Нелинейная осесимметричная задача теории упругости для полой сферы Текст научной статьи по специальности «Физика»

НЕЛИНЕЙНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛОЙ СФЕРЫ

А. А. Морщинина

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

Введение. Исследования напряженно-деформированного состояния полых упругих сфер представляют большой интерес для различных прикладных задач физики и биомеханики. В частности, в последнее время много работ посвящено математическому моделированию различных проблем офтальмологии [1—6]. Важно отметить, что в основании большинства этих работ лежат соотношения линейной теории упругости. Между тем, согласно экспериментальным данным [7] зависимость напряжение—деформация различных областей склеры глаз (см. рис. 1) с нормальной (кривая 1) и миопической (кривая 2) рефракцией является существенно нелинейной.

ИРэ

О 15 30 50 70 90 110

%

Рис. 1.

В данной работе рассматривается физически и геометрически нелинейная задача

о деформации под действием внутреннего давления полой сферы как механической модели склеры глазного яблока.

Постановка задачи. Рассмотрим полую сферу с внутренним радиусом Ri и внешним Д2, загруженную внутренним давлением p = const. Введем сферическую систему координат г, 0, p с началом в центре сферы.

Предположим, что процесс деформации является активным, нагружение простым, а материал сферы несжимаемым [8].

Тогда напряжения и деформации будут связаны между собой соотношениями (см. [9, 10]):

O = F (£j) ,

2&i 2 о i 2 о i

(7rr (7 — £rri &99 ® ~y &QQ-! ®ipip & ~ £-ipipi

Obi 3bi 3bi

© А.А.Морщинина, 2009

а (&гг + авв + аі в £гг + євв + (1)

є® = -^- \! {є-вв — єсрср) + (єее — & гг) + (Єірср — Єгг) ,

Сі — —,= \/(авв — Сірір) + (сев — &гг) + {Рфір — агг) •

Здесь ог = Г (е^) = ] (г) —нелинейный закон упругого деформирования. Истинные деформации определяются по следующим формулам:

Єгг = ІІ1 ( 1 + — ) , Євв = Єірір = 1п (1 + -) . (2)

йи \ (и

єее = є^ = \п(1 + -

Решение. Обозначим деформированную координату произвольной точки через г*. Очевидно, что

г* = г + и (г) , (3)

где г —координата этой точки до деформации, а и (г) —ее перемещение.

Так как материал несжимаем, в = єгг + євв + = 0. Подставляя в это выражение

формулы (2) и (3), получаем

і йг* г* п

т ——Ь 2 т — =0.

йг г

Отсюда условие несжимаемости записывается в виде г'І/т2 • йг*/йг = 1 или йг*/йг

г

г2/г\. Проинтегрировав это уравнение, получим

г* = \/г3 + а3,

где а — произвольная постоянная интегрирования. Заметим, что ее размерность совпадает с размерностью и и г. Учитывая формулу (3), можем записать

и = \/ г3 + а3 — г. (4)

Подставив зависимость (4) в соотношения (2), устанавливаем, что

2 , / ч чч 1 3

Очевидно,

Єгг = 2ІІ1Г - ^ 1п (г3 + а3) , евв = е^ = - 1п (г3 + а3) - 1пг .

— Єірір — 0ЄГГ — 0 ІІ1 ( 1 + ) • (5)

1 _ 1 , Л а3'

'2£гг~ 3

В соответствии с выражением (1) формула для определения интенсивности деформации £ примет вид

е* = ^1п(1 + ^)- (6) Умножая теперь уравнение равновесия

ГГ 2

Лг* г*

на йг* /йг, приводим его к виду

<іагг і 2 (іг* _ \ _п с'7\

Согласно формулам (2), (1) имеем = Оде, — огг = ог. Подставив эти

выражения в равенство (7), после интегрирования получим

r

2

r air2

(7rr = 2 ---гіdr + С (С = const). (8)

33

r3 + а3

Ri

Принимая во внимание краевые условия огг (Ях) = —р, огг (Д2) = 0, из соотношения (8) находим

r

2

г air2

arr = 2 -т——Trdr -р . (9)

33

Отсюда

r3 + а3

Ri

R 2

r air2

P = 2J^T^dr- m

Ri

Пусть обобщенная кривая о? = F (ei) имеет вид

о?, = Ae1/n (A = const, n = const, n > 1). (11)

Отметим, что константа A имеет размерность напряжений.

Внеся в эту зависимость выражение (6), получим

2\1/n .Г ( а3 ^1/n

In 1 + -5-

. А

3

В результате подстановки (l2) в (lO) находим

(l2)

2\ 1/П R2 [ln (і + а3/r3)\1/n dr

Р 2Л\з) У г(1 + а3/г3) ' (13)

Й1

Из данного соотношения определяется произвольная постоянная интегрирования а3. Разлагая 1п (1 + а3/г3) в ряд и ограничиваясь в нем только первым членом, получаем интеграл в формуле (13) в виде

Г (а3/г3)3^" Лг

У г (1 + а3/г3)

Й1

Воспользуемся обобщенной теоремой о среднем значении ([11], стр. 126), тогда Rf(a3/r3fndr^ 1/ 2а \3/” К3 + а3

3 1 0\ ,-.1-1-» -»-~» I ААА

11 а ‘Г‘3

Я1 К

r ( І + а3/r3) 3\ R2 - R1) R1 + а3'

Пренебрегая под знаком логарифма величиной а и учитывая, что К2 — = А, выво-

дим

2у/п (2а\^/п П2

р = 2А{з) [а) V

Отсюда

аз = (_________Р__________

“ 8 \2А(2/3)1/п1пД2/Д1

Предположим, что обобщенная кривая имеет вид

^ = 7ег1/2 ,

что хорошо согласуется с экспериментальными данными [7] (см. рис. 1). Тогда в случае Й1 = 11, 75 мм, Д2 = 12, 25 мм, Д = 0,4 мм, г =12 мм график зависимости (4) имеет вид, представленный на рис. 2.

Рис. 2.

Полученное решение свидетельствует о существенном влиянии физической нелинейности материала сферы на зависимость и — р (перемещение—давление). Заметим, что для тонкостенных оболочек подобные исследования были выполнены в работах [12-14].

Автор благодарит Юрия Михайловича Даля за советы и помощь в работе.

Литература

1. Нестеров А. П. Глаукома. М.: ООО «Медицинское информационное агентство», 2008. 360 с.

2. Бауэр С. М., Товстик П.Е., Качанов А. Б. К вопросу о построении математической модели развития глаукомы // Рос. журнал биомеханики, 1999. С. 27-28.

3. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 92 с.

4. Воронкова Е. Б. Деформация решетчатой пластины глаза. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2006. 110 с.

5. Любимов Г. А. О Тонометрических методах измерения внутриглазного давления // Биомеханика глаза. 2005. 131 с.

6. Даль Ю. М., Морщинина А. А. Линейные и нелинейные математические модели склеры и сосудов зрительного нерва при глаукоме // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2008. Вып. 3. С. 47-55.

7. Иомдина Е. Н. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция. Автореф. дис. ... д-р биол. наук. М., 2000. 48 с.

8. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. Л.; М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

9. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Изд-во «Высшая школа», 1968. 512 с.

10. Даль Ю. М., Пронина Ю. Г. Деформация шаровой поры в нелинейно-упругом теле // Известия РАН. Серия физическая, 2006. Т. 70, №9. С. 1341-1343.

11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 2 / 8-е изд. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, Лаборатория Знаний, 2003. 864 с.

12. Григорьев А. С. Напряженное состояние безмоментных оболочек при больших деформациях // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21, №6. С. 827-832.

13. Григорьев А. С. Об устойчивости безмоментных оболочек вращения в условиях растяжения // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1967. №1. С. 170-172.

14. Григорьев А. С. О теории и задачах равновесия оболочек при больших деформациях // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1970. №1. С. 163-168.

Статья поступила в редакцию 21 апреля 2009 г.