аку^[Ук(ук)]к^У^\ук)

1\ Ыук) (3"33)

Разделяя переменные в (3.33), получаем уравнение для V*(у*) в виде (3.31), и соотношение для постоянных Л* в виде (3.31а). >

Заключение

Таким образом, в данной работе исследованы мультипликативные дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие произведение линейных дифференциальных выражений произвольного порядка. Рассмотрены уравнения, содержащие как одномерные, так и многомерные линейные дифференциальные операторы. Получены решения рассматриваемых уравнений для аддитивного, мультипликативного и комбинированного разделения переменных, а также решения в виде обобщенных полиномов, решения типа бегущих волн и автомодельные решения. При этом рассмотрены случаи, когда уравнение содержит операторы с постоянными коэффициентами, однородные операторы, а также факторизуемые многомерные операторы. Для всех найденных решений сформулированы условия, которым должна удовлетворять правая часть уравнения.

Литература

1. Polyanin A. D., Zaytsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed.—Boca Raton-London: Chapman and Hall-CRC Press, 2012.

2. Полянин А. Д., Журов А. И. Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики.—М.: Изд-во ИПМех РАН, 2020.—384 с.

3. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка.—М.: Физматлит, 2003.—416 с.

4. Рахмелевич И. В. О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями // Владикавк. мат. журн.—2016.—Т. 18, вып. 4.—С. 41-49. DOI: 10.23671/VNC.2016.4.5992.

5. Рахмелевич И. В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика.—2015.—№ 1 (33).—С. 12-19. DOI: 10.17223/19988621/33/2.

6. Рахмелевич И. В. О некоторых новых решениях многомерного уравнения в частных производных первого порядка со степенными нелинейностями // Вестн. Томск. гос. ун-та. Математика и механика.—2015.—№ 3(35).-С. 18-25.

7. Рахмелевич И. В. О псевдополиномиальных решениях двумерного уравнения, содержащего произведение частных производных // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика.—2017.— № 13 (262), вып. 47.—С. 45-50.

8. Рахмелевич И. В. О многомерных уравнениях в частных производных со степенными нелинейно-стями по первым производным // Уфимск. мат. журн.—2017.—Т. 9, № 1.—С. 98-109.

9. Рахмелевич И. В. Многомерное неавтономное уравнение, содержащее произведение степеней частных производных // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия.—2018.— Т. 5(63), вып. 1.—С. 119-130. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2018.113.

10. Miller W., Rubel L. A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions // J. of Phys. A: Math. Gen.—1993.—Vol. 26, № 8.—P. 1901-1913. DOI: 10.1088/0305-4470/26/8/017.

11. Zhdanov R. Z. Separation of variables in the nonlinear wave equation // J. of Phys. A: Math. Gen.— 1994.—Vol. 27, № 9.—P. L291-L297. DOI: 10.1088/0305-4470/27/9/009.

12. Grundland A. M., Infeld E. A family of non-linear Klein — Gordon equations and their solutions // J. Math. Phys.-1992.—Vol. 33, № 7.—P. 2498-2503.

Статья поступила 26 октября 2020 г.

РАХМЕЛЕВИЧ Игорь ВЛАДИМИРОВИЧ

Национальный исследовательский Нижегородский

государственный университет им. Н. И. Лобачевского,

доцент кафедры математических и естественнонаучных дисциплин

РОССИЯ, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

E-mail: igor-kitpd@yandex. ru

Vladikavkaz Mathematical Journal 2021, Volume 23, Issue 1, P. 43-59

ON MULTIPLICATIVE MULTI-DIMENSIONAL PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Rakhmelevich, I. V.1

1 National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, 23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod 603950, Russia E-mail: igor-kitpd@yandex.ru

Abstract. The class of multiplicative partial differential equations is considered. The left side of the equation is represented in the form of the product of linear differential expressions of arbitrary order. The right side of the equation is a function of independent variables and unknown function. The solutions with additive, multiplicative and combined separation of variables are received for the equation with one-dimensional linear operators and factorized right side. The initial equation is reduced either to ordinary differential equation or to partial differential equation of lower dimension. It is shown that if the operators in the left side are homogeneous then the equation has the solutions in the form of generalized polynomials. Also the self-similar solutions are founded and the sufficient conditions of their existence are formulated for the equation with homogeneous operators. The traveling wave type solutions are received for the case of operators with constant coefficients and the right side depending on the linear combination of independent variables. It is shown that if the right side of equation depends on several linear combinations on subsets of independent variables, then there are multi-dimensional traveling wave type solutions depending on these linear combinations. A solution is obtained in the form of an expansion with respect to eigenfunctions of the kernels of linear operators in the left side of equation. Also some equations with multi-dimensional linear operators are investigated. In particular, the solutions with separation of variables for the case of factorized multi-dimensional operators, the of multi-dimensional traveling wave type solutions, and the solutions in the form of functions on arguments of more complicated structure are obtained. The cases when the right side of equation contains power and exponential nonlinearities on unknown function are considered.

Key words: multiplicative differential equation, linear differential operator, separation of variables, solution of traveling wave type, self-similar solution.

Mathematical Subject Classification (2010): 35G20.

For citation: Rakhmelevich, I. V. On Multiplicative Multi-Dimensional Partial Differential Equations, Vladikavkaz Math. J., 2021, vol. 23, no. 1, pp. 43-59 (in Russian). DOI: 10.46698/u4295-5273-0507-x.

References

1. Polyanin, A. D. and Zaytsev, V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed., Boca Raton-London, Chapman and Hall-CRC Press, 2012.

2. Polyanin, A. D. and Zhurov, A. I. Metody razdeleniya peremennykh i tochnye resheniya nelineynykh uravneniy matematicheskoy fiziki [Variables Separation Methods and Exact Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics], Moscow, IPMech Publ., 2020 (in Russian).

3. Polyanin, A. D., Zaitsev, V. F., and Moussiaux, A. Handbook of First Order Partial Differential Equations, London, Taylor Francis, 2002.

4. Rakhmelevich, I. V. On the Solutions of Multi-Dimensional Arbitrary Order Differential Equation with Mixed Senior Partial Derivative and Power-Law Non-Linearities, Vladikavkaz Math. J., 2016, vol. 18, no. 4, pp. 41-49 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2016.4.5992.

5. Rakhmelevich, I. V. On Two-Dimensional Hyperbolic Equations with Power-Law Non-Linearity in the Derivatives, Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika i Mekhanika, 2015, no. 1 (33), pp. 12-19 (in Russian). DOI: 10.17223/19988621/33/2.

6. Rakhmelevich, I. V. On Some New Solutions of Multi-Dimensional Partial Differential Equation of the First Order with Power-Law Non-Linearities, Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Matematika i Mekhanika, 2015, no. 3(35), pp. 18-25 (in Russian). DOI: 10.17223/19988621/35/3.

7. Rakhmelevich, I. V. On the Pseudo-Polynomial Solutions of Two-Dimensional Equation Containing the Production of Partial Derivatives, Belgorod State University Scientific Bulletin. Applied Mathematics and Physics, 2017, vol. 47, no. 13, pp. 45-50 (in Russian).

8. Rakhmelevich, I. V. On Multi-Dimensional Partial Differential Equations with Power Nonlinearities in First Derivatives, Ufa Mathematical Journal, 2017, vol. 9, no. 1, pp. 98-108. DOI: 10.13108/2017-91-98.

9. Rakhmelevich, I. V. A Multidimensional Nonautonomous Equation Containing a Product of Powers of Partial Derivatives, Vestnik St. Petersburg University, Mathematics, 2018, vol. 51, pp. 87-94. DOI: 10.3103/S1063454118010090.

10. Miller, W. and Rubel, L. A. Functional Separation of Variables for Laplace Equations in Two Dimensions, Journal of Physics A: Mathematical and General, 1993, vol. 26, no. 8, pp. 1901-1913. DOI: 10.1088/0305-4470/26/8/017.

11. Zhdanov, R. Z. Separation of Variables in the Nonlinear Wave Equation, Journal of Physics A: Mathematical and General, 1994, vol. 27, no. 9, pp. L291-L297. DOI: 10.1088/0305-4470/27/9/009.

12. Grundland, A. M. and Infeld, E. A Family of Non-Linear Klein-Gordon Equations and their Solutions, Journal of Mathematical Physics, 1992, vol. 33, no. 7, pp. 2498-2503.

Received October 26, 2020

Igor V. Rakhmelevich

National Research Lobachevsky

State University of Nizhny Novgorod,

23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod 603950, Russia,

Assosiate Professor

E-mail: igor-kitpd@yandex. ru