CC BY
72
УДК 004:519.711.3:621.777
О МОДИФИКАЦИИ АЛГОРИТМА SIMPLER ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА НЕПРЕРЫВНОГО ЛИТЬЯ ЗАГОТОВОК ИЗ ЦВЕТНЫХ
МЕТАЛЛОВ
Е.Е. Фомина, Н.К. Жиганов
В работе описана математическая модель процесса непрерывного вертикального литья цилиндрических заготовок из цветных металлов. Для решения системы определяющих уравнений литья предложена модификация алгоритма SIMPLER, которая позволила увеличить скорость сходимости метода
Ключевые слова: математическое моделирование, литье металла
1. Введение
Актуальность исследования. Непрерывное литье - один из основных способов получения продукции из цветных металлов. В настоящее время разработано большое число математических моделей, описывающих данный процесс, а также предложены алгоритмы для численного решения определяющих уравнений литья. Среди таких алгоритмов можно отметить алгоритм SIMPLE [1] и его модификации, описанные в работах [2, 3], а также алгоритм SIMPLER, который дает более быструю сходимость, по сравнению с предыдущими методами, и как следствие занимает лидирующую позицию.'
Однако при решении практических задач и реализации алгоритма с использованием ЭМВ на мелкой сетке требуются большие вычислительные затраты, так как расчет полей скорости, давления, температуры и других величин происходит в каждой узловой точке сетки по всему продольному сечению слитка. В процессе конструирования литейной технологии, особенно сложного технологического процесса, это является не совсем удобным, так как требует значительных временных затрат.
В связи с этим модификация алгоритма SIMPLER, позволяющая увеличить скорость сходимости и сократить временные затраты на расчет процесса является актуальной.
Цель исследования. Целью исследования является разработка модификации алгоритма SIMPLER, предназначенного для расчета процесса непрерывного литья цилиндрических заготовок из цветных металлов, позволяющего увеличить скорость сходимости итерационного процесса и сократить временные затраты на расчет.
Объект исследования. Процесс непрерывного литья цветных металлов.
Предмет исследования. Процесс
непрерывного и дискретно-непрерывного
Фомина Елена Евгеньевна - ТвГТУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: f-elena2008@yandex.ru Жиганов Николай Константинович - ТвГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: j iganov2005@yandex.ru
вертикального литья цилиндрических заготовок из цветных металлов, а также алгоритм решения системы определяющих уравнений.
2. Постановка и решение задачи
В работе рассматривался технологический процесс вертикального непрерывного и дискретно-непрерывного литья цилиндрических заготовок, согласно которому расплавленный металл подается в медный кристаллизатор (кристаллизатор имеет форму цилиндра радиуса R (м) и длиной Lкр (м)) через кольцеобразные пристеночные отверстия или через отверстие, диаметр которого равен диаметру кристаллизатора. Предусмотрена возможность дополнительного подогрева расплава за счет внешнего источника тепла. Заготовка вытягивается из формы (длиной L, где L>Lкр) с постоянной скоростью илит (непрерывное литье), либо с периодическими остановами (дискретно-непрерывное литье) для повышения производительности процесса (рис. 1).
Рис. 1. Принципиальная схема непрерывного литья с вытяжкой заготовки вниз (разрез кристаллизатора в продольном и поперечном сечении): К - радиус формы, Ь - длина формы, Ькр - длина кристаллизатора, г1, г2-внутренний и внешний радиусы кольца, через которое осуществляется дополнительный подогрев, ^ -внутренний радиус кольца для литья
Математическая модель процесса описывается следующей системой определяющих
уравнении и граничных условии.
Уравнение неразрывности:
дгр д
--1--(гр(и + ил
дг дх л
д
,)) + ^ (Р = 0,
дг
(1)
где илит - постоянная скорость литья (м/с); р - плотность металла (кг/м3);
компонента
вектора
компонента вектора
и - вертикальная скорости вдоль оси Ох (м/с);
V - горизонтальная скорости вдоль оси Ог (м/с);
г - расстояние от оси Ог до текущей точки слитка (м);
х - расстояние от оси Ох до текущей точки слитка (м);
г - время (с). Уравнения движения вдоль оси Ох:
ди 1 гд . .
р--Ъ — [—(гр(и + и
дг г дх
д
)и) Ъ--(грuv)l =
лит у дг
др 1 г д . ди „ д . ди Ч1
= л+~^(г^) +Т"(г^)1 + Аи + Р ,
дх г дх дх дг дг вдоль оси Ог:
(2)
дv 1Г д . .
р— + ~ [—(гР(и + ил дг г дх
д 2 н)v) +—(^2)] = дг
др 1Г д . дд . 2/м
= -—+-[—(г/—) +—(г/ )] —Чг- + Av, (3) дг г дх дх дг дг г
где р - давление (кг/м-с2); /и - эффективная вязкость (кг/м-с); g - ускорение свободного падения (м/с2). Так как формирование микропористости в отливке происходит в условиях затрудненного течения расплава сквозь дендритный каркас, формирующийся в двухфазной зоне отливки, то для описания более адекватной картины микропористости в модели была учтена проницаемость дендритного каркаса (К). Проницаемость дендритного каркаса в уравнениях (2) и (3) определялась по закону Кармана-Козени:
К = Аи (К = Av), где А = -С(1 - А)2/^ , С -коэффициент Дарси, равен 108 (1/с), с параметром УЬ , который равен 1 в жидкой, 0 в твердой и меняется линейно с температурой в мягкой зоне.
Уравнение энергии:
дТ 1 г д . .
ср--1--[-(гр(и + и
дг г дх
д
лит )ф) + (гР^)] =
1 д дТ д дТ :![—(гА—) + — (гХ—)]-г дх дх дг дг
!г д , , --[—(гР(и + ил
г дх
д
г)АН ) + — (грvАН )]: дг
(4)
где с - теплоемкость (Дж/кг-К); ф - энтальпия (Дж-К/кг-с); Т - температура (К); А - теплопроводность (Вт/м-К);
АН = А АН
/
АН У -
общая скрытая
теплота (Дж/кг) .
Граничные условия:
А) На боковых стенках (г=Я):
Если Т > Т„,
- А—
дг
= ас (Т - Ткр ) =
г=R
г =R '
и( х; R) = -ил где
v( х; R) = 0,
ас - коэффициент теплообмена при соприкосновении формы и слитка (Вт/м2-К); Тсол - температура солидуса (К).
Если Т < Тс,
- А — дг
= °етв (Г4 - Т4кр ^ , Ь < х < Ь,
\г =R
и (х; Я) = 0, v( х; Я) = 0
(6)
, дТ и - А— дг
= аетв (Т 4 - Т 4 окр )
, х < Ь
кр
г=Я
и (х; Я) = 0, v( х; Я) = 0, (7)
где а - константа Стефана-Больцмана (5,667-Ю-8 Вт/м2 -К4);
етв, - степень черноты внутренней поверхности кристаллизатора;
Т
и Т
температуры поверхности
кристаллизатора и окружающей среды;
Ь и Ьр - длины поверхности формы и
кристаллизатора.
Б) Нижняя граница формы (х = 0):
— = 0, и (0; г) = 0, v(0; г) = 0. (8)
дх х=0
В) Верхняя граница формы (х = Ь): Если г < г < г2 , то
- АдТ
дх
где Чщ
= Чп
5жид (Т Т окр )
х=Ь '
(9)
поток тепла от пучка электронов
(Вт/м2);
8жидк - степень черноты окружающей среды.
Если г < г или г2 < г < гу, где
гу - внутренний радиус кольца для литья, то
- АдТ
дх
= (ТВ
жид
(Т - Т окр)
(10)
х=Ь
Если гJ < г < Я , то
Т(Ь;гг < г < Я) = Тпл , и(Ъ,г) = 0. (11)
В силу симметрии заготовки относительно оси ОХ (рис. 1) в качестве расчетной области выступала правая половина слитка. Была построена следующая пространственно-временная сетка:
W
Аг
АхАг
х. = iАх,i = 0,М,г . I ]
■ }Аг,
к
у = 0, М, Г = кАг, к = 1,2
г = Я
х=Ь
и
Пространственная дискретизация уравнений осуществлялась методом конечных объёмов, описанным в работе С. Патанкара [1].
Расчетная область разбивалась на конечное число непересекающихся объёмов так, что в каждом объёме содержался только один узел сетки. Все дискретные аналоги были построены с использованием равномерной, фиксированной, шахматной сетки, компоненты скорости на которой рассчитываются на гранях контрольных объёмов, а значения давления и температуры - в узловых точках (рис. 2). Дискретные аналоги получены путем интегрирования соответствующих уравнений по конечному объему.
а)
б)
в)
Рис. 2. Шахматная сетка с конечными объемами: а) для температуры и давления; б) для компоненты скорости и; в) для компоненты скорости v
Временная сетка строилась с шагом по времени At. При дискретизации по времени использовалась полностью неявная схема.
Для коррекции полей давления и скоростей применялся метод нижней релаксации.
Для расчета процесса за основу взят алгоритм SIMPLER [1], который был модифицирован исходя из особенностей решаемой задачи и физических соображений. Так как значения температуры, скорости и других величин, рассчитываемых в верхней части слитка, мало влияют на значения этих же величин в нижней его части, то не рационально задавать начальное приближение и просчитывать поле течения сразу по всему продольному сечению слитка, как это осуществляется в алгоритме SIMPLER. Было предложено задавать начальное значение величин на первом сеточном горизонтальном слое (первый сеточный слой совпадает с верхней границей кристаллизатора), пересчитывать их до тех пор, пока не будет выполнено условие сходимости, а затем переносить информацию на следующий горизонтальный слой. Таким образом, полученные значения будут выступать в качестве начального приближения для расчета значений величин на следующем слое. Такая процедура проводится до последнего слоя, а затем проверяется условие сходимости уже по всему слитку. В результате информация будет передаваться постепенно сверху вниз (вертикально), с текущего слоя на следующий, по направлению движения расплава, исходя из физических особенностей процесса. В качестве алгоритма
решения задачи предлагается следующая последовательность действий:
1. Вводится начальное предположение о полях скорости, давления, температуры и других величин на первой сеточной горизонтальной координатной линии.
2. Фиксируется первая сеточная линия i = 1 (i - счётчик сеточных координатных линий по горизонтали).
3. Рассчитывается поле скорости и давления.
4. Решается уравнение теплопроводности.
5. Проверяется условие сходимости. Если оно выполнено, то переход к п. 7, иначе - к п. 3.
6. Полученная информация переносится на следующую сеточную линию: i = i + 1.
7. Если сеточная линия последняя, то переход к п. 8, иначе - к п. 3.
8. Осуществляется проверка условия сходимости по всему слитку. Если оно выполнено, то вывод результатов расчета - значений основных величин в каждой узловой точке сетки, - в противном случае переход к пункту 2.
Данная процедура позволяет увеличить скорость сходимости и сэкономить временные затраты.
Для проверки работы алгоритма разработан программный комплекс «Моделирование нестационарных процессов непрерывного литья цветных металлов и их сплавов» [4]. Используя [4] была решена поставленная выше задача (1) - (11) для следующих исходных данных: литье алюминиевой заготовки, R = 0,195 м, L = 1 м, LKp = 0,8 м, Т0кр = 295 К, Траспл = 950 К.
Адекватность математической модели и предложенного метода подтверждена выполнением условия адекватности по критерию Фишера
(F > F0т9а/л) для параметра Нз - глубина зоны затвердевания (определяется как максимальное расстояние от верхнего края кристаллизатора до границы затвердевшего металла), расчет которого осуществляется в программном комплексе [5], а экспериментальные значения были взяты из [6].
Исследовалась скорость сходимости при решении задачи (1) - (11) с использованием алгоритма SIMPLER и с использованием его предложенной модификации (рис. 3).
- - -Число итераций (алгоритм SIMPLER) —■—Модифицированный алгоритм
440 420 400
360 340 320 300 280
10x10 50x50 80x80 100x100
Рис. 3. Зависимость скорости сходимости от размера сетки
Как видно из графика (рис. 3) модификация алгоритма, которая предполагает последовательный перенос рассчитанных значений величин от текущего горизонтального слоя к следующему слою
и использование этих значений в качестве начального приближения для расчета новых значений позволяет увеличить скорость сходимости за счет уменьшения числа итераций. Исходя из вышесказанного, данный модифицированный метод целесообразно применять при решении задач моделирования процессов непрерывного литья цветных металлов. Предложенная модификация будет уместной и для моделирования теплогидродинамики процесса горизонтального литья металлов. В качестве первой сеточной линии, на которой задается начальное приближение, будет выступать вертикальная линия, совпадающая с той границей, начиная от которой идет движение расплава. Далее информации о значениях величин будет передаваться горизонтально от слоя к слою по направлению вытягивания слитка.
3. Выводы. В работе была предложена модификация алгоритма SIMPLER применительно к решению системы определяющих уравнений, описывающих процесс непрерывного литья цилиндрических заготовок из цветных металлов. Было установлено, что предложенная модификация метода увеличивает скорость сходимости, следовательно, возможно ее применение для конструирования и расчета процессов непрерывного вертикального литья.
Литература
1. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости [Текст]/ С. Патанкар. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.
2. Есаулов, А.Н. О маршевом методе решения уравнений Навье-Стокса на многопроцессорных вычислительных системах [Текст]/ А.О. Есаулов, А.В. Старченко // Научный сервис в сети Интернет: решение больших задач: Труды Всероссийской научной конференции (22-27 сентября 2008 г., г. Новороссийск). М.: Изд-во МГУ, 2008. С. 338-341.
3. Мартыненко, С.И. Совершенствование вычислительных алгоритмов для решения уравнений Навье-Стокса на структурированных сетках [Текст]/ С. И. Мартыненко. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки", №2, 2008. С. 78-94.
4. «Моделирование и оптимизация процессов получения кристаллических заготовок из цветных металлов методами непрерывного литья». Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013616906 от 25 июля 2013 г.
5. Моделирование и оптимизация процессов дискретно-непрерывного литья цветных металлов и их сплавов: монография [Текст] / Н.К. Жиганов, И.Н. Вольнов, Е.Е. Фомина, А.Н. Жиганов. Тверской государственный технический университет, 2009. - 107 с.
6. Добаткин, В.И. Непрерывное литье и литейные свойства сплавов [Текст]/ В.И. Добаткин. ОБОРОНГИЗ, 1948. - 154 с.
Тверской государственный технический университет
A MODIFICATION OF THE SIMPLER ALGORITHM FOR SOLVING THE PROBLEM OF MODELING THE PROCESS OF CONTINUOUS CASTING OF NON-FERROUS METALS
E.E. Fomina, N.K. Zhiganov
The article describes a mathematical model of the process of continuous vertical casting of cylindrical billets of non-ferrous metals. To solve the system of governing equations of casting was suggested the modification of the SIMPLER algorithm, which allows to increase the convergence rate of the method
Key words: mathematical modeling, metal casting
