О математическом моделировании физических характеристик волностойких объектов Текст научной статьи по специальности «Физика»

А. В. Богданов, В. К). Шульц

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

ФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВОЛНОСТОЙКИХ ОБЪЕКТОВ

Проблема предотвращения или хотя бы максимально возможного уменьшения колебаний различных объектов при воздействии на них волн является узловой проблемой, определяющей способность плавающего объекта эффективно функционировать в условиях волнения. От решения указанной проблемы, в частности, зависят [1]:

1) повышение устойчивости объектов;

2) недопущение больших углов наклонения и опрокидывания;

3) снижение нагрузок как на объект в целом, так и на отдельные его части;

4) улучшение условий функционирования размещенных на объекте систем;

5) уменьшение степени или предотвращение накрывания объектов волной или ударов о нее и т. д.

На сегодняшний день считается, что уменьшить волновые воздействия и колебания можно [1] рациональным выбором формы, размеров и параметров объекта, изменением угла расположения объекта по отношению к волне, применением специальных устройств для уменьшения колебаний. При этом считается, что первые два способа фактически не решают проблемы для меняющихся в широких пределах внешних условий и поэтому имеют лишь ограниченное значение, последний - третий - до недавнего времени считался наиболее эффективным и универсальным.

Однако с появлением принципа структурной нейтрализации волновых возмущающих сил и моментов [2,3] открылось четвертое направление в решении рассматриваемой краеугольной проблемы - максимальное уменьшение или предотвращение волновых воздействий и колебаний.

Эффективность применения этого напрямую зависит от точности и строгости оценки соотношения и баланса волновых сил, а значит, от строгости математической модели физических процессов, возникающих в условиях воздействия волнения на объекты, оборудованные специальными устройствами для предотвращения колебаний, что, в свою очередь, и делает возможным максимально эффективно предотвратить колебания за счет видоизменения формы объекта на основе выбора соответствующих параметров указанных специальных устройств.

До настоящего времени физические процессы, возникающие при воздействии волнения на объекты, а также соответствующие соотношения и баланс сил очень приближенно определялись лишь на основе достаточно грубого инженерного подхода, базировавшегося на многочисленных допущениях и упрощениях, обоснованность которых для данного типа задач не исследовалась (как показала практика такой подход действительно не является обоснованным), что не позволяло осуществить максимально эффективное предотвращение колебаний.

Отсюда становится очевидной важность и актуальность разработки относительно строгой математической модели физических процессов, возникающих в условиях воздействия волнения на объекты, оборудованные специальными устройствами для предотвращения колебаний, и создания на основе данной модели методов расчета физических характеристик объектов, исследования эффективности различных видоизменений

© А. В. Богданов, В. Ю. Шульц, 2008

форм этих объектов, а также систем объект - специальные устройства для предотвращения колебаний на основе вычислительного эксперимента. Представляемая статья посвящена рассмотрению постановки и путей реализации указанных вопросов.

Для изучения поведения различных объектов, в том числе систем объект - специальные устройства для предотвращения колебаний, под воздействием волнения необходимо определить цель исследования их колебательного движения как задачу, где объекты и системы рассматриваются как абсолютно твердые свободные или несвободные тела, находящиеся под воздействием системы внешних волновых сил, которые, в свою очередь, также подлежат определению.

Как известно из теоретической механики [4], движение твердого тела (абсолютное движение) можно представить как совокупность двух его движений: поступательного вместе с полюсом, в качестве которого, как правило, выбирается центр масс С (переносное движение), и вращательного (сферического) вокруг мгновенной оси, проходящей через этот полюс (относительное движение). В главных центральных осях инерции после принятой при решении подобного рода задач линеаризации, учитывающей малость углов и угловых скоростей, уравнения движения в неподвижной системе отсчета приобретают вид

п 7 п

т-1ос = £ 1-1,; = ^0, ,1Х^ = £ Л/;.; =

1=1 1=1

П , П

Чо а = ^Р^=Рпе, 4г^ = £^ = М*, (1)

г=1 г=1

= Ёмь = к-

г=1 г=1

т

т

Получим правые части выражений (1), исходя из уравнений гидромеханики (уравнений Навье-Стокса и неразрывности) [5-8 и др.]:

dV Tr dV тг dV т „ 1 „ . (d2Y d2Y d2Y\

& я~c~ no я-------1" ^Co;)/ — F-------grad(p) + v I 2 + 2 + 2 I ’

dt <Э£0 дщ d(0 p \ dQ дг]$ dQ J ^

^ + div(pV) = 0.

При описании волновых движений жидкости и рассмотрении возникающих при этом сил, действующих на объекты, принято использовать модель невязкой (идеальной) несжимаемой жидкости, для которой v = 0 и р = const. Как показывает практика, такой подход с качественной и количественной точек зрения является оправданным. Тогда уравнения системы (2) преобразуются: уравнение неразрывности - в уравнение Лапласа, а уравнение Навье-Стокса - в уравнение Лагранжа:

д2Ф д2Ф д2Ф дФ V2 А Р п

~т+^ + 9(о + р- о-

Для математической формулировки физической (гидродинамической) задачи о силах волновой природы, определяющих колебания различных объектов на волнении [9],

к системе (3) необходимо добавить соответствующие начальные и граничные условия, которые, как известно, подразделяются на кинематические и динамические.

Кинематическое граничное условие на каждой из ограничивающих жидкость поверхностей означает, что любая жидкая частица, находящаяся на этой поверхности, в процессе движения все время на ней и остается, т. е. граница жидкости является поверхностью тока.

Уравнение свободной поверхности жидкости в неподвижной системе координат можно записать в виде (ов (£сь ??сь Ссь £) = 0, тогда на свободной поверхности жидкости

На смоченной поверхности объекта необходимо обеспечить равенство нормальных составляющих скоростей жидкости и тела во всех точках этой поверхности (так называемое условие непротекания)

Динамическое граничное условие на свободной поверхности жидкости вытекает из равенства давления атмосферному давлению во всех точках этой поверхности:

Давление в идеальной жидкости при ее безвихревом движении определяется интегралом Лагранжа-Коши

Динамическое граничное условие на поверхности колеблющегося объекта формулируется на основе принципа динамического равновесия действующих на объект сил и моментов в данное время [9]:

Кинематическое и динамическое граничные условия на свободной поверхности принято объединять, переходя к единому граничному условию на этой поверхности, которое после линеаризации приобретает вид

на невозмущенной свободной поверхности Со = 0.

Уравнение Лапласа и граничные условия на поверхности жидкости и объекта являются линейными зависимостями. Поэтому справедлив принцип суперпозиции и, следуя [10,11], потенциал Ф движения жидкости, а следовательно, и вычисляемые через него силы

~^(ов (£о,»7о,Со,£) = о.

Р = Ра■

£г* = о, £м, = о.

и моменты

можно представить соответственно следующим образом:

Ф = Ф\, І ФИ/ + Фй + Ф*

г + ¥л + ¥к

М = Мі, + МИ/ І М, І М*.

где Ф14 - потенциал скоростей, соответствующий установившемуся движению жидкости при движении объекта по спокойной поверхности с постоянной скоростью 14; Фи-' - потенциал скоростей набегающих на объект прогрессивных волн; Ф*. - потенциал скоростей вызванного колебаниями объекта движения жидкости, Ф^ - определяет движение жидкости, которое возникает при дифракции прогрессивных волн около неко-леблющегося объекта, т. е. представляет собой потенциал отраженных волн. Соответствующие составляющие сил и моментов имеют тот же смысл.

Таким образом, система уравнений (1), описывающая колебания объектов и систем объект - специальные устройства для предотвращения колебаний, в системе отсчета, связанной с объектом, в итоге принимает вид

<1и)х

т ■ ха = Ру х + / и #• + -Ркх + Ркх, ^х~й~ = Мухх + + М&х + М*.х,

т

™ • Ус = + Р\\'у + -Р1*/ + Рку, = Млу + Мку, (4)

Как показали исследования [12,13], силы и моменты, входящие в правые части равенств (4), могут при определенных условиях взаимно компенсироваться так, что правые части практически оказываются равными нулю. Значит, в этом случае возникновения колебаний даже в условиях воздействия волн можно избежать.

Следовательно, колебания объектов, а также систем объект - специальные устройства для предотвращения колебаний при воздействии на них волнения можно предотвратить, для чего необходимо добиться взаимной компенсации входящих в правые части (4) сил и моментов. В свою очередь, для того чтобы добиться указанной взаимной компенсации, надо корректно, в рамках поставленной задачи, вычислять силовые характеристики и установить как общие условия взаимной компенсации, так и конкретные способы их реализации.

Структуру возмущающих вертикальной силы Рг и наклоняющего момента Му (для других сил и моментов все полностью аналогично) можно представить так [12,13]:

При этом, в соответствии с подходом [12,13], слагаемые в (5) структурируются следующим образом: силы и а также моменты а и объединяются

соответственно попарно в один единый комплекс:

= + Мкг-

(5)

(Р\¥гсі + — ~ (1 + Мзз)рдкУоАоек“ совші,

{МщуЛ + Мф) = - (1 + ры) рдк,1тацеы віпиіі.

(6)

Рис. 1. К принципу структурной нейтрализации.

1 - квазигидростатическая сила; 2 - инерционная часть дифракционной силы; 3 - демпфирующая часть дифракционной силы.

на том основании, что обладают одинаковой сигнатурой и общим временным множителем cos tot.

При этом, считая, что F^d и MwU имеют тот же временной множитель COS Ujt, но противоположный знак, делают вывод о возможности взаимной компенсации F(y*:d и Fwzd + Fj', а также и Mkyyd + М|” . Формулы (5) преобразуются к следующему

структурному виду:

Fz = F\y~ + (F&zd + Fj") + Fi,

My = U'svl, + Mn.j.i + M% + Mjy.

При этом, как отмечается в [13], главный вопрос состоит в том, как физически, т. е. за счет видоизменения формы объекта и, в частности, использования специальных устройств для предотвращения колебаний, реализовать указанную выше взаимную компенсацию. В настоящее время считается, что наиболее просто и эффективно добиться указанной цели можно посредством применения специальных устройств для предотвращения колебаний, представляющих собой объемные или плоские тела (рис. 1).

Как видно из (5)-(7), основной проблемой для вычисления как самих сил и моментов, так и их баланса является проблема определения входящих в выражения для них присоединенных масс - ^ и коэффициентов демпфирования - A^ (в совокупности называемых обобщенные присоединенные массы).

Для определения обобщенных присоединенных масс использовалось численное моделирование в рамках модели невязкой жидкости. Несмотря на приближенный характер описания при рассматриваемом подходе, он в целом ряде случаев (когда не требуется непосредственное моделирование вязкости) обеспечивает необходимую точность расчетов. Как уже указывалось выше, к числу таких случаев можно отнести и вычисление физических характеристик объектов для решения задачи о волновых воздействиях и колебаниях. Известные численные методы в рамках модели невязкой жидкости основаны на использовании либо простого, либо двойного слоя. Простой слой подразумевает применение распределенных источников и стоков, двойной - распределение диполей или вихрей.

В настоящей работе делается попытка расчета обобщенных присоединенных масс на основе метода дискретных вихрей (МДВ) [14]. Подобный подход широко используется

в численных методах теории крыла, когда несущая поверхность заменяется вихревым слоем. В отличие от классической крыльевой задачи, в которой обтекание крыла происходит с циркуляцией, а с его кромок в поток сходит вихревая пелена, в рассматриваемой задаче требуется определить главным образом обобщенные присоединенные массы, при нахождении которых вводится предположение о бесциркуляционном характере течения. Применение вихревых слоев возможно и в этом случае.

Воспользуемся таким подходом и заменим каждый конструктивный элемент объекта вихревым слоем, непрерывно распределенным по его поверхности. Далее применим метод вихревых отрезков [14], заменив непрерывный вихревой слой системой дискретных вихревых отрезков. Такой переход осуществляется в два этапа. На первом рассматриваемая вихревая поверхность разбивается на конечное число вихревых элементов (панелей), в пределах которых интенсивность вихрей принимается постоянной. Считается, что форма этих панелей треугольная. Затем каждый вихревой элемент заменяется системой трех дискретных вихревых отрезков [15] (рис. 2).

Интенсивность каждого из трех вихревых отрезков, составляющих замкнутую треугольную вихревую рамку, постоянна, но заранее не известна. Если число всех вихревых элементов (рамок) равно ЛГ, то и число неизвестных их интенсивностей (циркуляций) Тт(т = 1,2,. ..,ЛГ) также равно N. Для определения этих циркуляций использовалось граничное условие непротека-ния на поверхности 5 комплекса объект - специальные устройства для предотвращения колебаний:

\V-Ille = У-11

Рис. 2. К расчету вызванных скоростей и потенциала треугольного вихревого элемента.

скорость абсолютного

15 — ¥ ’

в котором - скорость жидкости в точке поверхности 5, V движения этой точки, п - нормаль к поверхности.

Если рассматривать абсолютное движение тела в покоящейся жидкости, то скорость Л¥ будет равна скорости, вызываемой всеми вихревыми рамками в точке на поверхности 5, абсолютная скорость движения этой точки будет складываться из скорости поступательного выбранного при решении задачи полюса "Ум и скоростей от вращения тела с угловой скоростью си^о вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс:

N

Л¥=£ГГ,

УГг,

V = Ум + Шк0 х гь

т=1

где тут - вектор скорости, вызываемый т-й треугольной вихревой рамкой единичной циркуляции; г*. - радиус-вектор расчетной точки относительно полюса. Чтобы вычислить вектор луто, необходимо сначала иметь формулу для нахождения скорости, вызываемой одним дискретным вихревым отрезком. Для этого можно воспользоваться известной формулой Био-Савара. Однако ее практическое использование связано с большим объемом вычислений и, главное, с возникновением неопределенности вида

(0/0) на оси отрезка за его пределами. Потому были применены более универсальные и экономичные зависимости, предложенные в [14]. Выражение для вектора скорости дискретного вихревого отрезка с единичной циркуляцией в этом случае имеет вид

47г(еХЬ1)818п(еЬ2)' ((|Ь2е| + |Ь2|)|Ь2| ((Ь1е)81ёп(еЬ2) + |Ь1|)|Ь1|)-

Смысл входящих в него величин может быть установлен с помощью рис. 2. Скорости, вызываемые рамкой, находятся векторным суммированием скоростей от каждого из отрезков, образующих треугольник. Затем можно перейти к определению циркуляций вихревых рамок. Для этого требовалось выполнение граничного условия непротекания не по всей поверхности системы объект - специальные устройства для предотвращения колебаний, а только в N дискретных точках - по одной в каждом элементе. В качестве таких точек, называемых контрольными, выбирались центры тяжести треугольных рамок, лежащие, как известно, на пересечении их медиан. Записав данные условия, можно получить систему из N линейных алгебраических уравнений

N

£ I • п* = V* • п*, к = 1,2,..., N. (8)

т=1

После решения системы уравнений (8) известными методами можно определить поле скорости, создаваемое элементом системы объект - специальные устройства для предотвращения колебаний при произвольном ее движении в пространстве. Несколько сложнее обстоит дело с вычислением вызванных потенциалов. Известно, что дискретный вихревой отрезок потенциала не имеет (это означает, что поле скоростей такого отрезка не потенциально). Вместе с тем потенциал замкнутых вихревых рамок, в том числе и треугольной, существует и равен потенциалу двойного слоя (вихревого слоя) поверхности, натянутой на нить, с плотностью, равной интенсивности вихревой нити. Через циркуляцию вихревой рамки Г потенциал можно вычислить следующим образом:

Г

# = —П в1§п(Ь1 • (Ь2 х Ь3)),

4п

где П - телесный угол, под которым из расчетной точки видна поверхность, ограниченная треугольной рамкой. Его величину можно расчитать через значения трех плоских углов а, 6, с (см. рис. 2) по формуле

. /? Р — а /3 — b /3 — с

11 = 4 arctan a tan — tan —-— tan —-— tan —-—,

2 2 2 2

где (3 = 0.5(а + b + с).

Таким образом, можно найти потенциал воздействия элемента системы объект -специальные устройства для предотвращения колебаний на невязкую жидкость как алгебраическую сумму потенциалов от всех N вихревых рамок:

1V N г

ф = Y. ф'" = L si8n (Li • №2 X L3)) •

m=1 m=1

Для определения обобщенных присоединенных масс необходимо вычислить единичные потенциалы (piw, г = 1,6, для шести направлений движения, а затем выполнить расчет

II

А

Б

2 3 4

5 к/а

Рис.. 3. Схема расположения специальных устройств (I) и результаты расчетов (II).

А - пакет двух дисков: 1 - эксперимент, 2 - расчет; Б - пакет трех дисков: 1,2- крайний диск, эксперимент и расчет соответственно; 3, 4 ~ средний диск, эксперимент и расчет соответственно.

0

1

по известным зависимостям [14,15]:

Следуя М. Д. Хаскинду [10], можно для вычисления демпфирования воспользоваться следующими приближенными выражениями:

-от/

V +

М1](0)

0(1

А22 = Т POV

4

Азз = ^pwSl

\ 3 т2

Л44 = ~^pov Jx

V +

P22(0)

0(v4),

1-2^Г(х+^М)

1

^55 = -лРО»Л,1у

Абб = T^i' 16

1 -1 -

Iz +

b0v m(0)

Jx P’^x bpV | Mi5(0)

Ji

Мбб(0)

/у pjy

2

+ О(И), О(И), О(И),

0{уь).

Результаты определения присоединенных масс для систем специальных устройств в форме дисков представлены на рис. 3.

Summary

Bogdanov А. V., Shulz V. U. The mathematical simulation modelling of surgeproof objects physical characteristics.

The article is focused on actual problem of physical effects mathematical simulation, which is the result of wave force to diverse floating objects. The objects are supplied of special arrangements oscillations averting.

Литература

1. Холодилин A. П., Шмырев A. H. Мореходность и стабилизация судов на волнении. JI.: Судостроение, 1976. 328 с.

2. Разумеенко Ю. В., Пыльнее Ю. В. Полупогруженное основание морских сооружений: Патент России № 2011599 с приоритетом от 08.07.91.

3. Разумеенко Ю. В., Карлинский С. Л., Быков Л. В. Полупогруженное основание морского сооружения: Патент России № 2034738 с приоритетом от 21.12.92.

4. Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Т. 2: Динамика. 6-е изд., испр. М.: Высшая школа, 1984. 423 с.

5. Ламб Г. Гидродинамика / Пер. с 6-го англ. издания. М.; JI.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1947. 928 с.

6. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.; JI.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1948. Т. 2. 535 с.

7. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Наука, Главная редакция физ.-матем. лит-ры, 1970. 904 с.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. М.: Наука, 1988. Т. VI. 736 с.

9. Луеовский В. В. Гидродинамика нелинейной качки судов. JI.: Судостроение, 1980. 255 с.

10. Хаскинд М. Д. Гидродинамическая теория качки корабля. М.: Наука, Главная редакция физ.-матем. лит-ры, 1973. 327 с.

11. Бородай И. К., Нецветаев Ю. А. Качка судов на морском волнении. JI.: Судостроение, 1969. 432 с.

12. Гурьев Ю. В., Пыльнее Ю. В., Разумеенко Ю. В., Шульц В. Ю. Метод снижения волновых нагрузок на буровые и добывающие платформы // Труды седьмой междунар. конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». Санкт-Петербург, Россия, 8-9 июня 2004 г. (ГА-2004, ISSN 1608-8182). СПб, 2004. С. 255.

13. Пыльнее Ю. В., Разумеенко Ю. В. Способ существенного уменьшения волновых возмущающих воздействий на плавающие и стационарные морские объекты // Изв. РАН. Сер. ММТ. 1997. № 5. С. 241-244.

14. Бабкин В. П., Белоцерковский С. М., Гуляев В. В., Дворак А. В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. М.: Наука, 1989. 287 с.

15. Гурьев Ю. В., Красиков В. П., Шульц В. Ю. Метод и результаты расчета обобщенных присоединенных масс трехмерных тел при Рг = 0 и Рг —► схз // Сборник материалов науч. конференции, посвященной 95-летию со дня рождения А. Н. Патрашева. СПб, 2005. С. 70-74.

Статья рекомендована к печати проф. А. М. Камачкиным.

Статья принята к печати 21 февраля 2008 г.