CC BY
8поскольку величина vd2и/ду2 + V0 ди/ду является функцией неизвестной переменной у, тогда как (1/р)др/дх — функция х. Очевидно, условие (17) выполняется в том случае, когда давление удовлетворяет условию (4) или p = const. Во всех остальных случаях указанный подход к решению задачи не позволяет получить решение системы (1) с разными типами граничных условий.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Щербаков С.Г. Проблемы трубопроводного транспорта нефти и газа. М.: Наука, 1982.
2. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течение вязкой жидкости. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Meredith F.W., Griffith A.A. Modern Developments in Fluid Dynamics. Vol. 2. Oxford: Oxford Univ. Press, 1938.
4. Штаер JI.E. Оценка влияния характеристик жидкости и параметров потока на результаты моделирования течения вязкой жидкости с оттоком через границу области / / Разведка, разработка нефтяных и газовых месторождений. 2011. 40, № 3. 58-61.
Поступила в редакцию 15.02.2012
УДК 531.396
О ЗАДАЧЕ ТЕСТИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ
ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
А. В. Лебедев,1, С. С. Лемак2
В статье рассматривается гарантированный подход к тестированию качества алгоритмов управления динамическими системами. Формирование наихудших возмущений происходит в процессе решения специальной игровой задачи. Вычисляется объективный показатель качества алгоритма управления даже в тех случаях, когда он представляет собой "черный ящик".
Ключевые слова: робастная стабилизация, максиминное тестирование, дифференциальная игра, седловая точка.
A guaranteed approach to testing the quality of control algorithms by dynamic systems is considered. The worst perturbations are formed in the process of solving a special differential game problem. An objective quality index is calculated for the control algorithm even in the case when this algorithm IS cl "blackbox".
Key words: robust stabilization, maximin testing, differential game, saddle point.
Выработка навыков управления сложными системами в экстремальных ситуациях, например различного рода механизмами, содержащими упругие элементы на орбитальной станции, управления ориентацией спутников, самолетом либо автомобилем при больших перегрузках, действующих на пилота, существенно зависит от качества тренировок оператора (пилота) на стендах, как динамических, так и компьютерных. Системы управления современными стендами-тренажерами имеют сложную многоуровневую структуру. Любая система полуавтоматической стабилизации при наличии оператора в цепи управления может рассматриваться как система с двумя уровнями управления. Для тестирования такой системы необходим динамический имитатор, система управления которым должна содержать уже три уровня [1].
Современный уровень разработок динамических тренажеров предполагает включение элементов искусственного интеллекта в систему управления тренажером, в частности предусматривается наличие системы тестирования качества ручного управления. Большое значение тестирование качества управления приобретает в ситуациях, когда непомерно велика цена ошибки, например в случаях управления космическими объектами [2].
1 Лебедев Антон Викторович — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: antohalQgmail.com.
2 Лемак Степан Степанович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lemaks2004Qmail.ru.
В системах тестирования формирование мешающих управлению параметров производится в рамках развиваемой в работах [1-5] методики максиминного тестирования точности стабилизации управляемых систем.
Стратегия тестирования определяется на первом этапе в результате решения игровой задачи. Управление в конфликтной ситуации представляется как игра двух лиц с противоположными интересами. Такие задачи рассматривались в работах Р. Айзекса [6] и Л.С. Понтрягина [7, 8]. Особенно большой вклад в развитие теории внесли H.H. Красовский и его ученики [9, 10].
Игровая задача тестирования имеет свои особенности, одной из которых является наличие дискриминации одного из игроков. Теорема H.H. Красовского [9] утверждает существование седловой точки в такой динамической игре, что в некоторых случаях дает возможность построить оптимальные стратегии тестирования.
Следующей особенностью игровых постановок задачи тестирования является возможность использовать линейный подход для системы уравнений в отклонениях от программного движения. В случае фиксированного времени и выпуклого по фазовым координатам терминального функционала качества в [10] доказано существование седловой точки дифференциальной игры для позиционных стратегий управления u = u(x, t) и тестирования v = v(x,t). Для решения таких игровых задач требуется развитие известных численных методов построения позиционных стратегий, основанных на сведении задачи к игре преследования-уклонения, конструировании стабильных мостов и т.д.
К сожалению, численное построение позиционных стратегий зачастую оказывается слишком сложным, чтобы выполнить его в реальном времени в системе тестирования, что привело к постановкам тестирования в классе программных стратегий. В этом случае динамическую игру можно свести к геометрической игре на множествах достижимости управляемой системы. Этот подход предложен в работах [11, 12].
Максиминный подход к задаче тестирования получил дальнейшее развитие для стохастических систем в [5, 13].
В работе [14] предложены новые постановки задач максиминного тестирования, которые позволяют построить тестирующие стенды для проверки алгоритмов управления билинейными дискретно-непрерывными системами и нелинейными системами с конечным множеством возмущений.
Рассмотрим для примера задачу тестирования качества полуавтоматического (ручного ) управления в режиме стабилизации или отслеживания.
Оценку качества управления будем проводить на основе анализа поведения системы уравнений в малых отклонениях управляемого объекта:
dx
— = A(t, р)х + B(t, р)и + C(t, p)q, u(-) G U, q(-) G V, x(to) G Xo, p G P.
Здесь x(t) — n-мерный вектор отклонений от заданной траектории; p — m-мерный вектор параметрических возмущений, принимающий значения из заданного множества P; u(-) G L^(0,tk) — s-мерная
q(t)
дем считать произвольными кусочно-непрерывными функциями, принимающими значения из заданного множества; множества U и V характеризуют известные ресурсы для управлений и возмущений соответ-Xo
Точность робастной стабилизации определим классом функционалов
tk
J = J(xTGx + uTNu) dt + xT(tk)Sx(tk), (2)
to
где матрицы G, S N постоянны, симметричны и положительно полуопределены (GT = G ^ 0 ST = S ^ 0,
N T = N ^ 0). Момент времени to фиксирован, а момент tk определяется из условия первого попадания на заданное многообразие (либо фиксирован).
Обозначим через wT = {xo,p, q} совокупность начальных возмущений, параметрических возмущений и постоянно действующих возмущений, а соответствующее множество их изменения обозначим через W = X0 х P х V.
Под тестированием качества работы некоторого автоматического (либо полуавтоматического) алгоритма стабилизации u будем понимать сравнение показателя (функционала) (2) точности стабилизации J,
вычисленного при работе тестируемого алгоритма ü и некоторой "оптимальной" контрстратегии w0 поведения возмущений, с нижней оценкой показателя точности JQ0, полученной в результате решения макси-минной задачи для системы (1) и функционала качества (2):
jQ = max inf J. (3)
0 w(-)eWu(-)eu
Таким образом, в задаче максиминного тестирования можно выделить три этапа:
1-й этап — предварительный. На этом этапе осуществляется поиск нижней ("отличной") оценки качества управления и оптимальной контрстратегии поведения внешних возмущений w(-) £ W с помощью компьютерного решения максиминной задачи (3);
2-й этап — основной. На этом этапе реализуется собственно процесс тестирования в виде компьютерного моделирования (для случая автоматической стабилизации) либо имитационного моделирования с использованием имитационного динамического стенда (для случая ручной (полуавтоматической) стабилизации) при реализации стратегии тестирования на основе найденной на первом этапе оптимальной контрстратегии возмущений; определение в результате моделирования реальной оценки качества управления J;
3-й этап — заключительный. На этом этапе происходит сравнение наилучшей и реальной оценок и выработка рекомендаций по дальнейшим тренировкам и диагностике, калибровке и коррекции.
Важным свойством предложенной схемы тестирования является возможность объективного сравнения нескольких представленных к тестированию алгоритмов üj, i = l,... ,l.
В зависимости от информации о действующих возмущениях, о структуре алгоритма стабилизации и (или) алгоритма оценивания, а также от того, в каком классе стратегий формируются управляющие и возмущающие сигналы, возможны различные постановки и способы реализации каждого из трех этапов тестирования.
Например, в том случае, когда функционал качества (2) содержит только терминальную составляющую, а стратегии тестирования и управления программные, задачу можно свести к геометрической игре Г на множествах достижимости подсистемы по управлению Gu(tk) и подсистемы по возмущению Gv(tk), построенных в конечный момент времени tk- Объективную оценку качества управления можно получить при условии существования седловой точки геометрической игры [11]. Проверка условий существования седловой точки опирается на следующий результат.
Теорема. Для того чтобы пара стратегий (w*,ü*) была точкой равновесия антагонистической
игры, необходимо и достаточно, чтобы существовал max min J(w,ü) и было выполнено неравенство
wGW neu
J(w*, ü*) = max min J(w,ü) ^ J(w,ü*) Vw £ W.
wew neu
В тех случаях, когда седловой точки нет, необходимо перейти к смешанному расширению Г геомет-Г
K0 = min max J(xw ,xn).
x^eGuXweQw
Игрок 1 (возмущение) обладает оптимальной смешанной стратегией ßo с конечным спектром, состоящим не более чем из (m+l) точек множества Gw (здесь m — размерность пространства геометрической игры Г).
Все чистые стратегии xM игрока 2 (управление), на которых достигается min max J(xw,xn), яв-
xu eG u Xw eG
ляются оптимальными, причем справедлива цепочка неравенств, соответствующая ситуации равновесия в смешанных стратегиях:
К(хт,Хи ) ^ К(№,Хи ) ^ К(^0,Хи) Ухи £ Си, Ухт £ Ст,
где
хи) — / 3 (хт ,хи)
есть математическое ожидание выигрыша игрока 1 в точке хи £ Си (здесь — вероятности, соответствующие смешанной стратегии ^0), К(^0) — К0, а К(хш) — 3(хш).
В случае выпуклости множества достижимости Си управление обладает единственной оптимальной стратегией. Конечность спектра смешанной стратегии возмущений позволяет в реальном времени провести второй этап задачи максиминного тестирования на компьютерном либо динамическом стенде [14] и вычислить качество предложенного алгоритма робастной стабилизации.
Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по договору № 11.034.31.0054 и контракта ФЦП № 11.519.11.2045. спжюк ЛИТЕРАТУРЬ1
1. Александров В.В., Лежа к С.С. Тестирование качества полуавтоматической стабилизации аэрокосмического полета как третий уровень управления динамическим имитатором // Теоретическая механика. М.: Физматлит, 2003. 202-210.
2. Лемак С. С. Тестирование точности причаливания устройства спасения космонавта // Авиакосм, приборостроение. 2004. № 5. 38-41.
3. Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. № 3. 51-54.
4. Александров В.В., Герра Л., Каленова И.Н., Трифонова A.B. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 5. 58-65.
5. Садовничий В.А., Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С.С. Смешанные стратегии в задаче максиминного тестирования качества робастной стабилизации // Дифференц. уравнения. 2009. 45, № 12. 1787-1793.
6. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.
7. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх, I // Докл. АН СССР. 1967. 174, № 6. 1278-1280.
8. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх, II // Докл. АН СССР. 1967. 175, № 4. 764-766.
9. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.
10. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
11. Александров В.В., Влаженнова-Микулич Л.Ю., Гутиерес-Ариас Н.М., Лемак С. С. Максиминное тестирование точности стабилизации и седловые точки в геометрических играх // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 1. 43-50.
12. Садовничий В. А., Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С. С. Максиминное тестирование качества управления устройством спасения космонавта // Математические вопросы кибернетики. Вып. 16. М.: Физматлит, 2007. 2330.
13. Садовничий В.А., Александров В.В., Лемак С.С. Тестирование точности стабилизации стохастических управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1999. 35, № 5. 1-8.
14. Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С. С. Смешанные стратегии тестирования в задачах проверки качества работы алгоритмов стабилизации // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 50-53.
Поступила в редакцию 06.07.2012
УДК 532.546
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ МНОГОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ПРИ ОКОЛОКРИТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
A.A. Афанасьев1, О. Э. Мельник2
В работе дается обзор современных подходов к моделированию многофазных течений в пористой среде. Проводится анализ математических проблем, возникающих в задачах численного моделирования фильтрации при околокритических термодинамических условиях. Обосновывается использование энтальпии вместо температуры в качестве одной из независимых переменных для эффективного расчета фильтрационных течений при околокритических условиях.
1 Афанасьев Андрей Александрович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. общей гидромеханики НИИ механики МГУ; вед. инж.-расчетчик ЗАО "Т-Сервисы", e-mail: afanasjevQyandex.ru.
2 Мельник Олег Эдуардович — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. общей гидромеханики НИИ механики МГУ; науч. рук. центра вычислительной экспертизы "Т-Сервисы", e-mail: 01eg.MelnikQt-services.ru.
