CC BY
52
УДК 621.822.84
О МЕХАНИКЕ КОНТАКТА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ РОЛИКОПОДШИПНИКАХ
О 2006 ОМ. Беломытцев
Пер мский госу дар ственный техническ ий у нивер ситет
Технические характеристики подшипников качения во многом определяются механикой контакта тел качения с беговыми дорожками колец, в частности, напряжениями в контакте, которые зависят от многих факторов: конструкции подшипников, формы и точности сопрягаемых тел, жесткости корпуса, вала, скорости вращения и посторонних включений в смазке.
1. Распределение нагрузки по телам качения
Все эти вопросы в различной мере нашли отражение в работах Р. Штрибека, Б.В. Цыпкина, И.В. Слушкина, Н.В. Родзевича, Т. Харриса, А.В. Орлова, Б. А. Иванова, ОМ. Беломытцева, Б.П. Свешникова, Б.Д. Ма-жова, Е.Н. Филатовой и др.
Автором в работе [1] была предложена методика расчета распределения нагрузки по телам качения (в плоской постановке) для модели (рис. 1, а), характерной для межвальной опоры газотурбинного двигателя.
Рис. 1. Расчетная модель: а -схема действующих нагрузок; б - основные геометрические параметры
В расчетной модели кольца подшипников рассматриваются за одно целое с валом.
Задача решается путем составления системы уравнений перемещений на угловых координатах фу и уравнения равновесия:
Wj = w0 cos фу,
W = ej + 8в- + 5н + t 8 у + t Ki ; (І)
i =-k i= -k
i * j i* j
k
qo + t 4 cos фу = Q
i, у=І
где w0 - перемещение на координатах фу, у=0,
І, 2, ..., k - индексы роликов в направлении фу, Q' - погонная нагрузка на подшипник; еу - радиальный зазор на координате фу, определяемый из АОіО2В| (см. рис. І, б):
ej =(е-иц)(І-cosфу), (2)
где иц - изменение радиуса тела в результате воздействия центробежных сил; e - монтажный радиальный зазор в подшипнике, равный половине диаметра; 8ву, 8н, 8н/і -
упругие сближения центров тела и ролика у под действием сил qi, действующих на ролики, определяемое с учетом контактных деформаций (по Б.С. Ковальскому), изгиб-ных пер емещений, упругого воздействия соседних тел качения (по И.Я. Штаерману), при этом суммарное перемещения определялись по принципу суперпозиции.
Функция зазора (2) может включать в себя разноразмерность тел качения, отклонения геометрической формы беговых дорожек, размеры частиц посторонних включений, в этом случае она будет иметь вид:
e] =(e - и X1 - С08 Фу )+А e] , (3)
где Аеу - параметр, учитывающий отклонение величины радиального зазора на коор-дина те фу вследствие разноразмерности тел качения, погрешности формы беговых дорожек колец (овальности, округлости и др.), а также твердых включений в смазку, попадающих в контакт при работе подшипника.
Система уравнений (1) может трансформироваться в другие модели: полый вал -массивный корпус, сплошной вал - массивный корпус, сплошной вал - трубчатый кор -пус, сплошной (полый) вал - корпус слож-
ной конструкции с неравномерным сечением по периметру. В каждом случае уравнение перемещений на координатах фу- определяются через податливость корпуса совместно с кольцом подшипника.
На рис. 2 даны примеры решения распределения нагрузки для подшипниковых узлов различной жесткости с различными радиальными зазорами в подшипниках, где р - радиус кривизны среднего сечения цилиндра; И1 - толщина стенки цилиндра; р1 -отношение р1/А1; Ь3 - аналогично для наружного цилиндра.
(] н/см С] и/см
Рис. 2. Распределение нагрузки по телам качения в цилиндрическом роликоподшипнике: а - вал полый (в1 = 6) - корпус массивный; б - вал полый (в] = 2) - корпус кольцевой (в3 = 2); радиальный зазор: 1-0; 2-0,04; 3 - 0,12; 4 - 0,2
2. Распределение нагрузки по длине ролика
Предложенное выше решение относится к случаю плоского напряженного состояния, когда распределение нагрузки по длине ролика постоянно. Для учета распределения нагрузки по длине ролика разработана численная методика расчета [2], основанная на представлении ролика как балки, находящейся между двумя упругими основаниями (рис. 3), которыми являются наружные и внутренние кольца подшипников. Решение сводится к расчету статически неопределимой системы методом перемещений. Балка (линия контакта) разбивается на участки, в пределах каждого участка нагрузка считается равномерно распределенной; на каждом участке методом суперпозиции определяются контактные и изгибные перемещения (в случае изгиба ролика), на которые накладываются начальные зазоры в возможных точках контакта ролика с кольцами.
Уравнения перемещений для расчетной схемы составляются как для обычной статически неопределимой системы и совместно с уравнениями равновесия имеют вид:
п п
У Лв + Дв- а = 0; У Лн +Лн - а* = 0;
тк т -I т ’ тк т -1т ’
к =1
к=1
сУ Рк =с У ак = Д; У Рк • ак - У ак • ак = 0;
к=1
4
у1 + ун - у 2 - У2н = о,
к =1, 2, ..., п; т=1, 2, ..., п.
Значения Автк и Аитк выражают контактные и изгибные перемещения тел на т-ом участке от действия силы на к-ом участке,
А т и А т являются функциями осадок тор -
цев ролика, У\ , У\ , У2 , У2 , Чт и Чт - начальные зазоры в возможных точках контакта ролика с наружным и внутренним кольцами.
п
к =1
к=1
к=1
Рис. 3. Расчетная модель: а - схема сил; б - возможное статическое положение ролика; н - наружное кольцо подшипника, в - внутреннее кольцо подшипника
Контактные перемещения Атк могут определяться по различным формулам, в частности, автор первоначально использовал формулу Пальмгрена:
Дв = а • р
тк г
0,9 • со,1
к с
и
,°,9 • с°Л_
где а - коэффициент, зависящий от размер -ностей величинр, ч и с.
Затем результат сравнивался с более точным решением, основанным на формуле Буссинеска для упругого полупространства, при этом распределение нагрузки по ширине площадки, равно как и ширина площади контакта о пр еделя лись по Гер цу.
На рис. 4 представлены примеры расчетов распределения нагрузки по длине роликов в бомбинир ованном ролике, имеющем цилиндрический участок и в случае небо-мбированного ролика, когда в контакте оказалась частица размером в 1 мкм.
3. Механика контакта частицы
Особый интерес представляет случай с частицей, которая может попасть в контакт с маслом (см. рис. 4, б).
б
а
Рис. 4. Распределение нагрузки по длине роликов: а - в случае бомбинирован-ногоролика; б - при наличии посторонней частицы в контакте
3.1. Напряженное состояние частицы
Если взять тело произвольной формы, находящееся между двумя сжимаемыми цилиндрами, то оно будет испытывать объемное напряженное состояние, и на начальном этапе нагружения в нем возникают только упругие деформации. Появление пластиче-
ских деформаций определяется только уровнем напряжений.
Критерий пластичности может быть принят в форме критерия Сен-Венана-Леви [3], который при 01>02>С3 имеет вид:
2^шах | =|^1 -°3 =°т . (4)
В нашем случае считаем направление для о1 по линии вектора нагрузки (по оси г), для 02 - вдоль линии контакта; для сз - в напр авлении движения частицы. Напряжения 02 и 03 зависят от трения на контактной поверхности.
Частица в масле может иметь форму полоски, шара или какую-либо неопределенную формую Для упрощения примем частицу в виде полосы, прокатываемой между валками (рис. 5) и механику контакта частицы рассмотрим на основе теории продольной пр окатки [4].
В этом случае уравнение пластичности рассматривают в виде
О = р° т + сз
(5)
где Ь - коэффициент, изменяющийся в пределах 1...1,155 и зависящий от напряжения 02, которое зависит от ширины полосы и трения вдоль оси у.
Если в первом приближении пренебречь напряжением 03, считая сз<<о1, то условие пластичности для полосы примет вид:
(6)
3.2. Влияние на предел текучести скорости деформирования
Зависимость предела текучести от скорости деформирования исследовалась различными авторами, в частности, в работе [6] отмечается, что при скорости относительной
-3 -1
деформации □ 10- с , которая типична для малоскоростных испытательных прессов, имеет место статический предел текучести стс, а при ударных нагрузках, характерных при деформировании заготовки на молоте со скоростью 10 с" - динамический предел текучести отд; влияние скорости деформации при температуре ниже температуры рекристаллизации выражается неравенством 1 < с /< 2, если выше, то это отношение
тд/ тс
для металлов может достигать 10 и более.
Средняя скорость относительной линейной деформации определяется из выражения:
8
&к/к0
1&к
к0&
Л
к
где И0 - толщина частицы (полосы) до входа в контакт; к - текущая толщина; & - время; V - начальная скорость полосы.
Принимая в качестве примера размеры частиц к0= 1...5 мкм, диаметр валка (кольца подшипника) г=50 мм, ю=1000 с-1, находим, что скорость относительной линейной деформации будет равна (50-100)-106 с-1, то есть является достаточно высокой.
Остается неясным вопрос относительно температуры в контакте частицы, но первоначально считаем, что она ниже предела р екр исталлиз ац ии и пр ини ма ем стд/стс=2.
3.3. Условие захвата частицы
На полосу (частицу) в контакте действуют силы (рис. 5): нормальные Р1 и Р2 со стороны катков, силы трения Т1 и Т2, сила инерции и. Условие захвата частицы выражается уравнением:
Рис. 5. Схема сил, действу катываемую полосу (ч \ / ющих на про- астнцу):
, *
Рис. 6. Распределение скоростей и зоны трения в контакте
б
а
с
Т’соб ц+Т^сов щ - Р бш а1 - Р2б1п щ -и > 0, (7)
где а1, а2 - углы контакта (захвата), и - сила инер ции.
Для простоты изложения считаем катки одинаковыми, силами инерции пренебрегаем и выражая Т=Р/, где/- коэффициент трения, находим из (7)
I > 1§а.
Углы контакта определяются из рис. 4:
cos a □
R -h,j2 R
cos a2 □
R
Для рассматриваемого примера: h0=540-3 мм, ^=50 мм, R2=10 мм. a1=0,573°, a2=1,281°, tga1=0,010, tga2=0,022.
В момент захвата коэффициент трения по видимому будет больше 0,05, так как режим трения будет не жидкостным и частица должна поступить в зону контакта с валками.
Так как углы контакта очень малы, то нагрузку на полосу P = P • cos a1 и
P2 = P • cos a2 пр инимаем Р1=Р2=Р.
3.4. Давление в контакте
Очевидно, что давление в контакте изменяется в пределах дуги контакта, наибольшим оно будет в момент захвата, так как в этот момент площадка контакта очень мала и на выходе полосы из контакта.
Среднее давление в контакте:
= Р
Рср b • l ’
где b - ширина полосы в контакта; l - длина дуги захвата (контакта), которая может быть определена по приближенной формуле
l □ >/RAh
где Ah = h0-h1 - абсолютное сжатие.
В рассматриваемом примере при
-3
Ah=4-10- мм, R1=5 мм, 1=0,14 мм.
Из (8) находим среднее давление рс=1420 МПа, которое будет значительно больше предела текучести.
Из этого следует, что в начальный момент контакта напряжения будут очень большими, затем быстро упадут до динамического предела текучести стд и останутся постоянными в течение всего времени деформации.
(8)
В рассматриваемом примере (К=50 м/с, ю=1000 с-1, ^2=50 мм, /=0,14 мм) время деформации составит
Д / 0.14-10-6 8
Т = —=---------= 0.28-10-8 с.
V 50
3.5. Течение металла в зоне деформации
В пределах дуги захвата возникают зоны отставания, прилипания и опережения (рис. 6) [4]. В зоне прилипания отсутствует взаимное проскальзывание сопрягаемых тел и цилиндр ов.
До зоны нейтрального сечения (НС) будет отставание металла (см. рис. 6, б) и силы трения тх способствуют движению частицы, а за НС силы трения препятствуют этому движению.
Опережение характеризуют коэффициентов скольжения
V - V
S =
V
где У1 - скорость металла на выходе из валков; V - окружная скорость валков.
Скорость частицы (полосы) на выходе определяется из условия постоянства секундного объема частицы до и после прокатки (считая материал несжимаемым). Для рассматриваемого случая при к0=5 мкм, к1=1 мкм коэффициент скольжения получается равным 4%. Т.е. наличие частиц в контакте приводит к взаимному скольжению ролика и матер иал а частицы.
Очевидно, что частицы металла или абразива могут раскататься и до размеров гораздо меньших, чем 1 мкм, могут полу -читься очень тонкие пластины, которые бу-дут внедряться в микронеровности поверхностей и при последующем контакта отслаив ать ся, шелу шить ся.
Кроме этого, по критерию пластичности Сен-Венана-Леви максимальные касательные напряжения в пластическом состоянии имеют постоянное значение,
определяемое по формуле (4), т.е. касательные напряжения могут быть очень большими и под их воздействием происходит разрушение поверхностных слоев материала.
Упрощенный анализ, сделанный в настоящем сообщении, а также практика эксплуатации показывают, что вопрос загрязнения смазки и ее очистки является актуальной
в
задачей на пути повышения долговечности подшипников.
Список литературы
1. Иванов Б. А., Беломытцев О.М. Влияние жесткости сопряженных элементов на распределение нагрузки между телами качения в быстроходных радиальных роликоподшипниках. В сб. «Повышение прочности и эксплуатационной надежности деталей». -Пермь: ППИ, 1968, с. 162-168.
2. Беломытцев О.М. Численная методика расчета распределения давлений по длине площадки контакта цилиндров различных форм. В сб. «Динамика и прочность механи-
ческих систем. Межвузовский сборник» -Пермь: ППИ, 1981, с. 121-125.
3. Александров А.В, Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит. спец. вузов. М.: Высш. шк., 1990. 400 с.
4. Шевакин Ю.Ф., Чернышев В.Н., Шаталов Р. Л., Мочалов И. А. Обработка металлов давлением / Под науч. ред. Ю.Ф.Шевакина. М.: Интермет Инжиниринг, 2005. 496 с.
5. Джонсон У., Меллор П.Б. Теория пластичности для инженеров. Пер. с англ. / Пер. А.Г.Овчинников. М.: Машиностроение,
1979. 567 с.
ABOUT THE MECHANICS OF THE CONTACT IN A CYLINDRICAL RO LLER
BEARING
© 2006 OM. Belomyttsev
The fallowing matters will be covered: load distribution between solids of revolution in a cylindrical roller bearing and contact taking into consideration: the actual geometric forms ofthe contacting solids; rigidity of the shafi and the body; admixture in the kubricant and reciprocal skewing of the races.
