CC BY
49
И. А. Никулин, Т. А. Хантулева
ЭВОЛЮЦИЯ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ В РАМКАХ НЕЛОКАЛЬНО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Введение. Описание высокоскоростных процессов переноса импульса и энергии представляет собой актуальную проблему гидромеханики. Решение неравновесных задач механики может быть получено в рамках нелокально-гидродинамической теории [1-3], разработанной на основе современных результатов неравновесной статистической механики [4] и теории нелинейных операторных систем [5]. Так в [4] показано, что макроскопические уравнения баланса в условиях существенной неравновесности полностью не локализуются, и получены нелокальные гидродинамические уравнения с памятью. Интегральные члены в этих уравнениях определяются пространственно-нелокальными и запаздывающими соотношениями между диссипативными потоками .1 и термодинамическими силами О (градиентами гидродинамических переменных):
Релаксационные ядра переноса Ж(г, г',£,£'), обобщающие коэффициенты переноса на условия существенной неравновесности, определяются пространственно-временными корреляциями между флуктуациями среды на промежуточных масштабных уровнях во всем диапазоне между микро- и макроскопическими.
В рамках нового подхода [1]—[3] на основе нелокальных и запаздывающих гидродинамических уравнений ранее было предложено строить самосогласованные модели релаксационных ядер с внутренними параметрами, которые являются первыми моментами пространственного статистического распределения корреляций в среде. При рассмотрении модели пространственной нелокальности, подходящий класс ядер может быть представлен в форме
В этом представлении первые моменты, являясь неизвестными функционалами макроскопических полей, имеют определенный физический смысл, связанный с внутренней структурой среды. Момент 0-го порядка а определяет эффективные значения коэффициентов переноса для среды с внутренней структурой. Момент 1-го порядка вводит вектор 7 = (г — г')э, характеризующий степень поляризации структурированной среды под действием возмущения извне. Длина вектора 7 есть характерный размер структуры среды. Момент е2 = ((г — г')2)э задает среднюю дисперсию распределения пространственных корреляций, которая определяет степень нелокальности в среде в неравновесных условиях. При е ^ 0 нелокальность исчезает, распределение становится ^-образным, что соответствует реакции жидкости в околоравновесных условиях. Другой предельный случай е отвечает реакции упругого твердого тела. В то же время
© И. А. Никулин, Т. А. Хантулева, 2006
(1)
структурные параметры не являются заданными константами среды, а меняются в ходе процесса. Причем для предложенного класса интегральных ядер эффекты, связанные с эволюцией структуры, превалируют над особенностями, определяемыми конкретным видом ядра (2).
В данной работе разрабатывается новая самосогласованная методика определения параметров внутренней структуры, в рамках которой важное значение имеет использование современных подходов теории управления. Предлагается эволюционный принцип, определяющий поведение величины производства энтропии для неравновесных процессов переноса, который обобщает классические результаты на условия существенной неравновесности.
Фазовое пространство нелокальных параметров. Основная специфика постановки задач в рамках нелокально-гидродинамической теории заключается в необходимости расчета не только гидродинамических (и термодинамических параметров) системы, но и нелокальных параметров, связанных с проявлением внутренней структуры среды и ее влиянием на макроскопические характеристики процесса. Таким образом, для корректного описания неравновесных процессов не достаточно следить только за изменением физических величин, нужно учитывать и эволюцию системы в некотором фазовом пространстве структурных нелокальных параметров. Причем эта эволюция является определяющей для правильного понимания релаксационных процессов, протекающих в среде, поскольку при одних и тех же макроскопических условиях система в целом может, вообще говоря, эволюционировать по принципиально разным сценариям в зависимости от выбора фазовой траектории. Это становится совершенно очевидным, если принять во внимание, что нелокальные эффекты непосредственно связаны с предысторией системы.
Механизм связи между внутренним (структурным) и внешним (гидродинамическим) уровнями реализуется через граничные и интегральные условия, наложенные на систему. Выражая граничные условия для полевых величин через интегралы, содержащие параметры, используя при этом уравнения баланса, мы получаем уравнения для определения параметров внутренней структуры среды:
Было показано [6-8], что граничные условия (например, условия прилипания) фактически задают траекторию изменения нелокальных переменных на некоторой фазовой поверхности. Для определения этой поверхности следует привлечь достаточно общие с физической точки зрения соображения об эволюции сложных систем. Предполагается, что в неравновесных условиях система эволюционирует во времени так, чтобы минимизировать величину производства энтропии. Это значит, что эволюционные процессы в системе происходят в некоторой степени самопроизвольно, подчиняясь внутренним закономерностям, определяющим процесс релаксации системы к стационарному состоянию. Интегральное производство энтропии в процессе переноса импульса определяется соотношением
и вблизи термодинамического равновесия, в гидродинамическом пределе, превращается в квадратичную форму по термодинамическим силам, привычную для традиционных подходов. Согласно Пригожину неравновесные стационарные состояния системы
Фі(О(г,і),а,є,ч) |г=гг = 0.
(3)
(4)
характеризуются минимальным производством энтропии. Для нестационарных состояний системы вдали от термодинамического равновесия строгих результатов нет. Ясно только, что вдали от равновесия эволюция системы полностью определяться эволюцией ее внутренней структуры.
Таким образом, искомая фазовая поверхность и есть поверхность, заданная величиной интегрального производства энтропии а на всем возможном диапазоне изменения структурных параметров. Для простоты дальнейшее рассмотрение проведем для модельной задачи о течении типа течения Куэтта в нелокальной постановке. Задача нестационарная, одномерная. Зададимся конечными значениями параметров нелокальности, а в качестве начального профиля скорости течения между движущимися пластинами выберем неклассический профиль (например, ух(у) = уп, где п ^ 1) с ярко выраженными пристеночными слоями, которые вовлечены в движение пластинами, и покоящимся ядром потока. В этом случае
(*) = J ^уРху(у^)дг)х^г\ (5)
п(г)
где ух — единственная ненулевая компонента вектора скорости среды, зависящая от поперечной координаты у, 0,(Ь) —область интегрирования по потоку.
Нелокальное сдвиговое напряжение вычисляется по формуле
р„ы)=м/ ^ехр|_^'-Г-дП^. (6)
0.(1) ^ '
Здесь — классический коэффициент вязкости.
Граничные условия, наложенные на систему, определяют условие связи между параметрами е и 7, которое «вырезает» некоторую пространственную траекторию в фазовом пространстве, а означенный эволюционный принцип, связанный со стремлением системы уменьшить величину интегрального производства энтропии, весьма просто интерпретируется как стремление фазовой точки, т. е. точки в фазовом пространстве нелокальных переменных, характеризующей текущее состояние системы, «скатиться» к положению минимума величины а (см. рис. 1).
Эволюция в фазовом пространстве. Скорость движения по фазовой траектории зависит от крутизны наклона фазовой поверхности в данной точке. Предполагается, что эволюция системы в фазовом пространстве определяется принципом скоростного градиента [9], утверждающим, что скорость изменения управляющих параметров (в нашем случае это нелокальные параметры е и 7) пропорциональна градиенту по этим параметрам от скорости изменения некоторого целевого функционала, под которым мы понимаем именно величину производства энтропии. Это утверждение с учетом наличия физических ограничений (граничных условий) можно записать в виде
* = -*!&■ (7)
Здесь под символом е понимается набор нелокальных параметров, а частная производная со штрихом обозначает дифференцирование по заданному направлению, по направлению касательной к фазовой траектории в данной точке. Знак перед выражением в правой части определяется стремлением системы минимизировать величину а, а !
а
есть некоторая константа, смысл которой обсуждается ниже. При описании слабонеравновесных изолированных систем указанный принцип эквивалентен принципу эволюции Глансдорфа—Пригожина [10], сформулированному в теории диссипативных процессов переноса. В общем же случае, метод скоростного градиента позволяет расширить область действия известных эволюционных принципов и на существенно неравновесные системы.
Данный принцип, позаимствованный из современных работ по теории адаптивного управления [11], допускает и несколько иную формулировку:
е = -4?' (8)
Выбор той или иной формы записи уравнения градиентного спуска зависит от конкретной постановки, а точнее от степени неравновесности рассматриваемых процессов. Очевидно, что первая форма записи подходит для описания механизма релаксации, поскольку при достижении системой некоторого локально-равновесного состояния правая часть дифференциального уравнения обращается в ноль, и эволюция системы прекращается. Следует отметить, что в данном случае положительная константа ! может быть интерпретирована как относительный масштаб двух характерных времен: времени эволюции структуры и характерного времени изменения интегральных гидродинамических величин. Следует предположить, что эта величина различна для различных гидродинамических задач, тем не менее ряд проведенных численных экспериментов указывает на то, что в том случае, если система со временем выходит на классический режим, константа ! должна иметь значение порядка 1. В противном случае расчеты приводят к появлению волновых структур, характерных для немонотонного процесса релаксации, а в некоторых ситуациях и к «развалу» решения.
Во втором случае константа ! имеет, вообще говоря, другую размерность и является мерой инерционности системы, своего рода «массой» гидродинамической системы в фазовом пространстве. Наличие инерции приводит к тому, что при достижении
оптимального (в смысле минимизации величины производства энтропии) состояния эволюция системы не прекращается, а носит, скорее всего, сложный квазипериодиче-ский характер. Авторы предполагают, что именно такой режим описывает явления типа перемежающейся турбулентности, когда в разные моменты времени и/или в разных точках физического пространства режим течения переключается с ламинарного на турбулентный и обратно.
В общем же случае, эволюция системы может описываться и тем, и другим механизмами одновременно. А в связи с тем, что их аддитивность не предполагается, величина ! уже не может считаться постоянной. Однако описание столь сложных моделей выходит за рамки данной работы.
Результаты. Эволюция системы в первом приближении определяется фазовыми траекториями, изображенными на рис. 1, где хорошо видно, что если процесс начинается в точке с максимальным производством энтропии (средний пик, 7 = 0), то значения параметров меняются быстро. Этот этап соответствует развитию пристеночных пограничных слоев толщины порядка 7. Как только значение а достигает некоторого критического значения (на рисунке а « 4, два крайних пика) в системе появляется новый масштаб. Это означает, что два погранслоя соединились, и дальше эволюционирует весь поток в целом. И наконец, в нижней точке траектории движение в фазовом пространстве останавливается, а на гидродинамическом уровне устанавливается классический линейный профиль скорости Ух(у) = у.
Если в качестве начального взять классический профиль скорости ґох(у) = у1, то вид поверхности а(є,7) будет отличен от изображенного на рис. 1, а спектр значений нелокальных параметров є и 7 будет не дискретным (в виде кривой), а непрерывным (в виде области на плоскости є — 7). Оказалось, что эта область попадает на «плато» на поверхности интегрального производства энтропии (см. рис. 2).
Рис. 2. Вид поверхности производства энтропии для классического профиля скорости.
Этот факт можно интерпретировать как простой критерий устойчивости (не по Ляпунову) классического решения задачи Куэтта, что дает возможность оценить границы применимости классической теории Навье—Стокса: профиль устойчив, если возмущения не настолько велики, чтобы выбросить фазовую точку из области устойчивости
(«плато» с максимальным значением величины производства энтропии). В данном случае малые отклонения от равновесия (грубая оценка є < 0.3) соответствуют устойчивости классического линейного профиля. Если же фазовая точка попадает на «склон», то, как показывают расчеты, в среде начинаются необратимые процессы изменения структуры. По существу, идет переход от ламинарного режима течения к турбулентному, а на макроскопическом уровне происходит активная перестройка профиля (как правило, к некому новому неравновесному стационарному состоянию).
Рис. 3. Эволюция системы в фазовом и физическом пространствах.
Описанный выше алгоритм расчета эволюции системы в фазовом пространстве представляет интерес только для качественного анализа, поскольку по существу является лишь одним шагом предлагаемой самосогласованной процедуры построения решений гидродинамических задач в рамках нелокально-гидродинамической теории. Основная идея самосогласованного подхода заключается в том, что на каждом шаге эволюции по времени гидродинамические переменные находятся с учетом эволюции нелокальных параметров в фазовом пространстве, но в свою очередь, эта эволюция существенным образом зависит от текущих распределений гидродинамических величин. Поскольку величина а зависит от градиентов макроскопических переменных (в формуле (5) от градиента массовой скорости жидкости), вид фазовой поверхности на каждом итерационном шаге изменяется, как меняется и траектория на плоскости е — 7. На рис. 3 показан типичный сценарий эволюции системы при описании плоского сдвигового течения между двумя движущимися пластинами. Уравнения метода ско-
ростного градиента выбраны в форме дифференциального уравнения первого порядка, соответствующей релаксационным процессам. Продемонстрирована эволюция фазовой поверхности ) к равновесному состоянию и постадийное установление классиче-
ского линейного профиля скорости.
Summary
I. A. Nikulin, T. A. Khantuleva. The structural parameters evolution in the frame of non-local hydrodynamic theory.
The self-consistent method of solving the non-equilibrium hydrodynamic problems is offered. It is shown that the application of algorithms of the adaptive control theory in the frame of non-local hydrodynamic theory allows us to describe relaxation processes accompanying complex unstable flows.
Литература
1. Филиппов Б. В., Хантулева Т. А. Граничные задачи нелокальной гидродинамики. Л., 1984.
2. Khantuleva T. A. Microstructure formation in the framework of the non-local theory of interfaces // J. Materials Phys. and Mech. 2000, N 2. P. 51-62.
3. Хантулева Т. А. Моделирование быстрых высокоградиентных процессов на основе самосогласованной неравновесной функции распределения // Математическое моделирование, 1999. Т. 11, N6. C. 17-24.
4. Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971, 415 с.
5. Vavilov S. A. A method of studying the existence of nontrivial solutions to some classes of operator equations with an application to resonance problems in mechanics // Nonlinear Analysis, 1995. V. 24. N5. P. 747-764.
6. Хантулева Т. А. Исследование неравновесных процессов методами кибернетической физики // Управление физико-техническими процессами. СПб., Изд-во «Наука», 2004.
7. Хантулева Т. А. Информационные процессы при неравновесном переносе // Межвузовский сборник Стохастическая оптимизация в информатике СПб., СПбГУ, 2005. С. 257-273.
8. Хантулева Т. А., Никулин И. А. Сборник трудов конференции Устойчивость и процессы управления (том 2), СПб., СПбГУ, 2005. С. 1212-1221.
9. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика. СПб., Изд-во «Наука», 2003. 208 c.
10. Глэнсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973. 280 с.
11. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.
12. Granichin O.N., Khantuleva T. A. Hybrid systems and randomized measuring in nonequilibrium processes // Differential Equation and Control Processes. N 3, 2004. Electronic J., NP23275 at 07.03.97.
Статья поступила в редакцию 15 ноября 2005 г.
