Об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 4

УДК 519.71

А. С. Шмыров, В. А. Шмыров

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ОТНОШЕНИЮ К ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОКРЕСТНОСТИ КОЛЛИНЕАРНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

1. Введение. В последние годы весьма актуальными стали проекты полетов к кол-линеарной точке либрации Ь\ системы Земля-Солнце в связи с удобством использования этой области пространства для астрономических наблюдений. Коллинеарная точка либрации является понятием круговой ограниченной задачи трех тел [1]. Эта распространенная математическая модель применяется, когда космический аппарат (КА) движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например Солнца и Земли, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам [2, 3]. Масса КА при этом несоизмерима мала по сравнению с двумя массивными телами и существенно не влияет на их движение. При описании полетов в околоземном пространстве на расстояния порядка 1 млн км от центра Земли требуется учитывать притяжение Солнца, и уравнения круговой задачи трех тел достаточно адекватно описывают движение КА в поле притяжения Земли и Солнца. Эти уравнения существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию - это коллинеарные и треугольные точки либрации. В отечественной литературе наряду с термином «коллинеарная точка либрации» используется термин «прямолинейная точка либрации» [1,4].

Окрестность точки либрации Ь\ расположена вблизи линии Земля-Солнце на расстоянии порядка 1.5 млн км от центра Земли, что составляет примерно 0.01 астрономической единицы (а. е.). Точка либрации Ь\ неустойчивая, и это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной «удерживающей» системы управления, стабилизирующей движение КА.

В 1978 г. был впервые реализован проект запуска в окрестность Ь\ научной станции ISEE-3 (The International Sun-Earth Explorer-3). Также был осуществлен целый ряд запусков космических аппаратов в окрестность первой внутренней коллинеар-ной точки либрации Li, в частности реализован и действует по настоящее время

Шмыров Александр Сергеевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 63. Научные направления: теория гамильтоновых систем, методы оптимизации в космической динамике, качественные методы механики. E-mail: ashmyrov@yandex.ru.

Шмыров Василий Александрович — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики— процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 14. Научные направления: ограниченная задача трех тел, управление движением космических аппаратов, теория гамильтоновых систем. E-mail: vasilyshmyrov@yandex.ru.

© А. С. Шмыров, В. А. Шмыров, 2009

американо-европейский проект SOHO (Solar&Heliospheric Observatory) - станция наблюдения Солнца. Оказалось, что с помощью SOHO любителям астрономии удобно открывать кометы при прохождении их вблизи Солнца. В настоящий момент число комет, открытых с помощью SOHO, превышает 1500.

В работе [5] показана принципиальная возможность стабилизации управляемого движения с помощью управления, действующего по линии Земля-Солнце. В результате отработки такого стабилизирующего управления достигается устойчивость по Ляпунову для управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации системы Земля-Солнце. Развивая тему построения стабилизирующих управлений, постараемся ответить на вопрос: возможно ли при отработке управления, направленного по линии Земля-Солнце, достичь асимптотической устойчивости хотя бы по части переменных? В данной работе приводится построение семейства управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость по четырем из шести фазовым переменным, и показывается, что по оставшимся двум переменным обеспечивается устойчивость по Ляпунову.

2. Уравнения движения и задача стабилизации управляемого орбитального движения КА. Возьмем в качестве математической модели движения КА хилловское приближение круговой ограниченной задачи трех тел [5, 6]. За единицу расстояния примем расстояние от центра Земли до Li - величину, примерно равную 0.01 а. е., а время масштабируется так, чтобы период обращения Земли вокруг Солнца (год) составлял 2п единиц времени. В этом случае уравнения орбитального движения КА во вращающейся геоцентрической системе координат принимают удобный для исследования вид [5]

Х1=у1+Х2, У1 = + 2Ж1 + у2;

Х2=У2~Х1, У2 = - х2 - 2/1; (1)

• • 3хз

хз = Уз, Уз = -щ\з-х3,

где x = (х1,х2,хз) - вектор положения КА; координатная ось xi направлена

на Солнце; (xi,x2) - плоскость эклиптики; у = (у1,у2,уз) - вектор импульсов;

IMI = (х1+х2 + хз) 2 ■

Система (1) гамильтонова с гамильтонианом

тт / N 1м М2 3 3 2 WxW2 , .

Hi(x,y) =-\\у\\ - — - -хх + ~Y~ + Х2У1 ~Х\У2- (2)

Точка либрации во вращающейся системе неподвижна и имеет координаты

x* = (1, 0,0), у* = (0,1,0). (3)

Уравнения управляемого движения с управлением и(x, у), действующим по линии Земля-Солнце, описываются системой

х1=у1+х2, У\ = + 2Ж1 +У2 + и(х,у);

Х2=У2~Х1, У2 = -\Щз - х2 - Уъ (4)

• • 3 х з

хз=Уз, Уз = -тщтз~хз■

3. Построение управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость стационарного решения на интегральном многообразии. Пусть в начальный момент времени пространственные переменные (хз,уз) равны нулю, тогда орбитальное движение КА будет плоским, т. е. на траекториях в фазовом пространстве будет выполняться

хз =0, уз = 0.

(5)

В этом случае оказывается возможным добиться асимптотической устойчивости стационарного решения на интегральном многообразии (5). Исследование этого вопроса с помощью специальной методики построения линейных регуляторов содержится в работе И. А. Можейко, В. М. Морозова [7].

Теорема 1. Существует синтезирующая функция и1(х, у) такая, что точка либрации (х*, у*) является стационарной точкой системы (4), асимптотически устойчивой по Ляпунову на интегральном многообразии (5).

Доказательство. Существует общий метод доказательства подобных утверждений [8]. Проведем его с помощью выбора конкретной синтезирующей функции и\(х,у). Положим

и\(х,у) =

3x1

- 2х1 - у2 + к1х1 + &2х2 + кзу1 + к4у2 + к5,

(6)

управление и1 (х, у) естественно назвать управлением, построенным по линейному приближению.

Тогда линеаризованная система уравнений управляемого движения с и = и1(х,у) примет вид

х1 = х2 + у1, х2 = -х1 + у2,

у1 = к1х1 + к2'х2 + кзу1 + ку + к5, у2 = -4х2 - у1,

при этом между коэффициентами к имеется соотношение

к1 + к4 + к5 = 0,

обеспечивающее стационарность точки либрации.

Запишем матрицу системы уравнений (7)

А

(7)

и характеристическое уравнение

ёе^ЛЕ - А) =

0 1 1 0

-1 0 0 1

к1 к2 к3 к4

0 -4 -1 0

Л -1 -1 0

1 Л 0 -1

-к1 к2 Л -к3 -к4

0 4 1 А

(8)

Л4 + (-кз)Лз + (-к1 + к4 + 5)А2 + (2к2 - 5кз)А + (-3к1 - 3к4).

х

Покажем, что всегда можно подобрать такие (к\,к2,кз,к4,к%), которые обеспечат собственные числа матрицы (8) с отрицательными действительными частями. Имеем следующие соотношения между коэффициентами характеристического полинома и параметрами (к\, к2, к3, к4, к5):

ai = -ks, a.2 = -ki + k4 + 5, аз = 2k2 — 5кз, а4 ^ —3ki — 3к4.

(9)

Вычислим определитель системы (9)

0 0 —10

— 10 0 1

0 2 —5 0

-3 0 0-3

— 12. (10)

Из (10) следует, что, в силу невырожденности системы (9), всегда можно подобрать такие (ki,k2,k3,k4,k5), которые обеспечат собственные числа с отрицательными действительными частями, что, в свою очередь, приводит к асимптотической устойчивости по Ляпунову системы уравнений (7) [8, 9].

4. Построение управлений, обеспечивающих устойчивость управляемого движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации и асимптотическую устойчивость по отношению к части переменных. Предположим теперь, что коэффициенты (ki, k2, k3, k4, k55) подобраны так, что точка либрации (1, 0, 0, 0, 1, 0) является стационарным решением, а собственные числа матрицы A имеют отрицательные действительные части. Это обеспечивает асимптотическую устойчивость стационарного решения по отношению к части переменных (xi, Х2,yi,y2). На основе управления ui(x, y) будем строить управление U2(x, y) для общего нелинейного пространственного случая, для чего возьмем управление U2(x,y), определяемое по формуле

3xi

U2(х,у) = —-д - 2Ж1 - У2 + kixi + к2х2 + к3уi + к4у2 + к5. (И)

INI

Разница между управлениями U2(x,y) и ui(x,y) заключается в том, что в отличие от (6) в (11) функция ||x|| зависит от пространственной переменной x3

||ж|| = {х\ +х\ +xl)i. (12)

Нелинейная управляемая система (4) с управлением (11) примет вид

xi = yi + x2, yi = kixi + k2'x2 + k3yi + k4y2 + k5;

3ro

Х2=У2-Х1, У2 = -тф-Х2~УЪ (13)

3r

x3 = УЗ, УЗ = “ х3-

Из формулы (13) видно, что по сравнению с линейным приближением правые части для xi, yi, x^2, x^3 остались неизменными. Управление U2(x, y), как и управление ui(x, y), назовем управлением, построенным по линейному приближению.

В нелинейном пространственном случае пространственные переменные не отделяются от остальных, на их движение влияет поведение переменных xi (t) и x2(t) через функцию ||x(t)||, определяемую по формуле (12) и входящую в правую часть

уравнений для у2 и уз в системе (13). Будет ли это влияние способно существенно отдалить пространственные координаты хз,уз от нулевых значений, или оно достаточно ограничено - вот основной вопрос при качественном исследовании системы (13) с управлением и2(х, у), построенным по линейному приближению. Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 2. Стационарное решение (х*,у*) управляемой системы (13) с управлением и2(х,у), построенным по линейному приближению, устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво по отношению к переменным (хх,х2,у1,у2).

Доказательство. Имеется глубоко разработанная общая теория [10-14], в которой содержатся подобные результаты. Поэтому ограничимся изложением схемы доказательства, которое основано на следующих соображениях.

Во-первых, точка Х1 = 1, Х2 =0, у1 =0, у2 = 1 является стационарным решением системы из первых четырех уравнений. Отсюда можно сделать вывод, что при незначительных возмущениях величины ||х(£)|| плоская компонента движения асимптотически устойчива. Более того, по переменным х1 — 1, х2, у1, у2 — 1 имеет место экспоненциальная устойчивость [8, 10].

Во-вторых, учитывая экспоненциальную устойчивость, можно оценить изменения гамильтониана Н1 основной неуправляемой системы, определяемой формулой (2). На траекториях неуправляемого движения полная производная по времени гамильтониана Н1 равна нулю, а на траекториях управляемого движения с управлением и вычисляется по формуле

Н дН1

^г = ^и = ы + хг)"- (14)

Поскольку величины у1 и х2 экспоненциально стремятся к нулю, а и ограничено, то приращение Н1, вычисляемое с помощью формулы (14), допускает оценку и мало, если малы начальные значения «плоских» переменных х® — 1, х0, у0, у0 — 1. Это, в свою очередь, позволяет оценить поведение пространственных переменных хз,уз, что гарантирует малость возмущений в | х| , малость изменений всех переменных, если начальные значения малы, т. е. устойчивость по Ляпунову.

Итак, управление, направленное по линии Земля-Солнце, способно обеспечить не только устойчивость стационарного решения по Ляпунову [5, 6], но и асимтотиче-скую устойчивость по отношению к части переменных, при этом устойчивость по Ляпунову сохраняется.

Интересно отметить, что гамильтоновость начальной системы позволяет достаточно эффективно проводить нелокальные исследования вопросов устойчивости. Рассмотрим в качестве примера еще один класс управлений, направленных по линии Земля-Солнце.

Пусть закон управления из(х,у) выбран в виде

из(х, у) = а(х! — 1) + Ьх1 = а(х! — 1) + Ь(у1 + х2), (15)

где а и Ь - действительные параметры. При Ь = 0 соответствующая управляемая система гамильтонова с гамильтонианом

#з(ж, У) = Н1(х, у) - |(ж! - I)2.

Вычисляя производную гамильтониана Нз на траекториях управляемой системы (4) с управлением (15), получаем

Hs (x,y) = b(x2 + yi)2 и при b < 0 выполняется Hs(x, y) ^ 0. Таким образом, если в начальный момент

Hs(xo ,yo) = fc,

то на траекториях управляемой системы имеет место неравенство

Hs(x,y) < h. (16)

Как показано в [5], при а < —9 гамильтониан Hs является функцией Ляпунова в некоторой окрестности точки либрации, а с помощью неравенства (16) можно исследовать область устойчивости.

Посмотрим, в частности, каким ограничениям удовлетворяет функция xi(t) при подходящем значении константы h. Для этого определим функцию

a(xi) = min Hs(xi,x2,xs,yi,y2,ys). (17)

X2,X3,Vl,V2,V3

Нетрудно видеть, что минимум в (17) достигается при x2 =0, xs = 0, yi =0, y2 = xi, ys = 0. При xi > 0 функция a(xi) имеет вид

a(x-i) = —— — -ж2 — -(ж! - l)2. (18)

Она обладает локальным минимумом в точке xi = 1, строго монотонно стремится

к бесконечности на промежутке (1, ж) и имеет локальный максимум на (0,1) в точке xi = x*, зависящей от а. Если обозначить h* = a(x*), то условия ограниченности движения сводятся к выполнению неравенств

а< —9, b< 0, h < h*, xi(to) > x*. (19)

Пусть константа h удовлетворяет условиям (19). Обозначим через xmin решение уравнения

a(xi) = h (20)

на промежутке [x*, 1), а через xmax - решение уравнения (20) на промежутке (1, ж).

Согласно свойствам функции a(xi), вытекающим из формулы (18), и выбору константы h, такие решения определяются однозначно. Поскольку на траектории управляемого движения a(xi(t)) ^ h, то имеет место ограничительное неравенство

xmin ^ xi(t) ^ xmax

на промежутке времени (0, ж). Управления рассмотренного класса (вида (15)) также обеспечивают (при выполнении условий (19)) асимптотическую устойчивость стационарного решения (3) по отношению к «плоским» переменным (xi, x2, yi, y2). Нелокальные свойства соответствующих траекторий будут рассмотрены в другой работе.

На рисунке представлена траектория управляемого движения с управлением U2(x,y) на временном промежутке порядка 16 лет.

Стабилизация управляемого движения в окрестности точки либрации Ь\ с управлением и 2(х,у)

5. Заключение. Отметим, что в линейном случае свойство асимптотической устойчивости приводит к тому, что управляющее воздействие асимптотически стремится к нулю. В случае управления и2 (х, у), хотя «плоские» переменные и стремятся к стационарному значению, однако управляющее воздействие к нулю не стремится из-за наличия пространственной компоненты.

Литература

1. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

2. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике / пер. с фр. Е. А. Гребеникова; под ред. Г. Н. Дубо-шина. М.: Наука, 1965. 572 с.

3. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990. 448 с.

4. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы: для ун-тов по спец. «Астрономия». Изд. 3-е, доп. М.: Наука, 1975. 799 с.

5. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\ // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 193-199.

6. Шмыьров А. С., Шмыьров В. А. Оптимальная стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\ // Четвертые Поляховские чтения: избр. труды. СПб., 2006. С. 296-300.

7. Можейко И. А., Морозов В. М. Стабилизация космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трех тел // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. 1994. № 5. С. 45-48.

8. Зубов В. И. Лекции по теории управления: для вузов по спец. «Прикл. математика». М.: Наука, 1975. 495 с.

9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник для гос. ун-тов. М.: Наука, 1970. 332 с.

10. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967. 224 с.

11. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1952. 432 с.

12. Матросова Н. И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: сб. науч. трудов / под ред. В. М. Матросова, Л. Ю. Анапольского. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1988. С. 195-203.

13. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 288 с.

14. Александров А. Ю. Об устойчивости одного класса нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 2000. № 4. С. 545-550.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.