CC BY
65
О механизме температурной зависимости скорости миграции энергии электронного возбуждения с квантовых точек на биомолекулярные комплексы
Красильников П. М., Загидуллин В. Э., Пащенко В. З.
Рассмотрен процесс переноса энергии электронного возбуждения с водорастворимых квантовых точек (РБ) на димер бактериохлорофилла бактериального фотосинтетического реакционного центра (ЯС). В силу структурных особенностей комплекса РБ/ЯС выполняются условия применимости теории Ферстера для описания процесса миграции энергии. Показано, что на основе теории электрон-колебательных взаимодействий можно, при некоторых предположениях, получить формулу для ферстеровского интеграла перекрывания спектров излучения донора и поглощения акцептора от температуры. В результате вычислений с использованием этой формулы получается параметрическая зависимость от температуры скорости миграции энергии, которая определяется таковой для фактора Франка-Кондона.
Ключевые слова: миграция энергии, квантовая точка, фотосинтетический реакционный центр
Введение
В настоящее время в связи с бурным развитием наноэлектроники и бионанотехнологий большую актуальность приобрели задачи, связанные с детальным исследованием процессов миграции энергии электронного возбуждения в гибридных наноструктурах. Такие структуры представляют собой макромолеку-лярные комплексы, содержащие как биологические молекулы (например, молекулы фоточувствительного белка фикоэритрина), так и структуры традиционной наноэлектроники (например, квантовые точки) [1]. Перспективным объектом для создания фотовольтаи-ческих устройств являются гибридные системы, представляющие собой комплекс квантовой точки (РБ) и фотосинтетического реакционного центра (ЯС). Экспериментальные исследования показали, что скорость миграции энергии в подобных системах может зависеть от температуры среды [2]. Механизм такой зависимости еще не вполне выяснен, поэтому в данной работе анализируется один из возможных механизмов, опосредующих температурную зависимость скорости миграции энергии электронного возбуждения в молекулярных комплексах.
Хорошо известно [3], что безызлучательный перенос энергии от возбужденной молекулы донора (Б*) к молекуле акцептора (А), находящейся в основном электронном состоянии, происходит при условии выполнения энергетического баланса, когда полная энергия системы Б-А сохраняется (рис. 1). В силу этого такой процесс переноса энергии часто называют резонансным. Ферстер предложил теорию индуктивнорезонансного механизма переноса энергии, который определяется диполь-дипольным взаимодействием молекул донора и акцептора, а условием безызлуча-тельной миграции энергии является перекрывание спектра флуоресценции донора и спектра поглощения акцептора. Это условие отражает необходимость выполнения энергетического баланса при переносе энергии возбуждения.
О*
Рисунок 1. Схематическое изображение процесса переноса энергии между пространственно разделенными молекулами донора ^) и акцептора ^). Возбужденные состояния молекул представляются в виде D* и A*. Резонансный механизм переноса энергии, вовлекающий переходы между различными энергетическими уровнями молекул донора и акцептора, обусловливается их электростатическим взаимодействием и символизируется двойной горизонтальной стрелкой.
Диполь-дипольное взаимодействие донора и акцептора в теории Ферстера вычисляется в приближении точечных диполей, что ограничивает ее применимость при условии достаточно близкого расположения донора и акцептора относительно друг друга. При малых расстояниях между донором и акцептором, когда происходит прямое перекрывание их электронных волновых функций, механизм миграции энергии может измениться. В таком случае перенос энергии может произойти не вследствие электростатического взаимодействия, а вследствие обменного взаимодействия (теория Декстера). Эти два подхода предсказывают различную зависимость константы скорости к переноса энергии от расстояния Я между центрами молекул донора и акцептора. По теории Ферстера к <х Я ~6, а по теории Декстера к <х е - .
Система квантовая точка/реакционный центр
Рассмотрим некоторые закономерности процесса миграции энергии в системе, состоящей из сферической квантовой точки и фотосинтетического реакционного центра (рис.2). Водорастворимые квантовые точки представляют собой сферические стратифицированные структуры, внешней слой которых представляет собой оболочку из органических молекул, например, молекул дигидролипоевой кислоты (БЫЬА). Радиус таких квантовых точек ЯРБ слагается из радиуса ядра Я1 и толщины слоя покрытия Б, а также из толщины внешней полимерной пленки Ь, т.е. ЯРБ = Я1 + Б + Ь (рис.2) и составляет несколько нанометров; средние значения радиусов ЯРБ лежат в диапазоне от 5 до 7 нм. Средний радиус структуры изолированного фотосинтетического реакционного центра составляет примерно 3 — 4 нм. Перенос энергии с РБ осуществляется на так называемую специальную пару (димер бактериохлорофилла, Р), входящую в систему кофакторов ЯС. Большое расстояние между димером Р и РБ, порядка нескольких нанометров, указывает
на предпочтительное использование теории Ферстера для описания процесса миграции энергии от РБ (донор) к ЯС (акцептор).
Используя теорию Ферстера, константу скорости к реакции переноса энергии для изолированной донор-но-акцепторной пары Б-А можно представит в виде:
к = — т
ф =
к
R6
к + т—
. (2)
В случае, когда один донор взаимодействует одновременно с несколькими (п) акцепторами, эффективность резонансного переноса энергии принимает вид:
ф =
nR6
nR60 + R6
(З)
присутствии молекул акцептора,
f
Rn = Ro
п(1_-_фф ф
X,
. (5)
вообще говоря, не справедливо,тем не менее, экспериментальные данные хорошо согласуются с выводами этой теории [4].
D
где тD - время жизни возбужденного состояния донора, R0 - так называемый радиус Ферстера, R - расстояние между донором и акцептором. Эффективность ф резонансного переноса энергии, наблюдаемой по флуоресценции (FRET), определяется следующим образом:
Величина ф может быть измерена экспериментально: ф = і - Ida, (4)
где I - интенсивность флуоресценции донора в
Рисунок 2. Схематическое изображение нанокомплекса, составленного из квантовой точки (QD) с ядром из CdSe, покрытым слоем ZnS, и фотосинтетического реакционного центра (RC). Растворимость QD в водных средах достигается за счет покрытия их полимерной пленкой с карбоксильными группами на поверхности.
Температурная зависимость константы скорости миграции энергии
Согласно общей теории, радиус Ферстера выражается следующим образом
1D интенсивность флуоресценции изолированного донора, т.е. донора без присоединенных акцепторов. Из уравнений (3) и (4) можно получить выражение для эффективного расстояния Яп между донором и акцептором, когда донор одновременно взаимодействует с п акцепторами:
R б 2xx2tdP2a vD
R0=--------h2------
jGd(a)Ga(a)da, (6)
где х2 = (2 cos Зг cos 32 - sin Зг sin 32 cos р) -
это так называемый фактор ориентации, характеризующий взаимную ориентацию переходных дипольных моментов flD, /ЛА соответственно молекул донора и акцептора, задаваемую углами 3^,3п, р; величины
0о О) ОА О) описывают соответственно форму спектральной линии излучения молекулы донора и спектральной линии поглощения молекулы акцептора:
Зная экспериментальные значения п можно
оценить эффективное значение Яп , на основании которого, в свою очередь, можно будет извлечь информацию о специфическом связывании донора с молекулами акцептора. Например, можно будет судить об образовании ковалентных связей между РБ и ЯС, а также о возможном распределении ЯС-акцепторов на поверхности РБ.
Хотя теория Ферстера основана на предположении о точечности взаимодействующих диполей, что явно не соответствует линейному масштабу РБ и ЯС, а формулы (1)-(5) получены в предположении симметричности волновой функции нанокристалла РБ, которое,
GD (a) = j gD ED - ha) dED '
GA (a) = j gA (EA )SA(EA , EA + ha) dE A ,
(7)
где Ев - энергия возбужденного электронного уровня молекулы донора, ЕА - энергия основного электронного состояния молекулы акцептора, Но - энергия перехода между электронными уровнями молекул донора и акцептора, причем Ев — Ев = ЕА — ЕА = Но , где Ев - энергия основного электронного состояния молекулы донора, а ЕА - энергия возбужденного электронного уровня молекулы акцептора (рис.1). Параметры gD (Ев) и gA (ЕА ) характеризуют распределение по энергиям, соответственно, молекул до-
D
нора в возбужденном состоянии и молекул акцептора в основном состоянии. Величина SD - это интеграл перекрывания колебательных волновых функций молекулы донора ФD , а SA - молекулы акцептора ФA в основном и возбужденном электронных состояниях, т.е.:
К,-(8)
где интегрирование производится по всем нормальным координатам QD молекулы донора или, соответственно, по нормальным координатам Q A молекулы акцептора. Спектральные функции предполагаются нормированными, т.е.
J Gd (a) da = J Ga (a) da = 1.
В теории электронно-колебательных взаимодействий, используемой для описания формы полос электронных спектров многоатомных молекул [5], также фигурируют интегралы SD (спектр излучения) и SA (спектр поглощения). Однако, в связи с тем, что начальное колебательное состояние молекулы может быть различным, для фиксированного значения энергии перехода ha проводят усреднение этих интегралов по начальным колебательным состояниям молекул с больцмановским фактором усреднения. В результате такого усреднения получается так называемый фактор
Франка-Кондона FC = (1 - pk)^p"klSD A , где
nk=0
pk = exp(—hQk /kbT) , kk - число колебательных квантов в k-ой нормальной моде. В общем случае
Fc =ПFck ,
к
где FCk - фактор Франка-Кондона для k-ой нормальной моды и произведение осуществляется по всем нормальным модам. В одномодовом приближении, т.е. когда учитывается взаимодействие только с одной так называемой акцептирующей нормальной колебательной модой, фактор Франка-Кондона имеет вид (индекс опускаем):
Fc = Fck = e-^'+'Ip (s ■ sinh-1(y)), (9)
где s = X/hQ, y = hQ/2kbT, p = AE/hQ, при этом X - это энергия реорганизации, hQ - энергия коле- бательного кванта, k bT - тепловая энергия, AE = E'—E = ha - разность энергий электронных термов в возбужденном и основном состояниях, I (...) - функция Бесселя чисто мнимого аргумента (функция Инфельда).
В низкотемпературном (или высокочастотном) пределе, когда hQ > kbT , формула (9) переходит в выражение независящее от температуры:
Fc (hQ> kbT)= (2s)2S . (10) p!
В противоположном случае высокотемпературного (или низкочастотного) предела, когда НО < кьТ, формула (9) переходит в известную формулу Маркуса:
Fc (Ю< къТ) =
1
УІ~4жЯкЬТ
exp
(Я-AE)
4ЯкъТ
2 Л
. (11)
Изменения электронного состояния молекул донора и акцептора, сопровождающие процесс миграции энергии, эквивалентны таковым в процессах поглощения и излучения электромагнитных волн. Следовательно, интегралы перекрывания колебательных волновых функций, входящие в выражения (7), надо также усреднить по начальным состояниям, что приведет к их преобразованию в факторы Франка-Кондона. В результате такой процедуры получим следующие выражения
&в (м) = | Ев (Ев)Рев (Ев, М ¿Ев,
Ga (a) = j gA (Ea ) FCA( Ea , ha) dEA
(12)
где FCB , FCA '
факторы Франка-Кондона донора и акцептора, соответственно.
При комнатной температуре величина тепловой энергии составляет примерно кьТ ~ 0.025 эВ. Известно, что характерные частоты валентных колебаний атомов в молекулах лежат в диапазоне 1013 — 1014 с-1. Следовательно, энергия колебательных квантов нормальных мод, связанных с валентными колебаниями атомов, примерно на порядок больше тепловой энергии. Таким образом, в случае высокочастотной акцептирующей колебательной моды для вычисления интегралов (12) можно воспользоваться формулой (10) для фактора Франка-Кондона. В этом случае спектральные функции (12) не будут зависеть от температуры и, соответственно, радиус Ферстера (6) и константа скорости миграции энергии (1) также не будут зависеть от температуры. Вместе с тем известно, что температура, так или иначе, влияет на этот процесс [2]. Одним из возможных механизмов такого влияния может оказаться колебательная релаксация, обусловленная вкладом низкочастотных мод в фактор Франка-Кондона. Такие моды могут проявляться как во внутренней динамике молекулы, так, что особенно важно, и при ее взаимодействии с молекулярным окружением. Вычислим функции (12) при условии НО < кьТ, т.е. используем для фактора Франка-Кондона формулу (11).
Фактор g(Бп) для вычисления функций 0о (®) выберем в виде гауссовой функции:
Г ^ \2\
gB (EB ) =
1
V2
-exp
П От
(К - К „ )
2ст?
, (13)
V " У
где Ев0 - энергия возбужденного уровня донора, соответствующая максимуму полосы поглощения (средняя энергия), <70 - дисперсия, которую в дальнейшем мы соотнесем с полушириной этой полосы.
Для интеграла SD мы используем выражение (11), в показателе экс- поненты которого проведем очевидные преобразования:
Яв -^ = Яв - (ED - EDо) = Яв - (ED - EDo) -
- (E^0 - ED0 ) = Я - АED0 - (ED - ED0 ) ,
где АED0 = ED0 — ED0 = На - разность энергий между электронными уровнями в возбужденном и основном состояниях молекулы донора, которая определяет частоту перехода. Введем для удобства записи следующие обозначения:
х = ED — ED0 , ОD Я “ V2ЯDkЬT , EЯ = ЯП — Нф .
С учетом этого выражения (11) и (13) примут соответственно вид
1 ( ^Я— X )2
V2 — Р —
°в го ' Г~----------
л/2п(
ехр
в я
\2 Л
V
Ев =
1
Л/2П(
-ехр
X
2а
2 Л
в я
У
2а
в
С в(т) —
==ехр --г
^2п(а1 +°2в я) I 2(
\2 Л
2 2 + <5 в Я) у
.(14)
2п(<
+52Я,
\2 Л
ГТ ОО) у
,(15)
J (Т) — | Св (т) СА (т) сіт
к
242Па(Т) \ 2а2 (Т)
Я1
, (16)
где
а(Т) — л]&в +аА + 2ЯкьТ> Я — Яв + ЯА
к —
2П (Х^в^А )2
к
2 Дб л/2П
-ехр
а
Я
2
2а2
. (17)
Если условиться энергетические величины выражать в электрон-вольтах (эВ), дипольные моменты — в дебаях (Б), а расстояние — в нанометрах (нм), то выражение (17) примет вид:
к = 0.78-10
(хУрИа)2
о-Д6
ехр
2сг
, (18)
где константа скорости измеряется в обратных секундах, [к] = с-1.
Обсуждение результатов
Используем выражение (18) для оценки скорости миграции энергии с РБ на ЯС при различных значениях параметров. Сначала проанализируем температурную зависимость константы скорости. Вычислив производную дк / д Т и приравняв ее нулю, найдем значение температуры Тт , при которой достигается экстремум (максимум) кривой зависимости к(Т) :
Т_ —
2Я - (ав + аА )
2 Я к.
Подставив эти выражения в первый интеграл (12) и проведя интегрирования по всей области изменения переменной, получим выражение для спектральной функции донора
Н ( Я — На)2
Аналогичные вычисления приведут к следующему выражению для спектральной функции молекулы акцептора:
ф Н ( (ЯА + На)2
°л(а) = , / „ ^ехР А
где смысл обозначений такой же, но только значения параметров относятся к молекуле акцептора. Выражения (14) и (15) нормированы, и с их помощью можно вычислить интеграл в формуле (6). Проведя необходимые вычисления, получим следующее выражение:
температурная зависимость этого интеграла определяется таковой для величины а. Согласно формулам (16), (6) и (1) для константы скорости миграции энергии получим следующее выражение:
Отсюда следует, что температурная зависимость к(Т) является немонотонной: в области Т < Тт при условии 2 Я > (От? + О А) будет наблюдаться увели -чение константы скорости к(Т) с ростом температуры, а при условии 2 Я < (°о + ОА ) , наоборот, ее уменьшение.
Полуширину спектральных линий поглощения и излучения РБ и ЯС можно оценить из экспериментальных данных; она составляет примерно в 0,2 — 0,3 эВ. Энергия реорганизация молекулярной системы является более неопределенной величиной; она может принимать значения от сотых долей эВ до 0,7 — 0,8 эВ. Для определенности примем, что для РБ энергия реорганизации составляет 0,1 эВ, а для ЯС, соответственно, 0,5 эВ. Принимая ориентационный фактор X = 2/3 , дипольные моменты равными 4 Б, а расстояние между центрами возбуждения равным 5 нм, согласно формуле (18) получим температурную зависимость для скорости миграции энергии, представленную на рис.3.
Если при тех же значениях параметров взять значения величин полуширины спектральных линий равными 0,2 эВ, а величины энергии реорганизации донора и акцептора равными, соответственно, 0,1 и 0,3 эВ, то получим немонотонную зависимость к(Т) , представленную на рис. 4. Обратим внимание на то, что абсолютные значения константы скорости миграции энергии меняются в этом случае незначительно.
Величины энергии реорганизации как донора, так и акцептора являются параметрами теории и не могут быть вычислены. Однако, проводя анализ экспериментальных данных можно, подбирая значения этих параметров, получить оценку эффективного расстоя-
1
2
2
и
Рисунок 3. Температурная зависимость скорости миграции энергии
к(Т) с QD на RC при 5а — 0,25, ав — 0,2, Яа — 0,5, Яв — 0,1 эВ, х2 — 2/з, я — 5 нм.
ния между донором и акцептором. Например, измерения показали, что максимальная величина константы скорости миграции энергии с квантовой точки СёБе/ /пБ на фикобилипротеины составляет 8.4-107с-1 [2]. Основываясь на формуле (18), можно предположить, что эффективное расстояние между центрами возбуждения не должно превышать 50 нм. Следовательно, миграции энергии с квантовой точки на ЯС осуществляется, скорее всего, когда возбуждение в РБ диффундирует к ее поверхности (см. рис. 2).
Т/100, к
Рисунок 4. Температурная зависимость скорости миграции энергии к(Т)
с на ЯО при а а — 0,2, ап — 0,2, Яа — 0,3, Яп — 0,1 эВ, X2 — 2/3, Я — 5 нм.
В качестве иллюстрации (рис. 5) приведем кривые зависимости константы скорости миграции энергии к (Я) от величины энергии реорганизации (кривая 1)
и полуширины спектральной линии к (о) (кривая 2). На рис. 5 зависимость к(ЯА ) (кривая 1) получена при следующих значениях параметров: %2 = 2/3, Я = 5 нм, оа = 0,25, о1) = 0,3, Я1) = 0,1 эВ и температуре 295 К; дипольные моменты, как и выше, приняты равными 4 Б. Зависимость к(ов) (кривая 2) получена при тех же значениях параметров, только теперь ЯА = 0.5 эВ, а величина ОГ) является переменной. Из этого рисунка видно, что, как и следовало ожидать, при увеличении энергии реорганизации молекулярной структуры скорость миграции энергии монотонно уменьшается (для выбранных значений параметров скорость миграции уменьшается примерно на порядок при увеличении энергии реорганизации от 0 до 0.8 эВ). От величины полуширины спектральной линии скорость миграции (кривая 2) зависит немонотонно и для выбранных значений параметров скорость достигает максимума при о1} ~ 0.5 эВ; при этом скорость миграции энергии увеличивается примерно в 2 раза по сравнению со скоростью при О~ 0 эВ.
п 2_________________1 ■ ■_____________» ■ ■______________і_____________
‘ 0 0.1 0.2 0.3 0 4 0.5 0.6 0.7 0.8
X, о, еУ
Рисунок 5. Иллюстрация зависимости константы скорости миграции энергии возбуждения от величины энергии реорганизации (кривая 1) и от величины полуширины спектральной линии (кривая 2) (см. текст).
В заключение отметим, что хотя расстояние Я между центрами донора и акцептора является основным параметром, определяющим скорость миграции энергии по механизму Ферстера, но вместе с тем эта скорость может также модулироваться как температурой среды, та и значениями параметров, характеризующих квантовые свойства участников. В этой связи формулы (1), (5) и (18) могут помочь в более детальном анализе экспериментальных данных.
Даная работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках госконтракта 16.513.11.3078
Список использованных источников
1. Максимов Е.Г, Гостев Е.С., Кузьминов Ф.И. и др. Гибридные системы из квантовых точек и фоточувствительного белка фикоэритрина, Российские Нанотехнологии 5 (7-8) 107112, 2010.
2. Schmitt F-J., Maksimov E.G., Suedmeyer H., et al.,
Time resolved temperature switchable excitation energy transfer processes between Cd/Se/ZnS nanocrystalls and phycobiliprotein antenna Acaryochloris marina, Photon Nanostruct: Fundam. Appl. 9 (2) 190 - 195, 2011.
3. Агранович В.М., Галанин М.Д. Перенос энергии электронного возбуждения в конденсированных средах, М.: Наука, 383 с., 1978.
4. Clapp A.R., Medintz I.L., Mauro J.M., Fisher B.R., Bawendi M.G., and Mattuossi H., Fluorescence resonance energy transfer between quantum dot donors and dye-labeled protein acceptor, J. Am. Chem. Soc. 126 301-310, 2004.
5. Франк-Каменецкий М.Д., Лукашин А.В., Электронно-колебательные взаимодействия в многоатомных молекулах, УФН 116 (2) 193-229, 1975.
Информация об авторах
• П.М. Красильников, к.ф.-м.н., Биологический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва.
• В.Э. Загидуллин, ООО «Марс», г. Москва.
• В.З. Пащенко, д.ф.-м.н., профессор, заведующий сектором фотобиологии и биофотоники, Биологический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва.
