CC BY
34
УДК 624.07:534.1
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ СТОЯЧИХ ВОЛН ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ НА ОПОРАХ ОБОЛОЧКЕ С НЕРАСТЯЖИМОЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
В статье на основе анализа математической модели динамики вращающейся на опорах оболочки типа Кирхгофа-Лява с нерастяжимой срединной поверхностью приведено доказательство свойств прецессионного движения возбужденных стоячих волн. Показано, что скорость прецессии может быть равна скорости вращения оболочки на опорах, что необходимо учитывать при математическом моделировании ее поведения.
e-mail: polynin@intbel.ru Ключевые слова: динамика вращающейся оболочки с опорами,
стоячая волна, прецессионное движение волны.
Введение
При математическом моделировании поведения вращающегося на опорах кольца, оболочке необходимо учитывать прецессию возбужденной действием внешних сил стоячей волны. В работе [1] приведено доказательство, что во вращающемся на опорах кольце, уравнения для которого получены на основе гипотезы растяжимости средней линии, стоячие волны могут прецессировать с угловой скоростью вращения кольца. В статье приведено доказательство, что в оболочке, уравнения для которой получены на основе гипотез Кирхгофа-Лява с учетом нерастяжимости срединной поверхности, прецессия стоячей волны также может происходить с угловой скоростью вращения оболочки.
Получение математической модели динамики оболочки
и ее анализ
Для получения уравнений, описывающих поведение оболочки, используем уравнение Лагранжа второго рода. Для этого зададим декартову систему координат Х1, У1, Zl. Ось О1У1 является осью вращающейся оболочки. Для задания положения точек отсчетной поверхности оболочки, в качестве которой используем срединную поверхность, зададим цилиндрическую систему координат в, г, У, где в - угол, задающий положение точки на отсчётной поверхности относительно вертикали в начальный момент времени, г - радиус оболочки, У - линейная координата вдоль оси оболочки, совпадающая с осью У1. Начало системы координат находится в центре оболочки. Длина ее а, толщина h.
Перемещения точек отсчетной поверхности оболочки в процессе деформации в направлении радиуса г, координаты У и касательной к поверхности оболочки обозначим соответственно Ш(в), ^^(в), V(в).
Кроме линейных перемещений ио, V точек отсчётной поверхности деформированной оболочки зададим угловой поворот у(в) образующей оболочки в плоскости, проходящей через радиус г и ось У. Такое задание деформации позволяет учесть различные перемещения точек оболочки при изменении координаты У, а также наличие опор. В этом случае радиальное перемещение и точки отсчётной поверхности, заданной координатами в и У, имеет вид
А. И. ПОЛУНИН
Белгородский государственный технологический университет им .В. Г. Шухова
U (е, У ) = и (е)+у(9)У.
(1)
Величины линейных перемещений точек отсчетной поверхности оболочки и угловой поворот образующей зададим в виде рядов Фурье:
N
Л a
Uo = Saui cos(i((9 + ))+Sbui sin(i(e+Vui )), (2)
i=1 ■ ■
N ( a \ N b
V = 11- sin (' (0+фш ))+S - cos (' (е+фш))+
i=1 V i J i=1 i
+У
(3)
S sin(i(е+фу1 ))+S~^cos(i(е+фу1)) i=1 V 1 J i=1 1
N N
W = Sawi cos(i(e + ym)) + SKi sm(/(0 + ym)), (4)
1=1 i=i
NN
Y = s an cos(i(e + Уп )) + S bn sin(i(<9 + У Y )). (5)
Здесь aui , Кг , awi , bwi , aYi , bYi - обобщенные координаты, неизвестные функции времени f, которые надо определить, задают амплитуду колебаний; yui, yw, уп' - неизвестные функции времени, задающие прецессию стоячих волн, подлежащие определению; N - число учитываемых слагаемых ряда Фурье.
Формула для перемещения V получена из условия нерастяжимости срединной
поверхности V = -{Ude .
Примем, что оболочка касается опорных роликов по всей длине своих образующих, т.е. опорные ролики выставлены без ошибок. Тогда условиями, накладываемыми на обобщенные координаты оболочки, является равенство нулю радиаль-
" U " V
ных перемещений в точках опор, равенство нулю перемещений в точках опор,
а также равенство нулю перемещений оболочки W в направлении оси У в точках
опор. Так как оболочка вращается, то координаты @ точек оболочки, в связанной с ней системе координат, находящихся на опорах, определяем зависимостями
ж -a-Qí для одной опоры и ж +а -Qt - для второй. Здесь Q - угловая скорость
вращения оболочки; 2 а - угол между опорами. Тогда в точках опор в соответствии
с формулами для U, V,W (1) - (5) имеем
NN
S aui C°s(iO -a-Qt + Vui )) +S bui Sin(iO -а-Ы + Vui )) +
i=1 i =1
NN
+ S yan cos(i^ - а - Üt + У Y)) +S УК y sin( i(ж - a-Üt + Уу)) = 0, (6)
i =1 i=1 NN
S aui Cos(iO + a-Üt + Vui )) +S bui + a-Üt + Vui )) +
i =1 i =1
NN
+ SyaY cos(i^ + a-Üt + yY)) + SУЬп sin(/^ + a-Üt + yY)) = 0, (7)
i=1 i=1 N f a \ N b
S| -— I sin (i (n-a-Üt + фш )) + S~ cos (i (n-a-Üt + фш)) +
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1
+У
к ( а ^
I
N Ь
sin (1 (л-а-П/ + фш )) + Ц — cos (1 (л-а-° + фш))
= 0
" I а 1 " Ь
Ц |^п(/(л + а-О + фш)) + !^^(/(л + а-О + фш))
+
+У
к ( а Л
У
I
1 =1
N Ь
мп (/ (л + а-П/ + фш )) + 1 — cos (1 (л + а-° + фш))
1=1
(8)
= 0, (9)
I аш С0Ф(л - + рш)) + 1 ьш sin(г(ж - + рш)) = ° (10)
I аш + а-° + Рш )) + 1К sin( + а-° + Рш )) = (11)
1=1
1=1
Равенство нулю перемещений (6)-(9) для и, У в точках опор при любом значении координаты У будут в том случае, если имеем зависимости
N N
I а / ' и1 1=1 cos(i(ж - а - О+%1))+1К - а 1 =1 -О+Ри1)) = 0, (12)
N I ап 1=1 cos(i(ж - а - N - Qt + ру1)) +1Ь71 - а 1=1 -О+РУ1)) = 0, (13)
N I а / ' и1 1=1 cos(i(ж + а N - О + Ри1 )) + I Ьи! Sin(i(^ + а 1=1 -О + Ри1 )) = 0, (14)
N I ап 1=1 cos(i(ж + а N - Qt + рр)) +1 Ьу1 + а 1=1 -О+РУ1)) = 0, (15)
1 У |sin (1 (л-а N Ь -О + фш )) + !^- cos (1 (л -1 1=1 1 а-^ + фш)) 1 = 0, (16)
1=1 V
к ( а ^
I
1=1
N I а 1 N ь
II Iмп(1 (л + а-О + фш)) + !^cos(1 (л + а-О + фш)) = 0,
1=1 V 1 У 1=1 1
^ь.
яп (/ (л-а-° + фш )) + Ц — (/' (л-а-° + фш )) = 0, (17)
1=1 1
N ( а Л
I
1=1
sin (1 (л + а - Qt + фи1)) +1 — cos (1 (л + а - Qt + фи1)) = 0
1=1 1
(18) (19)
Эти условия должны выполняться для любого значения времени t.
Таким образом, имеем 10 условий связи (10)-(19) на обобщенные координаты и соответственно 10 неопределенных множителей Лагранжа. Производные этих условий связи по обобщенным координатам имеют вид:
е? = ^(/(л - а - Qt + ф)), е2аи = (л + а - О + ф)), (20)
для аиу
е™ = -/-1 мп(/(л - а - Qt + фщ)), е4аи = - /- мп(/(л + а - О + фи,));
для и1
(21) (22)
а
для у/
Ьи, е\и = ^п(/(л - а - Qt + фи,)), е2Ьи = ^п(/ (л + а - О + фи,)), езЬи = /-1 (л - а - Qt + фи,)), е4и = /- ^(/(л + а - О + фи,)); (23) <У = со^7(л - а - О + фУ/)), <У = /(л + а - О + фУ/)), (24)
<У = -j- втСЯя - а - Ыг + Фу;)), <у = -j-1 Бт(-(п + а - Ы + Фу;)); (25)
для Ъу е5У = 81п(./(п - а - Ы + фу;)), е6Ьу = мЦ + а - Ы + фу )), (26)
е7У = -^ С0§( -(п - а - Ы + фу )Х е8Ьу = -^ С^(+ а - Ы + фу )); (27)
для аУ еТ = С08(.АП - а - Ы + ф у )Х С = С08С/(п + а - Ы + фу )); (28)
для Ъш = (п - а - Ы + фу-)). еш = ^ЧЛп + а - Ы + ф у)); (29)
для фч еф = -О/ ^О'(п - а - Ы + фи/)) + -Ъщ (п - а - Ы + фи; Л (30)
еф" = --ащ (п + а - Ы + фи; )) + Ъ ^С/(п + а - Ы + фи; )), (3!)
еэф" = -аи; (п - а - Ы + фи;)) - Ъщ (п - а - Ы + фи; й (32)
еф = -аи; ^С/(п + а - Ы + фи;)) - Ъи] ып(-(п + а - Ы + фи;)); (зз)
для фу- е5фу = --а- втО'(п - а - Ы + фу-)) + Ъ С08(- а - Ы + фу-)), (34)
ебфу = --ау} вшС/(п + а - Ы + фу )) + А С08(-(п + а - Ы + фу Ж (35)
е7фу = -ау со§( -(п - а - Ы + фу-)) - Ъу -(п - а - Ы + фу-)). (36)
еф = -ау со§( -(п + а - Ы + фу-)) - Ъи -(п + а - Ы + фу)); (37)
для фу* еГ = --ау 81п(./(п - а - Ы + ф^.)) + сов( -(п - а - ОГ + фу)), (38)
еГ = --ау ^п(Ап + а - Ы + фу-)) + А; с°э(+ а - Ы + фу-)). (39) Кинетическую энергию оболочки определяем по формуле
а
2л 2
1 2
т = - | | + Ыг0 + Ыа)2 + (С/ -ЫК)2 + И2]dвdУ
2
^ 0 а
(40)
2
где ^0 = г Ро^ ; ро — удельная плотность материала оболочки, а потенциальную в соответствии с гипотезами Кирхгофа-Лява
а h 2л 2 2
+ °у£у + аву£ву
, (4!)
о _ а _ А 2 2
где — напряжения по координатам У соответственно; ^еу - напряжение в
плоскости еу; ^е '^у - деформации по осям е'У соответственно; - сдвиг в плоскости еу.
В полученных зависимостях фигурируют неизвестные функции () ,
задающие прецессионное движение стоячих волн в оболочке. От вида этих функций зависит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение вращающейся оболочки на опорах.
Для выяснения характера прецессионного движения стоячих волн докажем следующее утверждение: при возникновении периодических колебаний во вращающейся с постоянной угловой скоростью на двух параллельных опорах оболочке с нерастяжимой срединной поверхностью прецессия волн ^), ^), ^)
(] = 1,2'..., N)
может происходить с угловой скоростью вращения оболочки.
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1
Доказательство. Для получения зависимостей, описывающих изменение этих функций в соответствии с законами механики, будем рассматривать их как ещё одни координаты, меняющиеся во времени, задающие поведение системы. Тогда в соответствии с вариационными принципами механики в реальном движении будут реализовываться такие функции, что действие по Гамильтону будет иметь экстремум. Для получения требуемых зависимостей можно воспользоваться вариационным принципом Гамильтона, но с точки зрения объема требуемых выкладок более рациональным является использование уравнения Лагранжа второго рода. Таким образом, нахождение закона прецессии стоячих волн в оболочке сводится к нахождению дифференциальных уравнений для функций, задающих эту прецессию.
Обобщенными переменными, описывающими поведение оболочки, будут а ,Ь ,а ,Ь ,а ,Ь ,т ,т ,т (г = 1,2,...,N).
ш' ш' уг' уг' ш' тиг> туг> ч'ш V ' ' ' /
Дифференциальные уравнения для ащ, ч()=1,2,...^) в соответствии с уравнениями Лагранжа второго рода и формулами (20)-(2з), (30), (33), (40), (41) имеют вид
п|0 а
2У •
СА + "ДА + (п, ф, - у %
п|0 а
У - " ,Фи, % + ((фи, - °)2 + (ф- у )2 К,
+
+ -
паД
9 К2а, = Х% ^(^п - а - У + ф)) + Х% cos(у (п + а - У: + ф .))
-Х% ,- sin(, (п - а - У: + фи,)) - X% ,- sin(,(п + а - У: + ф .))
п|0 а
п|0 а
•• 2У
СА"-" фл+<■- -"фи)а»
2У
У
(п,фи,--т)ащ + ((фи, - У)2 + (фи,, — )2)К
7
7
+
паД
+ -
9 К% = Х% sin(7(п - а - Qt + фи,)) + Х% sin(7(п + а - Qt + фИ,)) +
н
(42)
+Хн ,- (п - а - У: + фи,)) + Xн ,- 7(п + а - У1 + фи,)),
лца
пА„Ь. - пК .а. + т,ф .а2 +
, и и , и, и, , т и, и,
з и и з и и з^и и +2(т,фи, - 2У)ашащ + т,•Ри^и2/ + 2(т,фи - 2У)Мг
= Х% [-ащ, ^п( Лп - а - + фи)) + Ьщ] с°^7(п - а - У/1 + фи,))] +
+Хн [-аи, , мпС/(п + а - У 1 + фи,)) + К,7 соэ(7(п + а - у 1 + фву))] -
-Х% [ащ С^( Лп - а - У1 + фи, )) + К, Мп( ^ - а - + фИ, ))] -
-Х% [а„, С^( Лп + а - У1 + фИ, )) + Ки, ^Ч Лп + а - У1 + фИ, ))] .
(43)
(44)
Здесь С, = 1 + j-2, п, =j + r1, К, = j2 -1, т, = 1 + j2, Х%(г = 1,2,...,6) - неопределённые множители Лагранжа. Остальные коэффициенты являются функциями параметров оболочки.
3
г
0
3
г
0
Анализ уравнений (42), (43) и (44) показывает, что уравнение (44) для (и]
может быть получено путём умножения уравнения (42) для ач на переменнуюbu],
вычитания из этого произведения уравнения (43) для bu], умноженного на ач, и умножения этой разности на j. Отсюда следует, что дифференциальное уравнение для
(и] является комбинацией дифференциальных уравнений для ач и bu] . Значит, решение дифференциального уравнения для (и] является комбинацией решений дифференциальных уравнений для ач , bu] . В уравнения для ач , bu] входят функции (и] , отсюда следует, что они могут быть произвольными. Будем рассматривать установившиеся периодические колебания оболочки, которые могут возникнуть вследствие действия возмущений. В этом случае дифференциальные уравнения (42), (43) для
ащ , должны быть линейными дифференциальными уравнениями с постоянными
коэффициентами. Из этого условия найдём зависимости для (и]. Для того, чтобы коэффициенты в дифференциальных уравнениях были константами, необходимо, чтобы (и] были константами. Другим условием для определения (и] является условие, что прецессионное движение волн (и] осуществляется только внутри диапазона углов, ограниченного опорами. В случае, если (и] константы, это может быть только при (jpuJ = Q (j = 1,2,...,N). Тогда в условиях связи (12), (14), (16), (18), а также у множителей перед неопределенными множителями Лагранжа (20)-(39), аргументы под знаком синуса и косинуса являются постоянными коэффициентами, т.е.
ж-а-Qt + (ри] = ж - а, ж + a-Qt + (uj = ж + а,
ж-а-Qt + (pv] = ж - а, ж + а - Qt + ( = ж - а,
и система уравнений (42), (43) вместе с условиями связи (12), (14), (16), (18) является системой уравнений с постоянными коэффициентами, имеющей периодические решения.
Осуществляя аналогичный анализ для уравнений, описывающих поведение
переменных ач , , а™], , получим также, что = Q = Q (j = 1,2,..,N).
Таким образом, доказано, что в случае возникновения во вращающейся оболочке стоячих волн их прецессионное движение может происходить с угловой скоростью вращения оболочки.
Полученный результат может использоваться для получения дифференциальных уравнений, описывающих поведение вращающихся на опорах оболочек, применяемых при математическом моделировании технических систем.
Литература
1. Полунин А. И. О характере прецессионного движения стоячих волн во вращающемся кольце с опорами / / Известия вузов. Машиностроение. - 2008. - № 10. - С. 27 - 33.
ABOUT MATHEMATIC MODELING PRECESSION MOVEMENT OF STANDING WAVES INTO CASE WITH NON-STRETCHABLE MEDIAN SURFACE, ROTATING ON THE SUPPORTS
The article presents the proof of the fact that when a rotating casing with the non-stretchable median surface rotates on two supports, the stationary wave resulting from the agitation can precess with angular velocity equal to that of the casing.
Key words: Dynamics of rotating casing on supports, Stationary wave, Precession Wave Motion.
A. I. POLUNIN
Belgorod Shuknov
State Technological University
e-mail: polynin@intbel.ru
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1
УДК 615.47: 681.31
ГОМЕОСТАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ НА ОСНОВЕ ВЗАИМНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА СИСТЕМНЫХ РИТМОВ
Исследуется эффективность нечетких нейросетевых моделей риска развития сердечно-сосудистых заболеваний, в которых в качестве основного фактора риска используется показатель жесткости артериальных стенок. Рассмотрен способ его вычисления, основанный на взаимном спектральном анализе сигнала дыхания и фото-плетизмосигнала, оцифрованного в процессе окклюзионной пробы.
Ключевые слова: риск развития сердечно-сосудистого заболевания, эластические свойства сосудов, фотоплетизмосигнал, вейв-лет-анализ, взаимный спектр.
С. А. ФИЛИСТ А. А. КУЗЬМИН АЛЬ-МУААЛЕМИ ВАИЛ КАССИМКАБУС А. П. БЕЛОБРОВ
Курский государственный технический университет
e-mail: SFilist@gmail.com
Современное понятие научного прогнозирования как причинно-обусловленной последовательности явлений или изменений состояния определенной системы, например, человека, базируется на теории и методах системного анализа. Соблюдение системного единства и последовательности этапов прогнозирования позволяет раскрывать неопределенности, связанные с внешней средой и состоянием самого объекта прогнозирования. Игнорирование отдельных элементов исследуемой системы может привести к снижению точности прогнозирования и эффективности принимаемых управленческих решений.
Системность подхода при прогнозировании риска развития заболевания определяется учетом воздействий окружающей среды и внутренних процессов системы не только на исследуемую подсистему (орган), но и на смежные подсистемы, что может привести к неоправданному росту размерности признакового пространства или (и) к появлению недопустимого количества пробелов в данных.
Так как в большинстве случаев живая система представляет для исследователя «черный ящик», то успех прогноза определяется тем, насколько адекватно исходная модель риска развития заболевания учитывает степень риска функциональных нарушений в исследуемой подсистеме при наличии факторов риска функциональных нарушений в смежных подсистемах, а также насколько адекватно в модели риска выдержано соотношении между внутренними по отношении к исследуемой подсистеме и внешними факторами риска.
Такой подход к анализу живых систем был использован при прогнозировании риска развития заболеваний, когда в начале 50-х годов прошлого века в практику была введена концепция факторов риска (ФР), влияющих на показатели смертности, в частности, от сердечно-сосудистых заболеваний (ССЗ), которая в настоящее время получила многочисленные научные подтверждения и является общепризнанной. В многочисленных эпидемиологических исследованиях, проведенных как в нашей стране, так и за рубежом, получены доказательства того, что путем целенаправленного лечебного и профилактического вмешательства, в первую очередь в отношении ФР, можно снизить сердечно-сосудистую заболеваемость и предупредить преждевременную смертность населения. В настоящее время оценка суммарного риска становится необходимым условием надежного определения вероятности развития ССЗ и их осложнений для определения тактики управления этим риском путем клинических и профилактических вмешательств.
Для оценки риска развития ССЗ разработаны множество различных моделей, среди которых наиболее известны Фрамингемская шкала, шкала NCEP III и шкала SCORE. Однако эти шкалы имеют ограничения в применении, так как описывают суммарный риск только применительно к лицам без клинических признаков сердечно-сосудистых заболеваний, на основе весьма ограниченного набора факторов (пол, возраст, курение, уровни общего холестерина и систолического АД), что в целом не позволяет оценить спектр многообразия ФР для индивидуального прогноза и затрудняет формирование эффективных профилактических программ. Поэтому необходим поиск новых маркеров риска ССЗ, среди которых пристальное внимание исследователей привлекают эластические свойства сосудов, которые нередко используются в различных моделях компьютерных программ для профилактических обследований. Однако для надежного прогноза необходимо соответствующее обучение классифицирующей модели, что весьма затруднительно, так как получение обучающих выборок требует длительного наблюдения за объектами исследования, что приводит к неоднозначности и зашумленности данных. В данной ситуации целесообразно применять гомеостатические модели прогнозирования риска, объединяющие в себе преимущества систем без учителя и обучающихся систем распознавания.
Эластико-упругие свойства сосудов определяются по параметрам пульсовой волны, которые могут быть извлечены из какого-либо физиологического сигнала, отражающего ее распространение по сосудам, например, фотоплетизмосиганала.
Известно, что сигнал дыхания модулирует кровенаполнение в сосудах за счет отрицательной обратной связи через барорецепторы. Имеет место как частотная, так и амплитудная модуляция кровенаполнения сигналом дыхания. При вдохе давление в области грудной клетки понижается, и объем крови в периферийных сосудах должен увеличиваться, чтобы компенсировать это снижение, и наоборот. Поэтому увеличивается частота пульса и изменяется тонус артерий таким образом, чтобы увеличить кровенаполнение тканей на вдохе. Но увеличение кровенаполнения тканей за счет изменения тонуса сосудов определяется их жесткостью. Таким образом, чем эластичнее сосуды, тем больше глубина модуляции фотоплетизмосигнала сигналом дыхания. Для контрастирования вышеописанного процесса гомеостаза использовалась окклюзионная проба.
Сигнал, несущий информацию об эластических свойствах сосудов, можно выделить с помощью корреляционного детектора, осуществляющего математическую операцию вида
где Т - интервал наблюдения модулированного сигнала Sl(t), в данном случае фотоплетизмосигнала, т - временной сдвиг [1].
Для того, чтобы использовать уравнение (1) для формирования пространства информативных признаков по фотоплетизмосигналу, необходимо располагать опорным сигналом S2(t), который недоступен для измерения и анализа. Так как сигнал S2(t) - сигнал кардиоцикла, занимающий некоторую полосу частот, которая изменяется в достаточно широких пределах как от пациента к пациенту, так и в зависимости от момента наблюдения одного и того же пациента, то в качестве опорного сигнала S2(t) в выражении (1) целесообразно использовать вейвлет - функцию, полоса частот которой соответствует полосе частот системного ритма, выбранного в качестве индикатора эластических свойств сосудов. Поэтому выражение (1), вычисленное при S2(t)= Ф^/а*), где - материнский вейвлет, а*— масштаб вейвлета, соответствующий частотному диапазону выбранного системного ритма, назовем резонансным вейвлет-срезом сигнала, а вейвлет с масштабом а*- резонансным вейвлетом.
Т
(1)
0
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1
Резонансные вейвлет-срезы непосредственно использовать для построения признакового пространства нецелесообразно в связи с их большой мерностью, которая превосходит мерность исходного пространства. В таком случае целесообразно иметь дело только с узкополосным сигналом, характеризующим дыхательную составляющую. Инструментом, позволяющим осуществить переход в узкополосную информативную зону сигнала, может служить взаимный спектр сигналов.
Взаимный спектр Sl2(w) двух сигналов, Sl(t) со спектром Sl(w) и S2(t) со спектром S2(ы) является комплексной величиной и определяется согласно уравнению Винера-Хинчина
Используя стандартные пакеты для вычисления вейвлет-преобразования, мы вычисляем не корреляцию (1), а свертку фотоплетизмосигнала с резонансным вейв-летом. Однако, учитывая то, что мы используем только амплитудные характеристики взаимных спектров (фаза сигналов не учитывается), а также то, что амплитудный спектр Фурье любого сигнала является четной функцией, такая замена правомочна.
Анализируя формулу (2) и вейвлет-преобразования фотоплетизмосигналов, приходим к выводу, что взаимный спектр фотоплетизмограммы и резонансного вейвлета будет отличен от нуля в небольшом спектральном диапазоне, который занимает резонансный вейвлет. Этот спектральный диапазон для сигнала дыхания не превышает 0,4 Гц, и при частотном разрешении 0,033 Гц (тридцати секундном окне анализа) взаимный спектр имеет не более нескольких десятков отсчетов, отличных от нуля, при 30000 исходных отсчетов фотоплетизмосигнала.
Так как частота системного ритма нестационарна, то эмпирический выбор резонансного вейвлета сложен, поэтому целесообразно вместо одного тестового вейвле-та использовать множество вейвлетов, лежащих в частотной области, соответствующей системному ритму.
В связи с вышеизложенным, число строк в вейвлет-плоскости и шаг изменения масштаба подбираем таким образом, чтобы при минимальном числе анализируемых вейвлетов все гармоники выбранного системного ритмы были представлены на вейвлет-плоскости фотоплетизмосигнала.
Уравнение (2) применяется к каждой строке вейвлет-плоскости, следовательно, взаимный спектр фотоплетизмосигнала и множества тестовых сигналов будет также являться плоскостью. В отличие от вейвлет-плоскости, плоскость взаимных спектров будет представлять разряженную матрицу, так как вейвлет-функция является узкополосным сигналом в отличие от фотоплетизмосигнала.
На рис. 1 представлен пример построчной развертки матриц взаимных спектров для вейвлет-плоскостей одного из пациентов, полученных до и после окклюзии.
Окклюзионная проба осуществлялась с помощью автоматического тонометра, окклюзионная манжета которого помещалась на ту руку, с пальца которой снимался фотоплетизмосигнал. Фотоплетизмосигнал дискретизировался с частотой 100 Гц. Нагнетание воздуха в манжету начиналось на тридцатой секунде от начала записи сигнала. После окклюзии сигнал также дискретизировался в течение 30 с. Учитывая, что момент окклюзии является мощным источником нестационарности фотоплетиз-мосигнала, из исходного сигнала выделим два сигнала одинаковой длины: до окклюзии и после окклюзии, а ту часть сигнала, которая соответствует моменту окклюзии, исключим из анализа. Диапазон значимых отсчетов взаимного спектра полученных двух сигналов не превышает пятидесяти.
(2)
о
S12 (®)
S12 (с)
4-я строка
10-я строка
16-я строка
со, с
со, с
Рис. 1. Взаимные спектры для двадцати строк вейвлет-плоскости фотоплетизмосигнала: мужчины 57 лет до окклюзии (слева) и после окклюзии (справа)
На рис. 2 представлены увеличенные изображения фрагментов строк взаимных спектров фотоплетизмосигнала и вейвлетов, представленных на рис. 1 слева.
812 (с)
812 (с)
4-я строка
со, с
812 (с)
10-я строка
16-я строка
со, с
С с
Рис. 2. Увеличенное изображение фрагментов строк взаимных спектров фотоплетизмосигнала
и вейвлетов, представленных на рис. 1 слева
Проведя статистические исследования матриц взаимных спектров пациентов и волонтеров с различным рисками ССЗ, определенными посредством экспертных оценок и инструментальных исследований, приходим к выводу, что во взаимном спектре после окклюзии растет относительная мощность тех строк, которые связаны с выбранным системным ритмом (дыхательным). Это можно объяснить исходя из того, что при возмущающем воздействии на систему ослабевают внутрисистемные связи и, следовательно, система более восприимчива к внешним воздействиям, то есть более подвержена модуляции системными ритмами, которые будут являться внешними возмущениями по отношению к сосудистой системе.
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1
S12 О)
S12 О)
S12 О)
о, с-1 S12 О)
О, c
О, c
О , с
Рис. 3. Взаимные спектры фотоплетизмосигнала и тестового сигнала для 14-й строки (соответствует полосе частот 0,284... 0,305 Гц) вейвлет-плоскости фотоплетизмосигнала до окклюзии (слева) и после окклюзии (справа): вверху женщина 28 лет (площади под кривыми различаются в 2 раза) с высоким риском ССЗ, внизу женщина 21 года (площади под кривыми различаются в 3 раза) с низким риском ССЗ
Статистический анализ подобных взаимных спектров позволил сделать вывод о целесообразности использования в качестве фактора риска отношения взаимной мощности фотоплетизмосигнала и реперных узкополосных сигналов, которые перекрывают частотный диапазон, соответствующий частотному диапазону дыхательного цикла. Диапазон значимых отсчетов взаимного спектра не превышает двадцати, а число строк, приходящихся на ритм дыхания, не превышает десяти.
Взаимную мощность Pi 1-й строки матрицы взаимных спектров определяем
как
N
p -Е
j-0
Sj °j)
2
(3)
где N - число столбцов в матрицах изображения вейвлет-плоскостей.
Фактор риска возникновения и развития ССЗ FRi по одной строке матрицы взаимных спектров определяется как
P1-
FR - PÎ • w
где Pli - взаимная мощность i-й строки матрицы взаимных спектров до окклюзии, P2i -взаимная мощность i-й строки матрицы взаимных спектров после окклюзии.
Множество FR используется для построения пространства информативных признаков совместно с другими маркерами сердечного риска как в едином признаковом пространстве, так и в структурированном, то есть разбитом на подпространства, для которых строятся частные решающие правила с последующей агрегацией решений.
Из показателей жизнедеятельности человека, косвенно связанных с риском ССЗ, выбрано четырнадцать признаков X0...X13. Первый признак Xo является векторной величиной и характеризует эластические свойства сосудов, Х1 - дислипиди-мия (биохимические исследования); Х2 - наследственная отягощенность; Х3 - артериальная гипертензия; Х4 - ожирение; Х5 - метаболический синдром; Х6 - сахарный диабет II типа; Х7 - курение; Х8 - стрессы и психоэмоциональные факторы; Х9 - гиподинамия; Х10 - пол; Х11 - возраст; Х12 - хроническое употребление алкоголя; Х13 - воспалительные маркеры.
Прогноз ССЗ связывается с эластико-упругим свойствам сосудов, которые оцениваются по взаимным спектрам сигналов пульсовой волны до и после окклюзи-онной пробы. Поэтому модель принятия решения включает ядро иерархической нечеткой нейронной сети, осуществляющее прогноз ССЗ на основе признакового подпространства, получаемого по взаимным спектрам фотоплетизмосигнала и тестовых сигналов, занимающих полосу частот, коррелированную с выбранным системным ритмом, к которому добавлено множество частных решающих правил. Решающие правила синтезируются на основе вышеперечисленных тринадцати факторов риска. При этом ряд факторов, а следовательно, и соответствующие решающие правила могут отсутствовать.
Гомеостатические модели развития риска ССЗ построены на базе нечетких нейронных сетей, архитектура которых рассмотрена в [2]. Структурная схема одной из возможных реализаций таких технических решений показана на рис. 4.
Модель имеет ядро, представляющее собой нейронную сеть, на входе которой
присутствует вектор информативных признаков XO, характеризующий эластические свойства сосудов. В этой модели агрегаторы объединяют только два коэффициента уверенности по алгоритму, основанному на методе перебора (генетическому алгоритму).
Нечёткая операция, которую может реализовать один из тринадцати агрега-торов, является функцией двух аргументов, поэтому число возможных нечётких операций в каждом агрегаторе определяется как
L = n!/(2(n - 2)!), (5)
где n - число элементов в выбранном кортеже нечётких операций.
Длина кортежа n, как правило, не превышает 8. Если признаки X1...X13 выстроены по релевантности, то, выставляя условие о том, что ввод в нечёткую сеть каждого последующего признака не ухудшает классификацию или чувствительность модели, из кортежа могут быть исключены нечеткие операции, которые не удовлетворяют требованию не ухудшения чувствительности и требованию инвариантной к возможным пробелам в данных.
Нечёткая операция в i -м агрегаторе (рис. 4) описывается выражением
КУi = f (КУi -1, (X)), (6)
где i = 1,13 , КУ. - нечёткое число на выходе i -го агрегатора, /uFR (X.) - функция принадлежности, описывающая риск ССЗ по носителю Xi, которая указывает степень принадлежности объекта с параметром Xi к нечёткому множеству FR.
Для настройки модели рис. 4 необходима обучающая выборка с объектами, у которых известны значения риска RA и информативные признаки Xi,...Xi3. Кроме того, необходимо задаться кортежем нечётких операций, используемых в агрегаторах 1.13 (рис. 4). Далее необходимо для каждого j - го объекта обучающей выборки получить значение риска CCP по вязкоупругим свойствам сосудов КУ0(у), что осуществляется нейронной сетью.
Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 13 (84). Выпуск 15/1
Рис. 4. Нечеткая нейросетевая модель прогнозирования ССЗ
Процесс настройки модели (рис. 4) состоит из двух этапов. На первом этапе синтезируются нечёткие операции агрегаторов с минимизацией ошибки на выходе настраиваемого агрегатора. На втором этапе все агрегаторы заданы, и осуществляется коррекция их параметров. При этом оптимизируется ошибка на выходе модели, то есть на выходе тринадцатого агрегатора.
Процесс настройки к- го агрегатора осуществляется в цикле, который осуществляет перебор нечётких операций в к-м агрегаторе в целях поиска оптимальной нечёткой операции. В цикле определяются риски возникновения ССЗ по объектам обучающей выборки, полученные на к-м шаге агрегирования для г-й нечёткой операции, используемой для реализации к-го агрегатора.
В зависимости от состояния флага который определяет номер этапа настройки модели, в качестве минимизируемого функционала выбирается функционал
1
£кг = 77 г М
£(лЛ(у) - КУкг ($, при $ = 0, (7)
У =0
где М - число объектов в обучающей выборке; ЯЛ(у) - риск развития ССЗ для j-го объекта; г - номер нечёткой операции, используемой в к-м агрегаторе; i е I, I - число нечетких операций, используемых при настройке агрегаторов; КУк (у) - риск, получаемый на выходе к-го агрегатора для j -го объекта при использовании г-й нечёткой операции, или функционал
1
££ = — 1 М
£ (ЛЛ(у) - КУи! (]))2, при $ = 1, (8)
У=0
КУ13 - выход тринадцатого агрегата, соответствующий t -й модели агрегатора 1-13,
где t -я модель агрегатора 1-13, полученная согласно методике, приведенной в [3], КУ13/ - выход т] при условии, что
st <s k13, (9)
где s k - значение оптимизируемого функционала (7), полученное при настройке
агрегатора 13, с учетом того, что он настраивается последним.
Для настройки агрегаторов модели использовался встроенный в систему Mat-lab 7.1 модуль gatool, который выполняет минимизацию количества ошибок заданной целевой функции, и программное обеспечение, разработанное на кафедре биомедицинской инженерии Курского государственного технического университета. При настройке модели (рис. 4) использовались три градации риска: «Отсутствует», «Имеется», «Высокий».
Результаты исследования нейросетевой модели на контрольных выборках при прогнозе рисков атеросклероза, ишемической болезни сердца и инфаркта миокарда по показателям диагностической чувствительности, диагностической специфичности и диагностической эффективности показали, что они выше на 10-15% аналогичных показателей по шкале SCORE.
Исследования проведены при поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Литература
1. Филист, С.А. Синтез признакового пространства для классификации эластических свойств артерий на основе окклюзионных проб и анализа пальцевых фотоплетизмограмм / С.А. Филист, В.А. Аль - Муаалеми, А.Б. Дафалла Али // Вестник Воронежск. гос. техн. ун-та. -2009. - Т. 5. - №10. - С. 123-126.
2. Филист, С.А. Гибридный способ классификации биосигналов на основе технологий нечеткой логики принятия решений и нейронных сетей / С.А. Филист, В.А. Аль-Муаалеми, В.В. Жилин / / Биомедицинская радиоэлектроника. - 2009. - №5. - С. 77-82.
3. Филист, С.А. Автоматизированная система диагностики анемий на основе нечеткой логики принятия решений и алгоритмов генетического типа / Н.А. Кореневский, С.А. Филист, Е.С. Черных / / Вестник новых медицинских технологий. - 2006. - Т. XIII. - №2. - С. 24-28.
HOMEOSTATIC MODELLING OF CARDIOVASCULAR DISEASES BASED ON THE MUTUAL SPECTRAL ANALYSIS OF SYSTEM RHYTHMS
Fuzzy neuronet models of risk of cardiovascular diseases are described in this article. The indicator of rigidity of arterial vessels has been chosen as a major risk factor in these models.
The way of calculation of this risk is based on the mutual spectral analysis of a breath signal and photoplethysmosignal, digitized in process of occlusion tests.
Key words: risk of development of cardiovascular disease, elastic properties of vessels, photoplethysmosignal, the wavelet-analysis, a mutual spectrum.
S. A. FILIST A. A. KUZMIN Al-MUAALEMI VAIL KASSIM KABUS A. P. BELOBROV
Kursk State Technical University
e-mail: sfilist@gmail.com
