О механических системах с быстро вибрирующими связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

29

Механика

УДК 531.01

О МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С БЫСТРО ВИБРИРУЮЩИМИ СВЯЗЯМИ

Е.И. Кугушев1, М. А. Левин2, Т. В. Попова3

Рассматривается натуральная лагранжева система, на которую наложена дополнительная голономная нестационарная связь, причем зависимость от времени входит в эту связь через параметр, совершающий быстрые периодические колебания. Такую связь будем называть вибрирующей. Получены уравнения движения системы с вибрирующей связью в форме уравнений Гамильтона. Показано, что структура гамильтониана системы имеет специальный вид, удобный для вывода усредненных уравнений. Использование метода усреднения позволяет получить предельные уравнения движения системы при стремлении частоты вибраций к бесконечности и доказать равномерную сходимость решений уравнений Гамильтона к решениям предельных уравнений на конечном отрезке времени. Приводятся примеры.

Ключевые слова: голономная связь, вибрации, метод усреднения Крылова-Боголю-

We consider a natural Lagrangian system on which a supplementary holonomic nonstatio-nary constraint is imposed; the dependence on time is included in this constraint by the parameter performing rapid periodic oscillations. Such a constraint is called a vibrating constraint. The equations of motion of a system with a vibrating constraint are obtained in the form of Hamilton's equations. It is shown that the structure of the Hamiltonian of the system has a special form convenient for deriving the averaged equations. Usage of the averaging method allows us to obtain the limit equations of motion of the system as the frequency of vibrations tends to infinity and to prove the uniform convergence of the solutions of Hamilton's equations to the solutions of the limit equations on a finite interval of time. Some examples are discussed.

Key words: holonomic constraint, vibration, Krylov-Bogoliubov averaging method.

1. Постановка задачи. Рассмотрим натуральную лагранжеву систему с обобщенными координатами qi,..., qn+1, кинетическая и потенциальная энергия которой имеет вид

~ 1 n+1 _ _

T(qi,..., qn+i,qi, • • •, qn+i) = ^ ^ • • • > Qn+i)№j, V = V{qb ..., qn+i)-

i,j = 1

Пусть на систему наложена дополнительная связь

f (qi,...,qn+i,u) = 0; u = v-1w(t), т = vt. (1)

Здесь f, w — дважды непрерывно дифференцируемые по всем переменным функции, w(t) — 2п-периодическая функция (например, w(t) = a sin т, а = const), v = const. Будем считать, что df

—-ф 0 в некоторой области D С Rra+2. Тогда уравнение (1) можно разрешить относительно qn+i

oqn+1

и привести к виду

qn+1 = g(q1,... ,qn,u). (2)

Связи вида (1), (2) будем называть вибрирующими. Получим уравнения движения системы при стремлении частоты v вибраций к бесконечности.

1 Кугушев Евгений Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kugushev@keldysh.ru.

2 Левин Максим Александрович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tween-lm@mail.ru.

3 Попова Татьяна Валентиновна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: t.shahova@yandex.ru.

30

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

2. Уравнения движения. Запишем кинетическую энергию системы до наложения вибрирующей связи в виде

1 / " . . ™ „ „ ,2 \ ^ 1,3=1 г=1 '

Продифференцировав уравнение связи (2) по времени, получим

п

Яп+1 = кЯг + (оwl (т),

г=1

где

дд до

ЛМ,и) = — (г = 1 ,...,п), к0(д,и) = —, д = (<?ь ..., <?„). дяг ди

Тогда кинетическая энергия системы с вибрирующей связью примет вид

1 2 Т = - (А(д, и)д, д) + (Ь(д, и),д)и/(т) + с(д, и) {и)'(т)у. (3)

Здесь

А = А + а(1т + (1ат + а(га+1)(?г+1)с?сгт, Ь = (¿0(а + а(га+1)(га+1)с£), с = - а(га+1)(га+1)^о>

А = (агз), г,] = 1,...,п, дт = ((1 ...кп), ат = (ацп+1) ... йп(п+1)),

где символ ()т означает транспонирование, а а и д рассматриваются как матрицы размера п х 1. Потенциальная энергия системы с вибрирующей связью равна

V(д,и) = а(Я1,... ,Яп,д(Я1,.. .,Яп,и)).

Если Ьг(д,и) = 0 для некоторого г = 1,... ,п, то уравнение Лагранжа, отвечающее обобщенной координате Яг, будет содержать неограниченно растущее при V ^ слагаемое иЪг(д,и)ь)"(т). Поэтому запишем уравнения движения системы в форме уравнений Гамильтона. Введем обобщенные импульсы

дТ

р = — = А(д, и)д + Ъ(д, и)и) (г).

Отсюда находим

д = а-1 (р — bw').

Тогда функция Гамильтона системы с вибрирующей связью примет вид

Щд,р,т) = \{А~1р,р) - (А~1Ь,р)Ш'(т) + (^{А-^Ь) -с) («/(т))2 + У, (4)

причем А-1, Ь, с, V — функции, зависящие от д и и. Введем дополнительную переменную и в число аргументов функции (4), подставив ее только в функции А-1, Ь, с и V. Тогда Н = Н(д, р,и,т) и в "медленном" времени Ь получаем стандартную систему уравнений для метода усреднения Крылова-Боголюбова:

(1д дН йр дН (Ни ,

'Ж^'др1

Поскольку w(т) — 2п-периодическая, непрерывно дифференцируемая функция, то среднее значение функции w/(т) за период равно нулю. Значит, усредненная система имеет вид

с1д ОН с1р дН йи . .

(М др' (М дд ' (М '

где

2тг

H(q,p,u) = \{А~1р,р) + {^{A-\b)-c)jk + V, к = {w'(r))2 = J{w'(r))2dr. (7)

0

Здесь и далее черта над функцией означает среднее значение функции по переменной т за период. Отметим, что если w(t) — отличная от постоянной функция, то k > 0.

Будем рассматривать решения уравнений (5) и (6) при v — Поскольку u(0) = v-1w(0), то значение функции u(t) для этих решений будет лежать в некотором интервале (-ui,ui), ui > 0, причем значение ui можно выбрать сколь угодно малым. Функции A-1, b, c, V зависят только от переменных q, u. Будем считать, что эти функции дважды непрерывно дифференцируемы по q и непрерывно дифференцируемы по и в некоторой области G х (—ui,u{) CR"x (—ui,u{). Тогда функции Н(д, р, и, т) и Н(д, р, и) определены и непрерывны по t при всех t € К, дважды непрерывно дифференцируемы по q, p и непрерывно дифференцируемы по u в области G х Rn х (—ui ,ui). Выберем произвольную точку (q0, p0) € G х Rn и введем обозначения

х = (д,р,и), и0 = и(0) = г/_1гу(0), х0 = (д0, р0, и0), х0 = (д0, р0, 0).

Будем считать, что решение x(t,xо) усредненной системы (6) с начальным условием х(0,хо) = хо существует на некотором отрезке 0 ^ t ^ ti (ti = const > 0).

Утверждение. Пусть функция H(q, p,u,T) дважды непрерывно дифференцируемая по переменным q, p и непрерывно дифференцируемая по u в области G х Rn х (—ui,ui), функция w(t) дважды непрерывно дифференцируемая и 2п-периодическая. Тогда найдутся константы c > 0 и v0 > 0, такие, что для любого v > v0 'решение x(t,v, x0) системы (5) с начальным условием x(0,v, x0) = x0 существует на отрезке 0 ^ t ^ ti. При этом выполнено неравенство

с

\x(t,v,xo)— x(t,xo)\ < - при 0 ^ t ^ ¿1-

Доказательство. Согласно теореме Крылова-Боголюбова [1—3], найдутся константы ci > 0 и > 0, такие, что при v > на отрезке 0 ^ t ^ t\ существует решение x(t,v,xо) системы (5) с начальным условием x(0,v,xq) =xq, при этом выполнено неравенство

^ _ _ _ d

\x(t, V, Хо) — x(t, Жо)| < — при 0 ^ t ^ ¿1-

Поскольку |азо ~~ ®о| = г/_1|^(0)|, то, используя лемму Гронуолла-Беллмана, можно показать, что найдутся константы С2 > 0 и V2 > 0, такие, что при v > V2 решение x(t,v, x0) системы (5) с начальным условием x(0,v, x0) = x0 существует на отрезке 0 ^ t ^ ti и для решений x(t,v, x0) и x(t,v,xо) системы (5) справедлива оценка

\x(t,v,xo) — x(t,v,xo)\ < — при 0 ^ t ^ ¿1-Тогда для всех v > v0 = max{vi,v2}

с

|x(t, v, азо) — x(t,xо)| ^ \x(t, v, xq) — x(t, v,xo)\ + |x(t, v,xo) — x(t,xo)| < — при 0 ^ t ^ t\, где c = ci + С2.

Следствие. Если выполнены условия утверждения, то на конечном отрезке времени [0, ti] при стремлении частоты v вибраций к бесконечности семейство решений q(t, v, q0, p0), p(t, v, q0, p0) уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона (4) при произвольных фиксированных начальных условиях

q(0,v, q0, p0) = q0, p(0, v, q0, p0) = p0

равномерно no t стремится к решению g(t, go, po), p{t, go, Po) уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона (7) при u = 0 и начальными условиями

g(0,go,po) = go, р(Мо,Ро) =Ро-

В силу следствия и выражения (7) для функции Гамильтона усредненной системы предельные при v ^ уравнения движения голономной системы с вибрирующей связью можно рассматривать как уравнения движения натуральной лагранжевой системы, кинетическая и потенциальная энергия которой имеет вид

Tlim = ^(A(q,0)q,q), Vlim = Q{A~\q, 0)b(q, 0), b(q, 0)) - c(q, к + V(q, 0). (8)

Будем называть эту систему предельной.

3. Системы с голономными связями, зависящими от периодически меняющегося по времени параметра. Рассмотрим систему N материальных точек с массами ш\,... ,m,N, на которую наложены идеальные голономные связи и действуют консервативные силы. Обозначим через т\,..., tn радиусы-векторы точек системы относительно точки O неподвижной системы координат Oxyz, через V (ti ,..., tn ) потенциальную энергию, через qi,... ,qn обобщенные координаты системы. Будем считать, что связи таковы, что радиус-вектор любой точки системы зависит не только от обобщенных координат, но и от параметра u = v-lw(vt), где w(t) — дважды непрерывно дифференцируемая, 2п-периодическая функция, v = const. Тогда

ri = ri(qi,...,qn,u), fi = ^ Qj + тр w'(t) (i = l,...,N),

■ 1 ' -il J=1 J

1 N

кинетическая энергия системы T = — ^^rriif2 имеет вид (3), а потенциальная энергия системы —

i=i

вид V = V(qi,... ,qn,u). Значит, утверждение и следствие п. 2 справедливы для такой системы и указанная система также является системой с вибрирующей связью.

4. Примеры. Голономная система на основании, движущемся поступательно вдоль некоторого фиксированного направления в пространстве и совершающем быстрые периодические колебания, есть система, на которую наложена вибрирующая связь. В частности, классическая задача о математическом маятнике с вибрирующей по вертикали точкой подвеса является примером такой системы: вертикальная координата точки подвеса изменяется по закону yo = v-ia sin vt. Подробно такие системы были рассмотрены в [4-6]. Приведем другие примеры.

Пример 1. Рассмотрим материальную точку, движущуюся в однородном поле силы тяжести в неподвижной вертикальной плоскости Oxy без трения по вибрирующей кривой, заданной уравнениями

x = l sin <р, y = — (l + u)cos <p, u = v-iw(vt),

где l = const > 0, w(t) — 2п-периодическая, дважды непрерывно дифференцируемая функция, v = const. Ось Oy направлена вертикально вверх. В отсутствие вибраций (u = 0) кривая представляет собой неподвижную окружность, а механическая система — математический маятник. Кинетическая и потенциальная энергия точки равна

Т = —{l2 cos2 ср + (l + u)2 sin2 <р>)ф2 — m(l + u) sm<pcos<p<pw' + — cos2 <р (wr)2, V = —mg(l + u) cos <p.

Тогда согласно (8) для кинетической и потенциальной энергии предельной системы имеем

Тцт = —12ф2, Viim = -mglcosip - — kcos4<p; к=(и)'(т))' Положения равновесия предельной системы определяются из уравнения

dV1im

d<

= m(gl + 2k cos3 <p) sin <p = 0.

Предельная система всегда имеет два положения равновесия: р = 0 (нижнее) и р = п (верхнее). При к > у системы есть еще два положения равновесия: р = 7Г ± arceos ^ (боковые). Нижнее

положение равновесия предельной системы устойчиво при любом к, верхнее положение равновесия

7 gl i ^ gi <

устойчиво при к > — и неустойчиво при к ^ —, боковые положения равновесия неустойчивы.

Таким образом, верхнее положение равновесия предельной системы можно стабилизировать, выбрав к. Если w(t) = a sin т, то условие устойчивости имеет вид а2 > gl. Напомним, что в классической задаче о маятнике с вибрирующей по вертикали точкой подвеса верхнее положение равновесия предельной системы устойчиво при а2 > 2gl.

Можно рассмотреть другие варианты возмущения окружности вибрациями. Для случая

x = (l + u) sin p, y = —l cos p

имеем

J- lim = yí P ,

V¡ím = —mgl eos p — ^k sin4 p.

Положения равновесия предельной системы определяются из уравнения

dVnm

dp

= m(gl — 2ksin2 pcos p) sinp = 0.

Положения равновесия р = 0 и р = п предельной системы существуют при любом к, причем нижнее положение равновесия всегда устойчиво, а верхнее неустойчиво. Отметим, что в случае

x = (l + u) sin р, y = — (l + u) cos р

кинетическая и потенциальная энергия предельной системы совпадает (с точностью до калибровочного слагаемого) с кинетической и потенциальной энергией математического маятника, поэтому верхнее положение равновесия не может быть стабилизировано при добавлении вибраций.

Пример 2. Рассмотрим физический маятник массы m с горизонтальной осью качания Ox, которая может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси Oz (см. рисунок). Будем считать, что ось Ox является одной из главных осей инерции маятника для точки O. Центр масс S маятника лежит на его другой главной оси инерции для точки O и OS = l. Положение маятника задается углом р отклонения оси OS от нисходящей вертикали и углом поворота ф оси качания Ox вокруг неподвижной оси Oz. Обозначим через Ii,l2,I3 моменты инерции маятника относительно осей Ox, OS и оси, лежащей в плоскости качания и ортогональной оси OS. Для кинетической и потенциальной энергии маятника имеем

Т = i (hp2 + (I2 cos2 p + h sin2 р}ф2), V = -mgl

cos p.

К примеру 2

Пусть на систему наложена вибрирующая связь ф = v lw(vt), где w(t) — 2п-периодическая, дважды непрерывно дифференцируемая функция, v = const. Тогда

Т = ^ (hp2 + (I2 cos2 р + I3 sin2 p)(wi(t))2],

поэтому для кинетической и потенциальной энергии предельной системы получаем

1

1

T\im = - hФ2, Mim = ~'mgl cos р — (I2 cos2 p + h sin2 <p)k; к = (w'(t)Y

Исследуем устойчивость положений равновесия предельной системы. Имеем

dV\im

dp

= sin p(mgl + (I2 — I3)k cos p) = 0,

откуда находим положения равновесия р = 0 (нижнее), р = п (верхнее) при любом к и положения

mgl _ ч . mgl

равновесия р = ± arceos --— (боковые) при к > ---.

(I3 — h)k \I2 — I31

Если I2 > /э, то нижнее положение равновесия предельной системы устойчиво при любом к,

, mgl , mgl ^

верхнее положение равновесия неустойчиво при к ^ —-— и устойчиво при к > —-—, боковые

I2 — /э I2 — /э

положения равновесия неустойчивы.

Если I2 < /э, то верхнее положение равновесия предельной системы неустойчиво при любом к,

, mgl mgl

нижнее положение равновесия устойчиво при к ^ —-— и неустойчиво при к > —-—, боковые

/э — I2 /з — I2

положения равновесия устойчивы.

Если I2 = /э, то существуют только нижнее и верхнее положения равновесия предельной системы, причем нижнее положение равновесия всегда устойчиво, а верхнее неустойчиво.

Таким образом, при быстрых вибрационных вращениях оси качания Ox маятника вокруг неподвижной оси Oz верхнее положение равновесия предельной системы в некоторых случаях может стать устойчивым, с другой стороны, устойчивое в отсутствие вибраций нижнее положение маятника может стать неустойчивым при добавлении вибрационных вращений. Аналогичный эффект достигается в случае равномерного вращения оси качания Ox маятника вокруг неподвижной оси Oz [7].

Замечание. Отметим, что если в приведенных примерах добавить в исходную систему дис-сипативную обобщенную силу Qv = —ар, c > 0 (линейное вязкое трение), то такого же вида сила появится и у предельной системы. При этом невырожденные устойчивые положения равновесия предельной системы станут асимптотически устойчивыми по первому приближению. Тогда при достаточно большой частоте вибраций асимптотически устойчивыми будут соответствующие положения равновесия системы с вибрирующей связью [2, 3].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 18-01-00887).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1963.

2. Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М.: Изд. центр "Академия", 2010.

3. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.

4. Петров А.Г. О вибрационной энергии консервативной механической системы // Докл. РАН. 2010. 431, № 6. 762-765.

5. Кугушев Е.И., Левин М.А., Попова Т.В. О голономных системах на быстро колеблющемся основании // Прикл. матем. и механ. 2017. 81, вып. 5. 523-533.

6. Кугушев Е.И., Левин М.А., Попова Т.В. О положениях равновесия и стационарных движениях голономных систем на вибрирующем основании // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Мат-лы XIII Междунар. конф. (1-3 июня 2016 г., Москва) / Под ред. В.Н. Тхая. М.: ИПУ РАН, 2016. 223-225.

7. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.

Поступила в редакцию 20.07.2017

УДК 539.3:534.1

ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКИХ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА "ТВЕРДО-МЯГКОЙ" ПОЛУПЛОСКОСТИ

М. Ш. Исраилов1

Предложен простой метод решения задач дифракции плоских акустических волн на полуплоскости с разнотипными граничными условиями на ее лицевых сторонах (условиями Неймана на одной стороне и Дирихле — на другой). В отличие от существующих

1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. Комплексного НИИ РАН, г. Грозный, e-mail: israiler@hotmail.com.