CC BY
39
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
УДК 373.5.016:51
Бабенко Алена Сергеевна
кандидат педагогических наук
Смирнова Елена Сафаровна
кандидат педагогических наук
Троскина Алена Евгеньевна Ширяев Кирилл Евгеньевич
кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
О ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЯХ И СВЯЗАННЫХ С НИМИ ПРОТИВОРЕЧИЯХ
В данной статье поднимается вопрос о таком понятии школьного математического образования, как линейная функция, а также раскрываются некоторые смысловые противоречия, возникающие в связи с определением этого понятия. Указаны различные подходы к определению понятия функции в границах основного общего и высшего образования. В ходе исследования методики изучения понятия линейной функции в школьном математическом образовании выявлено противоречие между строгим математическим понятием свойства линейности и определением линейной функции. Авторы указывают на наиболее предпочтительные подходы к изучению линейной функции в школе, описывают некоторые методические приемы, способствующие формированию представления обучаемых о свойствах линейности.
Ключевые слова: функция, функциональная линия, линейная функция, функционал, линейность, обучение математике, проектный метод.
В данной статье поднимается вопрос о таком понятии школьного математического образования, как функция и, в частности, линейная функция.
Актуальность изучения понятий функции, отображения и зависимости обусловлена тем, что понятие функции является одним из основных в науке, имеет мировоззренческое и общекультурное значение и, кроме того, является базовым для функциональной линии, именно поэтому умение работать с функциональными зависимостями немаловажно при подготовке школьника к единому государственному экзамену (см. [4; 6; 7]). Благодаря функциям можно изучать физические величины в их взаимосвязи, а с помощью свойств функций решать математические задачи.
Несомненно, осмысление понятия функции очень важно при изучении школьной математики. Многие педагоги считают это понятие фундаментальным и смыслообразующим, поэтому невозможно себе представить преподавание математического анализа, а также отдельных тем алгебры и геометрии без понимания того, что такое функция.
Однако изучение функциональных понятий в школе таит свои особенности. Речь идет о такой простой и изученной разновидности функций, как линейная. На первый взгляд кажется, что о линейной функции известно все, и никаких «сюрпризов» это математическое понятие преподнести не может, тем более в школе. Однако, некоторые авторы (например, И.А. Хованская, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ [16]) указывают на противоречие вузовского и школьного курса математики, связанное именно с понятием линейной функции. В подобных работах речь идет о том, что
линейная функция вовсе не обладает строгим математическим свойством линейности, и поэтому «не оправдывает» свое название.
В большинстве учебников для вузов понятие линейной функции не приводится. Например, авторы учебника [11] выделяют следующие функции: 1) многочлен; 2) рациональная; 3) алгебраическая; 4) трансцендентная. Однако во всех вузовских учебниках рассматривается понятие функционала, как обобщение понятия функции, и, в частности, функционала линейного.
Определение 1. Отображения, аргументами ко -торых служат элементы линейного пространства, а значениями - вещественные числа, называются функционалами [10]. В частном случае, когда аргументом будут также вещественные числа (а пространство их - числовая прямая - является линейным), функционалами будут и всем привычные классические «школьные» функции.
Определение 2. Функционал 1(х), определенный в линейном пространстве, называется линейным, если для любых элементов х и г линейного пространства и любых действительных чисел а и в справедливо равенство: 1(ах + /х) = а1(х) + /АХ) (линейное свойство функционала) [10].
Таким образом, любой функционал, обладающий определенными свойствами, является линейным. Эти свойства называются свойствами линейности. Но тогда линейная функция, как частный случай линейного функционала, у = Лх) будет линейной, если она будет обладать аналогичным свойством, то есть /(ах + /х) = оДх) + /Л2). Однако, если рассматривать введенное в некоторых школьных учебниках определение, линейная функция (несмотря на название) не обладает свойством линейности!
© Бабенко А.С., Смирнова Е.С., Троскина А.Е., Ширяев К.Е., 2018
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ ]4 2
145
Рассмотрим функцию y = kx + b, которая называется линейной функцией в школьных учебниках.
Возьмем произвольные действительные числа а и в, и любые элементы х и z из области определения функции. При ненулевом b
f(ax + Pz) = k(ax + fîz) +b = = akx + Pkz +b Ф afx) + fz).
Таким образом, функция y = kx + b не обладает указанным свойством.
Но, разумеется, в частном случае, если b равно нулю, то функция y = kx, которая в школьных учебниках называется прямой пропорциональностью, является линейной функцией.
Возьмем произвольные действительные числа а и в, и любые элементы х и z из области определения функции. При ненулевом b
fax + Pz) = k(ax + Pz) = akx + pkz = afx) + fz).
Таким образом, функция y = kx обладает свойством линейности.
В методической литературе для студентов педагогических вузов, также поднимается вопрос о понятии линейной функции. Автор учебного пособия «Основные понятия школьной математики» В. А. Любецкий, дает следующее аксиоматическое определение линейной функции:
Определение 3. Линейной функцией называется любой непрерывный гомоморфизм группы R+ в себя, т.е. любая функция f из множества R в себя, обладающая свойствами:
1)f(x + y) = fx) + fy) для всех x, y g R;
2) f непрерывна [12].
Определение 4. Линейной функцией с коэффициентом а, где a g R, называется любая линейная функция, обладающая дополнительным свойством:
3)fl) = a [12].
На основании данных определения он доказывает свойства линейной функции:
4) f0) = 0;
5) f- x) = - fx);
6) fA x) = A fx) для всех A, x, g R [12].
В завершении В. А. Любецкий утверждает, что определение линейной функции, данное в школьных учебниках, не удовлетворяет аксиоматическому определению 4.
Вероятно, неким оправданием неточности термина линейной функции может служить традиция его применения в отечественном математическом образовании.
В учебнике С.С. Державина «Элементарная алгебра» 1926 года выпуска рассматривается функция вида y = kx + b, при этом данная функция не имеет никакого особого названия. Изложение этого вопроса начинается с рассмотрения прямо пропорциональных зависимостей и графического изображения закона прямой пропорциональности, при этом рассматриваются различные графики функций, вида y = kx. Дальнейшее изложение материала в учебнике
связано с построением графика функции у = кх + Ь, особое внимание при этом уделяется различным вариантам значения параметра к. Термин «линейная функция» в тексте учебника отсутствует [9].
В учебнике «Алгебра» А.Н. Барсукова для 6-8 классов 1966 года выпуска понятие линейной функции уже присутствует. Сначала в изложении учебника представлено понятие линейной зависимости между величинами: «Зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у = кх + Ь, где к и Ь - числа, называется линейной зависимостью». Далее, рассматривается график линейной зависимости, а также графики прямой и обратной пропорциональностей, и в дальнейшем, при переходе к изучению вопроса о функциях, автор приводит определение уже линейной функции: «Многочлен первой степени относительно аргумента называется линейной функцией этого аргумента». Таким образом, А.Н. Барсуков определяет функцию, как линейную именно с позиции перехода к ней от понятия линейной зависимости между величинами [8].
Обратимся еще к одному учебнику математики советской эпохи - учебнику алгебры 6 класса под редакцией Ю.Н. Макарычева. В этом издании 1974 года выпуска также представлено определение линейной функции: «Функция, которую можно задать формулой вида у = кх + Ь, где х и у - переменные, а к и Ь - числа, называется линейной». Перед введением этого понятия рассмотрена задача о железном стержне, длина которого изменяется в зависимости от изменения температуры. Дальнейшее изложение учебника посвящено изучению графика линейной функции и особенностям расположения графика в зависимости от значения углового коэффициента. Почему линейная функция получила такое название, в тексте учебника не было никак оговорено, в результате чего появился некий разрыв или некое противоречие школьной и высшей математики в плане терминологии в изучении именно функциональных зависимостей [13].
У современных авторов изложение данного вопроса в учебной математической литературе также продолжает традицию.
В учебнике Алгебры 7 класса авторского коллектива А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир (учебное издание с грифом ФГОС 2015 года выпуска) также представлено определение линейной функции: «Функцию, которую можно задать формулой у = кх + Ь, где к и Ь - некоторые числа, х - независимая переменная, называют линейной». Перед введением этого понятия авторы описывают два примера, моделирующие реальные ситуации, в ходе решения которых осуществляется переход к представлению функциональных зависимостей. Отметим, что в тексте учебника нет никакого пояснения о том, почему функция, вида у = кх + Ь, получила такое название, как линейная [14].
146
Вестник КГУ 2018
Обратимся еще к одному научному коллективу, а именно Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин, под чьим авторством был издан учебник Алгебра 7 класс (учебное издание с грифом ФГОС 2012 года выпуска). В данном издании представлено определение линейной функции следующим образом: «Линейной функцией называется функция, вида у = кх + Ь, где к и Ь -заданные числа. Можно показать, что графиком линейной функции у = кх + Ь является прямая. Так как прямая определяется двумя ее точками, то для построения графика функции у = кх + Ь достаточно построить две точки этого графика». Достаточно «обширное» определение, на наш взгляд, указывающие также и на алгоритм построения графика. Дальнейшее изложение учебника посвящено изучению графиков линейных функции, при различных значениях, входящих в нее коэффициентов. Указания на то, почему функция у = кх + Ь получила такое название, как линейная, также нет [3].
В современном учебнике Ю.Н. Макарычева и др. (учебное издание с грифом ФГОС 2013 года выпуска) приводится следующее определение линейной функции: «Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой, вида у = кх + Ь, где х - независимая переменная, а к и Ь - некоторые числа». Перед формулировкой определения в тексте учебника представлены два примера задач, приводящих к понятию линейной функции. Далее изложение посвящено рассмотрению графиков линейных функций и особенностям их взаимного расположения. Сведений о том, почему данная функция получила название линейной, в тексте учебника не представлено [1].
Несколько другой подход к методике введения понятия линейной функции представлен в учебнике алгебры 7 класса под редакцией А.Г. Мордко-вича (учебное издание с грифом ФГОС 2013 года выпуска). В тексте учебника, в преддверии введения понятия линейной функции, автор обращается к понятию линейного уравнения. Для этого рассматривает некоторую реальную ситуацию, описанную в виде текстовой задачи и, в процессе ее решения, переходит к математической модели, представленной в виде уравнения. Далее автор дает пояснение: «Уравнение ах + Ьу + с = 0, где а, Ь, с -числа (коэффициенты), - это линейное уравнение с двумя переменными х и у». После изучения особенностей построения линейных уравнений, автор переходит к введению понятия линейной функции. С этой целью, в тексте учебника показано, что линейное уравнение, вида ах + Ьу + с = 0 с двумя переменными х и у в случае, когда Ь Ф 0, можно преобразовать к виду у = кх + т, где к, т - числа (коэффициенты). Автор пишет так: «Это частный вид линейного уравнения. Зная, чему равен х, по правилу у = кх + т всегда можно найти, чему равен у. Будем называть уравнение у = кх + т, где к,
т - числа (коэффициенты) линейной функцией». Данный подход, по нашему мнению, отличается от других подходов к введению понятия линейной функции среди авторов современных учебников математики. А.Г. Мордкович также приводит следующее пояснение: «В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например «дом», «здание», «сооружение»... В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + т, где к, т - конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + т» [2].
На основе анализа современных учебных изданий, можно сделать вывод, что методика введения понятия линейной функции наиболее подробно представлена в изложении учебника Алгебры 7 класса А.Г. Мордковича. Само понятие «линейной функции» в тексте учебника плавно вытекает из понятия линейного уравнения, которое рассматривается предварительно. Тем не менее, обращаясь к области строгой математики, отметим, что противоречивость понятий линейной функции, представленной в школьных учебниках, и линейного функционала, частным случаем которого является линейная функция, все же остается. В любом случае при определении линейной функции стоит объяснить школьникам о разных точках зрения на этот термин. Это вопрос дискуссионный и может быть поставлен в качестве проблемы исследовательского проекта для обучающихся 10-11 классов (см. пример [5, 15]) или вынесен на рассмотрение в элективном курсе.
В заключение авторы все-таки приведут строгие «нешкольные» определения линейности и некоторые примеры линейных операций. Важность этого объясняется тем, что школьные определения в ВУЗе «по инерции» ведут к принципиальному непониманию таких важных понятий, как дифференциал функции (линейная часть приращения), а это, в свою очередь влечет неумение интегрировать методом подстановки. Более того, возникла непонятная тенденция называть скалярное и векторное произведения в курсе ВУЗовской геометрии нелинейными операциями над векторами (в отличие от линейных - умножения на число и сложения). И вот тут уже не может быть никаких неясностей -называть скалярное произведение нелинейным попросту неверно, а для преподавателя еще и непрофессионально.
Определение 5. Операция (функция, функционал, отображение и т. д.) называется линейным, если образ суммы равен сумме образов, а образ
Педагогика. Психология. Социокинетика ^ ]4 2
147
произведения на скаляр - произведению этого скаляра на образ.
Утверждение 1. Операция скалярного произведения линейна по каждому из аргументов.
Доказательство. Операция скалярного произведения удовлетворяет по определению аксиомам:
1. Строгой неотрицательности
(а, а) > 0,(а, а) = 0 = 0.
2. Симметричности
(а, Ь) = (Ь, а), и
3. Линейности
(аа+¡3 Ь, с) = а (а, с) + ¡3 (Ь, с).
Собственно, из третьей аксиомы и следует линейность операции скалярного произведения по первому аргументу. В силу второй аксиомы линейность сохранится и для второго аргумента.
Утверждение 2. Векторное произведение двух векторов является линейной операцией по каждому из них.
Доказательство. Аксиомы векторного произведения
1. Антикоммутативность
[а х Ь\= - [а х Ь>\.
2. Дистрибутивность
[(а + Ь) с\= [ахс\+ [Ьхс\.
3. Сочетательность
а а х Ь\ = а [а хЬ\ или [а х3 Ь\=3 [а х Ь\, где а, в - произвольные действительные числа.
Здесь аксиомы 2 и 3 и есть условия линейности по первому аргументу, линейность по второму следует из аксиомы 1.
Приведенные здесь утверждения не содержат каких-то специфических «сложных» доказательств и вполне доступны старшим школьникам на элективных курсах и первокурсникам в качестве обязательной программы. Усвоение строгого взгляда на термин линейность приучит учеников к культуре математического языка и будет способствовать развитию интереса к математическим дисциплинам.
Изучение функциональной линии довольно трудоемкий и нередко сложный процесс для школьника. Обучающиеся школ испытывают трудности при изучении функциональных зависимостей в таких вопросах, как нахождение области определения и множества значений функции; описание свойств функции (в особенности четность-нечетность, периодичность); построение и исследование графиков функций с помощью методов математического анализа. С целью наиболее успешного изучения функциональной линии, по нашему мнению, необходимо грамотно организовывать формирование представлений о функциональных зависимостях в 1-6 классах, а также наиболее подробным образом рассматривать первую разновидность функции, с которой знакомятся обучающиеся в курсе школьной математики - линейную функцию.
Библиографический список
1. Алгебра. 7 класс / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2013. - 256 с.
2. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч 1 / А.Г. Мордко-вич. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.
3. Алгебра. 7 класс. / Ю.М. Колягин, М.А. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин. - М.: Просвещение, 2012. - 319 с.
4. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыци-на Т.Н. Анализ структуры заданий единого государственного экзамена по математике за 2016 год по Костромской области // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинетика. - 2016. -Т. 22. - № 4. - С. 34-37.
5. Бабенко А.С., Стрункина К.Ю. Применение метода проектов при изучении функциональной линии в школе // Актуальные проблемы преподавания информационных и естественно-научных дисциплин: материалы XI Всерос. науч.-метод. конф. / сост. С.М. Шляхтина. - Кострома: Изд-во Костром. гос. ун-та, 2017. - С. 18-22.
6. Бабенко А.С., Марголина Н.Л., Матыци-на Т. Н. Анализ результатов проверки заданий с развернутым ответом единого государственного экзамена по математике за 2015 год // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокинети-ка. - 2016. - Т. 22. - № 2. - С. 14-16.
7. Бабенко А. С., Марголина Н.Л., Матыцина Т.Н. Динамика результатов единого государственного экзамена по математике за 2014-2016 годы по Костромской области // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социокинетика. -2017. - № 1. - С. 28-30.
8. БарсуковА.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. - М.: Просвещение, 1966. - 296 с.
9. Державин С.С. Элементарная алгебра. - Л.: Гос. изд-во «Ленинград», 1926. - 271 с.
10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть II. - М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2002. - 464 с.
11. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. - М.: Дрофа, 2003. - 704 с.
12. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. - М.: Просвещение, 1987. - 400 с.
13. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Мура-вин К. С. Алгебра: учебное пособие для 6-го класса средней школы. - М.: Просвещение, 1974. - 223 с.
14. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра: 7 класс. - М.: Вентана - Граф, 2015. - 272 с.
Вестник КГУ Л 2018
148
15. Смирнова Е.С. Роль исследовательских задач в развитии исследовательских компетенций будущих бакалавров по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. Серия: Педагогика. Психология. Социальная работа. Ювенология. Социокине-тика. - 2014. - № 2. - С. 103-106.
16. Хованская И.А. Линейные функции на линейном пространстве [Электронный ресурс]. - Режим доступа: www.coursera.org/learn/algebra-lineynaya/ lecture/pA1gm/2-2-linieinaia-funktsiia-na-linieinom-prostranstvie (дата обращения: 11.03.2018).
References
1. Algebra. 7 klass / YU.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; pod red. S.A. Telyakovskogo. - M.: Prosveshchenie, 2013. -256 s.
2. Algebra. 7 klass. V 2 ch. CH 1 / A.G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.
3. Algebra. 7 klass. / YU.M. Kolyagin, M.A. Tkachyova, N.E. Fyodorova, M.I. SHabunin. -M.: Prosveshchenie, 2012. - 319 s.
4. Babenko A.S., Margolina N.L., Matycina T.N. Analiz struktury zadanij edinogo gosudarstvennogo ehkzamena po matematike za 2016 god po Kostromskoj oblasti // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Social'naya rabota. YUvenologiya. Sociokinetika. - 2016. - T. 22. - № 4. - S. 34-37.
5. Babenko A.S., Strunkina K.YU. Primenenie metoda proektov pri izuchenii funkcional'noj linii v shkole // Aktual'nye problemy prepodavaniya informacionnyh i estestvenno-nauchnyh disciplin: materialy XI Vseros. nauch.-metod. konf. / sost. S.M. SHlyahtina. - Kostroma: Izd-vo Kostrom.gos. un-ta, 2017. - S. 18-22.
6. Babenko A.S., Margolina N.L., Matycina T.N. Analiz rezul'tatov proverki zadanij s razvernutym otvetom edinogo gosudarstvennogo ehkzamena po matematike za 2015 god // Vestnik Kostromskogo
gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Social'naya rabota. YUvenologiya. Sociokinetika. - 2016. - T. 22. -№ 2. - S. 14-16.
7. Babenko A.S., Margolina N.L., Matycina T.N. Dinamika rezul'tatov edinogo gosudarstvennogo ehkzamena po matematike za 2014-2016 gody po Kostromskoj oblasti // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Sociokinetika. -2017. - № 1. - S. 28-30.
8. Barsukov A.N. Algebra. Uchebnik dlya 6-8 klassov. - M.: Prosveshchenie, 1966. - 296 s.
9. Derzhavin S.S. EHlementarnaya algebra. - L.: Gos. izd-vo «Leningrad», 1926. - 271 s.
10. Il'in V.A., Poznyak EH.G. Osnovy matematicheskogo analiza: V 2-h ch. CHast' II. - M.: FIZMATLIT, 2002. - 464 s.
11. Kudryavcev L.D. Kurs matematicheskogo analiza. T. 1. Differencial'noe i integral'noe ischisleniya funkcij odnoj peremennoj. - M.: Drofa, 2003. - 704 s.
12. Lyubeckij V.A. Osnovnye ponyatiya shkol'noj matematiki. - M.: Prosveshchenie, 1987. - 400 s.
13. Makarychev YU.N., Mindyuk N.G., Muravin K.S. Algebra: uchebnoe posobie dlya 6-go klassa srednej shkoly. - M.: Prosveshchenie, 1974. -223 s.
14. Merzlyak A.G., Polonskij VB., YAkir M.S. Algebra: 7 klass. - M.: Ventana - Graf, 2015. - 272 s.
15. Smirnova E.S. Rol' issledovatel'skih zadach v razvitii issledovatel'skih kompetencij budushchih bakalavrov po napravleniyu podgotovki «Prikladnaya matematika i informatika» // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.A. Nekrasova. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Social'naya rabota. YUvenologiya. Sociokinetika. - 2014. - № 2. -S. 103-106.
16. Hovanskaya I.A. Linejnye funkcii na linejnom prostranstve [EHlektronnyj resurs]. - Rezhim dostupa: www.coursera.org/learn/algebra-lineynaya/ lecture/pA1gm/2-2-linieinaia-funktsiia-na-linieinom-prostranstvie (data obrashcheniya: 11.03.2018).
Педагогика. Психология. Социокинетика J №2
149
