О моделировании нестационарных течений нефти при авариях на магистральном нефтепроводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1812-5220

© Проблемы анализа риска, 2008

В.Н. Антипьев,

Е.В. Налобина,

И.Н. Налобин,

Тюменское региональное отделение Российского научного общества анализа риска, ООО «Энергия-2», г. Тюмень

ISSN 1812-5220 © Issues of Risk Analysis, 2008

V.N. Antipiev,

E.V. Nalobina,

I.N. Nalobin,

Tyumen Region Branch of the Russian Scientific Society for Risk Analysis, Energia-2, Ltd., Tyumen

О моделировании нестационарных течений нефти при авариях на магистральном нефтепроводе

Аннотация

В статье дан анализ различных методик по определению аварийного истечения нефти при гильотинном порыве магистрального нефтепровода в период неустановившегося течения. В результате установлено, что существующие одномерные модели, основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных, в которых касательные напряжения вычисляются по формуле Дарси-Вейсбаха, непригодны для практического применения для задач с гильотинным порывом магистральных нефтепроводов. Предложены основные зависимости для определения ожидаемого количества вылившейся нефти из нефтепровода в период неустановившегося режима течения, при выводе которых используется закон сохранения массы и учитываются упругие свойства нефти и материала стенок труб.

Ключевые слова: магистральный нефтепровод, гильотинный разрыв, нестационарное истечение, фронт волны понижения давления, моделирование.

On Modeling of Unsteady Outflow of Oil Following Oil-Trunk Pipeline Breakage

Abstract

The article considers different approaches to determination of accidental outflow of oil after a guillotine-type break of an oil-trunk pipeline, in the period of unsteady flow. The conclusion is made that the existing linear models based on partial differential equations with sheer stress calculated by the Darcy-Weisbach formula are inapplicable to practical problems of guillotine break at oil-trunk pipelines.

Basic equations are offered for the calculation of expected amount of oil flown out of the pipeline over the unsteady-state period. The equations are based on the law of the conservation of mass and take into account the elastic properties of oil and the pipe wall material.

Key words: oil-trunk pipeline, guillotine pipe break, unsteady outflow, depression wavefront, modeling.

Поводом для настоящей статьи послужила публикация д.т.н. Лисанова М.В. и Сумского С.И. [1]1, в которой высказаны критические замечания по работе [2]2, опубликованной ранее в настоящем журнале.

В дальнейшем для удобства будем именовать авторов работы [1] термином «Оппоненты». Поскольку в своем анализе Оппоненты в качестве эталонных используют результаты расчетов, выполненные по одномерной математической модели, изложенной в руководящем документе [3], постольку прежде, чем приступить к обсуждению выдвигаемых замечаний, проведем анализ самой модели и применяемый ими численный метод решения. Так как используемый оппонентами численный метод применительно к подобным задачам нигде не описан, то анализ его можно проводить только опосредствованно путем анализа полученных решений для конкретных задач.

Основными дифференциальными уравнениями одномерной математической модели [3] являются: уравнение неразрывности

др _ 8{рм>) (1)

8? дх ’

уравнение сохранения импульса

*£> + ,М(Л)£ + „А (2)

где X — время;

х — расстояние от начала трубопровода;

Р, р, ^ — средние по сечению значения давления, плотности и скорости движения нефти, соответственно;

Л(Кв) — коэффициент гидравлических сопротивлений по длине, зависящий от режима течения в трубе (от числа Рейнольдса Кв = wй/v);

1 См. стр. 36—41. Далее по тексту будут ссылки на рисунки из данной статьи, которые мы, чтобы избежать повторов, не воспроизводим (прим. ред.).

2 Статья была представлена в журнал «Безопасность труда в промышленности» с положительной рецензией чл.-корр. РАН Ма-хутова Н.А. и его рекомендацией опубликовать статью именно в этом журнале. Однако редакция журнала «Безопасность труда в промышленности» предложила направить статью в другой журнал. Более того, начиная с 2000 года авторам неоднократно предлагалось обсудить методику [3]. Однако под разными предлогами они уклонялись от обсуждения.

й — внутренний диаметр трубы; g — ускорение силы тяжести;

Р — локальный угловой коэффициент трассы нефтепровода, $ = йх/йх

х — геодезическая отметка точек трассы нефтепровода;

V = р/р — кинематическая вязкость нефти; р — динамическая (молекулярная) вязкость нефти.

Следует отметить, что X в общем случае зависит не только от числа Рейнольдса, но и от шероховатости внутренней поверхности стенки трубы е, т. е. ЦКв, е).

К уравнениям (1) и (2) необходимо добавить начальные и граничные условия. С математической точки зрения задача считается полностью поставленной, если кроме дифференциальных уравнений, описывающих процесс, заданы граничные и начальные условия. Однако ни в одной из публикаций Оппонентов четкой постановки задачи не было сделано. В лучшем случае звучали лишь общие фразы о существовании граничных и начальных условий.

В механике жидкости и газа при выводе дифференциальных уравнений, описывающих тот или иной процесс, в качестве обязательного принимается модель сплошной среды. В области существования дифференциальных уравнений используемые в них функции должны быть непрерывными и иметь ограниченную производную.

В задачах с гильотинным порывом нефтепровода фигурирует фронт волны, представляющий границу раздела возмущенной и невозмущенной областей течения. Причем фронт перемещается по длине поврежденных участков трубопровода. Наличие фронта волны создает определенные проблемы при численных решениях задачи. Оппоненты применяют метод С.К. Годунова [4], который разработан для решения определенного круга задач газовой динамики, а точнее для расчета разрывных течений, которые возникают при переходе от сверхзвуковых течений к дозвуковым. В самом названии статьи [4] уже определены границы применимости. Тем не менее, Оппоненты распространяют этот метод на случай нестационарных течений в нефтепроводах. Поэтому возникает вопрос:

насколько обоснованно применение этого метода к задачам с гильотинным порывом? Оппонентами не было этого сделано. Чтобы ответить на поставленный вопрос, сделаем экскурс в газовую динамику околозвуковых и сверхзвуковых течений.

Закономерности движения капельных жидкостей и газообразных существенно отличаются [5]. Движение газа может осуществляться как с дозвуковыми, так и со сверхзвуковыми скоростями, при этом дозвуковые и сверхзвуковые течения газа имеют совершенно иные закономерности. Так, например, при дозвуковых течениях уменьшение площади сечения потока приводит к увеличению скорости движения, а при сверхзвуковых течениях, наоборот, к снижению скорости. Разгон сверхзвукового потока (увеличение скорости движения) можно достигать только за счет увеличения площади сечения газового потока, достигшего скорости звука. Получение сверхзвуковых течений осуществляют с помощью профилированных сопел (называются соплами Лаваля). Известно, что переход от сверхзвуковых течений в дозвуковые может происходить через скачок уплотнения.

Различают прямые и косые скачки уплотнения. При переходе через скачок уплотнения параметры потока газа — давление, температура, плотность, скорость, являющиеся функциями координат, терпят разрыв непрерывности первого рода. То есть в точках самого скачка уплотнения указанные параметры имеют два значения. Одно значение, если приближаться к скачку уплотнения слева. Совершенно иное значение принимают параметры потока газа при приближении к скачку справа. Для каждого вида скачка существуют свои зависимости, связывающие параметры газового потока перед скачком и за скачком. Именно в существовании такой поверхности (скачка уплотнения), при переходе через которую параметры потока газа претерпевают скачкообразное изменение, можно усмотреть аналогию с фронтом волны понижения давления при гильотинном порыве. Однако в задачах газовой динамики скачки уплотнения, как правило, имеют стационарный характер. При движении твердых тел со сверхзвуковой скоростью в газе образующиеся скачки уплотнения перемещаются вместе с телом. При использовании метода обращения потока задача сводится к обтеканию

тела сверхзвуковым газовым потоком. Сходящие с кромок тела скачки уплотнения уже будут неподвижными. Подобные разрывные течения и рассматриваются в работе [4]. Для капельных жидкостей движение с околозвуковыми или сверхзвуковыми скоростями неосуществимо.

В случае течений капельной жидкости при гильотинном порыве трубопровода фронт волны перемещается в движущейся жидкости. Кроме того, существенным различием является то, что если в газовой динамике имеет место движение самой материальной субстанции (газа) с околозвуковыми скоростями, то при гильотинном порыве скорость движения жидкости несоизмеримо мала по сравнению со скоростью распространения фронта волны. На перемещение фронта волны движение жидкости практически не оказывает влияния. С таким же успехом фронт волны будет перемещаться и в покоящейся жидкости.

Приведенный поверхностный обзор ставит под сомнение возможность механического переноса метода Годунова—Колгана [4] на задачи течений в трубопроводах, вызванных гильотинным порывом. Если Оппоненты вносят какие-то коррективы в сам метод численного расчета, то это уже будет другой метод (можно назвать его методом Колгана—Сумского).

Тем не менее авторы работ [6] и [7], не проведя анализа возможности применения численного метода расчета С.К. Годунова, применяют его для случая гильотинного порыва трубопровода и по результатам расчетов делают ничем не обоснованные заключения. Так, в работе [6] приводятся утверждения: метод С.К. Годунова позволяет учитывать «образование газовых полостей и взаимодействие потока нефти с ними», «Как видно из рисунков3, даже в простейшей реализации метод С.К. Годунова дает результаты высокого качества». В противовес первому утверждению можно высказать следующее. Сам по себе метод не может учитывать ни образования газовых полостей, ни взаимодействия потока нефти с ними, если в математической постановке задачи не заложены механизмы указанных явлений. В системе уравнений (1) и (2) этого не просматривается. Второе утверждение можно было бы делать

3 См. рис. 2 на стр. 46.

только на основании сравнения результатов полученных расчетов с фактическими данными, чего не было сделано. На указанных выше рисунках представлены графически только расчетные значения. Следовательно, перечисленные выше утверждения следует рассматривать как голословные умозаключения автора работы [6].

Более того, приведенные в работах [6] и [7] графические данные по изменению давления по длине трубопровода вызывают сомнение, что и послужило основанием задать вопросы [2]: «Из графика рисунка 3 работы [7] видно, что «вблизи от места аварии» в течение длительного времени (580 секунд с момента разрыва трубопровода) давление почти не меняется и равно приблизительно 1,5 МПа (15 атм). В то же время в тексте упомянутой работы сами авторы указывают, что «давление в самом месте разрыва падает практически до атмосферного». При этом авторами применен непонятный термин «вблизи места аварии» без пояснения, что под ним подразумевается. Возникают вопросы: в какой близи, на каком расстоянии от места разрыва и что это за особая точка, в которой существует скачок давления, довольно стабильно удер-

живающийся в течение 580 секунд? Такое явление физически необъяснимо. Следует отметить, что такое же высокое значение давления «вблизи от места аварии» держится и для второго участка разрушенного трубопровода (последнее видно из рис. 1 работы [7])».

Полученный от Оппонентов ответ на эти вопросы звучит: «Отчасти эти замечания справедливы. Но здесь следует сделать одну важную оговорку. В общемировой практике численного моделирования принято, что вся информация, полученная в предположении конкретной дискретности, и приводится с такой же дискретностью. Очевидно, данные, приведенные в работе [7], даны с соответствующим масштабом пространственного разрешения. И этот пространственный масштаб не позволяет разрешить детальную картину течения непосредственно на месте разрыва, а лишь «вблизи», т.е. с точностью дискретного пространственного масштаба. К сожалению, в работе [7] не указана величина этого пространственного масштаба. Безусловно, это является упущением [7] и именно за это следовало бы порицать авторов [7]. Но это отчасти справедливое замечание

12

Расстояние по трассе, км ---- 60 с ------ 180 с ------ 480 с ..... профиль трубопровода --ф-- место аварии

Рис. 1. Рельеф трассы и профили давления в разное время после разрушения: через 1, 3, 8 минут (по работе [7])

10

20 30 40 50 60

Расстояние по трассе, км 0 с -------- 10 с --------- 20 с ......... 1 мин .......... 10 мин

70

80

Рис. 2. Профиль давления в трубопроводе в различные моменты времени при образовании крупной трещины на расстоянии 40 км (по работе [6])

1,0

-20

80

180

280 380

Время, с

480

580

Рис. 3. Зависимость давления нефти в МН вблизи места аварии от времени (стадии 1 и 2). Разрыв МН произошел в 0 секунд (по работе [7])

авторы рецензируемой статьи сформулировать не смогли» (конец цитаты)4.

Как видно из приведенного текста, ни на один вопрос четкого ответа не было дано, зато прозвучало обвинение в адрес авторов вопросов.

Можно утверждать, что такого явления, как наличие скачка давления «вблизи от места аварии», быть не может. Действительно, областью существования одномерной математической модели (дифференциальных уравнений (1) и (2)) является множество х е [х, х ), левая граница которого закрытая (х — координата места порыва входит в область существования), а правая граница — открытая (хв — координата фронта волны понижения давления не входит в область существования, т. е. х может сколько угодно приближаться к значению хе , никогда не достигая значения х = хв). При этом правая граница области существования дифференциальных уравнений зависит от времени, т. к. перемещается вдоль трубопровода. Следовательно, решение дифференциальных уравнений должно иметь гладкие функции (давление и плотность), не терпящие разрыва непрерывности в пределах области существования дифференциальных уравнений. Появление в результатах расчетов скачков давления «вблизи от места аварии» могло быть привнесено только «извне», но никак не в результате решения дифференциальных уравнений.

В работе [7] также голословно объявляется, что «разработанная в НТЦ «Промышленная безопасность» программа, основанная на изложенной в [3] модели и численного метода Колгана [4],... позволяет моделировать течения по трубопроводам нефти, газа и двухфазных сред, в том числе и аварийные ситуации». Несостоятельность такого заявления видна из следующего краткого анализа. Методика [3] основана на предположении сплошности потока капельной жидкости. Появление в какой-либо части (или в каких-либо частях) потока другой фазы (газовой) приводит к разрыву сплошности потока и скачкообразному изменению плотности среды (плотность, как функция координат, терпит разрыв непрерывности первого рода, а значит

4 Здесь, так же как и ниже по тексту, в приводимых выдержках номера ссылок на источники изменены в соответствии с приведенным в настоящей работе списком используемой литературы.

в окрестности границы раздела фаз газ — жидкость не дифференцируема). Поэтому дифференциальные уравнения (1) и (2) в этой части потока теряют силу. К тому же в самих дифференциальных уравнениях не заложен механизм взаимодействия жидкой составляющей потока с газовыми образованиями. Следовательно, для двухфазных потоков указанная модель не пригодна. Течение двухфазных сред — самостоятельная достаточно сложная проблема. Причем более сложная, чем течение одной жидкости или одного газа. В случае течений газа в трубопроводах необходимо учитывать уравнение термодинамического процесса и уравнение состояния газа, которые необходимо обоснованно выбирать из имеющегося в настоящее время многообразия зависимостей. Но это будет уже другая задача и другая математическая модель.

Перейдем к более подробному анализу самой математической модели [3] и возможности ее применения к задачам, возникающим при гильотинном порыве трубопровода. Одномерные модели имеют свои преимущества и недостатки. Одним из существенных недостатков одномерных моделей течения является тот факт, что вводится в рассмотрение средняя по сечению скорость потока V, и при этом из поля зрения выпадают некоторые особенности трехмерных течений. Эти особенности могут существенно повлиять на характер модельного течения. В частности, исчезает из виду тот факт, что скорости движения частичек жидкости, находящихся в разных точках живого сечения реального потока, различны (такую скорость называют «местной скоростью»). Если скорость на стенке трубы равна нулю, то на оси потока местная скорость достигает максимального значения. В пределах живого сечения потока местная скорость изменяется по некоторому закону. То есть имеет место наличие градиента скорости. Градиент скорости имеет определяющее значение в теории гидравлических сопротивлений [3]. Одномерные модели неустановившихся течений этот фактор не учитывают.

В правую часть уравнения (2) входит член л ,

который учитывает силы трения нефти о твердую поверхность стенки трубы и который в соответствии с методикой [3] рекомендуется рассчитывать по известным формулам трубной гидравлики, спра-

ведливым, строго говоря, только для установившихся режимов движения.

Было бы точнее заменить в уравнении (2)

га

членом — т (г представляют собой касательные

“ *

напряжения, которые возникают на стенке трубы).

Касательные напряжения на стенке трубы неразрывно связаны с касательными напряжениями, возникающими в самой жидкости, и определяются градиентом скорости.

Следует отметить, что «чистого» трения жидкости о твердую поверхность не существует. Силу трения жидкости о стенку трубы нельзя отделить от сил трения, которые возникают внутри самой жидкости. Касательные напряжения т(силы трения, отнесенные к единице площади) возникают не только у стенки трубы, они возникают и в самой жидкости (если градиент скорости не равен нулю). Для пояснения обратимся к модели Ньютона слоистого (ламинарного) движения. Жидкость заполняет пространство между двумя параллельно расположенными плоскими пластинами. Одна пластина неподвижная, другая — перемещается вдоль нее с постоянной скоростью (движение установившееся!). Перемещение происходит под действием постоянно приложенной силы тяги. Частицы жидкости у поверхности первой пластины «прилипают» к ней и неподвижны, т. е. их скорость равна нулю. Частицы жидкости у второй пластины также «прилипают» к ней и, следовательно, имеют такую же скорость, что и вторая пластина. Частицы жидкости, находящиеся в объеме между пластинами, двигаются с различными скоростями. В данном случае местная скорость изменяется по линейному закону (градиент скорости отличен от нуля!). Между отдельными слоями жидкости, движущимися с разными скоростями, возникают силы трения. Результирующая этих сил трения и уравновешивается силой тяги. Касательные напряжения, возникающие у неподвижной пластинки, определяются по известной формуле Ньютона т = ц — , т. е.

* дп

зависят от градиента скорости в самой жидкости.

При установившемся турбулентном режиме движения определяется выражением [8]

где ^ — коэффициент динамической (молекулярной) вязкости жидкости;

А — коэффициент турбулентной динамической вязкости;

ди

— градиент местной скорости движения (на-

дп

правление п совпадает с направлением радиуса г).

Если нет относительного движения между отдельными слоями жидкости (при этом градиент скорости равен нулю), то и силы трения между этими слоями не возникают.

В случае ламинарного движения А = 0, и выражение (3) обращается в известную формулу Ньютона для касательных напряжений.

Следует отметить, что ^ для конкретной жидкости зависит в основном от температуры, влияние давления на значение ^ пренебрежимо мало. При фиксированной температуре ^ с достаточной точностью можно считать постоянной величиной. Коэффициент турбулентной вязкости А не является постоянной величиной, а зависит от градиента скорости [8]

А =р12

(4)

т„ = ІМ + А)-

(3)

где I — называется масштабом турбулентности.

В свою очередь I зависит от радиуса г.

Градиент скорости, входящий в выражения (3) и (4), определяется законом распределения местной скорости и по живому сечению потока (графическое изображение которого называют профилем скорости).

Только при установившемся движении существует вполне определенное соотношение между

ди

градиентом местной скорости и средней ско-

дп

ростью движения Ш, что и позволяет выразить значение касательных напряжений через среднюю скорость потока ш, а следовательно, и получить зависимость потерь давления на гидравлические сопротивления от средней скорости. Такой зависимостью и является формула Дарси—Вейсбаха, которая справедлива только для установившихся движений.

При неустановившемся движении касательные напряжения являются функцией трех переменных

X = f(t, r, x) (r — радиус текущей точки в живом сечении потока, а x — линейная координата вдоль оси трубопровода). Конкретного вида такой зависимости до настоящего времени не установлено. Такую зависимость можно определять только экспериментальным путем. Инерционность показаний существующих в настоящее время приборов не позволяет экспериментальным путем установить зависимость для х .

^ w

Турбулентное движение по своей природе является неустановившимся движением. В любой фиксированной точке скорость как векторная величина изменяется во времени. Скорость в фиксированный момент времени в фиксированной точке пространства называют мгновенной местной скоростью. Мгновенная местная скорость только при определенных условиях будет пульсировать относительно некоторого постоянного значения, которое называется осредненной местной скоростью. Таким условием является: объемный расход жидкости в любом фиксированном сечении потока не изменяется со временем, т. е. является постоянной величиной. В подобном случае турбулентное течение называют квазистационарным или просто установившимся.

При неустановившемся турбулентном движении невозможно получить значение осредненной (по времени) скорости в каждой точке сечения, а следовательно, и построить поле осредненных скоростей, и понятие градиента местной скорости, как таковое, исчезает. Поэтому применимость одномерной модели [3], по крайней мере, для неустановившегося истечения нефти, вызванного гильотинным порывом магистрального нефтепровода, не обоснована.

Рассмотрим явление нестационарного истечения нефти при гильотинном порыве нефтепровода с физической точки зрения. Во всех точках сечения, в котором произошел гильотинный порыв, давление падает практически мгновенно (вследствие малых размеров сечения) на величину АР = Ра0 - Рп (где Ра0 — давление в сечении трубопровода с координатой ха до аварии, Рп — противодавление среды, куда происходит истечение нефти). От места аварии по обоим участкам трубопровода пойдут волны понижения давления в противоположных направлениях. Фронт волны разделяет возмущенную область от невозмущенной. В невозмущенной области нефтепровод еще «не почувствовал», что

произошла авария. Поэтому в невозмущенной области изменение давления по длине трубопровода определяется так же, как и при установившемся режиме перекачки, т. е. по известной формуле

7 2

Ро(х) = Рх0 = Рн -^ р> (5)

где р0(х) — давление в нефтепроводе на расстоянии х от начала при стационарном режиме перекачки;

Рн — давление в начале нефтепровода;

Дг — разница геодезических отметок начала трубопровода и сечения трубопровода, характеризуемого координатой х;

*0 — средняя по сечению скорость движения нефти при стационарном режиме перекачки, т. е. до аварии.

Скачкообразное изменение давления на фронте волны вызывает скачкообразное изменение плотности нефти, в результате происходит объемное расширение нефти. Последнее приводит к тому, что местная скорость во всех точках этого сечения для первого аварийного участка изменится на одну и ту же величину. При этом градиент скорости не изменится. Следовательно, можно допустить, что на первом аварийном участке нефтепровода величина гидравлических сопротивлений останется той же, что и при стационарном режиме перекачки. В возмущенной области второго аварийного участка гидравлические сопротивления вовсе отсутствуют, так как скорость во всех точках сечения трубопровода одинаковая, а следовательно, трения между отдельными ее слоями не возникает. Объяснение этому можно дать и с других позиций. Известно, что нефть, как любая капельная жидкость, в отличие от твердых тел обладает не только потенциальной энергией положения, но и потенциальной энергией давления, причем каждый килограмм массы нефти

обладает энергией, равной — (называют удельной

Р

потенциальной энергией давления). Потенциальная энергия при определенных условиях способна совершить работу. Потенциальная энергия давления может удерживаться только в замкнутых жидких системах. При гильотинном порыве трубопровода происходит высвобождение потенциальной энергии нефти. Совершается работа по объемному расширению нефти, т. е. по увеличению занимаемого

нефтью объема. В результате происходит выдавливание нефти из трубопровода подобно выдавливанию пасты из тюбика и нефть в рассматриваемом случае «срабатывает» подобно сжатой пружине, один конец которой освобождается от ограничений.

Давление в возмущенной области обоих аварийных участков определяется по формуле

Р* = РХ0 - ЬР’ (6)

где Р* — давление в возмущенной области в сечении с координатой х.

Причем для возмущенной области как первого, так и второго аварийных участков нефтепровода должно выполняться условие

Р > Р ’ (7)

* нас 4 '

где Рнас — давление насыщения нефти.

Профиль давления за фронтом волны будет представлять собой кривую, параллельную и ниже кривой, определяемой выражением (5), для тех участков, для которых выполняется условие Р* > РЯаС. Профиль давления на участках в возмущенной области, на которых выполняется неравенство Р* < Рнас, представляет собой горизонтальную прямую Р = Р .

г ' * нас

Исходя из физических представлений, изложенных выше, в работе [2] была представлена математическая модель в виде конечных разностей, которая позволяет рассчитывать истечение нефти из магистрального нефтепровода при гильотинном порыве в период нестационарности процесса, т. е. в период времени, который начинается с момента начала аварии и заканчивается приходом волны понижения давления в начало нефтепровода — для первого аварийного участка и в конец нефтепровода — для второго аварийного участка.

Для вычисления скорости истечения нефти из первого участка нефтепровода (по ходу движения) получено выражение

Р + ^Р

Ра СРа

1 +-

йЕж

Ет8

(8)

Выражение для вычисления скорости аварийного истечения нефти из второго участка нефтепровода имеет вид

АР

СРа

1 +-

йЕж

Ет8

-м'0

Р.

Ра

(9)

В выражениях (8) и (9) приняты следующие обозначения:

Еж — модуль упругости жидкости;

Ет — модуль упругости материала стенки трубы; 5 — толщина стенки трубы диаметром с — скорость распространения звука в жидкой среде (в нефти),

с =

Р

(10)

Значение

Ра

с достаточной точностью можно

принять равным единице.

При выводе предполагалось, что скорость распространения фронта волны определяется по формуле Жуковского

с =

ґ V0’5

Ро +Ро Л

Е

V ж

Ет8

(11)

которая была получена для случая гидравлического удара в трубопроводах. Обоснованием этому является некоторая аналогия между явлением гидравлического удара и гильотинным порывом трубопровода. Общим в этих явлениях является появление и распространение волн давления в жидкости. При гидравлическом ударе протекает прямая волна (повышенного давления) и обратная волна (пониженного давления). В случае гильотинного порыва протекает только волна пониженного давления. Отличия указанных явлений заключаются в следующем. При гидравлическом ударе происходит повышение давления за счет перехода кинетической энергии жидкости в потенциальную энергию давления при мгновенном перекрытии трубопровода, при этом сброса жидкости не происходит, т. е. процесс распространения давления происходит в замкнутой системе. При гильотинном порыве процесс обратный. В результате порыва система становится открытой (т. е. сообщается с атмосферой), что приводит к мгновенному сбросу давления и к объемному расширению жидкости (жидкость — сжимаемая среда). Именно увеличение объема нефти за счет уменьшения плотности обеспечивает ее истечение из трубопровода.

Скорость распространения волны понижения давления при гильотинном порыве, строго говоря, должна определяться как (С + w0) — для первого аварийного участка и (Св - w0) — для второго аварийного участка. Однако, учитывая, что значение w0 составляет не более 0,1% от значения Св, то им можно пренебречь как бесконечно малой величиной. Тем более, что значение w0 находится в пределах погрешности вычисления Св. При вычислении значения Се используются средние значения величин Еж и Ет .

Перепад давления на фронте волны по мере его продвижения изменяется, поэтому и скорости истечения нефти, определяемые выражениями (8) и (9), будут изменяться в соответствии с изменением величины АР, определяемой в соответствии с выражением (6) и с учетом условия (7).

Количество нефти М1, вылившейся из первого аварийного участка нефтепровода в период нестационарного истечения, определяется по формуле

гК1

М1 =Ро£ } ^исплЖ . (12)

0

Количество нефти М2, вылившейся из второго аварийного участка нефтепровода в период нестационарного истечения определяется по формуле

*к 2

м 2 =Ро£ | ™ист2 а!. (13)

0

В формулах (12) и (13) используются следующие обозначения:

5 — площадь сечения трубопровода;

*к\’ К2 — время прихода волны давления в начало и в конец нефтепровода, соответственно.

Значения £ , £ определяются по формулам

Перейдем к детальному анализу результатов расчетов, выполненных Оппонентами на примере гильотинного порыва на 10-м км горизонтального нефтепровода. Результаты их расчетов представлены графически на рис. 1 и рис. 25 работы [1]. Анализ будем сопровождать сравнением с результатами, по-

5 См. стр. 38—39 настоящего номера журнала (прим. ред).

лученными по предлагаемой в [2] модели, а также пояснениями результатов с физической точки зрения. Условия задачи дополним недостающими для расчетов исходными данными. Плотность нефти при стандартных условиях примем равной 860 кг/м3, модуль сжатия нефти Ен = 1,3 • 109 Па, толщина стенки трубы 20 мм, модуль Юнга материала труб Ет = = 2 -1011 Па, давление в конце нефтепровода 2 МПа (20 атм) (значение взято из графика рис. 15 работы [1]).

Из рис. 1 работы [1] видно, что в месте аварии (на 10-м км от начала нефтепровода) имеет место скачок давления. Причем величина этого скачка различна в различные моменты времени. Так, давление в месте порыва составляет около 28 атм к моменту времени 60 с, около 15 атм — к моменту времени 180 с, около 10 атм — к моменту времени 300 с и около 8 атм — к моменту времени 480 с.

В приведенном выше анализе было доказано, что никакого скачка давления «вблизи» от места порыва (на 10-м км нефтепровода) быть не может.

В соответствии с методикой [2] давление в сечении порыва в любой момент времени остается постоянным, равным атмосферному (для рассматриваемого примера).

Проанализируем фрагмент из работы [1]: «Из рисунка 1 видно, что после гильотинного разрыва по трубе действительно бежит волна разгрузки, однако ее амплитуда очень быстро уменьшается: через 60 с перепад давления на фронте составляет примерно 20 атм, через 180 с — 10 атм, а через 300 с волна разгрузки практически полностью затухает. Из рассчитанных профилей давления также хорошо видно, что никакого полного спада давления (до 1 атм) при прохождении волны разгрузки не происходит. Причина ослабления и затухания волны разгрузки — это трение движущейся нефти о стенки трубопровода. Торможение на стенках вызывает генерацию слабых акустических возмущений, которые и препятствуют быстрому спаду давления. Это своего рода «запирание» потока в трубопроводе».

Во-первых, здесь неудачно используется термин «амплитуда волны». В физике под термином «амплитуда» понимается наибольшее отклонение (от нулевого) значения величины, совершающей колебания. Амплитуда определяет размах колеба-

ний. Колеблющаяся величина достигает своего амплитудного (максимального) значения один раз в течение каждого полупериода колебаний. Если амплитуда со временем уменьшается, то колебательный процесс является затухающим.

Во-вторых, что означает «волна полностью затухнет»? Волна понижения давления характеризуется двумя показателями — величиной перепада давления на фронте волны и скоростью распространения этой волны. Если волна затухнет (т. е. АР = 0), то нечему будет перемещаться! Однако из графика рис. 16 [1] видно, что что-то «нечтое» продолжает перемещаться со скоростью звука. На это перемещение указывает кривая изменения давления по длине трубопровода, соответствующая времени 480 с (прошло уже 180 с, как волна затухла!). Причем эта кривая почему-то имеет еще и экстремальную точку (максимум).

Можно доказать, что волна понижения давления не может затухнуть до тех пор, пока не дойдет до конца второго аварийного участка нефтепровода. Доказательство проведем от противного. Пусть х3 (хз Ф хк) — сечение трубопровода, по приходе к которому волна затухнет. Поскольку в этом сечении существует давление, соответствующее давлению при стационарном режиме перекачки [определяется по формуле (5)], то именно с этого сечения должен начаться новый этап течения — этап квазистацио-нарного течения в противоположных направлениях с некоторыми отличными от нуля расходами. Для обеспечения такого течения необходимо иметь в сечении х3 источник нефти. Но такового нет. Следовательно, принятое допущение о затухании волны давления противоречит физической сущности.

В-третьих, приводимые объяснения с привлечением явлений «генерации слабых акустических возмущений» и «запирание» потока в трубопроводе» неуместны, так как механизм этих явлений никаким образом не заложен в математической модели [3]. Термин «запирание» потока, похоже, заимствован из газовой динамики. Явление «запирания» потока возможно только для случая истечения газа из сосуда под давлением [5]. Физическая сущность этого явления в конечном счете объясняется особенностями сверхзвуковых и дозвуковых течений. Расход

вытекающего газа зависит от перепада давления в сосуде и давления среды истечения. С увеличением перепада давления расход увеличивается, но до определенного момента. При достижении скорости газа в малом отверстии значения, равного местной скорости звука, дальнейшее увеличение перепада давления не влияет на процесс истечения, то есть расход газа остается постоянным. Это явление и называют «запиранием» газового потока. Все параметры потока газа в сечении отверстия: скорость, давление, плотность, температура, — принимают постоянные критические значения и не зависят от создаваемого перепада давления. Явления «запирания» потока нефти при гильотинном порыве трубопровода не должно быть.

В соответствии с моделью [2] в момент порыва нефтепровода скорость истечения нефти из первого аварийного участка, подсчитанная по формуле (8), составит 15,3 м/с.

Следовательно, гидравлические сопротивления по модели [3] будут завышены для этого участка более чем в 275 раз! Скорость истечения нефти из второго аварийного участка в момент порыва трубопровода, подсчитанная по формуле (9), равна приблизительно

13,5 м/с. Фронт волны для первого аварийного участка придет к началу трубопровода через 9,5 секунды. В результате «сработает» защита по давлению и насосная станция автоматически отключится. Для второго аварийного участка фронт волны затухнет только после прихода в конечное сечение трубопровода. Произойдет это через 778 секунд от момента порыва трубопровода. При этом скорость истечения нефти из второго аварийного участка упадет до 1,2 м/с. При достижении волны понижения давления конца нефтепровода истечение нефти вовсе прекратится.

В работе [1] приведенные на рис. 27 кривые изменения скорости по длине в различные фиксированные моменты времени противоречат физическому смыслу — не выполняется закон сохранения массы. В любой фиксированный момент времени £ скорость движения нефти во всех сечениях возмущенной области будет одинакова. Для доказательства этого утверждения выберем контрольный объем в виде отсека трубопровода произвольной длины Дх = (х2 - х1), причем Дх может иметь любое значе-

6 См. стр. 38.

7 См. стр. 39.

ние: и сколько угодно малое, и достаточно большое. Единственным условием при выборе значения Дх является: контрольный отсек в рассматриваемый момент времени £ должен полностью находиться в возмущенной области. Обозначим через ^ и ^ скорости движения нефти на концах контрольного объема в некоторый фиксированный момент времени £. Рассмотрим период времени £ + Д£. В соответствии с законом о сохранении массы разница масс нефти, втекшей в контрольный объем и вытекшей из него за время Д£, должна быть равна изменению массы нефти в контрольном объеме за то же самое время Д£

5р2w2 (г + Аг)Аг - Бр1 и;1 (г + Аг)Аг = БАхАр или иначе

Б р2 w2 (г + А?) - 5 рхм>х (г + Аг) = Б Ах —Р.

А?

Устремляя 4£ к нулю и учитывая, что в возмущенной области плотность нефти в каждой точке контрольного объема не зависит от времени, то ^ Р п

—1— = 0, и тогда последнее равенство примет вид ЩР(Х1 ) = ^2Р(Х2 ).

Для горизонтального трубопровода р1 = рг Для профилированного трубопровода значение плотности нефти р1 = р(х) может несколько отличаться от значения р2 = р(х ). Однако, поскольку нефть —

мало сжимаемая жидкость, отношение — прибли-

Р 2

зительно равно единице.

Точно такое же замечание о невыполнении закона сохранения массы можно сделать и по графикам рис. 2 работы [6] и рис. 3 работы [7].

Следует отметить, что скорость истечения нефти, а следовательно, и скорость движения нефти в трубопроводе будет изменяться со временем. Скорость истечения по мере продвижения фронта волны уменьшается.

Проанализируем следующую выдержку из работы [1]: «Падение и скорости движения нефти по трубопроводу, и скорости истечения нефти как раз и обусловлено торможением на стенках трубы... Таким образом, при моделировании распространения волн давления в магистральном нефтепроводе учет сил трения является принци-

пиальным. Этот учет тем более важен, что роль трения значительно возрастает в ситуации, когда рассматриваются нестационарные волновые процессы. Это возрастание обусловлено тем, что сила трения пропорциональна квадрату скорости, а при распространении волн, и в частности волн разгрузки, может происходить существенный разгон/торможение среды».

С таким утверждением никак нельзя согласиться. Такой вывод Оппоненты сделали исходя из предположения справедливости уравнения (2). Но согласно приведенному выше анализу этим уравнением пользоваться нельзя, по крайней мере, в случаях гильотинного порыва трубопровода. Падение скорости истечения нефти через порыв целиком и полностью определяется значением давления, которое установилось в трубопроводе при стационарном режиме перекачки и которое в различных сечениях трубопровода различное и определяется зависимостью (5).

С физической точки зрения гидравлические сопротивления влияют только на потери энергии движущейся среды, но никак не влияют на скорость движения. Скорость движения определяется только законом сохранения массы.

Со следующим утверждением Оппонентов: «Авторы [2] дают неправильную трактовку процессам сброса давления в объемах, содержащих большое количество жидкости. Если коротко суммировать их позицию, то согласно [2] “физически необъяснимо” существование избыточного давления в оборудовании, в котором произошла разгерметизация... Авторы [2] явно не понимают этого, считая, что появление волны разряжения уже достаточно, чтобы сбросить давление в системе», нельзя согласиться по следующим соображениям.

Во-первых, авторы [2] считают, что именно разгерметизация и падение давления в сечении порыва трубопровода являются причиной появления и распространения волны понижения давления, а не наоборот.

Во-вторых, не надо домысливать за авторов работы [2]. Внесем ясность в понимание процесса сброса давления в объемах. Рассмотрим две емкости, равные по объему. У одной емкости все три линейных размера соизмеримы (сосуд под давлением). У другой емкости один из линейных размеров очень велик (аналог протяженного трубопровода под дав-

лением). Процессы, протекающие при разгерметизации двух равновеликих объемов, могут существенно отличаться в зависимости от соотношения линейных размеров емкости, а также в зависимости от возможного характера повреждения — гильотинное разрушение сосуда и гильотинный порыв трубопровода или малое отверстие в сосуде и малое отверстие в трубопроводе. Кроме того, закономерности истечения будут иными для капельных и газообразных жидкостей. Иными они будут и для газожидкостных систем. Можно сравнивать результаты истечения, но не подменять их.

Нельзя согласиться с утверждением Оппонентов об ошибках в формулах для скорости истечения нефти из первого и второго аварийных участков нефтепровода, полученных в работе [2]. Вывод формул достаточно строгий и основан на выполнении закона сохранения массы для некоторого контрольного объема, выбранного специальным образом. При выводе учитывались не только упругие свойства нефти, учитывались также и упругие свойства материала трубы.

Для скорости истечения Оппоненты выводят другое выражение (вывод приводится ими в Приложении к статье [1]). В этом выводе есть ошибки. Так, первое уравнение Приложения (П.1), являющееся исходным,

р Ах = р0 (С + w0) А/ - м> р Д/

г ист г0\ в 0 / ист г ист

не является выражением закона сохранения массы, как это они утверждают. В самом деле член, стоящий в левой части уравнения, представляет собой массу контрольного объема (единичной площади сечения) длиной Дх (а по закону сохранения массы должно быть изменение массы нефти в контрольном объеме за время Д£), правая часть уравнения представляет собой разницу масс нефти, втекающей и вытекающей из контрольного объема за тот же промежуток времени At. Причем скорость движения втекающей нефти почему-то равна (Св + н0). Ведь Св — это скорость продвижения волны, а не скорость движения нефти. Второе исходное уравнение (П.2), выражающее теорему импульса, также не терпит никакой критики. Проводить дальнейший анализ приводимого ими вывода просто не имеет смысла, так как исходные уравнения содержат ошибки.

Поскольку Оппоненты неоднократно подчеркивают влияние вязкости на процессы движения, приведем для справки известные сведения. При ламинарном режиме движения потери давления на гидравлические сопротивления прямо пропорциональны вязкости. При турбулентном режиме движения степень влияния вязкости на потери давления снижается и в зоне развитого турбулентного режима вовсе исчезает [смотри график Никурадзе для зависимости X = (Яв, е)]. В этой зоне справедлива формула Шифринсона X = 0,11(е)0,25. То есть потери давления на гидравлические сопротивления в нефтепроводе при перекачке, соответствующей зоне развитого турбулентного режима, совершенно не зависят от вязкости перекачиваемой нефти. Лишний раз подчеркнем: все это справедливо только при установившемся режиме движения.

Что касается ссылки Оппонентов на учебник [9] и монографию [10], то в приведенной в них одномерной математической модели неустановившегося движения имеет место та же ошибка в отношении подхода в определении гидравлических сопротивлений, что и в модели [3].

Пользоваться одномерной математической моделью неустановившегося движения следует весьма осторожно. Всякий раз при решении конкретной задачи необходимо проводить обоснование возможности ее применения с оценкой погрешности получаемых результатов.

Несколько слов по поводу реплики Оппонентов «используемый в [2] подход приведет к существенному (в несколько раз) завышению объема выброса...». Никаких завышений, тем более в несколько раз, не будет. Методика [2] позволяет получать достаточно точные результаты. Чтобы убедиться в этом, достаточно провести следующую оценку. Количество вылившейся нефти через аварийное отверстие, подсчитанное по формуле (13) с учетом (9) для указанного примера, составляет 5375,2 т. За период времени 778 с из нефтепровода произойдет откачка нефти за счет скорости н0 = 092 м/с в количестве равном 726,3 т. Суммарное количество нефти, вытекшей из нефтепровода, составляет

6101,5 т. Эта масса нефти должна обеспечиться за счет объемного расширения нефти и уменьшения объема трубопровода при сбрасывании давления в нефтепроводе до атмосферного. Увеличение

объема нефти за счет объемного расширения при снижении давления на величину ДР определяется

по формуле ^^ . Уменьшение внутренне-

“ Еж

го объема трубопровода за счет снижения давления на величину АР определяется [10] по формуле

л-а3 ЬАР ,

Д V =---------. Поскольку давление в нефтепрово-

Т Щд

де изменяется от 13 МПа (в начале трубопровода) до 2 МПа (в конце трубопровода), то среднее значение перепада давления составляет ДР = 7,5 МПа. Для-рассматриваемого примера высвобождаемый объем нефти определяется как сумма объемов АУн + АУТ = = 5113,9 м3 + 1958,8 м3 = 7072,7 м3. Масса нефти, соответствующая такому объему, равна 6082,5 т. Разница масс нефти за счет увеличения ее объема и вытекшей нефти из нефтепровода составляет всего 19 т, что соответствует погрешности 0,3% (массовых). Материальный баланс выполняется с достаточно высокой точностью.

В заключение выражаем благодарность М.В. Ли-санову и С.И. Сумскому за их критические замечания, послужившие основанием для дискуссии. Дискуссия заставляет более глубоко и всесторонне взглянуть на проблему и всегда обогащает обе дискуссионные стороны новыми знаниями.

Литература

1. Сумской С.И., Лисанов М.В. О корректности расчетных моделей аварийных разливов нефти и нефтепродуктов (Публикуется в настоящем номере журнала, с. 36—41).

2. Антипьев В.Н., Налобина Е.В., Налобин И.Н. Некоторые аспекты нестационарных процессов при гильотинном разрыве на магистральном нефтепроводе // Проблемы анализа риска. — 2007. — Т. 4. — № 3. — С. 251—257.

3. Методическое руководство по оценке степени риска аварий на магистральных нефтепроводах, утв. приказом ОАО «АК «Транснефть» от 30.12.99 № 152. — М.: ГУП «НТЦ «Промышленная безопасность». Сер. 27, вып. 1, 2002. — 118 с.

4. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчета разрывных течений газовой динамики / Уч. зап. ЦАГИ. — 1972. — Т. 3. — № 6. — С. 68—77.

5. Антипьев В.Н. Газодинамика. Курс лекций.— Тюмень: изд-во ТюмИИ, 1988. — 72 с.

6. Сумской С.И. О влиянии начальных данных на результаты расчета показателей риска магистральных нефтепроводов / В сб.: Об опыте декларирования промышленной безопасности и страхования ответственности. Развитие методов оценки риска аварий на опасных производственных объектах. Пятый тематический семинар. Москва, 26—27 октября 2004 года: Тезисы докладов. — М.: ФГУП «Научно-технический центр по безопасности в промышленности Госгортехнадзора России», 2004. — С. 45—49.

7. Сумской С.И., Лисанов М.В., Пчельников А.В. О расчете объемов разливов опасных жидкостей при авариях на объектах трубопроводного транспорта // Безопасность труда в промышленности. — 2006. — № 2. — С. 48—52.

8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970. — 904 с.

9. Трубопроводный транспорт нефти / под ред. С.М. Вайн-штока: в 2 т. — М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 2006, т. 1. — 407 с.

10. Лурье М.В. Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа. — М.: «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2003. —325 с.