CC BY
34
№ 10
2008
624.07:534.1
О ХАРАКТЕРЕ ПРЕЦЕССИОННОГО ДВИЖЕНИЯ СТОЯЧИХ ВОЛН ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ КОЛЬЦЕ С
ОПОРАМИ
Канд.техн.наук, доц. А.И.ПОЛУНИН
. При использовании гипотезы нерастяжимой средней линии получены зависимости для определения закона прецессионного движения стоячей волны во вращающемся кольце с опорами. Использование этого результата позволяет правильно учесть в динамике кольца наличие стоячих воли.
При вращении упругого кольца в нем возникает прецессия возбужденных стоячих волн. Закон движения их в свободном кольце рассмотрен в [1-3]. Наличие опор у вращающегося кольца существенно влияет на характер прецессии. В [4] получены уравнения, описывающие динамику вращающегося на двух опорах кольца, при использовании высказанной автором гипотезы о характере прецессионного движения стоячей волны. Ниже приводится доказательство правильности этой гипотезы.
Введем неподвижную систему координат ОХн, точка О которой находится в центре недеформированного кольца, и подвижную ОХ с , жестко связанную с кольцом. Положение оси ОХс относительно ОХИ задаем углом где О - угловая скорость вращения кольца, - величина постоянная; I - время. Положение точек средней линии деформированного кольца в связанной с ним системе координат определяем координатами V, V в локальной системе координат, задаваемой углом 0 относительно оси ОХ(\ Радиальное перемещение точки средней линии кольца зададим в виде
и(о +ф, т+X ь> (о +Ф, ш« (1)
где а} (/) 5 (/)- неизвестные функции времени, подлежащие определению; ф/(0 - неизвестная функция, задающая характер прецессии стоячей волны; N - число учитываемых гармоник.
28 Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ
№ 10 , 2008
Величину тангенциального перемещения точек средней линии кольца находим из условия нерастяжимости средней линии. В этом случае связь между координатами U и V определяется зависимостью [1]
{r0 + V' + V'f+(V-U'f=rl (2)
где г() - радиус кольца.
Из этого выражения получим известную более простую приближенную формулу
к; = -ч/, или vp = - |ш9, (3)
где индекс р означает приближенное значение V.
Оценим погрешность в определении V, получаемую вследствие такой замены, для одной формы колебаний. Будем считать, что перемещение оболочки по координате U описывается формулой
U = acos(¿0)
Тогда U* = —aks\n[kfá\. Подставив эту зависимость в (2) получим дифференци-
альное уравнение
с1У Г? ггл2
Решение его даст точное значение координаты V . Приближенное значение в этом
Jr*-(V-U'f-r0-U
случае определяем по (3)
У„ = ~яп (И).
В таблице представлены результаты расчета относительной погрешности в процентах определения координаты V по приближенной формуле (3) в сравнении с точной (2) в зависимости от угла 0 в градусах для разных значений радиуса г0 и для номера гармоники к = 1. Величина амплитуды а = 0 ,1м.
№ Ю
2008 Таблица
Погрешность определения координаты
Радиус г0. м Погрешность % 0, градусы
0 90 180 270 360
1 V - Ур " 100 V 3-10"' 3 -10"' 4 -10~2 -3-Ю"1 -5-КГ2
о J V - V '100 V МО"3 3-Ю-1 МО"2 -3-Ю"1 ~ 7 -10 ~2
Из таблицы видно, что погрешность составляет долю процента. Поэтому вместо точной формулы можно использовать приближенную (3). В этом случае получим
V = -Z-sln(/(e + ф,т + Z-cos(7(0 + 4(0)).
/=! / /=| 1
Для доказательства утверждения о характере прецессионного движения стоячей волны будем рассматривать функции Ф/(0 (i = 1, 2. N) как еще одни координаты. определяющие наряду с координатами ^/(0 (i = 1, 2, ..., yV)? динамику кольца.
Для получения уравнений поведения кольца используем уравнение Лагранжа второго рода
dt
дТ
\
v ;
дТ до
3q. dq.
/= i
./ 1)
где Ту О, - соответственно кинетическая и потенциальная энергия кольца; (Зь р2 -неопределенные множители Лагранжа,
/ - компонента вектора {а\ ... #д/ 6] ... ¿д/ Ф] ... Фдг ]; е/у - производная 1-го уравнения связи по координате # /.
Кинетическую и потенциальную энергию вращающегося кольца вычисляем соответственно по формулам
30
Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ
№ 10
2008
Т = (у + о г + П&У + (и - п V У
г/0
К)
о
2г
2 Ж
0
А
¿7
V
94/
ае:
¿/е
где г - радиус средней линии; Р - плотность материала кольца; Е — площадь поперечного сечения кольца; Е - модуль Юнга; ,7 - осевой момент инерции сечения кольца. Точка означает дифференцирование по времени. Производные по обобщенным скоростям и времени имеют вид [4]
дт _
да.
дТ
_
/
щ.
щ.
'.¡а.! +
К.ф
\
1Г1
ъ.
./ )
V ]
а^СР;
дТ дф,
КХ
Kj.dj.bj - К : + I¡а]ф; + /,
ф —?оа - 90/г гг; ' 'Г)*} ■ - >
^дт}
СГа1+К]ф1Ъ1 +
20
Ъ.
./ )
Ж
4**7 У
-К ф а. +
]г) ./
2 О
V . /'
)т ]
а1 + СД.
а
сП
дт
л
Vе1 ^./У
К}а]Ъ] - К}Ъ¡а . + 2/.д.а,.^. +
9 -. " 2 *■
+ /уй^ф ; + 21 ¡Ь ¡Ь ;-ф ; +1¡Ь/ф / - 4Пс/ :а 7- - 4Г>/)
.Г'.Г .ГП ' '7' 7 ■ ./
7 7
7 7 ]
гдеХ = ^, ^-=./ + 1/,/, С^ = 1 +1 / у 2, +
Производные кинетической энергии по обобщенным координатам имеют вид:
•2
эг
Эа,
/ А
+с, п2
а1 +
ъ,
№ Ю
2008
дТ_
ЗА,
= ЛХ
2Q
v 'TJ J J
aJ +
э т
э Ф,
о
]а
db
/ j
Ж
5 Зф;
О ,
где \х = Ю I г* , 77У-/~/.
Уравнениями связи является равенство нулю перемещений по координате V в точках опор
N N
cos(z(7E - a-Qi + ф/)) + sin(/(ft- a-Qt + ф/)) = О ы /=1
N N
af cos(/(tt + a - Qi + ф,)) + ^ bi sin(z(7t + a - Qt + ф/:)) = 0 _
/-I /=i
Здесь 2a - угол между опорами.
Производные этих условий по координатам дают зависимости
е1а = cos(у (тт - a - О/ + фу )), е2а = cos(y (я + a - Q/ + фу- )),
elb = sin (у (я - a - Qt + Фу)), e2b -sin(;(n + a~Q/ + (py
(4)
(5)
lcp
= - jo j sin (у (я - a - Qt -f ф j ))+ jb j cos (/(я - a - Qt + ф y )),
е7ф - ~]а I (тг + а — О/ + ф у))+ у'бу со5(у (я + а - О/ + фу )).
Используя полученные зависимости, запишем дифференциальные уравнения поведения кольца с опорами
(
С ¡a j +
2К ;ф
4D
\
JJ
• ?
bj + \у/7у - /уфу + 40ф I - С ;Q ]b I + К 7ф
j j rj J • J J
X| cos(y (я - a - Q/ + ф ;))+ X,2 cos(yt71 + a - Qi + ф 7- ))
(6)
¥
2K ; ф
J J
2*2 * о
a j - К уф jCij + n,j - //Фу + 4Пф , — С ¡Q
4Q
I J
Xj sin (/(я - a - Qr + ф -))+ X2 sin(y(ft + a - Q/ + фу)),
j J r J
C; a +
4Q
2*/Ф/----
Л ,- г А' ,-ф ¡b j
52
Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ
№ 10
2008
Cjbj +
4Q
: 2 А" -(р
/ ^ j
aj "
а
sin (/(я - а - П/ + ф •)) + cos / я -- а - Q/ + <р
\\ t ( \ \
))+ bj cos j я + a fi / + (p ;
\ ^ ' J J
где У ~ Ц / X , >Ч=Р)/71:Х,
Анализ данной системы уравнений показывает, что уравнение (8) для Ф/
может оыть получено из
(6) и (7) для ah bj (у = К 2, N) путе?
ем умножения
уравнений (6) на Ь,, уравнений (7) на а/, вычитания из первого произведения второго и умножения результата на j . Отсюда следует, что решению системы (6), (7) для сг j, 6j (j= 1, 2, А'') удовлетворяет любая функция ф, задающая прецессию стоячей волны во вращающемся кольце с опорами. Для уточнения характера этой функции рассмотрим систему дифференциальных уравнений (6), (7) для коэффициентов о Д/)5 которая решается совместно с условиями связи в точках
опор (3), (4). Данная система будет задавать периодическое решение, соответствующее установившемуся колебанию кольца, только в том случае, если коэффициенты ее будут константами. Коэффициенты перед ¿у, bj будут константами в том
случае, если Ф/ является константой. Тогда коэффициент ^ j Ф j =0, а уn~j - у + 4Q(p j - С j€l~ будет константой для любого /. Другим условием для определения ф у является условие прецессионного движения стоячей волны внутри диапазона углов, заданных положением опор. Это будет при Ф j = const в том
только случае, если ф / = f2 (/-l,2,...,iV). Тогда
Фу = fit, я + а - fit + фу = 71 + а , я - а - fit + Ф / = я - а и система уравнений (6), (7) является линейной с постоянными коэффициентами.
Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ 33
№ 10 2008
Таким образом, доказано, что при возникновении во вращающемся кольце с опорами установившихся периодических колебаний прецессия стоячей волны может происходить с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения кольца.
Аналогичные результаты автор получил и для вращающейся на двух опорах оболочки с не растяжимой и растяжимой средней линией.
Также было получено доказательство, что кроме рассмотренного выше установившегося прецессионного движения возбужденной стоячей волны во вращающемся кольце с опорами может существовать периодическое прецессионное движение с частотой, равной первой собственной частоте колебаний кольца, обусловленной наличием опор.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Волновой твердотельный гироскоп. - М: Наука, 1985. -125 с.
2. Журавлев В. Ф.; Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний.- М.: Наука, (988. -326 с.
3. Басараб М. А., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Математическое моделирование физических
процессов в гироскопии.-- М.: Радиотехника, 2005. -3 i 2с.
4. Полунин А. И. Математическое моделирование динамики упругого вращающегося кольца при наличии двух опор.// Известия РАН. МТТ. 1999,- №6.......С. i 53 - ! 58.
620,9:662.92
ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ МАШИН И МАШИННЫХ АГРЕГАТОВ
Канд.техн.наук, доц. II М. БЫКОВ, д-р.техн.наук, проф. Г. И.ШАРОВ
Проанализированы существующие методы защиты деталей от износа, направленные на энергосбережение машин и машинных агрегатов. Проведён анализ традиционных методов. Предложен наиболее оптимальный вариант повышения энергосбережения, позволяющий при введении в зону контакта серпентина-магниевого со-
