CC BY
16В случае выпуклости множества достижимости Си управление обладает единственной оптимальной стратегией. Конечность спектра смешанной стратегии возмущений позволяет в реальном времени провести второй этап задачи максиминного тестирования на компьютерном либо динамическом стенде [14] и вычислить качество предложенного алгоритма робастной стабилизации.
Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по договору № 11.034.31.0054 и контракта ФЦП № 11.519.11.2045. спжюк ЛИТЕРАТУРЬ1
1. Александров В.В., Лежа к С.С. Тестирование качества полуавтоматической стабилизации аэрокосмического полета как третий уровень управления динамическим имитатором // Теоретическая механика. М.: Физматлит, 2003. 202-210.
2. Лемак С. С. Тестирование точности причаливания устройства спасения космонавта // Авиакосм, приборостроение. 2004. № 5. 38-41.
3. Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. № 3. 51-54.
4. Александров В.В., Герра Л., Каленова И.Н., Трифонова A.B. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 5. 58-65.
5. Садовничий В.А., Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С.С. Смешанные стратегии в задаче максиминного тестирования качества робастной стабилизации // Дифференц. уравнения. 2009. 45, № 12. 1787-1793.
6. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.
7. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх, I // Докл. АН СССР. 1967. 174, № 6. 1278-1280.
8. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх, II // Докл. АН СССР. 1967. 175, № 4. 764-766.
9. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.
10. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
11. Александров В.В., Влаженнова-Микулич Л.Ю., Гутиерес-Ариас Н.М., Лемак С. С. Максиминное тестирование точности стабилизации и седловые точки в геометрических играх // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 1. 43-50.
12. Садовничий В. А., Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С. С. Максиминное тестирование качества управления устройством спасения космонавта // Математические вопросы кибернетики. Вып. 16. М.: Физматлит, 2007. 2330.
13. Садовничий В.А., Александров В.В., Лемак С.С. Тестирование точности стабилизации стохастических управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1999. 35, № 5. 1-8.
14. Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С. С. Смешанные стратегии тестирования в задачах проверки качества работы алгоритмов стабилизации // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 50-53.
Поступила в редакцию 06.07.2012
УДК 532.546
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ПРИ ОКОЛОКРИТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
A.A. Афанасьев1, О. Э. Мельник2
В работе дается обзор современных подходов к моделированию многофазных течений в пористой среде. Проводится анализ математических проблем, возникающих в задачах численного моделирования фильтрации при околокритических термодинамических условиях. Обосновывается использование энтальпии вместо температуры в качестве одной из независимых переменных для эффективного расчета фильтрационных течений при околокритических условиях.
1 Афанасьев Андрей Александрович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. общей гидромеханики НИИ механики МГУ; вед. инж.-расчетчик ЗАО "Т-Сервисы", e-mail: afanasjevQyandex.ru.
2 Мельник Олег Эдуардович — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. общей гидромеханики НИИ механики МГУ; науч. рук. центра вычислительной экспертизы "Т-Сервисы", e-mail: 01eg.MelnikQt-services.ru.
Ключевые слова: пористая среда, многофазное течение, термодинамика, критическая точка, численное моделирование.
We examine modern modelling approaches for multiphase flows in porous media. We analyse mathematical challenges in numerical simulations of flows in porous media under critical thermodynamic conditions. We propose enthalpy instead of temperature as a primary simulation variable for effective simulations of the flows under critical conditions.
Key words: porous media, multiphase flow, thermodynamics, critical point, numerical simulation.
1. Введение. Численное моделирование фильтрации востребовано в широком круге задач рационального природопользования. Математически обоснованный анализ подобных течений необходим для прогнозирования и оптимизации различных показателей эксплуатации недр Земли [1]. Моделирование фильтрации осложняется тем, что течения могут сопровождаться фазовыми превращениями, т.е. перераспределением компонентов смеси между фазами. Например, возможны испарение или конденсация воды при производстве геотермальной энергии [2] или растворение легких углеводородных компонентов (метан, этан и т.д.) в нефти при разработке месторождений углеводородов [3, 4]. Одна из наиболее сложных проблем связана с моделированием течений в окрестности критических термодинамических условий [2], в частности в окрестности критической точки воды, где быстрое изменение свойств среды может приводить к неустойчивости вычислительных алгоритмов.
Для моделирования неизотермических фильтрационных течений в пористой среде широко используются модели, в которых свойства флюида задаются при помощи конечных соотношений — уравнений состояния. Подобные модели применяются для описания двухфазных течений воды и пара [2] или двухфазных течений воды и углекислого газа [5], течений с фазовым переходом газ-гидрат [6], а также для сопровождения проектов разработки месторождений углеводородов (модель "черной нефти") [1]. Преимущество подобных моделей заключается в относительно простом способе расчета свойств флюида: все его параметры определяются явным образом. Существенный недостаток моделей обусловлен тем, что они описывают фильтрацию только в узком диапазоне термобарических условий, вне которого свойства флюида уже не могут быть выражены простыми соотношениями. Для исследования течений в широком диапазоне термобарических условий используются более сложные модели, в которых свойства фильтрующейся смеси рассчитываются при помощи, например, кубического уравнения состояния, — композиционные модели фильтрации [3, 7]. Они позволяют описывать течения при до- и закритических термодинамических условиях. В рамках данных моделей могут быть исследованы сложные нелинейные эффекты, например связанные с ретроградной конденсацией [3].
Недостаток композиционных моделей заключается в том, что с помощью кубического уравнения состояния свойства среды можно явно вычислить только в переменных давление-температура [3]. В связи с этим данные переменные используются в большинстве работ по композиционному моделированию фильтрации, а альтернативные наборы независимых переменных применяются крайне редко [8].
В настоящей работе показано, что расчет фильтрации в переменных давление-температура при околокритических условиях может вызвать значительные затруднения. Без ограничения общности рассматривается случай однокомпонентной двухфазной фильтрации в окрестности критической точки. Данный случай соответствует, например, фильтрации воды и водяного пара при получении геотермальной энергии [2] или фильтрации диоксида углерода в сжиженном и газообразном виде в задачах подземного захоронения углекислого газа [5].
2. Замкнутая математическая модель. Для моделирования неизотермической фильтрации од-нокомпонентного флюида широко используется следующая система уравнений, состоящая из законов сохранения массы и энергии и закона фильтрации Дарси [9]:
д
— (mR) + divQ = 0; (1)
д
— (mRe + (1 - m)pses) + div (Qe - Xm grad T) = 0; (2)
R = P1S1 + P2S2, Re = PieiSi + p2e2S2] (3)
Q = piwi + P2W2, Qe = pihiwi + p2 h2W2; (4)
wi = -K — (grad P - pig). (5)
Здесь т — пористость, К — плотность флюида в многофазном состоянии, Ке — плотность внутренней энергии флюида, С^ — поток массы, — конвективный поток энергии, е — удельная внутренняя энергия, Н — энтальпия, Ат — эффективный коэффициент теплопроводности насыщенной пористой среды, Т — температура, р — плотность, в — насыщенность фазы, ш — скорость фильтрации, К — проницаемость, / — относительная фазовая проницаемость [1], ^ — вязкость, Р — давление. Для простоты дальнейшего рассмотрения в уравнениях (1)-(5) пренебрегаем эффектами, связанными с силой тяжести ^ = 0), и капиллярным давлением. Предполагается, что пористая среда несжимаемая. Индекс г = 1, 2 соответствует
в
Второй член в первом слагаемом закона сохранения энергии (2) есть внутренняя энергия пористой среды, а второй член под знаком дивергенции описывает перенос тепла из-за теплопроводности. В соответствии с законом фильтрации (5) течение происходит из области высокого давления в область низкого давления, причем каждая фаза движется со своей собственной скоростью т.е. используется многоскоростная математическая модель.
Для насыщенностей фаз выполняется соотношение
в1 + в2 = 1. (6)
В случае однофазного течения для системы (1)-(5) имеем в1 = 1, в2 = 0 или в1 = 0 в2 = 1, а в случае двухфазного течения 0 < вг < 1, г = 1, 2.
Для замыкания уравнений (1)-(6) необходимы соотношения, определяющие теплофизические свойства фаз. При исследовании фильтрации часто используется подход, при котором свойства каждой фазы
РТ
р(Р,Т), ^(Р,Т), е(Р,Т), Н(Р,Т) = е(Р,Т)+ Р/р(Р,Т). (7)
В соответствии с работой [9] каждая функция (7) является двулистной. Две ветви функций определяют свойства жидкой и газообразной фаз флюида.
В случае двухфазной фильтрации кроме соотношений (7) также должно быть задано условие термодинамического равновесия, определяющее зависимость температуры кипения Tf от давления:
Т = Tf (Р). (8)
В областях двухфазной фильтрации имеем замкнутую систему (1)-(8), а в областях однофазной фильтрации — уравнения (1)-(7) и дополнительное условие в1 = ^и в2 = 1 [2].
3. Численное моделирование фильтрации при критических условиях. Назовем независимы-
()
значения плотностей К, Ке и потоков С^, в любой точке пространства г. Для сформулированной выше модели (1)-(7) в качестве независимых переменных в области однофазных течений можно выбрать давление Р и температуру Т (X = {Р, Т}), а в области двухфазных течений — давление Р и насыщенность одной из фаз вг (X = {Р, вг}) [2]. В данном подходе численное моделирование фильтрации осуществляется с помощью переключения вектора независимых переменных при изменении числа фаз в термодинамическом равновесии флюида.
Для моделирования фильтрации часто применяются полностью неявные конечно-разностные схемы, обеспечивающие надежную сходимость вычислительных алгоритмов при относительно больших шагах по времени. В этом случае численное моделирование сводится к решению множества систем линейных алгебраических уравнений, у которых элементы матрицы прямо пропорциональны частным производным плотностей и потоков по независимым переменным моделирования X [1]:
ав дЯе щ Ще
ОХ' ОХ' ОХ' дХ' и
Если в расчете производные (9) неограниченно возрастают (стремятся к бесконечности), то вычислительный алгоритм не сходится при любом, в том числе и бесконечно малом (стремящемся к нулю), шаге по времени. Это объясняется тем, что в данном случае матрица системы линейных алгебраических уравнений будет иметь стремящиеся к бесконечности элементы. Следовательно, в случае общего положения число обусловленности матрицы также будет бесконечно большим, что приведет к отсутствию сходимости численного решения соответствующей системы линейных уравнений, а значит, к отсутствию сходимости метода расчета фильтрационного течения в целом.
Рассмотрим случай однофазной фильтрации в окрестности критической точки, в которой в соответствии с законами термодинамики [3] выполняется условие
дрг
дР
^ ж. (10)
т
Так как плотности Я, Яе и потоки С^, (5е прямо пропорциональны плотности фазы рг то, согласно (10), производные
дЯ дЯе Щ Ще
в критической точке не ограничены. Следовательно, традиционный подход к численному моделированию фильтрации, в котором независимыми переменными являются давление и температура [1, 2, 5, 6], не может применяться для расчета фильтрации при критических условиях, так как в критической точке уравнения фильтрации вырождаются.
Чтобы обеспечить надежную сходимость вычислительных алгоритмов в окрестности критической точки, необходимо выбрать независимые переменные X таким образом, чтобы производные (9) были конечными во всей области термодинамических условий, в том числе и в критической точке. Покажем, что набор независимых переменных давление-энтальпия X = {Р, Ь] удовлетворяет данному требованию. В областях однофазной фильтрации энтальпия Ь определяется соответствующей функцией из (7), а в областях двухфазной фильтрации Ь есть осредненная по фазам удельная энтальпия
_ рфгвг + р2/?-2^2
РьЧ + Р2«2
Согласно законам термодинамики, частные производные функций р(Р,Ь), в(Р,Ь), Т(Р,Ь) остаются ограниченными при любых физически осуществимых термобарических условиях, в том числе и в критической точке [3]. Следовательно, на основании (3), (4) в областях однофазной фильтрации производные от плотностей и потоков (9) также ограничены, что обеспечивает сходимость численного решения. В областях двухфазной фильтрации плотности и потоки зависят от насыщенностей вг(Р, К), производные которых не ограничены в критической точке. Действительно, если термобарические условия приближаются к критической точке, то параметры фаз стремятся друг к другу: р2 ^ р\, &2 ^ Ь2 ^ Ь\, ц,2 ^ а производная дв1/дЬ, согласно (6), (11), стремится к бесконечности:
двг (р1в1+р2в2)2 ^ .
— оо. (12)
дЬ р1р2 (Ь2 — Ь1)
Покажем, что, несмотря на стремление производной (12) к бесконечности, производные от плотностей и потоков (9) остаются конечными. Не ограничивая общности, покажем это на примере функции Я(Р, К). Учитывая (6), (12), имеем
дЯ _ дЯ двх _ + р2$2 р2 р! ^ дН двх дН р\р2 Л-2 — Л-1 '
где
^ дЯ др\ дЯ др2 др1 дЬ др2 дЬ
Первый член в правом выражении для производной (13) конечен, так как величина (р2 — рг)/(Ь2 — Ь1) остается конечной, в том числе и в критической точке [3]. Второй член О также ограничен из-за свойств функции р(Р, К) в критической точке (см. выше). Таким образом, производная дЯ/дЬ ограничена при лю-
Яе
С^, (5е, если § = 0, а фазовая проницаемость / в окрестности критической точки равна соответствующей
насыщенности вг [10]. Если § = 0, то для ограниченности производных от конечно-разностных аппрок-
е
вида для второго члена в скобках в законе Дарси (5).
= {Р, Ь] = { Р, Т]
фильтрацию при критических условиях. Более того, они описывают как однофазные, так и двухфазные состояния флюида, поэтому при численном моделировании фильтрации нет необходимости в переключении вектора неизвестных {Р,Т] о {Р,в].
Заключение. Численное моделирование фильтрации в переменных давление-температура неэффективно. Использование данного набора переменных приводит к вырождению уравнений фильтрации при околокритических термодинамических условиях. Если вместо температуры в качестве независимой переменной выступает энтальпия, то вырождение уравнений отсутствует.
Отметим, что композиционное моделирование фильтрации в переменных давление-энтальпия технически сложнее реализовать, так как требуется привлечение вложенных итерационных процедур или нетрадиционных новых алгоритмов расчета теплофизических свойств флюидов. Разработка подобных алгоритмов позволит расширить возможности численного моделирования фильтрации при околокритических условиях.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (контракт № 07.514.11.4157).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Aziz К., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. L.; N.Y.: Applied Science Publishers, 1979.
2. Pruess K., Oldenburg C., Moridis G. TOUGH2 user's guide. Version 2.1. Report LBNL-43134 (revised). Berkeley, Calif.: Lawrence Berkeley National Laboratory, 2011.
3. Брусиловский А.И. Фазовые превращения при разработке месторождений нефти и газа. М.: Грааль, 2002.
4. Salimi Н., Wolf К., Braining J. Negative-saturation approach for compositional flow simulations of mixed C02/water injection into geothermal reservoirs including phase appearance and disappearance // SPE J. 2012. 17, N 2. 502-522.
5. Pruess K., Spyeher N. EC02N — A fluid property module for the TOUGH2 code for studies of C02 storage in saline aquifers // Energy Convers. and Manag. 2007. 48, N 6. 1761-1767.
2
and Eng. 2012. 15, N 1. 98-108.
7. Voskov D., Tchelepi H. Compositional space parameterization: multi-contact miscible displacements and extension to multiple phases // SPE J. 2009. 14, N 3. 441-449.
8. Kipp K., Hsieh P., Charlton S. Guide to the revised ground-water flow and heat transport simulator: HYDROTHERM. Version 3 // U.S. Geological Survey Techniques and Methods. 2008. 6-A25.
9. Афанасьев А.А. Об одном представлении уравнений многокомпонентной многофазной фильтрации // Прикл. матем. и механ. 2012. 76, вып. 2. 265-274.
10. Seheehter D., Haynes J. Relative permeabilities of a near critical binary fluid // Transp. Porous Media. 1992. 9, N 3. 241-260.
Поступила в редакцию 10.10.2012
