CC BY
9
Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2005. №3
11
УДК 521.1
О ЛИНЕЙНОЙ НОРМАЛИЗАЦИИ ГАМИЛЬТОНИАНА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А. Ю. Кочеткова
(.ГАИШ) E-mail: sunny@sai.msu.ru
Исправлены неточности метода нормализации невозмущенных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами.
Введение
Нормализация функции Гамильтона линеаризованной системы уравнений подробно описана А. П. Маркеевым [1]. Он привел алгоритмы построения матрицы приведения квадратичной части гамильтониана к каноническому виду для дифференциальных систем как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. В результате функция Гамильтона линеаризованной системы в новых координатах записывается в виде суммы независимых осцилляторов. После этого становится возможным произвести нормализацию членов более высоких порядков исходной системы уравнений, что позволит, например, получить более точные решения нелинеаризованной системы и сделать выводы об устойчивости решений с точностью до членов четвертой и выше степеней разложения по обобщенным координатам и импульсам.
Однако на практике при использовании предложенного алгоритма для систем с периодическими коэффициентами матрица приведения не давала требуемого канонического вида квадратичной части гамильтониана (не соблюдалось условие унивалентности преобразования). В настоящей работе предпринята попытка исправить неточности метода и в качестве примера исследована устойчивость треугольной точки либрации системы Солнце-Юпитер.
Постановка задачи
Рассматривается каноническая система дифференциальных уравнений:
dqi дН dpi дН dt dpi' dt dqi'
(1)
где и рг (г = 1,..., п) — обобщенные координаты и импульсы. Начало координат
т = Рг = О
является положением равновесия системы (1), устойчивым в линейном приближении. Тогда разложение гамильтониана в начале координат начинается с членов второго порядка по степеням ^ и р^:
Н = П> + //;; + // 1
где
II н hvi,...,vn44,--;lin(t)
X
и1 + ... + ип+ X # ■.. -РЧ1 .... .рй».
+Ц1 + ... + ц„ = п
Задача состоит в построении матрицы Ь перехода
к новым координатам в которых
Яг запишется в виде
1
(3)
fc=i
где ±гст£ — характеристические показатели уравнений невозмущенного движения, соответствующего системе (1).
Свойства матрицы перехода
Для удобства дальнейших преобразований введем вектор хт = (жь ...,хп, хп+1,..., х2п), где через XI,... ,хп обозначены координаты дх,..., д„, а ж„+1,..., Х2П соответствуют р1,...,рп- Тогда уравнения невозмущенного движения системы (1) можно записать в матричном виде:
i = IH х,
(4)
где I =
-Е*
Е„
О
, а матрица Н — вещественная,
симметрическая, непрерывная, 2тт-периодическая по времени.
Искомое преобразование координат Ь должно удовлетворять следующим свойствам: оно должно быть вещественным, 2ж-периодическим и канонически унивалентным.
Если Х(£) — фундаментальная матрица решений системы (4), г£ и — вещественная и мнимая части собственного вектора мультипликатора р^, соответствующего характеристическому показателю гсг£, то матрица Ь представима как произведение матриц:
Ь = Х(*)-Р-<}(*), (5)
где
Q (*) =
cosKt — sid К/ . sinKt cosKt .
6 ВМУ, физика, астрономия, №3
12
Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2005. №3
( si
sinKí =
eos Kí =
SÍI1 (Tlí
0
\
COS (J]t
SÍll(7„í y 0
\
o
cos antj
у матрицы Р к-й столбец: п+к-й столбец:
(—(¿ы-гь). Чтобы выполнялось условие унивалентности преобразования, коэффициенты должны удовлетворять уравнению
d2
кк
(rk,lsk) =
Вычисленная таким образом матрица Ъ приводит гамильтониан Н2 к виду (3), а систему (4) — к системе с постоянными коэффициентами.
Устойчивость треугольной точки либрации
системы Солнце-Юпитер
Теперь, используя исправленный метод нормализации гамильтониана, пересчитаем устойчивость лагранжевой точки либрации системы Солнце-Юпитер.
Функция Гамильтона тела пренебрежимо малой массы в гравитационном поле Солнце-Юпитер имеет вид
H=kp¡
+ Р\ <к + Р-><1\
ecos v
MI
4Í
4)
-и,
(6)
2(1 + ecosv) " ' " 1 + ecosv где e = 0,0482538 — эксцентриситет орбиты Юпитера; v — истинная аномалия, выполняющая функцию времени; U — потенциальная энергия: 1 -Р , ti
U =
é
—2; é
М = тзиуЦт® + тиир) = 0.0009539 — массовый параметр (отношение масс Юпитера и Солнца).
Поскольку в квадратичную часть гамильтониана (6) координаты дз и рз входят в каноническом виде, нормализацию Н2 достаточно провести по переменным <71, <72 > и р2 ■ Решив характеристическое уравнение линеаризованной системы, получим:
(71 = 0.9968, (т2 = ^0.0808. А матрица Р в формуле (5):
/^0.9537 0.1660 0.8628
-0.1875 0.1595 ^0.9412
-0.7006 0.1220 ^0.0254
\ 0 0 0.6864
Р =
4.1488 \ ^2.3964 2.2726 3.9429 /
(7)
После этого, подставив (7) в (5), получаем нормализующую матрицу Ь. Нормализацию членов гамильтониана третьего и четвертого порядка разложения можно провести методом точечных отображений [2]. Подробное описание применения этого метода для решения аналогичных задач изложено в работе [3].
В переменных действие-угол (р,ф) нормализованный гамильтониан примет вид [4]
Н = (71Г1 + (72Г2 + г3 + Аг\ + ВПГ2 + Сг\ + 3
г=1
Условие устойчивости положения равновесия для большинства начальных условий выполняется:
В2^ААС = (^0.1801)2^4-0.0039-0.5529 = 0.0238 ф 0. Заключение
Таким образом, построенная в данной работе матрица приведения невозмущенной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами отвечает всем требуемым условиям (в том числе и условию унивалентности) и приводит квадратичную часть гамильтониана к каноническому виду.
В качестве примера использования этого уточненного метода рассмотрена устойчивость лагранжевой точки либрации системы Солнце-Юпитер для большинства начальных условий.
Литература
1. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и кос-модинамике. М., 1978.
2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.,1972.
3. Кочеткова А.Ю. Исследование устойчивости точек либрации ограниченной фотогравитационной эллиптической пространственной задачи трех тел в нелинейном приближении. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1999.
4. Маркеев А.П. Препринт Ин-та проблем механики. 1973. №49.
Поступила в редакцию 16.04.04
