О МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДФОРМАЦИЯХ -КРАТНО -ВЕЕРНЫХ ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДФОРМАЦИЯХ n -КРАТНО о -ВЕЕРНЫХ ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

С.П. Максаков, М.М. Сорокина

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

Рассматриваются только конечные группы. Пусть Р - множество всех простых чисел, со -непустое подмножество множества Р. В статье изучаются свойства максимальных п -кратно со -веерных подформаций заданной n -кратно со -веерной формации. В работе установлено существование максимальной n -кратно о -веерной подформации для формации с определенными свойствами, получена характеризация формации Фтв„Р (F), являющейся пересечением всех

максимальных n -кратно о -веерных подформаций c направлением 5 заданной формации F .

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация, о -веерная формация, n -кратно о-веерная формация.

В теории классов конечных групп важное место занимают формации. В настоящее время для их изучения широко применяется функциональный подход, который впервые был предложен В. Гашюцем при построении локальных формаций [15]. В дальнейшем с помощью функциональных методов Л.А. Шеметковым были построены композиционные формации [11], о -локальные формации [12], где о - непустое множество простых чисел. В работе [8] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым построены L -композиционные формации, где L - непустой класс конечных простых групп. Важные результаты о строении, свойствах, применении локальных, о -локальных, композиционных, L -композиционных формаций получены Л.А. Шеметковым, А.Н. Скибой, С.Ф. Каморниковым, А.Ф. Васильевым, В.Н. Семенчуком, В.Г. Сафоновым, Н.Н. Воробьевым и др. (см., например, [5, 7-9, 13, 14]). В рамках нового функционального подхода к изучению классов конечных групп, предложенного В.А. Ведерниковым в 1999 году, были введены в рассмотрение о-веерные и Q -расслоенные формации (см., например, [2 - 4]), естественным образом обобщающие о-локальные и Q -композиционные ( L -композиционные при L = Q ) формации соответственно. Исследованием различных видов о -веерных и Q -расслоенных формаций занимались Ю.А. Еловикова, М.М. Сорокина, М.А. Корпачева, Н.В. Силенок, А.Б. Еловиков, Д.Г. Коптюх и другие (см., например, [2, 6, 10]). В монографии А.Н. Скибы [9] детально изучены свойства максимальных подформаций т-замкнутых n -кратно локальных формаций, где т - произвольный (регулярный) подгрупповой функтор. В работах А.Н. Скибы, Л.А. Шеметкова [7] и [8] представлены ключевые свойства максимальных подформаций n -кратно о -локальных и n -кратно L -композиционных формаций соответственно. Целью данной работы является изучение максимальных n -кратно о -веерных подформаций заданной n -кратно о -веерной формации конечных групп. В теоремах 1 - 3 исследованы вопросы существования максимальной n -кратно о -веерной подформации для заданной формации F . В теореме 4 получена характеризация формации Ф „ (F), являющейся пересечением всех максимальных

n -кратно о -веерных подформаций с направлением 5 заданной формации F .

Рассматриваются только конечные группы. Используемые обозначения и определения стандартны (см., например, [9, 13, 14]). Приведем лишь некоторые из них. Символ := означает равенство по определению. Классом групп называется множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы ей изоморфные. Через G обозначается класс всех конечных групп. Пусть X - непустое множество групп. Тогда (X) обозначает класс групп,

порожденный X ; в частности, (G) - класс всех групп, изоморфных группе G . Класс групп

5 называется формацией, если выполняется два условия:

1)из Ge$ и N <G следует G/N (т.е. класс $ Q -замкнут);

2) из G / Nj е F и G / N2 е F следует е 5 (т.е. класс 5 ^-замкнут).

Формацией, порожденной множеством групп X, называется формация, являющаяся пересечением всех формаций, содержащих множество X, и обозначается form (X). Класс групп $ называется классом Фиттинга, если выполняется два условия:

1)из Ge$ и N <G следует N (т.е. класс $ ¿'„-замкнут);

2) из G = Nflz, NX<G, N2<G и TVj, 7V2 е £ следует Gg$ (т.е. класс g R -замкнут). Пусть F _ непустой класс Фиттинга. F -радикалом группы G называется произведение всех нормальных подгрупп группы G, принадлежащих F, и обозначается GF. Через F F2

обозначается произведение классов групп F и F2, то есть

ft = (g е € | существует N < G, G/Neg^.

Пусть Р - множество всех простых чисел, со - непустое подмножество множества Р, р е Р . Через л (G) обозначается множество всех простых делителей порядка группы G , ж(X) - объединение классов ж(G) для всех G е X, где X - класс групп. Через Go обозначается класс всех о -групп, т.е. таких групп, для которых выполняется ж( G )со; У1р и <&р> '■ = ~ классы всех р -групп и всех /»'-групп соответственно; у -

класс всех групп, у которых нет ни одного композиционного фактора, изоморфного Z , где Z - группа простого порядка p; S - класс всех групп, у которых каждый главный p -фактор централен; O (G) := Ge - Go -радикал группы G .

Пусть h : Р —» { формации групп }, / : со U {со '} —> { формации групп }, где f (со ') ф 0, 8 : Р —» { непустые формации Фиттинга } - функции, называемые соответственно FF -функцией, coF -функцией и FFR -функцией [3]. Формация

H = ( G е G | G / G^^ е h (p) для всех p еж (G) )

называется веерной формацией с направлением S (или, кратко, 8 -веерной формацией) и спутником h и обозначается Sj = РF(h,S). Формация

5 = (Ge® | G/OJG)e f{a>') и G/Gs(p) е f(p) для всех реа>^ти(С)}

называется о -веерной формацией с направлением д (или, кратко, од -веерной формацией) и с о-спутником f и обозначается F = oF(f ,д) [3].

Направление S со -веерной формации называется bp -направлением, если S является Ъ -направлением, т.е. <5 (J 91 = 8(р) для любого ре Р, и д является р -направлением, т.е.

(р) = 8(р) для любого ре Р. Через S0 обозначается направление со-полной формации, т.е. <50(/>) = (5 , для любого />еР; через 8Х - направление со-локальной формации, т.е. 8г (р) = для любого ре Р; через S2 - направление со-специальной формации, т.е.

{p) = ®(z Л для ЛЮ^0Г0 Р через 8Ъ - направление со-центральной формации, т.е.

д3(р) = &ср для любого />еР [2]. Через сдР обозначим множество всех сд -веерных формаций групп.

Пусть п е Ми {О}, 8 - ¥1<Н -функция. Следуя [9], всякую непустую формацию считают 0-кратно сод -веерной формацией; при п > 0 сод -веерная формация $ называется п -кратно сод -веерной формацией (кратко, сд" -веерной) и обозначается сР" (/,д), если $ обладает

хотя бы одним сод1*"-1 -спутником, т.е. таким с-спутником, все непустые значения которого являются (п -1) -кратно сд -веерными формациями. Через сод"Р обозначим множество всех

п -кратно сд -веерных формаций конечных групп. В соответствии с [9], собственная сд" -веерная подформация М формации $ называется максимальной сд" -веерной подформацией формации $, если для любой сд" -веерной формации Н, удовлетворяющей условию М с Н ^ $, имеет место равенство М = Н • Через Ф ($) обозначается пересечение всех

максимальных сд" -веерных подформаций формации $ • Пусть X - непустое множество групп. Через соР" (X, д) обозначается " -кратно сд -веерная формация, порожденная

множеством X, т.е. соР" (X,д) - пересечение всех " -кратно сд -веерных формаций, содержащих X (см., например, [3]). Следуя [9], сд" -веерную формацию $ назовем сдп-неприводимой, если со/1'" (Ц^т^,^) с ^ , где { I / е / } - совокупность всех собственных сод" -веерных подформаций из $ ; группу О е $ назовем сд" -необразующей группой формации если из того, что £ = соР" (X и {С}, всегда следует $ = соР" (X, д) . Пусть { % | / е / } -совокупность формаций, удовлетворяющая условию П (1) для любых различных ¡,у е I. Через 0ге/^ обозначается совокупность всех групп вида Д х...хД , где А. е е для некоторых \,...,^ еI [9].

Пусть © - непустое множество формаций, упорядоченное относительно включения С, 51 и - © -формации (т.е. 51, е©). В соответствии с терминологией [1] точную нижнюю и точную верхнюю грани формаций $ и $ определяют соответственно следующим образом: М (З^) := $ л@ где $ л@ = $ П&,

= и) - пересечение всех ©-формаций, содержащих и & • Если

множество © замкнуто относительно пересечения и в © имеется такая формация М, что НС М для любой Не©, то тГ(%)е©, вир()е©, тем самым на множестве © задана структура решетки. В этом случае © называют полной решеткой формаций (см., например, [9]). Пусть 51,е©, 51 С . Через /© % обозначается решетка всех © -формаций Н, удовлетворяющих условию ^ С Н С . Поскольку 0 является " -кратно сд -веерной формацией и пересечение любой совокупности " -кратно сд -веерных формаций также является " -кратно сд -веерной формацией, то множество сод"Р является полной решеткой формаций.

Исходя из теоремы 1 работы [16], с помощью метода математической индукции нетрудно проверить справедливость следующей леммы.

Лемма 1. Пусть не!, д - Ьр-направление, удовлетворяющее условию 5] <5 < 5:..

Тогда решетка сд"Е всех " -кратно сд -веерных формаций конечных групп является модулярной решеткой.

Следующая лемма доказывается аналогично доказательству леммы 2.1.3 [9].

Лемма 2. Пусть иеМ, 8 - FFR-функция, д() < д, F, е coS" 1< , /е/, F = Ufe/F,- Если множество { F I i еI } является цепью, то F е cS"F.

Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 6 [16]. Лемма 3. Пусть /?eN, 8 - FFR-функция, $ = ft®£, где 5) и £ - такие неединичные формации, что а>Ф0, я(£)Г\а> и л($))Г\ тг(£)П<э = 0. Если 8 - bp -

направление, $, Sj е ct>8"F, то £ е coS"F.

Теорема 1. Пусть не!, 5 - FFR-функция, $ecdS"F. Если $ является а>8п-неприводимой формацией, то в ней существует единственная максимальная coS" -веерная подформация.

Доказательство. Пусть F - cS" -неприводимая формация, { F I i еI } - совокупность всех собственных сод" -веерных подформаций из J и coF" := . Так как формация

F cS" -неприводима, то M ^ F. Покажем, что M - максимальная ccS" -веерная подформация в F • Действительно, пусть H - такая ccS" -веерная подформация в F, что M ^ H ^ F • Тогда H е { F I i GI } . Отсюда, ввиду задания M, получаем, что H ^ M. Таким

образом, H = M. Тем самым установлено, что M - максимальная ccS" -веерная подформация формации F •

Покажем, что M - единственная максимальная ccS" -веерная подформация в F . Пусть X - произвольная максимальная сод" -веерная подформация формации F • Тогда X cz F и поэтому X с: coF" (Це/ д,, д) = Ш . Из X с: ЭД? с: F, в силу выбора X , получаем Х = Ш. Таким

образом, всякая максимальная cS" -веерная подформация F совпадает с M и, следовательно Ш - единственная максимальная сод" -веерная подформация формации F • Теорема доказана. Теорема 2. Пусть /?eN, 8 - bp -направление, 81<8<8Ъ, F = 25 v f), где 25 и

- соответственно однопорожденная и собственная cS" -веерные подформации формации F • Тогда в F существует максимальная <aSn -веерная подформация, содержащая .

Доказательство. Так как F = ® wwsf ft > т0 ^ = a>F" (55 U Sj, S). Рассмотрим формацию f| Й - Если 23П£) = 33, то 23^.£j и поэтому F = a>F" (25 U i), ¿>) с f), что, в силу невозможно. Следовательно, Покажем, что в 25 существует максимальная го 8" -

веерная подформация, содержащая 23 П Й • Пусть X - { X е a>SF | 25f|^^Xe25},

{ £г | / е / } - произвольная цепь в X и D\=\JieIXi. Тогда по лемме 2 Dgco8"F, причем 23 П 5} ^23. По условию 25 = a)F"(B,S), где В - некоторая группа. Если £> = 23, то найдется такое je/, что BeXj и 25 = coF" (В,8) с: Х], что противоречит выбору X.

Следовательно, D а 23 и поэтому ЮеХ. Тогда, согласно лемме Цорна, в X имеется максимальный элемент M.

Покажем, что - максимальная coS" -веерная подформация в 25. Действительно, пусть Ш с: £ с: 23, где £ е co8nF. Так как 23 П Й ^ , то 23 П £) ^ £ и поэтому £еХ. Тогда из M ^ £ следует, что M = £. Таким образом, M - максимальная cS" -веерная подформация в B . Так как, ввиду леммы 1, множество ccS"F является модулярной решеткой формаций, то, согласно [1, глава 1, п. 7], решетка (B

v<ds"f H) /ю"Р H изоморфна решетке

® !W8-F Aa,s"F ft) ' т е- $ ^cos-F & = ^ /o>s"f П . В силу данного изоморфизма, из того, что в 25 существует максимальная сод" -веерная подформация, содержащая 23 ПН, следует,

что в $ существует максимальная а>5" -веерная подформация, содержащая Н • Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть иеМ, 5 - Ьр-направление, удовлетворяющее условию 81<8<83, $ е а>8"¥, $ = ©ге/ ^, где ^ е со8Т, ч е I. Если формация $ обладает такой максимальной 6)3"-веерной подформацией Ш, что тг(Д. П9П)П соФ0 для любого / е /, и л($к (3,-П9Л))П<э = 0 для любого то найдется такое уе/, что

формация #. также обладает максимальной о8" -веерной подформацией.

Доказательство. Пусть формация $ обладает максимальной о8" -веерной подформацией М, удовлетворяющей условию теоремы. Предположим, что формация не имеет максимальных об" -веерных подформаций для любого /' е /. По определению а>8" -веерной формации Шф0. Тогда, согласно лемме 4.3.4 [9], 9П = ©ге/(Д. П9П). Пусть 9Л; := . П Ш, /' е /. Так как ЭДТ с: $, то существует такое / е /, что . Ф 3\. Ввиду Ш . с #. получаем, что ШJ с ^. По предположению формация #. не имеет максимальных о8" -веерных подформаций. Следовательно, в существует такая собственная о8" -веерная подформация что 9.П. с Г), с ,у . Пусть Ш],-.= ®1ЩАШ1 и £ := -11ЗЯ^).

Покажем, что М с Н с $ •

1. Проверим, что М с Н. Предварительно установим, что М с Н. Пусть О е М •

Тогда О = А. х... х А. , где \ е Мч , /г е I, г = 1, г. Пусть Ч * у для любого г = 1, г. Тогда О е Шг и О е Н. Пусть У е {/1 ,...,11} . Если г = 1, то г1 = it = у и О = Ау е с НУ. Поэтому при г = 1 имеем О е Н. Пусть г Ф1. Поскольку в прямом произведении А1 х... х А множители попарно перестановочны, то можем считать А = Ау-. Это означает, что О/А = О/А = А х...х А е М с Н . Пусть А := Ai х...х А, . Тогда

у Ч il it-l у — ^ il it-l

О/ А = А е с Н С Н . Так как Н - формация, то из О/ А. е Н и О/ А е Н следует, что С = С / (А; П ^4) е & ■ Таким образом, Ш с: ^.

Допустим, что М = Н. Тогда Н С М и, ввиду Ну С , получаем Н у С Му с Ну, что

невозможно. Тем самым установлено, что М с Н •

2. Покажем, что Н с $. Предварительно установим, что Н С $. Так как = соРп (S)J.{}ШГ,8} и $ - соб" -веерная формация, то достаточно проверить, что 3

содержит множество .ф. {JШj,. Действительно, из 5) у а с: 5 и ПЯ., сЭЛс^ следует, что ., <= # . Ввиду того, что - наименьшая а>8п -веерная формация, содержащая множество ■ и ПН , имеем 5} ^ $.

Допустим, что = Тогда Й П = 5 П = (1). С другой стороны, ^ П = и Так как 9Н = 9НуФ9Ну,, то, с учетом условия теоремы,

справедливо = = (я-(9Н;)П®) ^ 0 • Тогда по лемме 3

Му, еа>8п¥. Поскольку, согласно лемме 1, решетка со8"¥ модулярна, то, ввиду П Шу, = (1), имеем

(я, итг,8)п § = % (я, vшSПF шг) =

= *>, fe шг) = К Ufe nmt,)^) =

Таким образом, -fjflF, = $}}- (2). Из (1) и (2) следует равенство Fy =$}}-, что, в силу выбора формации H j, невозможно. Следовательно, H ^ F • Поэтому H œ F •

Из 1 и 2 получаем M œ H œ F, что противоречит выбору M. Таким образом, найдется j g I такое, что формация F обладает максимальной oö" -веерной подформацией. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть /îgN, S bp -направление, удовлетворяющее условию 5г<5 <S3, и F g coö" F . Тогда формация Ф „ (F) совпадает с множеством всех oö" -необразующих групп формации F •

Доказательство. Пусть K - множество всех coö" -необразующих групп формации F •

1. Установим, что Ф n (F) Ç K. Пусть G g Ф г„ (F). Проверим, что G g K . Пусть

F = coF" (X U{G}, J). Достаточно показать, что F = ®Fn (X, S). Отметим, что coF" (X,<5) <= F • Допустим, что coFn(X,ô)<^3 . Так как a>F" (X[J{G},S) = a>F" (X,S)vagnp a>F" (G,S), то по

теореме 2 в F существует такая максимальная coö" -веерная подформация H, что oF" (X,ô)ç H, и, значит, X ç H. Поскольку G g ф (F), то G g H • Тогда a>F" (XUjG},^ ç= Sj и = Получили противоречие. Таким образом, coF" (X,S) = F и поэтому G g K . Следовательно, Ф s„ (F) Ç K •

2. Покажем, что K ç Ф s„ (F). Пусть K g K. Предположим, что K (F). Тогда Ф s„ (F) ^ F и, согласно определению формации Фа^р (F), в F существует такая максимальная coö" -веерная подформация Fi, что K £ F1. Рассмотрим формацию oF" {*},<?). Так как $ = coF" ô) с coF" ç F , то coF" = F . Ввиду выбора группы K, имеем oF" (F,ö) = F. Это означает, что F1 = F . Получили противоречие. Таким образом, K g Ф г„ (F) и поэтому K ç Ф (F) •

Из 1 и 2 следует, что Ф „ (F) = Я. Теорема доказана.

Замечание 1. В случае со = Р из теорем 1-4 вытекают аналогичные свойства 5-веерных формаций групп.

Список литературы

1 Биркгоф Г. Теория решеток: перевод с английского - Москва: Наука, 1984. - 568 с. 2^ Ведерников В.А. О новых типах о -веерных формаций конечных групп // Украшський математический конгресс - 2001, Пращ, Кшв, Секщя 1, (2002), 36-45^ Ведерников В.А., Сорокина М.М. о-Веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Математические заметки, 71:1 (2002), 43-60^ 4^ Ведерников В.А., Сорокина М.М. Q -Расслоенные формации и классы Фиттинга

конечных групп // Дискретная математика, 13:3 (2001), 125-144• 5^ Воробьев НН Алгебра классов конечных групп - Витебск: Витебский гос университет

им^ ПМ^ Машерова, 2012^ 6^ Еловикова Ю.А. Решетки Q-расслоенных формаций // Дискретная математика, 14:2 (2002), 85-94.

7. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно о -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. тр., 2:2 (1999), 114-147^

Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно L -композиционные формации конечных групп // Украинский матем. журнал, 52:6 (2000), 783-797^

9. Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Минск: Беларуская навука, 1997. - 240 с.

10. Сорокина М.М., Корпачева М.А. Критические c -веерные т -замкнутые формации конечных групп // Дискретная математика, 32:1 (2011), 94-101.

11. Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп // Матем. сб., 94:4 (1974), 628-648.

12. Шеметков Л.А. О произведении формаций // Докл. АН БССР, 28:2 (1984), 101-103.

13. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 с.

14. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. - Berlin: Gruyter, 1992. - 891 p.

15. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z., 80:4 (1963), 300-305.

16. Maksakov S.P. On the lattices of the c-fibered formations // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 27:1 (2021), 258-267.

Сведения об авторах

Сорокина Марина Михайловна - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: mmsorokina@yandex. ru.

Максаков Серафим Павлович - аспирант 4 курса физико-математического факультета по направлению «Математика и механика» Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: msp222@mail.ru.

ON THE MAXIMAL SUBFORMATIONS OF " -MULTIPLE c -FIBERED FORMATIONS OF FINITE GROUPS

S.P. Maksakov, M.M. Sorokina

Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky

Only finite groups and classes of finite groups are considered. A class of groups is called a formation if it is closed under homomorph images and under subdirect products. Let P be the set of all primes and со be a nonempty subset of the set P. In the paper we study properties of maximal n -multiple со -fibered subformations of a given " -multiple c -fibered formation. The existence of a maximal «-multiple c -fibered subformation in a formation with certain properties is established. A characterization of the formation Ф S"P (F) which is the intersection of all maximal " -multiple c -fibered subformations with the direction S

of the formation F is obtained.

Key words: a finite group, a class of groups, a formation, an c - fibered formation, " -multiple c-fibered formation.

References

1. Birkhoff G. Lattice Theory. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1967, - 418 p. Translated to Russian under the title «Teoriya reshetok» - Moscow: Nauka Publ., 1984, - 568 p.

2. Vedernikov V.A. On new types of c-fibered formations of finite groups // Ukrainian Mathematical Congress - 2001. Section 1. Kiev: Inst. Matematiki NAN Ukrainy, (2002), 36-45.

3. Vedernikov V.A., Sorokina M.M. c -Fibered formations and Fitting classes of finite groups // Mathematical notes, 71:1 (2002), 43-60.

4. Vedernikov V.A., Sorokina M.M. Q -foliated formations and Fitting classes of finite groups // Discrete mathematics, 13:3 (2001), 125-144.

5. Vorob'ov N.N. Algebra of classes of finite groups. - Vitebsk: BSU named after P.M. Masherov, 2012. - 322 p.

6. Elovikova Y.A. On the lattices of Q-foliated formations // Discrete mathematics, 14:2 (2002), 85-94.

7. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Multiple c -local formations and Fitting classes of finite groups // Matem. Tr., 2:2 (1999), 114-147.

8. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Multiple L -compositional formations of finite groups // Ukrainian Math. Journal, 52:6 (2000), 783-797.

9. Skiba A.N. Algebra of formations. - Minsk: Belarusian science, 1997. - 240 p.

10. Sorokina M.M., Korpacheva M.A. The critical c -foliated t -closed formations of finite groups // Discrete Math. Appl., 21:1 (2011), 69-77.

11. Shemetkov L.A. Graduated formations of groups // Math., USSR SB., 94:4 (1974), 628-648.

12. Shemetkov L.A. On product of formations // Academy of Sciences USSR SB report, 28:2 (1984), 101-103.

13. Shemetkov L.A. Formations of finite groups. - Moscow: Nauka, 1978. - 240 p.

14. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. - Berlin: Gruyter, 1992. - 891 p.

15. Gaschutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z., 80:4 (1963), 300-305.

16. Maksakov S.P. On the lattices of the c-fibered formations // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 27:1 (2021), 258-267.

About authors

Sorokina M.M. - Doctor in Physical and Mathematical Sciences, Professor of Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: mmsorokina@yandex.ru.

Maksakov S.P. - Postgraduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: msp222@mail.ru.