О математическом моделировании глаукомы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 1

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ГЛАУКОМЫ

А. А. Морщинина, Д. А. Морщинина

Санкт-Петербургский государственный университет,

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Российская Федерация

Глаукома является одним из самых опасных глазных заболеваний. Существуют две концепции её развития: механическая и ишемическая. Данная работа посвящена ишемической концепции, в соответствии с которой основной причиной заболевания считается нарушение кровообращения в сосудах зрительного нерва (СЗН).

В настоящей статье в качестве сосудов зрительного нерва рассматриваются тонкостенные цилиндрические трубки, загруженные внутренним и внешним давлением. Построена геометрически нелинейная модель сосуда зрительного нерва. Выведены соотношения для определения перемещения и напряжений. Также разработана физически и геометрически нелинейная модель сосуда зрительного нерва.

На основании полученных результатов сделаны следующие выводы:

1) С ростом внутриглазного давления происходит удлинение сосудов зрительного нерва;

2) Уменьшение внутреннего диаметра СЗН, связанное с увеличением разницы между внутриглазным давлением и давлением внутри сосуда, может вызывать задержку аксоплазматиче-ского тока и приводить к коллапсу в астроглиальной ткани.

Эти обстоятельства способствуют распространению экскавации диска зрительного нерва. Библиогр. 11 назв. Ил. 2.

Ключевые слова: теория упругости, геометрическая нелинейность, физическая и геометрическая нелинейность, напряжения, деформации, перемещения, глаукома, ишемическая концепция, сосуды зрительного нерва.

Введение. Математическому моделированию различных глазных болезней посвящены работы [1-8] и др. Одним из широко распространенных и опасных является глаукома. Существующие теории ее возникновения и развития условно можно отнести к двум концепциям: механической и ишемической. В соответствии с первой — основной причиной заболевания является характерная экскавация диска зрительного нерва (ДЗН), обусловленная разностью внутриглазного (ВГД) и внутричерепного (ВЧД) давления. Прогиб ДЗН приводит к защемлению нервных волокон и нарушению зрительных функций. Согласно этой точки зрения лечение глаукомы должно быть прежде всего направлено на снижение ВГД. В рамках второй концепции атрофия зрительного нерва сводится к нарушению кровообращения в нем. В этом случае ведущая роль в лечении глаукомы отводится восстановлению кровообращения в сосудах зрительного нерва (СЗН).

В данной работе рассматривается ишемическая концепция глаукомы. Здесь в качестве СЗН рассматриваются тонкостенные цилиндрические трубки, загруженные внутренним и внешним давлением.

Линейная модель теории упругости для сосуда зрительного нерва. Рассмотрим прямой круговой цилиндр, внутренний радиус которого равен Д0, а внешний— Д0, загруженный внутренним (давление внутри сосуда) и внешним (ВГД) давлением, pi = const и p2 = const соответственно (рис. 1).

В силу симметрии задачи радиальное перемещение ur = u (r), тогда как окружное uv = 0. Согласно [9] выражения для u (r), arr, ozz имеют вид

и (г) = 1 (1 + v) ^ + 2 Cr {l-v- 2 г/2)^ ,

Рис. 1.

А А

&гг = ~ ~Ь 2С , СГ^ = —— + 2С , сггг = и (агг + сг^) ,

где А = 2С = г е [Л?, Д2°]. Отсюда, полагая, что

материал сосуда зрительного нерва является несжимаемым (V = 0, 5), получаем

3(Р2 - Р1) (д?д§)

и(г) =--г " У 4 1 п , (1)

2Ег (Д?)2 - (Я?' 2

[(Д?)2 - (Д?)2] г2 (Я2)2 - (Д?)

(Р2-Р1)(д2д2)2 , (д2)У-(д2)2Р2 1

С^ — Г „ о1 + , „,9 , „,9 1 ^гг — 0 [Сгг ~г Срр) ■

[(Д?)2 - (д?)2] г2 (Д2 )2 - (Д2 )2 2

Поскольку толщина сосуда зрительного нерва много меньше его внутреннего и внешнего радиусов, в качестве модели СЗН можно рассмотреть тонкостенную цилиндрическую трубку.

Пусть Д?, Н? — радиус срединной поверхности тонкостенной цилиндрической трубки и ее толщина до деформации соответственно. Учитывая (1), после необходимых преобразований выводим

„о^З^^ , = 4 + <*>

Здесь Д*, Н — радиус срединной поверхности СЗН и его толщина после деформации. Радиальное перемещение и напряжения в новых переменных примут вид

, ч 3 (р-2 — Р\) (д°)3 п(г) =---' (3)

2

(Xюнг, -

(P2 -Pl) (Д°)3 _ д° (р2 -Pl) _ (PI +Р2) _ hp (р2 -Pl) 2 h0r2 2h0 2 8Д°

(P2 - pi) (Ä0)3 Ä0 (p2 - Pl) (pi + P2) h0 (p2 - Pl)

/т = _

w 2 h0r2 2h0 2 8Д°

Ä° (P2 - Pl) (Pl + P2) ho (p2 - pi)

2ho 2 8Ä0

(4)

(5)

(6)

Геометрически нелинейная модель теории упругости для сосуда зрительного нерва. Для построения данной модели используется метод, изложенный в [5, 6]. В соответствии с ним внутреннее и внешнее давления, действующие на тонкостенную цилиндрическую трубку, представляются в виде

Р1 = Ар} + Ар}2 + ... + АрП , Р2 = Ар2 + ДР2 + • • • + ДР2 •

Полагая Ар} = Ар? = ... = АрП = Р1/П и Др2 = Ар? = ... = АрП = р2/п, согласно формулам (2) получаем значения радиуса срединной поверхности трубки и ее толщины на п-й ступени нагружения:

™ = йо Л _ ^= Ьо Л + .З(в -И)йГ "

4Enh0 У ' V 4Enh0

Отсюда при n ^ ж имеем

Д* = lim Д" = Щ ехр--—- , h = lim hn = ho exp 1

4Ж0 ) п^ж \ 4Ж0

„ „ (7)

Здесь Д* и h — соответственно значения деформированного радиуса срединной поверхности и толщины СЗН.

Введя безразмерные величины I = Ц-г, £ = д = еНоК* ' пеРепишем формулы (2) и (7) следующим образом: £ = 1 — д, 4 = ехр(д). Графики функций I и £ представлены на рис. 2 соответственно линиями 1 и 2.

Учитывая (3), находим перемещение деформированной координаты точки внутри полой трубки на г-й ступени нагружения:

_34irSÄo

4Ehj ri

Отсюда

' --АЁпЛг-)■ (8)

Запишем ^+1 в виде суммы ^+1 = Д^+1 + (—hi+l/2 < ^¿+1 < hi+l/2). Тогда

первое из выражений (8) примет вид

ы+1, (Ы < \ (л 3(Р2-Р1Ж 1 ^

Д* + Рг+1 = (Д* + а) 1 -

4Enhi (1+ Ä*)' 146

а

а

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

О' о

Рис. 2.

Поскольку |р^/ Д* | ^ 1,

--1—,«(1-2 (Рг/К)).

(1 + р/Д*)

Учитывая это обстоятельство, после соответствующих выкладок устанавливаем

Л , 3(Р2-Р1)Д0- " Рп=Р0 I1 + 4ЯпЬ0

Отсюда при п ^ ж получаем

' 3(Р2 - Р?) Д?

р = lim = р0ехр

4Eh0

Принимая во внимание зависимости (7), находим

г = R* + р = Щ ехр--——- + Ро ехр -——- . (9)

4ЕН? ) V 4ЕН?

Подставляя в формулы (3)—(6) равенства (7) и (9), окончательно получаем

з(и-Р1)(л2вч>р»Н^))3

и (R+ро) — ■

r —

4b l^ho exp AEhn J J exp ^--щ^—) +Po exp AEhn

(10)

2/г0 exp ^—-ШК;)— J exp ^---ШК:)— J + p0 exp ^—^— J J

(11)

аюю —

" " ^о exp (fc^) (до ехр {-Щ^) + exp ^ 2

il2) (13)

Из соотношения (10) вытекает, что внутренний радиус СЗН уменьшается, когда Р2 > pi. С ростом внутриглазного давления происходит увеличение напряжения azz, что приводит к удлинению сосудов. Вследствие этого ослабевает их воздействие на решетчатую пластинку диска зрительного нерва, и она прогибается. Приведенная цепочка рассуждений объясняет наблюдаемый врачами факт, что больные гипертонической болезнью, страдающие глаукомой, при прочих равных условиях дольше сохраняют зрительные функции по сравнению с гипотониками.

Физически и геометрически нелинейная модель теории упругости для сосуда зрительного нерва. Введем следующие предположения:

1) процесс повышения внутреннего и внешнего давления является активным;

2) нагружение считается простым;

3) материал сосуда зрительного нерва изотропен и несжимаем.

При выполнении этих предположений напряжения и деформации в СЗН будут связаны между собой соотношениями (см. [10, 11]):

= F (£j) ,

2а i 2а i 2аi

(Ттт (Т — £тт, (Jtptp (Т — ^cpcpi @zz ®

3с i 3с i 3ci

а = (&rr + ) , 0 = Crr + Сюю + С zz (14)

^ у (^гг {^срср £■zz*) (^гг £гг)

0"г = -дУ(о>г - СГ^)2 + - + - 0"гг)2-

Здесь <7^ = ^ (е$) = / (г) —нелинейный закон упругого деформирования. Истинные деформации определяются по следующим формулам:

егг = 1п + ^^ , е^ = 1п + ^ , = 0. (15)

Координата произвольной точки сосуда зрительного нерва после деформации удовлетворяет зависимости

г* = г + и (г) , (16)

где r — недеформированная координата этой точки, а и (r) — ее перемещение. Так как сосуд зрительного нерва несжимаем, в = err + + ezz = 0. Тогда согласно (15) и (16)

г* dr* dr* г

r dr ' dr r*

Интегрируя данное уравнение, получаем г* = а/г2 + 2а2. Учитывая соотношение (16), можем записать

и = \/ г"2 + 2а2 — г, (17)

где а — произвольная постоянная интегрирования. Отметим, что ее размерность совпадает с размерностью и и г. Внесем выражение (17) в зависимости (15):

егг = 1пг - ^ 1п (г2 + 2а2) , = ^ 1п (г2 + 2а2) - 1пг.

Нетрудно видеть, что

1 , Л 2а2

^ = -£гг = ^ 1п + —) ■ (18)

Тогда формула для определения интенсивности деформации из (14) примет вид

е1 = ±\п(1 + ^4-). (19)

Умножая уравнение равновесия

на получаем

dr r* dr

Согласно равенствам (14), (18) и (19) находим

dr

darr 1 dr* , ,

+ — -¿{(Jrr-(Tlpip) = Q. (20)

___£_ _ _

<7rr (Tipip -у^З^' ®rr О'zz л/3 '

После интегрирования уравнения (20) на основании (21) имеем

r

2 I" <r-r

arr = —= / ——L—dr + С (С = const) . (22)

V3 J r2 + 2a2 R i

Принимая во внимание краевые условия arr (Ri) = —pi, ^rr (R2) = —P2, из выражения (22) выводим

r

arr = -Pl + A=j (23)

Ri

0

*

Отсюда

R2

2 i air PI-P2 = -7= / о , n,dr.

л/3 J r2 + 2a2 Ri

Предположим, что обобщенная кривая ai = F (ei) имеет вид [10] ai = Ae™ (A = const, n = const),

где постоянная А имеет размерность напряжений.

После соответствующих преобразований выводим следующее выражение для определения константы а:

2 _ /_ \ п

Заметим, что во всех вышеприведенных соотношениях предполагалось, что Н = О (Дх, Д2). Если, наоборот, Н = о (Дх, Д2), тогда в формуле (24)

, д2 , ( А \ А

= 1п 1 + — « —, Д1 V Д V Д1

т. е. для тонкостенного сосуда зрительного нерва параметр а2 будет

2 _ / __\ п

2 [Ь\л/3(л/3(р 1 -р2) а — ' 1 1

2 у 2 I '

\ /

Проведем качественную оценку перемещений, возникающих в сосудах зрительного нерва под действием внутреннего и внешнего давления. Для этого перепишем формулу (3) следующим образом:

и(Д°) 3(p2 - pi) ДО

R2 4E h0 •

Полагая (сугубо ориентировочно)

~ Ю fo-Pi) ~ 1 ho ~ ' Е ~ 50'

имеем

u(R0

ДО

-0,15.

Отсюда следует, что уменьшение внутреннего диаметра СЗН, связанное с увеличением разницы между ВГД и давлением внутри сосуда, может вызывать задержку аксоплазматического тока и приводить к коллапсу в астроглиальной ткани. Этот факт, а также удлинение сосудов зрительного нерва, способствуют распространению экскавации ДЗН.

Авторы выражают благодарность Юрию Михайловичу Далю за советы и помощь в работе.

Литература

1. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 92 с.

2. Бауэр С.М., Любимов Г. А., Товстик П.Е. Математическое моделирование метода Макла-кова измерения внутриглазного давления. // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. №1. С. 24-39.

3. Керейчук М. А. Математическая модель глаукомы: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2001. 105 с.

4. Морщинина Д. А. Выбор искусственного хрусталика при лечении катаракты. Напряженно-деформированное состояние интраокулярных линз // Lambert Academic Publishing. 2011. 115 с.

5. Даль Ю. М., Морщинина А. А. Линейные и нелинейные математические модели склеры и сосудов зрительного нерва при глаукоме // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2008. Вып.3. С. 47-55.

6. Морщинина А. А. Математическая модель глаукомы. Модели теории упругости для склеры и сосудов зрительного нерва при глаукоме // Lambert Academic Publishing. 2011. 94 с.

7. Морщинина Д. А. Напряженное состояние и прочность интраокулярных линз (теория и эксперимент) // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2012. Вып. 1. С. 102-106.

8. Морщинина А. А. О деформациях и напряжениях толстостенной нелинейно упругой сферы (теория и приложения) // Материалы конференции «Актуальные проблемы прочности». Киев, 2010. С. 235.

9. Хан Х. Теория упругости. М.: Мир, 1988. 344 с.

10. Даль Ю. М., Пронина Ю. Г. Деформация шаровой поры в нелинейно-упругом теле // Известия РАН. Серия физическая. 2006. Т. 70, №9. С. 1341-1343.

11. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. Л.; М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

Статья поступила в редакцию 24 октября 2013 г.

Сведения об авторах

Морщинина Алина Алексеевна — кандидат физико-математических наук, ассистент; e-mail: a.morshinina@spbu.ru

Морщинина Диана Алексеевна — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: d.morshinina@spbu.ru

ABOUT MATHEMATICAL MODELING OF GLAUCOMA

Alina A. Morschinina, Diana A. Morschinina

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7/9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; a.morshinina@spbu.ru, d.morshinina@spbu.ru

Glaucoma is one of the most dangerous eye diseases. There are two concepts of its development: mechanical and ischemic. This work is devoted to the ischemic concept according to which the main reason for a disease is considered blood circulation violation in vessels of an optic nerve.

In this article as vessels of an optic nerve the thin-walled cylindrical tubes loaded by internal and external pressure are considered. On the basis of the linear solution geometrically nonlinear model of a vessel of an optic nerve is constructed. Expressions for displacement and stresses are determined. Physically and geometrically nonlinear model of a vessel of an optic nerve is constructed. On the basis of the received results the following conclusions are drawn:

1) To growth of intraocular pressure there is a lengthening of vessels of an optic nerve;

2) Decrease of internal diameter of vessel of an optic nerve connected with increase in a difference between intraocular pressure and pressure in a vessel can cause a delay of aksoplazmatic current and lead to collapse in astroglial tissue.

These facts promote extension of excavation of a disk of an optic nerve. Refs 11. Figs 2. Keywords: theory of elasticity, geometrically nonlinearity, physically and geometrically nonlinearity, stresses, deformations, displacements, glaucoma, ischemic concept, vessels of an optic nerve.