О квазимногообразии, порожденной группой кватернионов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54.01

С. С. Глотов

О квазимногообразии, порожденном группой кватернионов*

Через Ьд(М) условимся обозначать решетку квазимногообразий, содержащихся в квазимногообразии М, через цЯ - квазимногообразие, порожденное классом групп Я. Если класс Я = {С} содержит лишь одну группу О, то вместо цЯ пишем просто цО.

М

групп. Если множество всех собственных под-М

ное по включению, имеет максимальные элементы, то эти максимальные элементы называются максимальными квазимногообразиями (или коатомами) в решетке Ьч(М). Исследование коатомов в решетке Ьд(М) является важной задачей, поскольку умение находить порождающее множество групп каждого из коатомов часто приводит к описанию решетки Ьд(М).

Несложно заметить, что множество максимальных квазимногообразий групп не более чем

О

группа, то решетка Ьд(цО) имеет непустое конечное множество коатомов. Здесь же найден метод построения этих коатомов. Для почти

О

множество коатомов в решетке Ьд(цО) конечно и всякое собственное квазимногообразие, содержащееся в цО, содержится в некотором из этих

О

является расширением абелевой группы при помощи почти полициклической, то по [3] Ьд(цО) содержит лишь конечное множество коатомов.

Конечно-порожденная группа Б. для которой решетка Ьд(цБ) не имеет коатомов, найдена

О

рой решетка Ьд(дО) имеет бесконечное множество коатомов, построена в [4].

Мы исследуем вопрос: когда каждое из максимальных квазимногообразий порождается одной конечной группой? С.А. Шаховой [5] для диэдральной группы В восьмого порядка показано, что единственное максимальное квазимногообразие в решетке Ьд(цВ) не порождается конечной группой. В данной работе доказан аналогичный результат для группы кватернионов восьмого порядка.

Пусть К - некоторое квазимногообразие групп, К (О) - пересечение всех нормальных неединичных подгрупп N группы О, таких, что

О/К е К.

Напомним, что неединичная группа О е К называется подпрямо К-неразложимой, если К (О) Ф (1)- Иначе, группа О называется подпрямо К-разложимой.

Подгруппа А декартова произведения

О = \\ Ое называется поддекартовым произведением груп п Ое, если проекция А на каждый

Ое Ое

Будем использовать следующие обозначения:

N - множество натуральных чисел;

.£(О) - центр группы О;

(а) - циклическая группа, порожденная элементом а;

гр(а1,..., ап) - группа, порожденная элементами ах,, ап;

А < Б означает, что А - подгруппа группы Б;

А = Б означает, что А изоморфна Б;

кетф - ядро гомоморфизма у>;

д - образ элемента д при естественном гомоморфизме группы О на фактор-группу О/N;

гр(ж1,...,хп || = ^,...) - представление

группы в порождающих щ,... ,хп с определяющими соотношениями ^ = ^, . . .

Нам понадобится следующий признак принадлежности конечно-определенной группы О квазимногообразию цЯ (частный случай теоремы 3[1]).

Теорема (признак принадлежности). Конечно-определенная в квазимногообразии N

О

порожденному классом групп Я (Я С N1, тогда и только тогда, когда для любого элемента д е О, д ф 1 существует гомоморфизм фд группы О в некоторую группу из класса Я, такой, что фд(д)ф 1.

Для каждого простого числа р положим:

К = гр(а, Ь || ар = 1,ар = Ьр, Ь—аЬ = ар+1);

М - класс всех групп из цК, не содержащих К

М

максимальным квазимногообразием в решетке Ьд(цК) и определяется в цК квазитождеством

(Ух) (Уу)(хр2 = 1 & хр = ур &

у-ху = хр+1 ^ [х,у] = 1).

Через К будем обозначать многообразие, задаваемое тождествами:

(Ух)(хр2 = 1),

*Работа выполнена при поддержке АВЦП ’’Развитие научного потенциала высшей школы” (Мероприятие 1).

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

(Ух) (Уу)([х,у] р = 1),

(Ух) (Уу) (Уг)({х,у,г} = 1), где р - фиксированное простое число.

Рассмотрим группу Оп, п е N имеющую в многообразии К представление

Оп = Гр(хЬ ...,хп 1 хр = [хг,хг-(23+1)I

1 < 2] + 1 < г,г = 2,... ,п,

[х-2г, х-2э\ = 1,2 < 2г, 2] < п, хг+1 ,х23+1] = 1,1 < 2г + 1,2] + 1 < п).

О

рядка р2.

Нам понадобятся следующие свойства груп-

Оп

1. Всякий элемент д е Оп может быть записан в виде д = хт ... х^™, оде 0 < тг < р2, г = 1,... ,п.

2- Оп/('хп) — Оп-1, п = 2,S,... .

3. Z(Оn) = {хт ...хт | тг = 0 (тос1 р), г = 1,..., п} - центр группы Оп, п = 2,Ъ,... .

4. гр(хь .. .,хп-г) — Оп-1.

5. Гр(х2, ...,хп) — Оп-1.

Будем пользоваться теоремой Ремака в следующем виде.

Теорема (Ремак) [6]. Если N < О (г е I), р| = (1), то группа О изоморфна поддекар-ге1

товому произведению групп О/Кг (г е I).

Будем ссылаться на следующую теорему.

М

квазимногообразие, О, Н е М, и пусть группа О М

О = гр({хе | г е I} || {тз( хч,.. .,хг.) = 1 | З е J }).

Н

ство элементов {дг | г е I} такое, что для любого З е ^ ^^^етство тз(дг1,..., дг^ = 1 истинно в Н. Тогда отображение хг ^ дг (г е I) продолжимо до гомоморфизма ф : О ^ Н.

Нам понадобится также следующая Лемма 1[5]. Оп е чОп-1, п = 2, 3, ... .

Всю необходимую информацию о группах можно найти в [6], о квазимногообразиях - в [79].

Лемма 2. При каждом п е N групп а Оп

М

Доказательство. В [5] показано, что Оп е цК. Осталось установить, что группа К

Оп

К

пу Оп. Тогда цОп = цК. Из включения Оп+1 е цК теперь следует, что Оп+1 е цОп. Но по лемме 1 Оп+1 е цОп. Полученное противоречие доказывает лемму.

рО подпрямо М-неразложимой, и х| е М (О2).

Доказательство. По свойству 3 группы ОО

{1, х\, х2, х|х|}. Кроме того, хорошо известно (см., например: [6, с. 141, теорема 2]), что в нильпотентной группе любая нетривиальная нормальная подгруппа имеет неединичное пересечение с центром. Эти факты позволяют после несложных вычислений выписать все собственные неединичные нормальные подгруппы Ох сок состоит из следующих подгрупп: N = (х\), К = (х!х|).

Рассмотрим фактор-группы О/К и О/N2. Группа О/Nl изоморфна диэдральной группе В а, Ь | а , Ь , Ь- аЬ а-

|К| | В| В

неразложимая группа, то из признака принадлежности легко выводится, что В е цК, откуда О/К е М. Групп а О/N2 изоморфна группе КМ

что а2/к е М.

Вышесказанное означает, что всякая не-

О

М

содержит элемент х|. Поскольку О^х'2)

О / х М

М О х

р

п Оп

М

О

ская группа порядка 4, то она является подпрямо М-неразложимой, и х| еМ(Ох).

О

М-нердаложима, и х| е М(О2).

Оп-

М

хп- М Оп-

Пусть N - неединичная нормальная подгруппа группы Оп, та^я, что Оn/N е М. Будем показывать, что х‘п е N.

Так как пересечение неединичной нормальной подгруппы с центром в любой нильпотентной группе нетривиально [6, с. 141, теорема 2],

Оп

смотреть следующие три случая.

Случай 1. Подгруппа N содержит неединичный элемент вида х|5 ... х^", где £г е {0,1}, г = 2, ... ,п.

Пусть Бх= гр(х2,... ,хп) < Оп. По свой-Оп Б

Оп-1. Поскольку

Бг/Бг П N — Б^^ < Оп/^

то Б1/Б1 П N е М. Так как х|5 ... х'^™ е

Бх П N то Бх П N - неединичная нормальная Б

индукции, хп е Бх П N < N.

Случай 2. Элемент вида х^х^5 ... х^--1 содержится в N, где £е е {0,1}, г = 2, ... ,п — 1. п

3, поэтому предполагаем, что п >3.

Пусть Б2= гр(х,...,хп^ < Оп. Тогда Оп Б

на группе Оп-х. Поскольку

Б2/Б2 П N — Б2N/N < Оп/^

то Б2/Б2 П N е М. Так как х2 ... хп--1 е Б2 П N,10 Б2 П N - неединичная нормальная Б

индукции, хп_х е Б2 П N < N. Попадаем в первый случай и получаем хп е N.

Случай 3. Подгруппа N одержит элемент вида х^х^2...хп5-1 х^ оде £г е {0,1}, г = 2, ... ,п — 1.

т

участвующих в записи фиксированного элемен-

9 2ео 2£гг—1 о

та х£х2 2 ... хп_! хп с ненулевым показателем степени.

т

ело. Допустим, что х'п е N, тогда, по признаку принадлежности, существует гомоморфизм ф : Оn/N ^ К, такой, что ф(х'П) ф 1. Так К

ф хп а

ф хп

а ф хп ф хп, хп-

ф хп-

гично показывается, что ф(хг) - элемент порядка 4 при каждом г. Следовательно, ф(хг) = а2. т

ф(1) = ф{х\х\5 ... х'^--1 х'п) = а, а это неверно. Таким образом, х'п е N в этом случае.

т

ное число. Будем предполагать, что х^ххп е N (иначе попадаем в случай 1). Тогда для элемента х'п-х'п из Оп /N существует гомоморфизм Ф : Оn/N ^ К, такой, что ф^'П^хп) ф 1. Зна-

ф хп- хп а

ф хп ф хп, хп-

К

ф хп

четвертого порядка, а ф(хп-1) - элемент второго порядка, невозможен. Сказанное означа-

ф хп а

ф хп-

того порядка. Аналогично доказывается, что Ф(хе), при г < п — 1, - элемент четвертого порядка. Значит, ф(х2) = а2, при г < п, ф(хП) = 1. т—

водим, что ф(1) = ф(х'1х'25 ...хП™-1 х'П) =

ф{х2х25 ... хп--1 )ф(х'П) = а'2, что неверно.

Сказанное означает, что хП_хх'П е N. Теперь по случаю 1 х'П е N. Лемма доказана.

Теорема. Максимальное квазимногообразие в решетке Ьд(цК) не порождается конечной группой.

Доказательство. Заметим, что оно един-М

О

торой М = цО. Хорошо известно, что всякая группа из цО (|О| < то) вложима в декартову степень группы О и, следовательно, цО содержит лишь конечное множество подпрямо цО-неразложимых групп. В нашем случае по лемме 4 М = цО содержит бесконечное множе-М

М

ждается одной конечной группой. Теорема доказана.

Отметим, что работа выполнена под руководством профессора А.И. Будкина.

Библиографический список

1. Будкин, А.И. К теории квазимногообразий алгебраических систем / А.И. Будкин, В. А. Горбунов // Алгебра и логика. - 1975. - Т. 14, №2.

2. Будкин, А.И. О максимальных квазимногообразиях групп / А.И. Будкин // Алгебра и логика. - 1998. - Т. 37, №3.

3. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. - М., 1970.

4. Budkin, A.I. On coatoms in lattices of quasivarieties of algebraic systems / A.I. Budkin // Algebra univers. 2001. V. 46.

5. Шахова, С.А. О квазимногообразии, поро-

р

Матем. заметки. - 1993. - Т. 53, №3.

6. Будкин, А.И. Квазимногообразия групп / А.И. Будкин. - Барнаул, 2002.

7. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. - М., 1972.

8. Блудов, В.В. О квазимногообразиях групп с бесконечным числом максимальных подквази-многообразий / В.В. Блудов // Алгебра и логика. - 2002. - Т. 41, Ж.

9. Горбунов, В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий / В.А. Горбунов. - Новосибирск, 1999.