CC BY
39
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4
И. А. Никулин
О МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ В РАМКАХ НЕЛОКАЛЬНОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Уравнения нелокальной гидродинамики [1] представляют собой нелокальные по пространству и времени замыкающие соотношения между диссипативными потоками 3 и термодинамическими силами О, полученные в рамках неравновесной статистической механики [2].
t
^М,= / «^’А г,Лм - № Л . ц,
- то V
Применительно к задачам гидромеханики соотношения (1) были рассмотрены в работах Т.А.Хантулевой [3-5], в них были предложены методы моделирования интегральных ядер Ж(г, г ' ,Ь,Ь ') и установлена связь между первыми моментами неравновесной корреляционной функции с физическими характеристиками среды, играющими роль ее внутренней структуры. В частности, для случая пространственной нелокальности использовалось модельное выражение
г+п00
ч 8 f , , Лг' — г — У (г, Vru,e) П
Л"(гД) = - / ^'и;|{>...........д ' ' ' 1 IУгШ,
(2)
в котором параметр е представляет собой радиус нелокальных корреляций в среде, У — поляризационный сдвиг, 8 — нормировочный параметр. Интегрирование в формуле (2) проводится по всей области 0^), охваченной распространяющимся от границ Г возмущением, а функция ш представляет собой А-образную функцию своего аргумента (далее будет использоваться функция шА) = ехр(-Ах2)).
В рамках самосогласованной процедуры определения параметров нелокальности спектр внутренней структуры, а также его изменение во времени должны определяться согласованно с изменением распределений гидродинамических полей. Связывают макроскопические и промежуточные мезоскопические масштабные уровни внешние (граничные и интегральные) условия, наложенные на систему, а также некоторые внутренние закономерности ее эволюции, связанные, в частности, с принципом минимизации производства энтропии и описываемые при помощи метода скоростного градиента [6]. Применение методов теории управления на структурном уровне существенно расширяет возможности аппарата для описания различных гидродинамических процессов.
Такой подход к моделированию нелокальности позволил получить теоретические результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными в широком диапазоне условий проведения эксперимента [7-9]. Тем не менее вопрос об основных особенностях моделирования интегральных ядер остается, вообще говоря, открытым и является предметом исследования в настоящей работе.
Рассмотрим класс одномерных сдвиговых течений жидкости, обусловленных наличием движущихся твердых границ. При этом скорость жидкости имеет одну продольную компоненту и = их(у), зависящую от поперечной координаты у. Перейдем в © И.А.Никулин, 2007
формуле (2) к безразмерным переменным, отнеся скорость к характерной скорости и (скорость стенки), а координату — к Н (например, к половине ширины канала). В качестве характерной величины для диссипативного потока следует взять классическое выражение З о(у ,ї) = роУуи, где ро —динамический коэффициент вязкости. Тогда параметры
нелокальности £ и 7 следует отнести к характерной длине Ь, а параметр 8 — к вязкости жидкости ро. Пренебрегая волновыми эффектами, явно содержащимися в зависимости области интегрирования от времени, получим следующее выражение (в безразмерных переменных):
Замыкающее соотношение (3) должно удовлетворять ряду условий [1], одно из которых, а именно, инвариантность относительно преобразований расширения, уже выполнено за счет выбора соответствующей нормировки. Легко видеть, что второе условие, условие равномерности перехода к локальному пределу, также выполняется при £ л 0, 7 А 0, если при этом Б А 1. В дальнейшем будем полагать, что Б = 1, то есть все отклонения от классического навье-стоксовского описания определяются набором структурных параметров (£,7).
Существенным результатом неравновесной статистической механики [2] является доказательство того факта, что интегральное ядро в соотношении (1) является неизвестным функционалом градиентов макроскопических переменных О. Отсюда вытекает, что параметры нелокальности, входящие в модельное выражение (2), должны зависеть от градиента массовой скорости по пространственной переменной. Эта зависимость может быть реализована как явным образом — путем построения соответствующего модельного выражения для параметра поляризации 7 = 7(у, У у и,£), так и неявно, — через обратную связь, являющуюся неотъемлемой частью самосогласованной постановки задачи.
Самосогласованность подхода заключается в том, что мезоструктурные (нелокальные) и гидродинамические переменные оказываются связанными через интегро-диф- ференциальное уравнение движения, получаемое подстановкой замыкающего соотношения (3) в уравнение баланса импульса:
В уравнении (4) отсутвует градиент давления, поскольку в данной работе рассматривается только механизм движения жидкости, основанный на взаимодействии потока с твердой границей. Тем не менее следует отметить, что перераспределение напряжений поперек потока из-за наличия нелокальности можно трактовать как появление дополнительного индуцированного градиента давления.
Параметры нелокальности, фигурирующие в выражении (3), в общем случае являются неизвестными функциями времени. Таким образом, решение задачи заключается в поиске как профиля скорости, так и параметров нелокальности. Поскольку количество неизвестных в таком случае превышает количество уравнений, необходимо сформулировать дополнительные соотношения, замыкающие постановку. Из условия
(4)
прилипания на границе, которое может быть выполнено только за счет согласованного выбора параметров нелокальности, для равномерного движения границ следует
V, | Щ. |
г 1 ^
В случае нестационарной постановки левая часть уравнений (5) отлична от нуля и равна ускорению границ, которые считаются известными, умноженному на число Рей- нольдса Кв. По существу, уравнения (5) (индекс I здесь принимает значения в соответствии с количеством наложенных граничных условий), являются следствием уравнения (4) при условии непрерывного полевого описания течения во всей области вплоть до границы. Численное решение данных уравнений относительно параметров в,] при фиксированном градиенте скорости определяет траекторию движения системы в фазовой плоскости (е,7). Естественно, что при итерационном методе решения задачи, который будет описан ниже, профиль скорости будет меняться на каждой итерации, а следовательно будет меняться и фазовая траектория, что также является следствием самосогласованности постановки. При наличии в задаче симметрии (течение Куэтта) уравнения (5) тождественны. Для несимметричных постановок, например, для задачи с одной движущейся и одной неподвижной границами, конкретный вид зависимости У (у, Уу и, £) становится весьма существенным для согласования обоих граничных условий. К сожалению, в настоящее время не существует универсальной модели зависимости поляризации от градиента скорости. Простейшая методика построения этой зависимости для рассматриваемого класса задач приведена в данной работе.
Для того чтобы описать движение в фазовом пространстве (эволюцию структурных параметров), ранее [4-5] был предложен и апробирован метод управления, который можно записать в виде
£ = -^ 1&1е, У = -^ 1 а 1 ^ . (6)
Уравнения (6) представляют собой модифицированные уравнения скоростного гра-
Г2
диента, в которых а(Ь) = 3 йу3(у,1 )Ууи(у,Ь) — минимизируемый функционал, инте-
п
гральное производство энтропии, й — эмпирическая константа, I — единичный касательный вектор к фазовой траектории, а 1в, 1у —проекции вектора I на соответствующие оси фазового пространства.
Уравнения (6) можно рассматривать как формализацию алгоритма внутреннего управления, присущего сложной системе в неравновесных условиях. Цель управления заключается в минимизации производства энтропии по структурным параметрам, что является аналогией принципа минимизации тепловых потерь в классических подходах.
В докторской диссертации Т. А. Хантулевой были разработаны методы решения стационарных и квазистационарных задач нелокальной гидромеханики, основанные на итерационных процедурах решения некорректных задач. Фактически решалась следующая обратная задача: по заданному профилю скорости необходимо было восстановить спектр внутренней структуры. В данной работе рассматривается метод «прямого» численного решения нелокальных нестационарных одномерных уравнений, в котором ищется изменение по маршевой переменной (время) и профиля скорости, и структурных параметров одновременно. При этом предполагается, что в начальный момент времени нелокальные корреляции в среде отсутствуют, то есть параметры нелокальности малые, но не нулевые (в = 0 приводит к сингулярности в ядре). Физически
это соответствует тому, что возмущения, идущие от границы, еще не проникли далеко в область течения, а сосредоточены в малой окрестности движущейся границы. На гидродинамическом уровне описания это означает, что произошло скачкообразное изменение скорости границы, и профиль скорости течения еще не успел подстроиться под новые граничные условия. Дальнейшее развитие профиля скорости во времени подчиняется системе уравнений (4)-(6) и будет мало отличаться от классического, если параметры нелокальности не будут сильно возрастать, что зависит от величины константы d в уравнениях (6). Если же рассматривается задача с нестационарным движением твердых границ, то каждый временной шаг будет приводить к необходимости вновь и вновь возвращаться к начальным значениям параметров нелокальности. Интересно, что в предварительных расчетах был получен такой вид фазовой траектории, при котором движение системы £ = £(t), 7 = 7(t) действительно происходит вблизи начала координат £ = 0, 7 = 0. Объективности ради следует отметить, что при такой постановке задачи происходит быстрый рост невязок расчета, и решение, как правило, неустойчиво.
Существенное отличие постановки задач нелокальной гидромеханики от классических подходов заключается в принципах учета граничных условий. При решении итерационными методами уравнений Навье—Стокса или уравнений, использующих более сложные, но при этом все же локальные замыкающие соотношения, возникает некоторая слабая нелокальная завязка узлов сетки, появляющаяся при дискретизации градиента напряжений в правой части уравнения движения по поперечной координате у. На каждом итерационном шаге происходит перераспределение поля скорости, при котором граничные условия как бы «плавно переносятся» в ядро течения за счет того, что значение скорости в данном узле зависит и от скоростей в соседних узлах на том же (для неявных) и на предыдущем (для явных методов) временном слое. В нелокальной гидродинамике этот процесс, по существу, выделен отдельно. Параметры нелокальности, входящие в уравнение (4), определяются так, чтобы удовлетворить условиям прилипания. Это автоматически приводит к перераспределению напряжений поперек потока, и, в частности, к сдвигу максимума относительных локальных ускорений (левая часть уравнения движения) вглубь течения от границы. Отсюда следует, что нелокальность, и в первую очередь поляризационный сдвиг, приводят к новому эффективному механизму передачи импульса, отличному от классического диффузионного. При этом изменение нелокальных параметров придает ему волновой характер.
Таким образом, нестационарное течение жидкости существенно зависит от соотношения скоростей двух конкурирующих процессов: от гидродинамического механизма передачи импульса и от скорости изменения структурных параметров. Для приведенной постановки (4)-(6) определяющим параметром является отношение констант 1/Re и d. Если скорость процесса в фазовом пространстве нелокальных переменных мала, то мы имеем дело с «жестким» механизмом передачи импульса. При £ Л 1,7 л 1 получаем ньютоновскую модель; постоянные конечные значения параметров нелокальности соответствуют течениям жидкости с внутренней структурой, например, многофазным течениям. Если же сами параметры нелокальности быстро эволюционируют, то механизм передачи импульса существенно меняется на разных стадиях процесса, что приводит к перераспределению напряжений в потоке и, соответственно, к установлению неклассических (турбулентных) профилей скорости.
Другим фактором, влияющим на гидродинамические свойства нелокальной модели, является выбор модельной зависимости параметра поляризации от геометрии задачи, распределения макроскопических переменных и степени неравновесности системы 7 = 7(y, Vyu,£). Основная идея предлагаемой
автором методики заключается в том, чтобы находить зависимость 7 = 70f(y) вблизи имеющихся границ течения, а затем экстраполировать результат на всю область течения. Этот подход вполне оправдан, так как наиболее сильно эффекты поляризации проявляются в области больших градиентов, то есть как раз вблизи границ. В качестве функции f (y) можно взять Vyu и, таким образом, в первом приближении учесть зависимость параметра поляризации от градиента гидродинамической переменной. Применение предложенной методики построения интегральных ядер позволило уточнить результаты некоторых решенных задач нелокальной гидромеханики [10-11]. Так, в задаче Релея было показано, что первый момент корреляционной функции убывает вдали от движущейся пластины, что соответствует естественному затуханию поляризации вдали от источника возмущения. При этом второй момент ядра (радиус корреляций) значительно уменьшается на том же характерном расстоянии от границы и в пределах вычислительной точности становится пренебрежимо малым. Для симметричной задачи Куэтта анализ первых моментов яд-
it\ r Г2 dy'(, м f <у' У 7>21 • n i o pa ki{y) = Jri — {y — у) exp < ......................................>, г = U, 1, 2, позволил уточнить смысл
выделения структур (приграничные области с ненулевой поляризацией) и ядра потока, которое характеризуется конечным радиусом корреляций и отсутствием анизотропии. В ядре потока ko = 1, ki = 0, что соответствует распределению напряжений близкому к классическому, хотя определенный уровень корреляций в среде присутствует, k2 = 0. Вблизи границ наблюдается рост корреляций, который приводит к появлению поляризации. Знак поляризации определяется взаимным расположением границы и жидкости. Конечно, предлагаемая методика построения интегральных ядер содержит большой произвол
(в выборе функции f (y)) и должна проверяться при решении каждой конкретной задачи. Однако опыт решения системы (4)-(6) показывает, что только подобные «мягкие» модели с подстройкой ядра позволяют получить физически непротиворечивые результаты моделирования.
В целом же итерационный метод решения системы уравнений нелокальной гидродинамики предоставляет возможность для решения широкого спектра задач гидромеханики и, в частности, для единообразного описания сдвиговых течений, протекающих в условиях, далеких от локального равновесия. Определив из экспериментальных данных одну неизвестную константу d, мы, в принципе, можем получить решение задачи в любом диапазоне чисел Рейнольдса Re. При этом вид установившегося профиля скорости (линейный для ламинарного течения Куэтта или степенной турбулентный) будет зависеть от соотношения этих двух констант, то есть от того, насколько сильно эффекты мезоскопического структурного уровня влияют на ход гидродинамического процесса.
Рассмотренный подход наиболее целесообразно применять для обработки экспериментальных данных. Предполагается, что константа d уникальна для конкретной гидродинамической установки. Для ее определения требуется наличие хотя бы двух экспериментально измеренных профилей скорости при фиксированном числе Рейнольдса Re и проведение большого количества расчетов, позволяющих подобрать ее значение наиболее точно. Изменяя далее число Рейнольдса в соответствии с проведенными экспериментами, можно, в принципе, в рамках единой теории описать различные режимы течения в области ламинарно-турбулентного перехода. При этом нелокальность будет играть существенную роль в нестационарном механизме перераспределения напряжений в потоке. Таким образом, основное преимущество нелокальной гидродинамики в целом и рассматриваемого подхода к решению нелокальногидродинамических задач в частности заключается в том, что они дают возможность описать явления (например, течение жидкости в области ламинарно-турбулентного перехода), для которых построение локальных замыкающих соотношений невозможно в принципе, путем достаточно простого моделирования нелокальной структуры в более общих интегральных замыкающих соотношениях.
Summary
I. A. Nikulin. On modelling the space correlation in the frame of the nonlocal hydrodynamic theory.
Some features of the integral kernel construction in the frame of the nonlocal hydrodynamic theory are investigated. It is shown that the choice of the model expression for the polarization parameter has an essential influence on the adequacy of the current-boundary interaction description. New method of such modelling is proposed.
Литература
1. Филиппов Б.В, Хантулева Т.А. Граничные задачи нелокальной гидродинамики. Л., 1984.
2. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука. 1971. 416 с.
3. Хантулева Т. А. Математическое моделирование процессов переноса в условиях сильной неравновесности на основе самосогласованного нелокально-гидродинамического подхода // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.1, 1993. Вып.3. С.56-61.
4. Хантулева Т. А. Исследование неравновесных процессов методами кибернетической физики // Управление в физико-технических системах. СПб.: Наука, 2004. С. 246-264.
5. Хантулева Т.А., Никулин И.А. Структурная устойчивость высокоскоростного движения тела в жидкости // Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики. Труды конф. СПб., 2004. С. 269-273.
6. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003. 208 c.
7. Родионов А.А., Хантулева Т.А. Нелокальная модель ламинарного течения суспензий // Вестн. Ленингр. ун-та. 1980, №13. С.100-106.
8. Хантулева Т. А., Мещеряков Ю. И. Роль неравновесных процессов нелокальности и памяти в структурообразовании динамически деформируемых сред. Части 1.2 // Известия вузов. Физика. 2000, №4. С.62-73, №9. С.66-75.
9. Хантулева Т. А. Применение самосогласованного нелокально-гидродинамического подхода для описания динамических процессов теплопереноса в структурированных средах // Инженерно-физический журнал. Минск, Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова, 2003. Т. 76, №5. С. 193-198.
10. Никулин И. А., Хантулева Т. А. Высокоскоростное движение пластины в рамках самосогласованного нелокально-гидродинамического подхода // Модели неоднородных сред (Физическая механика. Вып. 8). СПб., 2004. С. 196-217.
11. Никулин И.А., Хантулева Т.А. Эволюция структурных параметров в рамках нелокально-гидродинамической теории // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 3. С. 102-108.
Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.
