О многомерных уравнениях в частных производных со степенными нелинейностями по первым производным Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 1 (2017). С. 98-108.

УДК 517.952

О МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ СО СТЕПЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

ПО ПЕРВЫМ ПРОИЗВОДНЫМ

И.В. РАХМЕЛЕВИЧ

Аннотация. Рассмотрен класс многомерных дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих линейный дифференциальный оператор произвольного порядка и степенные нелинейности по первым производным. При некоторых дополнительных предположениях относительно этого оператора изучаются решения типа многомерных бегущих волн, зависящие от некоторых линейных комбинаций исходных переменных. Исходное уравнение преобразовано к редуцированному, которое решается методом разделения переменных. Найдены решения редуцированного уравнения для случаев аддитивного, мультипликативного и комбинированного разделения переменных.

Ключевые слова: уравнение в частных производных, редуцированное уравнение, метод разделения переменных, степенная нелинейность.

Mathematics Subject Classification: 335G20

Введение

Важнейшим направлением современной математической физики является исследование многомерных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и нахождение их точных решений [1-12]. Одним из наиболее эффективных и широко используемых методов решения таких уравнений остается метод разделения переменных (РП). Так, в известных справочниках и пособиях [1-3] описаны как классическая схема метода, так и его современные варианты (обобщенное и функциональное РП [4]). В работах [5-9] с помощью метода РП исследованы уравнения в частных производных со степенными нелинейностями по производным, а также уравнения, содержащие однородные и мультиоднородные функции от производных (такие уравнения сводятся к уравнениям со степенными нелинейностями для определенных классов решений). Данная работа посвящена продолжению этих исследований. Рассматривается многомерное уравнение в частных производных, содержащее линейный дифференциальный оператор произвольного порядка с постоянными коэффициентами и степенные нелинейности по первым производным. С помощью метода редукции и метода разделения переменных находятся решения этого уравнения типа многомерных бегущих волн.

I.V. Rakhmelevich, On multi-dimensional partial differential equations with power nonlinearities in first derivatives. © И.В. Рахмелевич 2017. Поступила 30 октября 2015 г.

1. Постановка задачи

Рассмотрим следующий класс многомерных дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестной функции и(х1, х2,..., х^), содержащих степенные нелинейности по первым производным:

* / ди Уп

Ьи(х1,х2,...,хм ) = бД(^) . (!)

п=1 ^ п'

Здесь Ь - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами по переменным х\,х2,...,хн.

Представим множество значений I = {1,... , N} индекса п, нумерующего независимые переменные, в виде объединения К непересекающихся подмножеств 1к (к = 1,...,К). Тогда множество переменных X = {х1,х2,...,хN} может быть разбито на К непересекающихся подмножеств Хк = {хп}пе /к. Также здесь и далее будем обозначать П = {1,... , К} - множество значений индекса к.

Далее будем предполагать, что оператор Ь может быть представлен в виде:

к

£ = £ ^, (2) к=1

где Ьхк - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами по переменным Хк. Соотношение (2) означает, что оператор Ь не содержит смешанных производных по переменным, принадлежащим разным подмножествам Хк. В свою очередь, оператор Ьхк может быть представлен в виде суммы линейных однородных дифференциальных операторов различных порядков по переменным Хк:

Мк

Ь Хк = £ Ь (3)

т=1

В силу сказанного выше, оператор ЬХк может быть записан как

^ = £ч-'П (¿)' . <4>

(т) пе1к ак

Здесь введен мультииндекс а^ = {тп}пе 1к, причем тп ^ 0 для всех п € 1к и ^ тп = т.

пе 1к

В данной работе будем искать те решения уравнения (1), которые зависят от переменных Хк, являющихся линейными комбинациями исходных переменных хп:

% к ^ ^ СпХп. (5)

пе 1к

Для решений и = и(г1,..., гк) указанного типа с учетом соотношений (2), (3), (4), (5), уравнение (1) нетрудно преобразовать к виду:

к к ,пгТ^гк

££ к и ) =« п

к=1 к=1 4 '

(6)

N

Здесь г к = ^ Рп, В = Ь П Сп1; линейный дифференциальный оператор Ък порядка

пе 1к п=1

Мк, действующий по переменной Хк, имеет вид:

Мк р.т

ь = ^ ^ ^, (7)

т=1 к

где коэффициенты оператора А^ = ^ а (т) П сП•

^ ' п

(т) « 'к

Таким образом, исходное уравнение (1) сведено к редуцированному уравнению (6) для решений, зависящих от переменных Хк, определяемых выражением (5).

2. Вспомогательное функционально-дифференциальное

уравнение

Для последующего анализа решений уравнения (6) рассмотрим вспомогательное функционально-дифференциальное уравнение (ФДУ) относительно неизвестных функций

ик(гк) (к = 1,...,К):

к к

^ Ркик(гк) = В Д Нкик(гк), (8)

к=1 к=1

где Рк, Мк - дифференциальные операторы по переменной гк. Лемма 1.

Уравнению (8) удовлетворяют функции ик (хк), являющиеся решениями следующих обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

1) При выполнении одного из условий В = 0 или N1 иг ) = 0 при некотором I € П

Рк ик (гк) = у к, (9)

для всех к € П; причем для постоянных ^к должно быть выполнено условие:

к

^ = 0. (10) к=1

2) При В = 0 для каждого фиксированного I € П

Рг Иг (%)+ Д1 = Вй1 N№^1), (11)

причем для всех к € П,к = I функции ик(хк) являются решениями систем:

Рк ик (гк) = у к, Щ Ик (гк) = ик. (12)

Здесь

к к

щ = ^ рк, 1 = Д Рк, (13)

к=1,к=1 к=1,к=1

^к ,ик - некоторые постоянные (ик = 0).

В частности, уравнению (8) удовлетворяют функции ик(хк), являющиеся решениями уравнений (12) при всех к € П, если для постоянных ^к,ик выполнено условие

к к

^ »к = В Д ик. (14)

к=1 к=1

Доказательство.

1. Если выполнено одно из условий В = 0 или ) = 0 при некотором I € П, то

уравнение (8) сводится к следующему:

к

^ Рк ик (гк) = 0. (15)

к=1

Так как левая часть уравнения (15) представляет собой сумму функций от разных аргументов Хк, то функции Ик ^к) должны удовлетворять уравнению (9), а постоянные ^к -

условию (10).

2. Предположим теперь, что правая часть (8) тождественно не равна 0, и рассмотрим вначале случай, когда все сомножители в правой части (8) - ненулевые постоянные. В этом случае функции и (Zк) удовлетворяют второму из уравнений (12), причем для всех к Е П ик = 0, и уравнение (8) сводится к следующему:

к к

PkUk (zk ) = ВЦ Uk. (16)

k=1 к=1

Проводя для уравнения (16) рассуждения, аналогичные предыдущему пункту, получаем, что функции Uk(Zk) должны удовлетворять первому из уравнений (12), а постоянные jк, ^к - условию (14). При этом уравнение (8) удовлетворяется только в том случае, если системы (12) являются совместными при всех к Е П.

Пусть теперь I Е П - некоторое фиксированное значение к, для которого выполнено условие

!VlUl( zi) = const. (17)

Продифференцируем почленно уравнение (8) по Zi и, с учетом (17), запишем его в виде:

(9/dZ 1 )PiUi( Zi) = В П NkUk (zk). (18)

(d/dzi)NiUi(zi) kJiL k k(k)

Левая часть соотношения (18) зависит только от Zi, а правая часть - только от Zk ( к = /). Поэтому оно может быть удовлетворено только в том случае, если функции Uk(Zk) удовлетворяют второму из уравнений (12) при всех к = I. Тогда уравнение (8) можно преобразовать к виду:

к

^PkUk (^ ) = BuiNiUi (zi), (19)

k=1

где U определяется вторым из соотношений (13). Так как правая часть (19) зависит только от i, то это уравнение может быть удовлетворено, если и левая часть зависит только от этой переменной, откуда следует, что для всех к = I функции Uk(zk) должны удовлетворять первому из уравнений (12). Тогда уравнение (8) удовлетворяется, если Ui(Zi) является решением уравнения (11), где постоянные Ui, ji определяются выражениями (13). Таким образом, для каждого значения I Е П, для которого выполнено условие (17), функция Ui(Zi) находится в результате решения уравнения (11), а функции Uk(Zk) при к = I являются решениями систем (12). Рассмотренное решение существует только в том случае, если эти системы при всех к = I являются совместными. Лемма доказана.

3. Анализ редуцированного уравнения

В данном разделе проведем анализ решений уравнения (6). Рассмотрим вначале простейшие частные случаи.

I. Правая часть (6) тождественно равна 0.

1) В = 0. В этом случае (6) сводится к линейному однородному уравнению:

к

^Ь ки (*!,..., ¿к) = 0. (20)

к=1

В частности, если параметры задачи таковы, что одновременно с условием В = 0 выполняются условия Акт-> = 0 для всех к Е П, 1 ^ т ^ Мк, то уравнению (20), а следовательно, и уравнению (6) удовлетворяет любая произвольная функция и(,... , ), дифференцируемая необходимое число раз по всем переменным.

2) Если при некотором I Е П выполнено условие г г > 0, то уравнению (6) удовлетворяет любое решение следующего линейного однородного уравнения:

к

£ Ь ки (х!,..., г—, г+1,..., хк) = 0. (21)

к=\,к=1

Аналогично случаю 1), если для всех к Е П, к = /, 1 ^ т ^ Мк выполняются условия А^ = 0, то уравнению (21), а следовательно, и уравнению (6), удовлетворяет любая произвольная функция и(... , Х1+1,... , гк), дифференцируемая необходимое число раз по всем переменным.

II. Общий случай.

Теорема 1 (об аддитивном разделении переменных).

Уравнение (6) имеет следующее семейство решений, представимых в виде суммы функций одной из переменных г\,..., хк:

к

и (*!,..., ¿к ) = и (£ "1/гк Zк + ио, (22)

к=1,к=1

причем функция и (является решением следующего ОДУ:

Ь1и1( * ) + дг = ади/( Г1. (23)

Здесь и0, ик - произвольные постоянные; щ, щ определяются выражениями:

Щ = П ^, Щ = £ "к/ГкА?. (24)

к=1, к= к=1, к=

Оператор Ьг здесь и всюду далее определяется выражением (7). Решение (22) существует при всех I Е П. Доказательство.

В соответствии с известной схемой аддитивного разделения переменных ([2], с. 49-51), решение уравнения (6) ищем в виде:

к

и (г ъ..., гк ) = £ к (^). (25)

к=1

Подставляя (25) в уравнение (6), получаем следующее:

к к

и(¿к) = В Д[ик(^)]Гк. (26)

к=1 к=1 Соотношение (26) представляет собой ФДУ вида (8); при этом

Шк (¿к) = [ик (¿к)]Гк. (27)

Согласно сказанному выше, в случаях, когда правая часть уравнения (6) тождественно равна 0, оно сводится к линейным уравнениям (20) или (21). Поэтому предполагаем, что правая часть (6) тождественно не равна 0. Далее, пусть задано некоторое I Е П. Тогда, согласно лемме 1, уравнению (26) удовлетворяет функция иг(являющаяся решением уравнения (23), и функции к(Zк) (к = /), являющиеся решениями следующих систем:

Ьи (^) = Щк, [К (гк)]Гк = Щ. (28)

Решая систему (28) с учетом выражения (7), находим:

ик (¿к) = ик/г к гк + и ко, (29)

где ико - произвольная постоянная. При этом система (28) является совместной только в том случае, если постоянные ¡к, удовлетворяют соотношению:

¡к = "1/г кА%\ (30)

где А^^ - коэффициент при первой производной в выражении (7). Из (30) и (13) следует выражение (24) для постоянной щ. Далее, подставляя (29) в (25) и объединяя аддитивные постоянные ик0, получаем решение (22). Теорема доказана.

Теорема 2 (о мультипликативном разделении переменных).

Уравнение (6) имеет следующие семейства решений, представимых в виде произведения функций одной из переменных г 1,..., гк:

1) В случае г% = 1:

1 к

и(гъ..., гк) = ¿>/е-1^) П Р-"" (^ - ^о)Рк, (31)

к=1,к=г

где рк, определяются выражениями:

к

Рк =-г, = V" Гк, (32)

- 1 1=1

а функция иг (гг) является решением ОДУ:

Ь1и1( ) = Вй1[иК *)}Г1 [и1 (г) Г*-Г1. (33)

Решение (31) существует, если при всех к = I, к Е П для каждого 1 ^ т ^ Мк выполнено хотя бы одно из следующих условий:

А™ = 0, (34)

Гк = (- 1)тк, (35)

для некоторого целого тк такого, что 1 ^ тк ^ т — 1.

2) В случае = 1:

I £ Хкгк I \к=1,к=1 )

и (г1,..., Хк ) = С0иг( XI )ехр( ХкХк ). (36)

\к=1,к=1

Здесь С0,Хк - произвольные постоянные, а функция иг(гг) является решением ОДУ:

Ь1и1( гг) + т( Zl) = Вй1[иК г)Г1 [иг (г)1-1. (37)

Коэффициенты р,г,иг, входящие в (37), определяются выражениями:

к к мк

* = П , щ = Е Т.^. (38)

к=1,к=г к=1,к=1 т=1

Доказательство.

Решение уравнения (6) ищем в виде:

к

и (*!,..., гк ) = Дик (^). (39)

к=1

Подставляя (39) в уравнение (6), после некоторых преобразований получаем:

£ ^Ы1 = В П{[ик(*к)]- [ик(гк)]----1}. (40)

Уравнение (40), так же как и рассмотренное выше (26), представляет собой ФДУ вида (8); при этом входящие в него операторы имеют вид:

Ркик (^) = ; мкик Ы = [и'к (^)] ^ [ик (^ )р-к-1. (41)

ик ( Хк )

Далее рассмотрим случаи, перечисленные в условии теоремы. 1. Случай г Е = 1 .

Если I Е П - некоторое фиксированное значение индекса к, то из второго уравнения системы (12) находим, что при всех к = I Ик(Хк) определяется выражением:

/Л \Рк

Ик ы = Ико( гк - гш)Рк, Ик0 = ( у) , (42)

где рк определяется выражением (32), Лк = к. Подставим (42) в первое уравнение системы (12) с учетом (41), тогда после элементарных преобразований получаем:

Мк

£ ^(Рк)4т)(^ - ¿коГ= »к(¿к - ¿коГ, (43)

где

Я^(рк) = Рк (Рк - 1)... (Рк -т +1). (44)

Уравнение (43) можно удовлетворить только в том случае, если выполняются условия:

Я{кП)(Р к )Лкт) = 0, »к = 0 (45)

при каждом к = 1,к Е П и всех т = 1,..., Мк. Учитывая выражение (44), очевидно, что при каждом заданном т первое из условий (45) выполняется либо если А^ = 0, либо если рк = тк при некотором 1 ^ тк ^ т - 1. Отсюда следует, что рассматриваемое решение существует только в том случае, если выполняется хотя бы одно из условий (34), (35). Далее, используя лемму 1, из уравнения (11), с учетом (13) и второго из условий (45), приходим к уравнению (33) для функции [/¿(Подставляя выражение (42) в (39), получаем решение в виде (31).

2. Случай гЕ = 1 . В этом случае второе уравнение системы (12) имеет вид:

( им \к = и

\ик (Хк)) к,

откуда следует, что при всех =

Ик^к) = Ико ехр(Лк^к), (46)

где Лк = к, так же как и в предыдущем случае.

Подставляя (46) в первое уравнение системы (12) с учетом первого из соотношений (41), получаем:

Мк

^А^ЛТ = ^к. (47)

т=1

Тогда из уравнения (11) с учетом (47) и (13), находим, что функция И(г{) должна быть решением уравнения (37), в котором определяются выражениями (38). Подставляя

выражение (46) в (39), получаем решение в виде (36). Теорема доказана.

Пусть множество П представлено в виде объединения в непересекающихся подмножеств Пз ( в = 1,... , в). Ниже будем использовать выражение:

ГЕз = £ Гк. кепв

Также введем Л0 - множество значений индекса 8, при котором гез = 0. Далее всюду будем предполагать, что - некоторые фиксированные значения индексов к, в, причем I Е П.

Теорема 3 (о комбинированном разделении переменных). Для каждого способа разбиения множества П на подмножества Пз(5 = 1, нение (6) имеет следующее семейство решений:

а) при гЕ = 1:

И (гх,..., гк )= ^

зеЛ0, з=

£ °

з6хр I ^ ^ Лк^к I + + £ Ез П (гк - гк0)ак + О ехр I £ Лкгк I

зеЛ0, з=г кеп3 \кепь,к=1 /

^ехр I Лк*к I Иг(XI),

з/Л0, з=

причем и (гг) является решением ОДУ:

имъ)+щиг(гг) = Ъ[иКп [и(ъ)]1-Г1,

где

Мк

* = £ ^А^ЛТ,

ке0.г,к=1 т=1

= В • II Лкк • П ПЛкк • П П^к • П

ке.о.1 ,к=1 веЛо, з=гкеп3 зеЛ0, з=кеп3 зеЛ0, з= Решение (48) существует при выполнении следующих условий:

Мк

\(т) \т _ 0

Е Е Ат'Лк

кеО-я т=1

при всех в Е Л0, в = ¿;

А^Я^^к) = 0

при всех к Е Пз, 1 ^ т ^ Мк, з Е Л0,в = ¿;

б) при гЕ = 1:

И (^,..., хк) = £ О з ехр I ^ ^ Лк^к I

зел0,з= \кеп3 /

+

+ £ Яз П (гк - гк0)°к + ЕШгг) П (Хк - Хк0)

3/Л0, з= кепв кепг,к=1

причем иг(гг) является решением ОДУ:

Ь 1и1 (^ ) = С1 [иК г1)]Г1 [и1( г1)] г^-г 1,

где

Рк

к

Сг = ВЕ^-1

П рккк • П ПЛк - п п е?

в) урав-

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

кеПг ,к=1 з€ Л0,з=кепв з/Л(),з=гкеПв з/Л0,з=

Решение (52) существует при выполнении условий (50), (51), а также следующего дополнительного условия:

А{кт)я{:т)(р к )=0 (54)

в

при всех к Е П,к = 1,1 ^ т ^ Мк.

В формулах (48)-(54) 03,Е3,Хк, гк0 - произвольные постоянные, а рк,ок определяются выражениями:

Рк = —^ ( к Е П), (55)

гы - 1

Ок = — (к е П). (56)

Доказательство.

Решение уравнения (6) ищем в виде:

и (*!,..., гк ) = £ П ик (^). (57)

«=1 кЕПд

Подставив (57) в уравнение (6) и учитывая выражение (7), приводим уравнение (6) к виду:

£ £ Ри(*к) ■ П ик(^) = В П П {[ик(^)]р* [ик(^)рд}, (58)

8=1 кЕ^д кЕПц 8=1 кЕ^д

где Рк[ик(гк)] определяется первым из выражений (41). Продифференцируем уравнение (58) почленно по г, в результате чего получаем:

В В

^{ ^ДОк(¿к)■ П ик(^)} = в П {[ик(^Г [ик(^)]^}■ ^{[и/(я)]" [иг(*)]}.

1 кЕПг кЕПг кЕП,к=г 1

(59)

Левая часть (59) зависит только от Хк( к Е П), поэтому при всех к Е = Ь функции

ик (гк) должны удовлетворять уравнению:

[ ик (^)]р* [ ик (^к )Г* = \к, (60)

где Хк - некоторые постоянные.

Рассмотрим частные случаи для уравнения (60).

1) = 0. В этом случае решением уравнения (60) является экспоненциальная функция:

ик(гк)] = ико ехр(Хк^к); (61)

2) 8 = 0. В этом случае решение уравнения (60) имеет вид:

/ Х \ ак

ик(^)]=((¿к - гш)ак, (62)

где о к определяется выражением (56).

Используя выражения (61), (62), слагаемые в левой части уравнения (58), соответствующие отдельным значениям = , можно записать в виде: 1) При = 0:

/ \ мк

£ Рк [ик (^)] ■ П ик (^) = Б8 ехр £ ХкгА £ £ А^Хт, (63)

кЕПд кЕПд ЧкЕПд / кЕПд т=1

где

в3 = П ико;

кЕПд

2) При г%8 = 0:

мк

% Чк

£ Рк [ик (гк)] ■ П ик (^) = Е3 П (^ - гкоУк £ £ А^ О)(¿к - гш)-т, (64)

кЕПд кЕПд кЕПд кЕПд т=1

где определяется выражением (44)

Е. •• • Лк

П {ХкТ

кЕПд 4 к/

Как отмечалось выше, функции ик(^) удовлетворяют уравнению (60) при всех к Е П., в = Поэтому как правая, так и левая части уравнения (58) могут зависеть только от переменных Хк ( к Е П). С учетом выражений (63), (64), это возможно лишь при выполнении условий (50), (51). Тогда уравнение (58) принимает вид:

£ Ри(^) = Вг П {[ик(¿к)]Гк[ик(^)]Гш-Гк-1}, (65)

кеп кепг

где

В, В П ПХ?.

я=1,кЕПд

Аналогично рассуждениям, проведенным при выводе (59), продифференцируем уравнение (65) почленно по г, в результате чего получаем:

В В

— {Ш(Ъ)} В, Ц {[ик(^)]р* [ик(¿к)рд-Гк-1}^ — {[и/(я)]п [иг(гг)р'-"-1}. (66)

В ^ кЕПг,к=г В ^

Так как левая часть уравнения (66) зависит только от г, то и правая часть может зависеть только от этой переменной, поэтому функции и(гк) при всех к Е П,к = I должны удовлетворять уравнению:

[ ик (^)]р* [ик (^ )Г-'*-1 = Х?. (67)

Уравнение (67) имеет вид, аналогичный уравнению (60), с точностью до замены ^ - 1, поэтому, так же как при анализе уравнения (60), рассматриваем частные случаи: 1) = 1.

В этом случае решением уравнения (67) является функция (61). Подставляя выражение (61) в уравнение (65), получаем, что функция иг(гг) должна удовлетворять уравнению (49). Используя выражения (61), (62), (57), получаем решение в виде (48). 2) = 1.

В этом случае решение уравнения (67) имеет вид:

( Х \Рк

ик (^ )=( (^ - ^0)"" , (68)

где рк определяется выражением (55).

Подставляя выражение (68) в уравнение (65), получаем следующее:

мк

ВД(*) + ££ А{т)Ч[т)(Рк)(^ - гко)-т = Сг[и/(гг)Г [Щъ)Р'-"-1. (69)

кЕП,к=г т=1

Если выполняется условие (54) при всех к Е П,к = 1,1 ^ т ^ Мк, то уравнение (69) сводится к ОДУ (53) относительно функции иг(гг). Далее, подставляя в (57) выражения (61), (62), (68), получаем решение уравнения (6) в виде (52). Теорема доказана.

4. Заключение

Таким образом, в данной работе исследовано многомерное уравнение в частных производных (1), содержащее линейный дифференциальный оператор произвольного порядка и степенные нелинейности по первым производным. Для решений типа многомерных бегущих волн, зависящих от некоторых линейных комбинаций исходных переменных, уравнение (1) сведено к редуцированному уравнению (6). Для решения этого уравнения применяется метод разделения переменных. При этом предварительно выполнен анализ вспомогательного функционально-дифференциального уравнения, которое получается в ходе применения этого метода к редуцированному уравнению. Получены решения редуцированного уравнения для аддитивного, мультипликативного и комбинированного разделения переменных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002.

2. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики М.: Физматлит, 2005.

3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.

4. Полянин А.Д., Журов А.И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике // Доклады РАН. 2002. Т. 382. №5. С.606-611.

5. Рахмелевич И.В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелине йностью по производным. // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 1. С. 12-19.

6. Рахмелевич И.В. О некоторых новых решениях многомерного уравнения в частных производных первого порядка со степенными нелинейностями. // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 3. С. 18-25.

7. Рахмелевич И.В. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных. // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3(23). С. 37-44.

8. Рахмелевич И.В. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднородные функции от производных. // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 1. С. 42-50.

9. Рахмелевич И.В. О решениях многомерного уравнения Клеро с мультиоднородной функцией от производных. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика, механика, информатика. 2014. Т. 14. № 4-1. С. 374-381.

10. J. Miller (Jr.), Rubel L.A. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions // Journal of Physics A. 1993. V.26. P.1901-1913.

11. R.Z. Zhdanov Separation of variables in the non-linear wave equation. // Journal of Physics A. 1994. V.27. P. L291-L297.

12. A.M. Grundland, E. Infeld A family of non-linear Klein - Gordon equations and their solutions // Journal of Mathematical Physics. 1992. V. 33. No 7. P. 2498-2503.

Игорь Владимирович Рахмелевич,

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского,

просп. Гагарина, 23,

603950, г. Нижний Новгород, Россия

E-mail: igor-kitpd@yandex.ru