CC BY
27
УДК 624.07:534.1
О ДИНАМИКЕ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ СТОЯЧИХ ВОЛН ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ НА ОПОРАХ ОБОЛОЧКЕ С РАСТЯЖИМОЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
© 2010 А.И. Полунин
Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова
Поступила в редакцию 26.10.2010
В статье на основе анализа математической модели динамики вращающейся на опорах оболочки типа Кирхгофа-Лява с растяжимой срединной поверхностью приведено доказательство свойств прецессионного движения возбужденных стоячих волн. Показано, что скорость прецессии может быть равна скорости вращения оболочки на опорах, что необходимо учитывать при математическом моделировании ее поведения.
Ключевые слова: динамика вращающейся оболочки с опорами, стоячая волна, прецессионное движение волны
В машиностроении одним из современных способов обработки с целью исправления формы крупногабаритных (диаметром до нескольких метров) оболочек, колец является использование безрамной технологии. При ее использовании тело ставят на два опорных ролика в вертикальной плоскости, приводят их во вращение и обрабатывают приставным станочным модулем. Вследствие конечных характеристик жесткости обрабатываемого тела при действии сил резания, возмущающих факторов возникают его колебания, влияющие на точность формообразования, что необходимо учитывать при выборе режимов обработки. Осуществить это можно с помощью математического моделирования данного процесса. При математическом моделировании поведения вращающихся на опорах кольце, оболочке необходимо учитывать прецессию возбужденной действием внешних сил стоячей волны. В работе [1] приведено доказательство, что во вращающемся на опорах кольце, уравнения для которого получены на основе гипотезы растяжимости средней линии, стоячие волны могут прецессировать с угловой скоростью вращения кольца. В данной статье приведено доказательство, что в оболочке, уравнения для которой получены на основе гипотез Кирхгофа-Лява с учетом растяжимости срединной поверхности прецессия стоячей волны также может происходить с угловой скоростью вращения оболочки.
Полунин Александр Иванович, кандидат технических наук, профессор кафедры программного обеспечения ЭВМ. E-mail: [email protected]
Получим уравнения, описывающие поведение оболочки. Для этого зададим декарто-ву систему координат X], У], Z^. Ось О ¡У] является осью вращающейся оболочки. Для задания положения точек отсчетной поверхности оболочки, в качестве которой используем срединную поверхность, зададим цилиндрическую систему координат в, г, У, где в - угол, задающий положение точки на отсчётной поверхности относительно вертикали в начальный момент времени, г - радиус оболочки, У -линейная координата вдоль оси оболочки, совпадающая с осью У;. Начало системы координат находится в центре оболочки. Длина ее а, толщина к. Перемещения точек отсчетной поверхности оболочки в процессе деформации в направлении радиуса г, координаты У и касательной к поверхности оболочки обозначим соответственно и0(в), Ж(в), У(в). Кроме линейных перемещений и0, Ш, V точек отсчётной поверхности деформированной оболочки зададим угловой поворот у (в) образующей оболочки в плоскости, проходящей через радиус г и ось У. Такое задание деформации позволяет учесть различные перемещения точек оболочки при изменении координаты У, а так же наличие опор. В этом случае радиальное перемещение и точки отсчётной поверхности, заданной координатами в и У, имеет вид
и (0, у ) = и (е)+у (0)У. (1)
Величины линейных перемещений точек отсчетной поверхности оболочки и угловой поворот образующей зададим в виде рядов Фурье
и0 = ао + 2ашСО8(г(0 + фш^ +^¿>4/(0 + ^.))
1=1 /=1
(2)
N N
V = 2а*со8(/(0 + фи)) + 2Ь. ып(1(0 + (рпУ)
(3)
N N
Ж = 2 аш 008(/(0 + ф )) + 2 Ьш ^ОХ0 + ф ))
/=1 /=1
(4)
N N
7 = 2ап ОО8(г(0 + фп)) + 2Ьп 8т(/(в + фу))
/=1 /=1
(5)
• а а. Ь . а, Ь,„ а . Ь
шг , V/ , . ш .
ал ЬР
получении дифференциальных уравнений с помощью формализма Лагранжа. Для этого кинетическую энергию оболочки определяем по формуле [2]:
а
2п 2
1 ¿л 2
т = - | + ОГ0 + 0 и )2
о _ а -2
\2 , Т/ 2п
+(и _QV)2 + Ж ]ё0ёУ
(8)
где /ло=грок; р0 - удельная плотность материала оболочки, а потенциальную в соответствии с гипотезами Кирхгофа-Лява [3]:
Здесь: ^о, . обобщенные координаты - неизвестные функции времени I, которые надо определить, задают амплитуду колебаний; фшг, фш, фп - неизвестные функции времени, задающие прецессию стоячих волн, подлежащие определению; N - число учитываемых слагаемых ряда Фурье.
Примем, что оболочка касается опорных роликов по всей длине своих образующих, т.е. опорные ролики выставлены без ошибок. Тогда условиями, накладываемыми на обобщенные координаты оболочки, является равенство нулю радиальных перемещений и в точках опор, равенство нулю перемещений V в точках опор, а также равенство нулю перемещений оболочки Ж в направлении оси У в точках опор. Так как оболочка вращается, то координаты в точек оболочки, в связанной с ней системе координат, находящихся на опорах, определяем зависимостями п - а - для одной опоры и п + а - для второй. Здесь О - угловая скорость вращения оболочки; 2а - угол между опорами. Таким образом, в точках опор имеем условия связи
и{п_а_0х, У) = 0, и{п + а_0х, У) = 0,
V (п_а_0) = 0, (6)
V (ж + а_Пг) = 0, Ж(ж_а_Пг) = 0, Ж (ж + а_0) = 0. (7)
Выполнение этих условий для любого значения времени 1, для любого значения координаты У для перемещения и, а также для перемещений V, Ж дает восемь условий связи на обобщенные координаты, описывающие динамику оболочки, и, соответственно, восемь неопределенных множителей Лагранжа, используемых для учета условий связи при
а к 2п 2 2
П =111 (а0£0 + ау£у + а0у£0у )й2й0йУ
(9)
0 а _ к 2 2
где ав, оу - напряжения по координатам в, У соответственно; аву - напряжение в плоскости вУ; ев, еу - деформации по осям в, У соответственно; еву - сдвиг в плоскости вУ.
В полученных зависимостях фигурируют неизвестные функции фы (1) , ф^ (1), ф^ (), Фш (1), задающие прецессионное движения стоячих волн в оболочке. От вида этих функций зависит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение вращающейся оболочки на опорах. Для выяснения характера прецессионного движения стоячих волн докажем следующее утверждение: при возникновении периодических колебаний во вращающейся с постоянной угловой скоростью на двух параллельных опорах оболочке с растяжимой срединной поверхностью прецессия волн Фш, ), Фп(*),ф*((), фщ (*) (/=1,2,.. .Ю может происходить с угловой скоростью вращения оболочки.
Доказательство. Для получения зависимостей, описывающих изменение этих функций в соответствии с законами механики, будем рассматривать их как ещё одни координаты, меняющиеся во времени, задающие поведение системы. Тогда в соответствии с вариационными принципами механики в реальном движении будут реализовываться такие функции фш/ (0, фи-(0,ф*(0, фш,(() (/=1,2,...,Щ, что действие по Гамильтону будет иметь экстремум. Поведение их описывается дифференциальными уравнениями. Для получения их можно воспользоваться вариационным принципом
Гамильтона, но с точки зрения объема требуемых выкладок более рациональным является использование уравнения Лагранжа второго рода. Таким образом, нахождение закона прецессии стоячих волн в оболочке сводиться к нахождению дифференциальных уравнений для функций, задающих эту прецессию. Обобщенными переменными, описывающими поведение оболочки, будут
а0
?
а .,Ь .,а .,Ь .,а .,Ь .,а .,Ь ,ф ,ф ,ф .,ф (! - 1,2,...,N). Дифференциальные уравнения для
а0, аиу, Ьп] ,ф» (7=1,2,-. .Д) в соответствии с уравнением Лагранжа второго рода и условиями связей имеют вид:
2v 0па0 + (4п82 - 2v 0пП2) а0 - 2v 0пг0П2 = X? + X пу 0 а + Я Л/ + 27фиА - -
- (П2 + ]2Ф2; )аи; ] +
+у0 П
-2а./фК - 2Ь.КУ + п[2(82 +
V/ 1
+^ !4 -$0.7X + (^ -^ ] + +(^ - ¿8 73) - X? с°з( 7(п -а-П + фщ)) -
+Х? соб( 1 (п + а - П + ф .)),
(10)
™0[Ьи; -]фи]ащ -2]фщащ -Т.Ыри + +2Па.1фС - (П2 + /2ф2 )Ь» ] +
+у0П[-2Ь//К7 - 2аК ] + п[2(^2 + +8б14 -$0.72)Ьщ + (^3 - ^/ ]+ +(^ - ¿8 73)КЬ - X? 81пС/(п - а - П + фИ/)) -
+Х? мЩ(п + а-П + ф .)),
(11)
пу,
[] +27 Чаа + ] 2фчК + +2 7 ЧАА+2П/•c;'vаИ]Ьv] - мс +
+7 - 7 - 2П72фСьА -
-2П7^С-аа]+ V0П[2у 2фчаи]ЬчКУ --2 7 'фмЬК - 2}К':ЬХ - 2^™ О..*
ГЧ V и 1
+п
7 » У7 +
:[(^ - ^3) !СиУача1
+(84 7 - 88.73) 7С;ЬА ] - ( 847 - 73) jaujЬvjK'
3 - 847 МК-Ь* -
= Х? [-аuj 7 ^С/(п -а-П? + Фuj )) + +Ьu/j С0»(7(п - а - П + фи ))] +
+Х 2 [-aujj ^С/(п + а - П + Фuj )) +
+Ьu/j С0»(7(п + а + фи ))] .
(12)
Здесь X?(г - 1,2,...,8) - неопределённые множители Лагранжа. Система является матричной системой линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которой зависят от параметров оболочки и номера обобщенной координаты 7, по которой осуществляется дифференцирование для получения уравнений. Анализ уравнений (10) - (12) показывает, что
уравнение (12) для ф может быть получено путём умножения уравнения (10) для auj на переменную Ьщ, вычитания из этого произведения уравнения (11) для Ьщ , умноженного на
auj, и умножения этой разности на 7. Отсюда следует, что дифференциальное уравнение для фuj является комбинацией дифференциальных уравнений для а» и Ь». Значит, решение
дифференциального уравнения для фщ является комбинацией решений дифференциальных уравнений для ащ, Ьщ . В уравнения для
а», Ьщ входят функции ф» , отсюда следует, что они могут быть произвольными. Будем рассматривать установившиеся периодические колебания оболочки, которые могут возникнуть вследствие действия возмущений. В этом случае дифференциальные уравнения (10), (11)
для ащ, Ьщ должны быть линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Из этого условия найдём
зависимости для ф» . Для того, чтобы коэффициенты в дифференциальных уравнениях были константами необходимо, чтобы фuj были константами. Другим условием для определения <Puj является условие, что прецессионное движение волн фщ осуществляется только внутри диапазона углов, ограниченного опорами. В случае, если фщ константы, это может быть
только при фuj - ^ (7=1,2,.,.,Д). Тогда в условиях связи (6), (7) а также у множителей перед неопределенными множителями Лагранжа в уравнениях (10), (11) аргументы под знаком синуса и косинуса являются постоянными коэффициентами, т.е.
п_а_01 + фш]. = ж_а,ж + а_01 + фш/ = п + а, ж_а_01 + ф, = п_а, ж + а_01 + ф, =п + а.
Поэтому система уравнений (10), (11) вместе с условиями связи является системой уравнений с постоянными коэффициентами, имеющей периодические решения. Осуществляя аналогичный анализ для уравнений, описывающих
поведение переменных avj, bvj, ау , Ьу, awj,
Полученный результат может использоваться для получения дифференциальных уравнений, описывающих поведение вращающихся на опорах оболочек, колец при внешних сил, применяемых при математическом моделировании динамики таких объектов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Полунин, А.И. О характере прецессионного движения стоячих волн во вращающемся кольце с опорами / А.И. Полунин // Известия ВУЗов. Машиностроение. 2008. №10. С. 27-33. Журавлёв, В.Ф. Волновой твердотельный гироскоп / В.Ф. Журавлёв, Д.М. Климов. - М.: Наука, 1985. 126 с.
Аксельрад, Э.Л. Гибкие оболочки / Э.Л. Аксель-рад. - М.: Наука, 1976. 376 с.
2.
3.
Ьщ , получим так же, что ф, = фу] = ф щ = О, (/
= 1,2,...Д).
Выводы: доказано, что в случае возникновения во вращающейся оболочке стоячих волн их прецессионное движение может происходить с угловой скоростью вращения оболочки.
ABOUT DYNAMICS OF PRECESSIONAL MOVEMENT OF STANDING WAVES IN THE SHELL ROTATING ON SUPPORTS WITH EXTENSIBLE MEDIAN SURFACE
© 2010 A.I. Polunin Belgorod State Technological University named after V.G. Shuhov
In paper on the basis of analysis of mathematical model of dynamics of Kirhgoff-Lyave type shell rotating on support with an extensible median surface the demonstration of precessional movement properties of energized standing waves is resulted. It is shown, that speed of precession can be equal to speed of shell rotating on support that it is necessary to consider at mathematical modeling of its behaviour.
Key words: dynamics of rotating shell with support, standing wave, precessional movement of a wave
Alexander Polunin, Candidate of Technical Sciences, Professor at the Computer Software Department. E-mail: [email protected]
