О корректном использовании физических понятий и величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.01 ББК В3

Бухарова Галина Дмитриевна

доктор педагогических наук, профессор кафедра информационных технологий Российский государственный профессионально-педагогический

университет г. Екатеринбург Bukharova Galina Dmitrievna Doctor of Pedagogics,

Professor Chair of Information Technologies Russian State Professional-and-Pedagogical University

Yekaterinburg О корректном использовании физических понятий и величин About Correct Usage of Physical Concepts and Quantities

В содержании статьи раскрывается сущность, значение и применение векторных и скалярных величин, понятий «приращение», «убыль» и

«изменение», приводится пример решения задачи с использованием

обозначенных понятий, а также обсуждается вопрос о наименовании и

размерности физической величины.

The article reveals the essence, meaning and usage of vector and scalar quantities and such notions as “increment”, “decrement” and “variation”; it gives the example of a task solving using the above-mentioned notions and considers the question of denomination and dimension of a physical quantity.

Ключевые слова: Векторная величина, скалярная величина, модуль, приращение, убыль и изменение физической величины, наименование и

размерность физической величины.

Key words: vector quantity, scalar quantity, magnitude, increment, decrement and change of physical quantity, denomination and dimension of a physical quantity.

Изучение физики в средней и высшей школе начинается с механики, в которую включена определенная совокупность предлагаемых для освоения тем «Кинематика», «Динамика», «Статика», «Законы сохранения в механике», «Механические колебания и волны». Физика относится к фундаментальным наукам, направленным на формирование у учащихся логического мышления, становление научного мировоззрения и усвоения научного понятийного аппарата.

И от того, насколько научно и корректно вводятся физические понятия и величины, зависит их грамотное использование в последующих разделах не

только курса физики, но и других естественнонаучных дисциплин. К вопросу понятийного аппарата, используемого в процессе решения задач и обучения их решению, поиску обобщенного способа решения задач, неоднократно обращались на страницах журнала (1, 2, 3).

В связи со сказанным нам представляется целесообразным остановиться на некоторых понятиях, выполняющих основополагающую роль в процессе изучения курса физики. Сказанное позволяет обозначить и выделить соответствующие группы фундаментальных понятий и сфокусировать наше исследование на них. К их числу следует отнести следующие основные группы.

1. Векторные и скалярные величины.

2. Приращение, убыль и изменение физической величины.

3. Наименование и размерность физической величины.

Выделенные нами понятия имеют методологическое значение при решении различных видов задач по физике, математике, химии. Им принадлежит особая роль в формировании и развитии научного мышления у обучаемых.

Векторные и скалярные величины

Рассмотрим, прежде всего, понятия векторной алгебры. На протяжении всего курса физики используются скалярные и векторные величины и, как показывает практика, корректное обращение с такими величинами способствует формированию у учащихся научного физического мировоззрения и грамотному обращению с физическими явлениями, понятиями и законами.

Скалярная величина (или скаляр) - физическая величина,

характеризуемая только числовым значением, которое не зависит от выбора координатной системы. Числовые значения скалярных величин могут принимать либо положительные, например площадь, объем, плотность, путь, либо положительные и отрицательные (работа, магнитный поток) значения.

При этом учащимся следует указать на то, что существуют величины, которые характеризуются как алгебраические, но не являются скалярами, например координаты Х, У и Ъ неподвижной точки в пространстве, числовое значение которых изменяется на противоположное при смене выбранного

направления любой из осей 0Х, ОУ, О7 на обратное. Для скалярной же величины числовое значение не зависит от выбора координатной системы.

Векторная величина (или вектор) - это физическая величина, для которой характерны следующие признаки: числовое значение, направление в

пространстве, сложение однородных векторов выполняется по правилу ломаной линии (правило параллелограмма, правило треугольника), независимость от выбора координатной системы.

В школьном курсе математики и физики обычно не рассматриваются признаки вектора и его независимость от выбора координатной системы. Числовое значение вектора называют также модулем вектора. Оно представляет собой скаляр, имеющий только положительное значение, которое не зависит от направления вектора в пространстве. В математике модуль алгебраической величины называют также абсолютным значением алгебраической величины.

Сходство в названии «модуль» привело к тому, что ряд авторов учебников и учебных пособий по физике модуль вектора называет «абсолютным значением вектора». В связи со сказанным нередко принимается, что векторы могут быть положительными и отрицательными. Это, к большому сожалению, представление является следствием небрежности в вопросах терминологии и приводит к грубым ошибкам в расчетах.

К векторным величинам неприменимы понятия «положительный» или «отрицательный», их бессмысленно подразделять на положительные и отрицательные. Важно указать, что числовое значение вектора (модуль вектора) всегда является положительным числом. К векторным величинам нельзя применять понятия «больше» или «меньше», а сопоставлять или сравнивать можно только модули однородных векторов.

Целесообразно, на наш взгляд, предложить учащимся в качестве задания для самостоятельной работы повторить действия с векторами и их проекциями на выбранную ось координат.

Как показывает практика, достаточно распространенной ошибкой является то, что в проекции результирующего вектора, равной алгебраической сумме проекций составляющих векторов, знаки «+» означают знаки действия

сложения, а не знаки той или иной алгебраической величины. Этот простой факт часто не учитывается, что приводит к ошибкам при вычислении проекций векторов.

Приращение, убыль и изменение физической величины

Следующим, не менее важным, вопросом является понятие «изменение», которое выполняет роль приращения скалярной величины, либо ее убыли. К сожалению, в школьных учебниках физики не разводятся понятия «приращение» и «убыль», а употребляется понятие «изменение», что свидетельствует о некорректном обращении с понятиями, так как не ясно, что подразумевается, приращение или убыль выбранной величины.

Приращением скалярной величины X называется разность между ее конечным и начальным значением. Обозначается приращение символом А (дельта): АX = Х2 - Х1. Соответственно, убыль скалярной величины равна Х1 -Х2, т.е. приращению величины со знаком «минус»: Х1 - Х2 = - (Х2 - Х1) = -А Х.

Приращение и убыль являются алгебраическими величинами. Они могут быть как положительными, так и отрицательными. Приращение совсем не

означает обязательное увеличение самой величины, и ее последующее значение может быть меньше предыдущего.

Очень часто в учебной литературе вместо этих терминов употребляется термин «изменение», который обозначает разность двух значений (Х2 - Х1) или (Х1 - Х2) и имеет, таким образом, неоднозначный смысл, выражая приращение или убыль. Когда рассматривается изменение, то зачастую не приводится, в сторону увеличения или уменьшения величины осуществляется процесс.

Во многих случаях является некорректным говорить просто об изменении величины. Например, при формулировке теоремы о приращении кинетической энергии следует однозначно указывать, что алгебраическая сумма работ действующих на тело сил равна приращению кинетической энергии тела или системы тел.

Математическая запись указанной теоремы представляет собой:

АЕк = А1 + А2 + А3 ,

где А Ек - приращение кинетической энергии тела или системы тел, А1 -работа внутренних консервативных сил, А2- работа внутренних неконсервативных сил, А3 - работа внешних сил.

Следует указать, что работа консервативных сил, действующих на тело, всегда равна убыли потенциальной энергии: А1 = -АЖр.

Отметим, что понятия «приращение» и «убыль» имеют место и для векторных величин, если происходит их изменение.

В качестве примера рассмотрим решение следующей задачи, в решении которой используется теорема о приращении кинетической энергии.

Задача. В тело массой т} = 990 г, лежащее на горизонтальной поверхности, попадает пуля массой т2 = 10 г и застревает в нем. Скорость пули направлена горизонтально и равна V = 700 м/с. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью ц = 0,05?

Дано:

т} = 990 г т2 = 10 г V = 700 м/с ц = 0,05

Б - ?

т2 V т} V

0 •-------► _ .

Б

Рис. 106

Анализ содержания задачи и решение

Тело, лежащее на горизонтальной поверхности, и пуля образуют замкнутую систему. Поскольку пуля обладает импульсом, то тело при попадании в него пули приобретает импульс, т. е. начинает двигаться с некоторой скоростью V и проходит путь Б (рис. 1).

При этом возникает сила трения Ртр, что приводит к

равнозамедленному движению тела.

Для вычисления пути воспользуемся «теоремой о приращении кинетической энергии», хотя здесь нет теоремы в обычном понимании этого слова.

Рис. 1

Запишем теорему о приращении кинетической энергии

а

V' = 0

X

АЕК = ЕК2 ЕК1 = А1 + А2 + А3 ,

(1)

Выделим все силы, действующие на тело. На него действуют силы тяжести, (т1 + m2) §, сила реакции

опоры N и сила трения Ртр. (рис. 2).

Каждая из указанных сил совершает работу: А] - работа силы тяжести, А2 -работа силы реакции опоры (силы упругости), А3 - работа силы трения.

Найдем А], А2 и А3 соответственно:

А] =(т] + т2)§ £ cos270o = 0;

А2 = N £ СО8900 = 0;

А3 = ГтрБ о180О = -ГтрБ.

Отсюда:

АЕК = 0 -

(т1 + т2)^12

2^

= - ^ £ • тр^ 5

£ = (т1 + т2)^12 2^„

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Сила трения равна:

Етр =1^ = Мт1 + т2) §. (7)

Скорость тела при попадании в него пули определим из закона сохранения импульса для неупругого взаимодействия, происходящее в замкнутой системе «тело-пуля».

Итак,

т2У = (т1 + т2)У{; т2У = (т1 + т2)У1;

V =

т2¥

т1 + т2

(8)

(9)

(10)

При подстановке выражений (7) и (10) в равенство (6) получим:

(т1 + т2)т^2

£ = ■

22

т2 V

(т1 + т2)22^(т1 + т2)§ 2д§(т1 + т2)2

Проверим наименование искомой величины и выполним ее расчет:

£ 10-4 • 49 • 104 50

£ =------------= 50 м.

2 • 0,05 • 9,81 -1

Ответ: £ = 50 м.

Более рациональный путь решения данной задачи состоит в том, что целесообразно применить закон сохранения импульса, суть которого заключается в следующем: приращение импульса равно работе внутренних неконсервативных сил, действующих на тело, т.к. работа силы тяжести и силы реакции опоры равны нулю. В нашем случае:

ДЕк = 0 - = _^; (12)

2^тр

При подстановке выражений (7) и (10) в равенство (12) получим:

£ = (т1 + т2)т2^2 = т2^2 (!3)

(т1 + т2)22^(т1 + т2) § 2д§ (т1 + т2)2

Проведя расчет, получим: £ = 50 м.

Важно отметить, что решение задачи в этом случае становится менее громоздким и более рациональным.

Задача учителя состоит в том, чтобы показать учащимся возможности решения аналогичных задач с применением фундаментальных законов сохранения в механике.

Наименование и размерность физической величины

В практике работы очень часто наблюдается путаница между наименованием и размерностью физической величины. Известно, что ряд физических величин в Международной системе единиц (СИ) выбран в качестве основных, которые характеризуют фундаментальные свойства мира. Каждой из этих величин присвоен символ в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. Этот символ и называется размерностью основной физической величины.

Например, в механике основными величинами являются длина, масса, время, а их размерности соответственно обозначаются Ь, М и Т. Остальные величины получили название производных, и их размерности следует выражать через размерности основных физических величин.

В качестве примера, приведем размерности скорости, ускорения, силы и работы:

[V] = ЬТ-1; [а] = ЬТ~2; [р = МЬТ-2]; [А] = ЫЬ2Т~2.

В школьном курсе физики, и не только в нем, размерность обычно отожествляют с единицей измерения самой физической величины, что находит отражение в записи такого вида: [V ] = м/с; [а ]= м/с2 и т. д.

Безусловно, к ошибкам это не приводит, но, наш взгляд, следует указать обучаемым на тот факт, что при одной и той же размерности для физической величины существует несколько единиц ее измерения, например для скорости м/с, км/ч, см/с и т. д. Представляется, что правильнее было бы говорить о проверке единицы измерения искомой физической величины или о проверке её наименования.

Проверка размерности физической величины достигается при подстановке в соответствующее выражение для искомой величины размерностей входящих в нее величин и сопоставлении полученного результата с размерностью данной величины.

Многие единицы физических величин имеют собственные наименования, например, ньютон, метр, килограмм, секунда, джоуль, ампер, вольт и т. д. Некоторые производные единицы не имеют собственных наименований, а их наименования образуются из наименований основных, дополнительных и производных единиц, например скорость (метр на секунду), плотность (килограмм на кубический метр), напряженность электрического поля (вольт на метр) и т. д.

Для обозначения единиц измерения или наименования физической величины применяются буквенные символы м, кг/с, В/м, Дж, Н и др., а также специальные знаки, например °С. При этом важно отметить, что наименование физической величины, полученное в честь ученого, следует писать прописными буквами. Нам представляется достаточно важным различать наименование, размерность и единицы измерения физических величин.

В данной статье приведен анализ корректного обращения с некоторыми понятиями, наименованиями и размерностями физических величин, которые используются на протяжении всего курса изучения физики средней и высшей школы.

Библиографический список

1. Бухарова Г. Д. Основные понятия теории решения задач и теории

обучения решению задач // Образование и наука: Известия УрО РАО. 2011. № 3. С. 44-58.

2. Новосёлов С. А., Туркина Л. В. Творческие задачи по начертательной геометрии как средство формирования обобщенной ориентировочной основы обучения инженернографической деятельности // Образование и наука: Известия УрО РАО. 2011. № 2. С. 31-41.

3. Тулькибаева Н.Н., Бухарова Г. Д. Учебная задача как объект методики преподавания // Образование и наука: Известия УрО РАО. 2007. № 2. С. 129-135.

Bibliography

1. Bukharova, G.D. Basic Concepts of the Task Solving Theory and Theory of the Task Solving Teaching / G.D. Bukharova // Education and Science: News of the UrD RAS. - 2011. - № 3.- P. 44-58.

2. Novoselov, S.A., Turkina, L.V. Creative Tasks of Descriptive Geometry As a Means for Generalized Tentative Basis of Engineering Graphic Activity Teaching Forming / S.A. Novoselov, L.V. Turkina // Education and Science: News of the UrD RAS. - 2011. - № 2. - P. 31-41.

3. Tulkibaeva N.N., Buharova G.D. The training task as the object of teaching method // Education and Science: News UrO RAO. 2007. № 2. C. 129-135.