CC BY
23
УДК 621.3.011.7 ББК З211
В.А. ЩЕДРИН, ПЛ. ВОРОНОВ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЖИМА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ И СЕТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ СИСТЕМЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Ключевые слова: электрические и магнитные величины, единицы в системах измерений, параметры режима, энергия, мощность, инвариантность мощности, пространственно-временная система физических величин.
Приведены формулы размерности и таблицы соотношений между электромагнитными параметрами режима электротехнических комплексов и сетей в системах единиц СИ и СГС, показана их связь с пространственно-временной системой физических величин Р.О. Бартини, раскрыт физический смысл формул размерности применительно к электрическим и магнитным величинам, выявлена связь основных единиц с природой и характером физических явлений, исследуемых при анализе режимов работы электротехнических комплексов и систем.
1. Физические величины и их единицы. Измерить какую-либо физическую величину означает получить экспериментальным путём отношения её значения к некоторому стандартному значению. При этом важно соблюсти однозначный характер измерения с тем, чтобы искомое отношение двух однородных физических величин не зависело от принятых единиц.
Между тем на практике подчас используются и некоторые условные числовые характеристики, которые в принципе не являются единицами физических величин. Например, в системах автоматического регулирования результат измерения выдаётся не в виде числа, а преобразуется в определённую команду, управляющую системой устройств или механизмов. В электротехнике, как правило, информацию об измеряемых физических величинах получают по показаниям приборов в делениях шкалы, т. е. фактически по значениям линейных или угловых отклонений стрелок приборов. По существу, измерение электрической величины напряжения, тока, мощности и т.д. сводится к линейному или угловому измерению, осуществляемому через ряд промежуточных звеньев. В какой-то мере применяемые измерительные приборы подобны аналоговым вычислительным машинам.
Цифровые измерительные комплексы и приборы на базе современных ЦВМ выдают измеряемые значения физических величин не только в виде числа, но и в форме числовых функций. Особенностью новых измерительных устройств является то, что между единицами разных физических величин автоматически устанавливаются зависимости на основе законов, которые связывают между собой измеряемые величины.
Однако следует различать уравнения связи между физическими величинами и уравнения связи между числовыми значениями. Если первый вид связей даёт соотношения независимо от единиц физических величин, то во втором случае уравнения связи могут представляться в разной форме, включая коэффициенты
пропорциональности. При этом для установления самих единиц непременно должны быть использованы уравнения между числовыми значениями.
Исходя из сказанного, можно в принципе создать произвольную (желаемую) систему единиц. Для этого достаточно выбрать основные единицы системы совершенно произвольно и независимо друг от друга. Установив затем размеры основных единиц, найти определяющие соотношения, которые связывают основные единицы с производными, причём так, чтобы эти соотношения выполнялись между числовыми значениями. Для этого вводятся соответственно необходимые коэффициенты пропорциональности и определяющие соотношения. Таким способом были построены многочисленные системы единиц. Особой логичностью и последовательностью отличается система СГС (сантиметр, грамм, секунда), созданная Гауссом, и две ее разновидности (СГСЭ и СГСМ), которые находят до сих пор широкое применение в физике, астрономии, электротехнике и ряде смежных наук. При описании электромагнитных явлений в системе СГС присутствует лишь одна константа - это скорость света. Расчеты и вычисления в этой системе выполняются гораздо проще, нежели в Международной системе единиц СИ (метр, килограмм, секунда, ампер), преимущество которой проявляется лишь в том, что она базируется на использовании практических единиц (сила тока, разность потенциалов, заряд, момент, мощность). В системе СИ соблюдается единство выражений для энергии как при механических, так и при электромагнитных процессах (джоуль = ньютон метр = вольт кулон = ампер вебер), что удобно при решении ряда числовых задач.
Однако из-за ввода в систему единиц СИ двух размерных постоянных в0 и ц0 теряются простота и наглядность записи уравнений динамических процессов в электротехнических комплексах и системах, а именно уравнений электродинамики Максвелла. Самое неприятное заключается в том, что векторные характеристики электромагнитного поля Е, Б и Н, В, будучи по физическому смыслу однородными, теряют в системе СИ свойство однородности и приобретают разные размерности.
Заметим, что к проблемам размерностей величин и физическому содержанию формул размерностей было обращено внимание многих видных ученых [3, 7-9 и др.]. В этом плане представляют интерес суждения выдающихся физиков М. Планка и А. Зоммерфельда. Планк придерживался той точки зрения, что размерность какой-либо величины не есть свойство, связанное с существом её, а представляет собой просто некоторую условность, определяемую выбором системы измерений. Отсюда следует, что нет ничего особенного в том, что в разных системах единиц одна и та же величина имеет различные размерности и разные числовые значения. Возражая Планку, Зоммер-фельд утверждал, что выбор основных величин и их размерностей связан с их физической сущностью, что число основных единиц задаётся природой и характером физических явлений, которые исследуются.
Ясно, что использование разных систем единиц требует постоянного внимания в процессе вычислений и измерений, а произвольный выбор основных единиц ведет к изменению производных единиц и создает практические труд-
ности при необходимости их определения и перевода единиц из одной системы измерений в другую. Задача определения производных единиц при изменении основных не всегда является тривиальной процедурой. Для ее осуществления используются соответствующие формулы размерности. Между тем существуют разные подходы к выбору и обоснованию основных единиц физических величин. Например, некоторые исследователи считают, что вполне достаточно иметь лишь одну основную единицу (длину), другие указывают на целесообразность выбора двух единиц (длина и время), а кое-кто предлагает обходиться бесконечным числом основных единиц физических величин. Однако, на наш взгляд, из всех этих предложений особого внимания заслуживает система физических величин Р. О. Бартини [1], содержащая лишь две размерности (длина Ь, и время Т). Ниже в данной статье будет приведена расширенная таблица (матрица) этой системы физических величин с соответствующими пояснениями.
2. Основные и производные единицы, формулы размерности физических величин. Определение производных единиц с помощью формул размерностей физических величин в одной системе осуществляется достаточно просто. Например, используя закон Кулона, можно установить в системе СГС формулу размерности электрического заряда в виде
д = Ь3/2М1/2Т-1, где Ь - длина; М - масса; Т - время.
Эта формула определяется посредством соотношения
д2 = ^г2 = Маг2 ^ МЬТ2Ь2 = Ь3МТ2,
где а - ускорение.
При решении числовых задач на практике возникают, прежде всего, трудности с выбором коэффициентов в формулах размерностей, связанных с использованием различных систем электрических и магнитных величин, поскольку даже в симметричной системе СГС иногда для электромагнитных параметров применяют две дополнительные системы (СГСЭ и СГСМ), которые заметно отличаются. Поэтому важно знать, как принципиально построены системы единиц в СИ и СГС, чтобы безошибочно находить соотношения между величинами этих систем. Незнание соотношений нередко приводит к досадным ошибкам в расчетах, особенно при преобразованиях физических величин, сопоставляемых тензорам, и в ряде других случаев.
Когда речь идет о взаимодействиях в электростатике, для определения производных величин удобно использовать закон Кулона:
*Э=* мч
гг
где д1, д2 - величины зарядов; г - расстояние между зарядами; г - диэлектрическая проницаемость; к1 - размерный коэффициент.
В системе СГС коэффициент к1 = 1, а величина заряда, определяемая через единицы длины и силы, не имеет специального наименования. Заметим, что в СИ она называется кулоном и определяется количеством электричества, прошедшего через поперечное сечение проводника в одну секунду при силе тока в 1 А. Как известно сила тока во всех системах измерения представляет
FM = - k 2 Ц 1 2 1 42 1 2 , (1)
собой производную dQldt. С помощью других уравнений электростатики могут быть установлены единицы напряженности электрического поля, емкости, разности потенциалов и т.д.
Гораздо сложнее выбрать уравнения для описания взаимодействия токов, протекающих в обмотках или контурах электротехнических устройств. Опыт показывает, что между двумя обмотками, оси которых расположены на одной прямой, сила взаимодействия равна
1, 12 5 2 w1 W2 г~
где 11 и 12 - токи в обмотках; 5, и 52 - сечения проводов обмоток; w1 и - количество витков обмоток; , - магнитная проницаемость; к2 - размерный коэффициент.
Взаимодействие токов можно отнести к фундаментальным явлениям, как и тяготение или взаимодействие зарядов, которое существенно усложняется ферромагнитными свойствами материалов, используемых в электротехнике. При этом надо учитывать, что взаимодействие электрического и магнитного полей с веществом заметно отличаются. Если в вакууме уравнения электромагнитного поля по отношению к векторам В и Е симметричны, то в отношении источников поля, связанных с веществом, имеет место несимметрия, обусловленная отсутствием в природе магнитных зарядов. Единственными источниками магнитных полей являются электрические токи, и всюду выполняется уравнение В = 0. Поля создаются замкнутыми петлями токов. Петли или контуры характеризуются дипольными магнитными моментами (ток х площадь), что отражено в формуле (1). Магнитное поле петли с током по своей конфигурации существенно отличается от конфигурации поля двух разведенных на расстояние зарядов разного знака. Попытка заменить в (1) токи магнитными массами полюсов
Р к ,, т011 ^1^02 1,2 (2)
ьы - к2ц-2--(2)
г
и получить на основе законов электромагнетизма системы единиц и отношения между ними представляется физически некорректной процедурой. Проще и вполне обоснованно можно было бы для этой цели использовать уравнение взаимодействия двух параллельных проводников с токами
1,121
F = k - 1 2
M Л3
d
где l - длина проводов; d - расстояние между проводами; k3 - размерный коэффициент.
Но обычно решение задачи по определению взаимодействия токов разбивают на два этапа. Сначала исследуется взаимодействие тока I1 контура (проводника) с внешним полем, созданным другим источником магнитного поля (током I2). Поскольку контур тока I\ обладает свойствами диполя, то на него действует внешнее поле, вызывая вращающий момент, который равен
m = k4 BI1 sw sin а ,
где m - момент; B - магнитная индукция магнитного поля источника; а -угол между положительным направлением нормали к плоскости контура в
исходном положении и направлением нормали, когда магнитный момент равен нулю.
Положительное направление нормали легко определяется правилом буравчика. Подчеркнём, что подобно тому, как напряжённость электрического поля включает в себя электрическую проницаемость, магнитная индукция включает в себя магнитную проницаемость.
Затем на втором этапе определяют индукцию В, создаваемую в произвольной точке контуром, по которому проходит ток 12. Значение индукции находят по закону Био, Савара и Лапласа
В = к5иф 5Ш в &
k^^dl, (3)
где k5 - коэффициент; dl - элемент контура; r - радиус-вектор от элемента до точки, в которой находят магнитную индукцию B, а угол 0 образован положительными направлениями dl и r.
Следовательно, из (2) и (3) получаем выражение момента в виде
г I\I2SW sin a sin 0 m = k4k5^,J-2-dl. (4)
Очевидно, что произведение коэффициентов k4 • k5 отличается лишь числовым множителем от коэффициентов k2 и k3. В целом записанное выражение (4) для момента по смыслу аналогично формуле закона Кулона. Используя эту аналогию, можно составить два семейства уравнений:
1) F = qiE; E = k1-^2т; D = k6 •^•E;
£• Г
I2 sin e ,, _ r
2) m = k4BI1sw sin a , B = k5^,J 2 Sin dl; H = k7 —.
J r2 7
Отсюда нетрудно установить соответствия между векторами Е и В; Б и Н, а также между величинами г и 1/ц.
Попутно заметим, что принятое и исторически сложившееся соответствие в названиях векторов Е и Н не имеет физического обоснования. Естественным является соответствие векторов Е и В. Помимо высказанного замечания принципиальным является вопрос о физическом содержании соотношений между векторами J = с • Е, Б = г • г0 • Е и В = ц • ц0 • Н, где с, г, ц -параметры, характеризующие среду, в которой исследуются физические явления. Дело в том, что понимание векторов Н и Б в веществе должно быть расширено до уравнений Н = В / ц0 - М, Б = г0 • Е + Р, где в последние выражения введены два новых вектора: М - намагниченности, Р - поляризации, которые могут быть обусловлены физическими причинами вне влияния электромагнитного поля. В этой связи возникает вопрос о несоответствии размерностей векторов Б и Е, В и Н в системе СИ.
Интегральная форма записи первого и второго уравнений Максвелла, широко используемая на практике, имеет вид:
5
| Hdl = J Jds, Э = £ Edl = ^ J Bds .
Эти два уравнения называют законами полного тока и электромагнитной индукции, соответственно. Они содержат предельные переходы, не требующие никаких оговорок. Однако это справедливо тогда, когда подынтегральные выражения в них непрерывные и дифференцируемые функции. Между тем введение среды и векторов М и Р нарушает это условие и требует дополнительных уравнений к уравнениям Максвелла в интегральной форме.
При решении числовых примеров и задач на практике часто возникают трудности с выбором коэффициентов в формулах размерностей, связанных с использованием различных систем электрических и магнитных величин. Даже в рамках одной симметричной гауссовой системы единиц (СГС), как уже отмечалось, сложились исторически две системы: электростатическая (СГСЭ) и электромагнитная (СГСМ), которые заметно отличаются и, несмотря на введение международной системы единиц СИ, во многих случаях используются до сих пор.
3. Выбор коэффициентов в формулах размерности. В системе СГСЭ введённые выше коэффициенты в формулах размерностей принимаются равными: к, = к4 = к6 = 1, к5 = ,0. Ранее произведение объединяли и называли абсолютной магнитной проницаемостью ,, а безразмерную магнитную проницаемость называли относительной магнитной проницаемостью. Ее обозначали как цг, принимая для вакуума равной единице. Введение коэффициента к1 = 1 позволяет определить электростатическую единицу количества электричества и электростатическую единицу силы тока.
В уравнении (4) для момента т имеют место единицы для всех входящих в него величин. Поэтому экспериментально необходимо было найти только величину ,0. Развитая Максвеллом электромагнитная теория света позволила установить, что в системе СГСЭ магнитная проницаемость ,0 = 1 I с2, где с -скорость света в вакууме (с = 2,997925'108 м/с).
В СГСМ введённые коэффициенты принимаются равными: к4 = к5 = к7 = 1, к6 = 1 I к1 = е0. При сделанном выборе оказывается, что значение силы тока в этой системе будет в с раз больше, где с - это скорость света в вакууме [см/с]. Тогда единица заряда в СГСМ оказывается приблизительно в 310 раз больше единицы заряда в СГСЭ. Если подставить соответствующие значения в выражение закона Кулона, то получим, что е0 = 1 I с2. Заметим, что произведение е0е ранее аналогично произведению называлось абсолютной диэлектрической проницаемостью (обозначалось е), а безразмерная проницаемость ег именовалась относительной диэлектрической проницаемостью.
Размерные коэффициенты в системе СГС имеют следующие значения: к = к6 = к7 = 1; к4 = к5. В данном случае единицы заряда и силы тока совпадают с соответствующими единицами в системе СГСЭ. Коль скоро при этом к4 • к5 = 1 I с, а сами коэффициенты к4 и к5 одинаковы, каждый из них будет равен 1 I с. Обратим внимание на то, что в системе СГС е0 = ,0 = 1; в системе СГСЭ е0 = 1, ,0 = 1 I с2, а в системе СГСМ е0 = 1 I с2, ,0 = 1. Отсюда в системе СГС выражения для момента и индукции будут:
1 от п 1 .С^т 9 т - — 81П а , В - —--— dl.
п с J г2
Отметим, что в электротехнической и радиотехнической литературе широкое распространение получила так называемая рационализированная форма записи уравнений электромагнетизма Максвелла. Она же принята за основу и при построении международной системы СИ. Это отразилось на изменении коэффициентов k1 и k5:
k=— k5 = В>.
4%s0 4%
Изменились и другие коэффициенты: k4 = 1; k6 = s0; k7 = 1 / ц0, а также видоизменились и вышеприведённые формулы для величин электрического и магнитного полей, которые стали записывать как
E = q2 ; B = ^<fdl 4%s0sr2 4% J r2
При этом оказалось, что сила взаимодействия двух проводников с токами в 1 [А] на расстоянии 1 [м] и при длине проводников l = 1 [м] равна 1 ньютону, [Н], что соответствует определению силы электрического тока в СИ. В этой системе единиц закон Кулона и формулы Ампера приобрели, соответственно, вид:
Ч = • ^ ^ • = B'l sin - .
4%s0sr2 2%а
где S0 = 8,8542 • 10-12 Ф/м (А2с2/м2Н); ^ = 4% • 10-7 Г/м (Н/А2).
Заметим, что из метрологических соображений необходимо различать параметры ц0 и s0. Величина магнитной проницаемости ц0 по международному соглашению принимается неизменной, а значение s0 вычисляется с точно-
1
стью до определения скорости света из выражения с = . , где размер-
V^0S0
ность с [м/с].
4. Соотношения между электромагнитными единицами в системах СИ и СГС. В настоящее время, как правило, применяется международная система единиц СИ, в которой в качестве четвёртой основной единицы физической величины была принята единица I - сила тока (ампер). Формулы размерности предшествующей системы МКСМ полностью совпадают с системой СГСМ, но существенно отличаются от системы СИ, хотя все единицы физической величины в них одни и те же. Поскольку, как уже отмечалась, в электротехнике нередко применяется и система СГС, то важно установить связь между 1[A] и силой тока в этой системе, а также найти отношения между другими единицами обеих систем.
Взяв два параллельных проводника длиной l = d, где d - расстояние между проводниками, получим при силе тока в проводниках 1 А силу взаимодействия между ними в системе СИ
Чм =^¿1 = 4%-1°-7 •l2-d = 2• 10_7Н.
2%d 2%•d
Тогда эта же сила взаимодействия, но в системе СГС, будет вычисляться по выражению
1 2! 21
Fм—т—- 2 10 7105 - 2•Ю-2 [дин]. с2 d
Из полученного равенства находим, что 1 [А] = л/10-2 • с2 = 0,1с = 3'109 [ед. СГС]. Отсюда следует, что единица заряда в СИ составляет с I 10 единицы заряда в СГС, где с - скорость света.
Для определения единицы разности потенциалов воспользуемся выражением мощности Р = и • I. По определению мощность в 1 [Вт] выделяется на участке проводника, по которому проходит ток I = 1 [А] и который находится под напряжением 1 [В]. Поскольку 1 [Вт] = 107 [эрг!с] и 1[А] = 0,1 • с, то получаем, что в системе СГС 1 [В] = 107!0,1с = 1!300 [ед. СГС]. Для единицы напряжённости электрического поля в системе СИ, следовательно, имеем: Е = 1 [Н!Кл] = 1 [В!м] = 1!300 • 100 = ИЗ • 104 = 3,33 • 10-5 [ед. СГС]. Это значит, что 1 [В] составляет 3,33 • 10-5 [ед. СГС], а 1 [В!м] напряжённости электрического поля 3,33 • 10-5 [ед. СГС].
В системе СИ ёмкость обычно вычисляется через заряд и разность потенциалов С = qIU [Ф]. Переводя эти величины в единицы СГС, находим
1 [Ф] = 1 [Кл!В] = = 30 • с = 9 • 1011 [ед. СГС]. Аналогично для элек-
1!300
трического сопротивления Я = и I I получаем, что 1 [Ом] = 1 [В!А] = = 1!(300 • 3 • 109) = 1,1 •Ю-10 [ед. СГС].
При сравнении соотношений между единицами в системах СГС и СИ обнаруживается некоторая особенность, вызывающая вопрос о соответствии физических свойств вещества. Например, нетрудно записать формулу размерности напряжённости электрического поля
[Е] = Ь^М^Т-1.
Тогда, если взаимодействие происходит не в вакууме, а в среде с диэлектрической проницаемостью е, которая не имеет размерности, то электрическое смещение В = е • Е, или электрическая индукция, будет иметь ту же размерность, что и напряженность поля Е, а сила взаимодействия уменьшится в е раз, так как FЭ
В - —. Поскольку в системе СИ электрическое смещение определяется фор-
Eq
мулой В = е0 • е • Е, а е0 имеет размерность, то величины В и Е отличаются: размерность [В] = Ь-2Т1, а размерность [Е] = ЬМТ31-1. Следовательно, разные размерности двух величин в одной и той же системе единиц заставляют предполагать и наличие различного физического смысла этих величин. И в то же время размерности обеих величин Е и В = е • Е в системе СГС совпадают. В принципе разные величины могут иметь одинаковые размерности в пределах как одной, так и разных систем, но разные размерности у величин одинаковой физической природы могут быть только в разных системах единиц. Следовательно, физическая трактовка величин В и Е в СГС и СИ должна отличаться.
Ранее было обращено также внимание на физическое явление поляризации в диэлектриках. Возникновение вектора поляризации Р связано с появлением под действием поля Е, вызванного свободными зарядами, поверхностной плотности поляризационных зарядов спр - Р. Очевидно, что электрическое поле Е в диэлектрике равно полной поверхностной плотности заряда, делённой на е0 (теорема Гаусса). Следовательно,
Е -°пр _ РСв -Р _°Св-Х-ер •Е -^Св Е,
Е0 Е0 Е0 Е0 где х - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.
Коль скоро Б = е0Е + Р = е0(1 + х)Е, то, принимая в системе СГС выражение Б = еЕ, можем записать, что е = (1 + х)е0. Постоянная величина е по определению описывает диэлектрические свойства материалов. Если по каким-либо соображениям удобства или нежелания вникать в глубину происходящих явлений и процессов исследователи ограничиваются выделением лишь части зарядов, то всегда можно представить уравнения в любой форме. Но, записав Б = еЕ, необходимо понимать, что оно физически неправильное или приближённое, поскольку пропорциональность между Б и Е зависит и от вектора Е, и от скорости его изменения.
В системе СИ смещение Б будет иметь, согласно формуле размерности, размерность поверхностной плотности заряда [Кл!м2], т.е. Б = а. Согласно этому равенству обычно единицу смещения Б определяют как смещение в плоском конденсаторе при плотности тока на его пластинах [Кл!м2]. В системе СГС при этом В = 4 л • 105 [ед. СГС].
Приведём теперь соотношения между некоторыми основными единицами в СИ и СГС, относящиеся к магнитным параметрам поля и вещества.
Единица магнитной индукции В в системе СИ измеряется в теслах [Т]. Она характеризует поле, в котором каждый метр проводника, расположенного перпендикулярно направлению вектора индукции, с током в 1 А испытывает силу 1 Н. В системе СГС 1[Т] = 3,33 • 10-7 [ед. СГС]. В СГС введена специальная единица магнитной индукции 1 [СГС] = 3 • 1010 [Гс], тогда 1[Т] = 104 [Гс]. Формула размерности для магнитной индукции очевидно, будет [5] = МТ-21-1.
Для магнитного потока в системе СИ принята единица вебер - [Вб] = = [В-с] = [Т-м2]. При переходе к системе СГС получаем 1 [Вб] = И300 = = 3,33 • 10-3 [ед. СГС]. В этой системе введена специальная единица для магнитного потока - максвелл - 1 [Мкс] = 10-8 [Вб].
В качестве единиц индуктивности и взаимной индуктивности в системе СИ принята единица 1 [Гн] = 1 [Вб!А] = [Ом!с] = 1,11 • 10-12 [ед. СГС]. В системе СГС и СГСМ принята специальная единица - сантиметр - 1 [см] = = 10-9 [Гн].
Определим теперь единицу Н - напряжённости магнитного поля. В системе СИ её называют ампер на метр [А!м]. Следовательно, формула размер-
ности имеет вид [Н] = Ь-11. Из следствий закона Био, Савара и Лапласа можно найти соотношение - 1 [А/м] = 3,77 • 108(СГСЭ), а в системе СГС, где введена специальная единица - эрстед - 1 [Э] = 3 -1010 [ед. СГСЭ], следовательно, имеем 1[А/м] = 1,26 •Ю-2 [Э].
Здесь вновь необходимо заметить, что размерности векторных величин В и Н в системе СГС совпадают, как это имело место и для величин Е и Б. Однако в системе СИ для величин В и Н характерна та же форма несоответствия, как и для напряжённости электрического поля Е и смещения Б в этой же системе. Устранить отмеченное несоответствие можно было бы путем введения в уравнение для напряжённости магнитного поля постоянной величины ц0. В таком случае закон Био, Савара, Лапласа можно было бы представлять в виде
Н = * <£^
г2
а связь между В и Н записывать как В = ц • Н. Напомним, не вдаваясь в рассуждения о природе происходящих процессов в ферромагнитных материалах, заметим лишь, что магнитная проницаемость материалов ц является сложной функцией от изменения как напряжённости магнитного поля, так и намагниченности.
В заключение данного раздела коснёмся ещё двух понятий, особенности которых важно учитывать при решении практических задач.
Одним из них является магнитный момент, который определяется двояким способом: либо по выражению для механического момента, который испытывает контур с током в магнитном поле, либо по выражению для магнитного момента контура непосредственно. Согласно первому определению, единицей магнитного момента является момент контура, который в магнитном поле с индукцией 1 Т испытывает максимальный вращающий момент, равный 1 Н-м. Во втором случае под единицей момента понимают момент плоского контура, обтекаемого током 1 А и имеющего площадь, равную 1 м . Обе единицы имеют одинаковую формулу размерности [т] = Ь21. Единица магнитного момента в системе СИ не имеет специального названия и обозначается как А-м2. Если же единицу [А-м2] представить и однозначно выразить как [Н-м/Т], то в системе СГС получаем 1 [А-м2] = 1 [Н-м/Т] = 105 [дин] х 102[см])/104[Гс] = 103 [дин-см/Гс]. Поскольку при расчёте магнитодвижущей силы за её размерность принимают ток I [А], то в СГС магнитная сила будет = 3 -109 [СГС] = 1,26 гильберт (Гб). Связь между основными единицами систем СИ и СГС представлена в табл. 1.
Естественно, что магнитная сила взаимодействия токов и магнитный момент отличаются. Если какое-либо тело поместить в магнитное поле, то каждый элемент этого тела приобретает магнитный момент, причём тело из ферромагнитного материала оказывается намагниченным, даже если действие поля снято. Его состояние в данном случае характеризуется петлёй гистерезиса, которая определяет остаточную индукцию Вг и коэрцитивную силу Нс, как правило, измеряемых в гауссах и эрстедах. С магнитной же прони-
цаемостью связана ещё одна характеристика магнитных свойств - магнитная восприимчивость к полю, определяемая как хм = (ц - 1) / 4л. Эта безразмерная величина в СГС в 4л раз больше соответствующей единицы СИ.
Таблица 1
Связь между основными единицами в системах СИ и СГС
Величина Обозначение Единица СИ Единица СГС
Электрический заряд Ч Кулон (Кл) 3 • 109
Напряжённость электрического поля Е Вольт на метр (В/м) 3,34 • 10-5
Поверхностная плотность заряда ст Кулон на кв. метр (Кл/м2) 3 • 105
Электрическое смещение (электрическая индукция) В Кулон на кв. метр (Кл/м2) 3,77 • 106
Поток электрического смещения Кулон (Кл) 3,77 • 1010
Разность потенциалов, ЭДС, напряжение ф, Е, и Вольт (В) 3,33 • 10"3
Сила тока I Ампер (А) 3 • 109
Емкость С Фарада (Ф) 8,99 • 1011
Активное сопротивление Я Ом (Ом) 1,11 • 10"12
Индуктивность ь Генри (Г) см (109)
Магнитная индукция в Тесла (Т) гаусс (104)
Магнитный поток Ф Вебер (Вб) максвелл (108)
Напряжённость магнитного поля Н Ампер на метр (А/м) эрстед (1,26 • 10-2)
Магнитодвижущая сила (циркуляция напряженности поля) Ампер (А) гильберт (1,26)
Подчёркивая отсутствие однозначной связи между формулами размерности и их конкретным определением, приведём ещё один важный для практики пример. Речь пойдёт о так называемом волновом сопротивлении. Известно, что одним из важнейших объектов электротехники являются электромагнитные волны, распространяющиеся в вакууме со скоростью света
с = ——, а в среде с проницаемостями в и ц медленнее в ../вц/ раз. л/8о Цо V
Длина волны в вакууме Л = — и в некоторой среде Л = -у^ЕоЦо / вц . Отношение амплитуд напряженностей изменяющихся электрических и магнитных полей Ет и Нт принято называть волновым сопротивлением, которое для вакуума в системе СИ будет равно
=
V
с
" в0
Цо = у/4л-4л-10"7-10"7 • 9-1016 = 4л- 30 = 120л, в0
где Ц0 = 4л • 10-7 [Г/м] и В0 = 1 / 4л • 10-7 • 9 • 1016 [Ф/м]. Заменяя [Г/м] на [В-с/А-м] и [Ф/м] на [А^с/В^м], находим, что волновое сопротивление Zс = 377 [Ом].
Вместе с этим, если воспользоваться системой единиц МКСМ в нера-ционализованной форме, в которой ц0 = 10-7 [Г/м] и в0 = 1 / 9 • 109 [Ф/м], то получим уже Zс = 30 [Ом]. Противоречие между значениями сопротивлений объясняется тем, что наименование сложной единицы вовсе не является определением этой единицы. Наименование полученного нами в результате пре-
образования единиц [В/м] и [А/м] отношения [В/А] сопротивлением некорректно трактовать как единицу сопротивления. Само понятие волнового сопротивления вакуума вряд ли имеет физический смысл, но оказывается вполне удобной заменой выражения ^¡ц0/е0 . Интересно, что если осуществить связь между векторами Е и В, то можно получить соотношения ->/е0е • Е = В/^/и В = ч]ц0це0е • Е, которые сохраняются при изменении единиц. Неизменность формул размерности обеспечивается требованием равенства размерностей левой и правой частей уравнений. Это требование вытекает из необходимости соблюдения ковариантности тензорных уравнений. Следовательно, при решении задач необходимо следить за строгим выполнением этого требования. Если оно не соблюдено, то в решении имеет место ошибка. Однако совпадение только размерностей еще не служит критерием правильности полученных результатов вычислений и не гарантирует тензорности уравнений.
6. Универсальная система пространственно-временных величин. В последние годы все чаще исследователи стали обращаться к так называемой минимальной системе физических величин, которая включает в себя две основные единицы размерности [ЪТ], представляющие длину и время. Эта система естественным образом связана с пространством и временем, а все физические величины, выраженные в ней через радикалы L, Т, называют универсальными. Можно сказать, что начало создания такой системы единиц физических величин было положено Максвеллом [5, 6], который, оперируя с системой основных единиц (Ъ - длина, Т - время, М - масса), выразил массу в пространственно-временных единицах Ъ, Т, исключив ее тем самым из числа основных размерных единиц. Он исходил из двух уравнений Ньютона для силы Е:
р = Е = аМ,
где коэффициент гравитации G принял в качестве безразмерной величины, а размерность ускорения а как [ЪТ-2]. Следовательно, размерность массы стала удовлетворять условию универсальности и приобрела вид
М=Гь2Т2 Н3Т2 ]=Г
_ Т2 J _ с2
В своем «Трактате» Максвелл стремился описать электромагнитные и другие физические явления и процессы в электротехнических устройствах с помощью измеряемых величин с тем, чтобы проследить математические соотношения между ними.
Дальнейшее развитие эти идеи получили в работе [1], в которой Р.О. Бартини аналитически определил физические константы и соотношения между ними, а также предложил, по сути, кинематическую универсальную систему физических величин
где размерности Я и 8 - целые положительные или отрицательные числа. Позже совместно П.Г. Кузнецовым [2] им была составлена матрица пространственно-временных величин и сделано предположение о том, что каждый элемент данной матрицы соответствует определенному закону природы и отображает собой инвариантную величину.
\ Т~6 Т-5 Т~4 Т-3 Т-2 Т-1 ^0 Т1 Т2 ... Т6
ь6 ь6Т-6 ь6Т5 ь6Т-4 ь6Т-3 ь6Т-2 ь6Т-1 ь6Т0 ь6Т1 ь6Т2 ь6Т6
ь5 ь5Т-6 ь5Т5 ь5Т-4 ь5Т-3 ь5Т2 ь5Т-1 ь5Т0 ь5Т1 ь5Т2 ь5Т6
ь4 ь4Т-6 ь4Т-5 ь4Т-4 ь4Т-3 ь4Т2 ь4Т-1 ь4Т0 ь4Т1 ь4Т2 ь4Т6
ь3 ь3Т-6 ь3Т5 ь3Т-4 ь3Т-3 ь3Т2 ь3Т-1 ь3Т0 ь3Т1 ь3Т2 ь3Т6
ь2 ь2Т-6 ь2Т5 ь2Т-4 ь2Т-3 ь2Т2 ь2Т-1 ь2Т0 ь2Т1 ь2Т2 ь2Т6
ь1 ь1Т-6 ь1Т-5 ь1Т-4 ь1Т-3 ь1Т-2 ь1Т-1 ь1Т0 ь1Т1 ь1Т2 ь1Т6
ь0 ь0Т-6 ь°г5 ь0Т-4 ь0Т-3 ь°г2 ь0Т-1 ь°т° ь0Т1 ь0Т2 ь0Т6
ь-1 ь-1Т-6 ь-1г5 ь-1Т-4 ь-1Т-3 ь-1Т2 ь-1Т-1 ь-1Т0 ь-1Т1 ь-1Т2 ь-1Т6
ь-2 ь-2Т-6 ь-2г5 ь-2Т-4 ь-2Т-3 ь-2г2 ь-2Т-1 ь-2Т0 ь-2Т1 ь-2Т2 ь-2Т6
ь-6 ь-6Т-6 ь-6Т-5 ь-бТ-4 ь-6Т-3 ь-6Т-2 ь-6Т-1 ь-6Т0 ь-6Т1 ь-6Т2 ь-6Т6
В настоящей статье приводится модернизированная и расширенная матрица пространственно-временных величин [ьЯ,Т8] для Я = 6 и 8 = 6, а также таблица соответствий ее элементов ряду электромагнитных величин, относящихся к параметрам электротехнических комплексов и систем. В ней (табл. 2) указаны формулы размерностей электромагнитных величин в системах единиц СИ, СГС и [ЬКТ8].
Заметим, что в ряде публикаций приводятся ошибочные соответствия отдельных элементов матрицы электромагнитным параметрам. Однако анализ этих ошибок не является предметом рассмотрения в данной статье. Она преследует практическую цель: привлечь к моделированию и исследованию физических процессов преобразования энергии в электротехнических комплексах и системах тензорный анализ, топологию дифференцируемых многообразий на основе физических величин а также комплексный подход, объединяющий теорию электромагнитного поля и электрических цепей с учетом фундаментальных сил взаимодействия.
Нетрудно заметить, что одни и те же элементы матрицы [ЬЯТ содержат несколько физических величин, имея одинаковую размерность. Каждую из них можно рассматривать как инвариант. Например, инвариант [Ь5Т -5] имеет физическую размерность потока энергии (мощности), причем в каждой предметной области инвариант является произведением соответствующих пар продольных и поперечных (ортогональных) величин. В электротехнике - это ток [Ь3Т -3] и напряжение [Ь2Т -2], в механике - это сила [Ь4Т -4] и скорость [Ь:Т в газодинамике - это скорость изменения объема - [Ь3Т -1] и давление - [Ь2Т -4]. На основе инвариантности мощности при преобразованиях Г. Крон развил тензорную теорию электрических машин и сетей [9], используя свойство двойственности сете-
вых моделей, образующих топологические структуры (конфигурации) взаимосвязанных элементов (ветвей). Эти структуры тоже в определенных отношениях отображают состояния исследуемых систем и их элементов.
Таблица 2
Размерности электромагнитных величин в системах СИ, СГС и
Наименование Обо-значение Единица Размерность Единица Размерность Система
физической величины СИ СИ СГС СГС [ЬкТв]
Электрический заряд Р Кл Т1 ед. СГС Ь3/2М1/2Т-1 Ь3Т2
Поверхностный заряд а Кл/м2 Ь-2Т1 ед. СГС Ь-1/2М1/2Т-1 Ь1Т-2
Объемная плотность заряда Р Кл/м3 Ь-3Т1 ед. СГС Ь-3/2М1/2Т-1 Ь0Т2
Напряженность электрического поля Е В/м ЬМГ31-1 ед. СГС Ь-1/2М1/2Т-1 Ь1Т-2
Электрическая проницаемость 80 Ф/м Ь-3М-1Т412 ед. СГС 1 Ь°т°
Электрическое смещение (индукция) В Кл/м2 Ь-2Т1 ед. СГС Ь-1/2М1/2Т-1 Ь1Т-2
Разность потенциалов, ЭДС и В Ь2МТ-31-1 ед. СГС Ь1/2М1/2Т-1 Ь2Т2
Электрическая проводимость £ См Ь-2М-1Т3Г ед. СГС ЬТ-1 Ь1Т-1
Электрическое сопротивление К Ом Ь2М1-Г3Г2 ед. СГС Ь-1Т Ь-1Т1
Емкость электрическая С Ф Ь-2М-1ТТ см Ь Ь1Т0
Удельная проводимость 1 Ом-1 м-1 Ь-3М-1Т-31-2 ед. СГС Т-1 Ь0Т-1
Линейный электрический заряд т Кл/м Ь-1Т1 ед. СГС Ь1/2М1/2Т-1 Ь2Т2
Сила электрического тока I А I ед. СГС Ь3/2М1/2Т2 Ь3Т3
Плотность электрического тока } А/м2 Ь-21 ед. СГС Ь-1/2М1/2Г2 Ь1Т-3
Напряженность магнитного поля н А/м Ь-11 эрстед Ь-1/2М1/2Т-1 Ь2Т3
Магнитная проницаемость й Гн/м ЬМГ2Г2 ед. СГС 1 Ь-2Т2
Магнитная индукция в Тл МГ21-1 гаусс Ь-1/2М1/2Т-1 Ь0Т-1
Магнитная проводимость л Вб/А Ь2МГ2Г2 ед. СГС Ь Ь-1Т2
Магнитное сопротивление Км А/Вб Ь-2М-1Т21 ед. СГС Ь-1 Ь1Т-2
Магнитный поток Ф Вб Ь2МГ21-1 максвелл Ь3/2М1/2Т-1 Ь2Т-1
Индуктивность ь Гн Ь2МГ2Г2 см Ь Ь-1Т2
Магнитодвижущая сила (МДС) Рм А I гильберт Ь1/2М1/2Т-1
Потокосцепление V Вб Ь2МГ21-1 ед. СГС Ь3/2М1/2Т-1 Ь2Т-1
Векторный (магнитный) потенциал А Вб/м Ь1МТ-21-1 ед. СГС Ь1/2М1/2Т-1 Ь-1Т-1
Электрический момент диполя Рэ Кл м ЬП ед. СГС Ь5/2М1/2Т-1 Ь4Т-2
Магнитный момент диполя Рт А/м2 Ь-21 ед. СГС Ь5/2М1/2Т-1 Ь5Т3
Частота г Гц Т-1 ед. СГС Т-1 Ь0Т-1
Энергия ш Дж Ь2М1Т-2 эрг Ь2М1Т-2 Ь^Т-4
Мощность р Вт Ь2М1Т-3 эрг/с Ь2М1Т-3 Ь5Т5
Аналогично и Р. О. Бартини рассматривал в топологических конфигурациях отображения вероятностные состояния некоторого введенного им целостного объекта А. Не вдаваясь в глубину теоретических рассуждений, доказательств и выводов Р. О. Бартини, заметим лишь, что они основывались на базовых положениях квантовой электродинамики, топологии и теории вероятности. Они привели его к фундаментальному понятию экстремального распределения элементарных образов реальных объектов природы в 6-мерном про-
странстве. Он также пришел к заключению о том, что уравнения физики принимают наиболее простой вид, если в качестве системы измерений принять систему [ЬКТ ']. Р.О. Бартини не называл введенный им объект А, например, фотоном, но полагал, что такой объект реален, определяем из опыта и является частицей, которая квантуется со скоростью света. Он счел необходимым, несмотря на жесткие ограничения к объему публикации в докладах АН СССР, привести соотношения между основными единицами в системах СГС и [ЬКТ 5]: 1 [см] = 3,548041-1012 [Ь]; 1 [с] = 1,0639006-1023 [Т]; 1 [г] = 3, 2975325-10-15 [¿3Т2].
В настоящее время одной из фундаментальных частиц, отвечающей свойствам объекта А, является фотон Эйнштейна, обладающий протяженностью I, временем действия ^ и вращательным движением вокруг своей оси со скоростью света. Поскольку фотон - это элементарное электромагнитное возмущение, то его длина волны может быть любой. Следовательно, параметры фотонов определяются частотой. Они могут быть рассчитаны по законам электродинамики. В качестве примера определим параметры фотона при частоте 5 - 1013 Гц, используя физическую постоянную Планка Ь = 6,626 - 10-34 [Кл Вб]. Имеем в системе СИ:
квант электрического потока - е = 1,602 - 10-19 [Кл];
к 6,626-10 34 _ 1__|5 гт-„-п квант магнитного потока - Ф0 = — = —--— = 2,07 -10 15 [Вб];
— = 2,0/ - 10 15
2е 2 -1,602 -10_
"I13 О Г\П 1 Л_15
ЭДС - и = 2уФ0 = 2-5-1013 -2,07-1015 = 20,7-10 2 [В]; ток смещения - 1см = 2еу = 21,602-10_19 - 5 -1013 =16,02-10_6 [А]; мощность - Р = Ш = 20,7 -10_2 -16,02 -10_6 = 3,316 -10_6 [Вт]; энергия электрического потока - ЖЭ = еФ0У = еи /2 = 16,58 -10_21 [Дж]; энергия магнитного потока - ЖМ = е Ф0у = 16,58 -1021 [Дж]; электромагнитная энергия - ЖЭ + ЖМ = 33,16 -10_21 [Дж]; электромагнитный импульс - р = вц0ц -Ж = 1,105 -10 28 [кг-м/с]; электромагнитная масса - М = в0вц0цЖ = 36,87 -10_38 [кг]; магнитный момент - тМ = е /27гувв0цц0 = 5,1 -10 18 [Дж/Т];
длина волны - А = --¡^-= 5,998 -10_6 [м].
Из анализа вычисленных параметров рассматриваемого фотона следует, что он характеризуется электрическим и магнитным потоками равных энергий, зависящих от частоты, т.е. двумя составляющими, образующими единый электромагнитный квант. У фотона нет электрического заряда, поэтому для определения соотношений между величинами заряда в [1] вычислены параметры не фотона, а электрона в системе СГС: классический радиус -2,81785 - 10-13 [смУс0]; масса - 9,1083 - 10-28 [смУс0]; заряд - 4,8028 - 10-10
3/2 _1 1/2 ' ^ 2
[см г с ]. Там же указаны эти параметры и в системе [Ь Т ], соответственно: 1 [Ь0Т0]; 3,0034916 - 10-43 [Ь3Т-2]; 1,7330584 - 10-21 [Ь3Т2], причем за квант пространства может быть принят классический радиус электрона, равный в СИ - 2,81785 - 10-15 [м], а за квант времени - время, за которое свет проходит
расстояние в 1 квант. Следовательно, квант времени будет равен 2, 81785 • 10-15/2,99725 • 108 = 0,94 • 10-23 [с].
Кинетическая система физических величин раскрывает многообразие инвариантов для групп движений, соответствующих различным классам явлений природы, а также их пространственно-временные характеристики и свойства. Ею подтверждены многие открытые ранее инварианты, законы и теории. Например, выделяя элемент [Ь5Т -3], получаем закон сохранения момента, элемент [Ь5Т -4] - закон сохранения энергии, элемент [Ь5Т -5] - закон сохранения мощности, доказанный еще Максвеллом. Нет ничего удивительного в том, что система [ЬКТ нашла понимание в среде специалистов в области электродинамики, столкнувшихся с проблемой описания полей, скрытых в глубинах сверхмалых масштабов измерений и с попытками объединения в одной теории всех четырех взаимодействий.
Из иерархии величин матрицы [ЬКТ можно выделить элементы, размерность длины и времени (с отрицательным знаком) у которых совпадает: константа [Ь°Т°], скорость [Ь:Т -1], разность потенциалов [Ь2Т -2], ток [Ь3Т -3], сила [Ь4Т -4], мощность [Ь5Т -5]. Они представляют собой верхнюю часть диагонали матрицы, и мощность имеет среди них наивысший порядок, охватывая наибольший класс электротехнических систем и устройств. В тензорной методологии исследования электрических машин и сетей Г. Крона не случайно инвариантность мощности образует фундамент, на котором конструктивные и топологические изменения объектов рассматриваются как преобразования координат.
Выводы. 1. Разработка современных математических методов моделирования и анализа сложных электротехнических комплексов и систем требует более глубокого проникновения в сущность физических явлений и процессов, адекватно описываемых и измеряемых в различных системах единиц и координат.
2. Топологические структуры физических процессов могут включать в себя измерения, свернутые в малых объемах, которые практически невозможно обнаружить измерительными приборами, поэтому эффективность математических методов в области электротехники во многом может быть достигнута определением правильных соотношений между измеряемыми или рассчитываемыми физическими величинами и выбором их основных единиц.
3. Универсальная система пространственно-временных величин, несущая в себе эвристическую функцию определения инвариантов и естественных законов, должна войти в арсенал исследователей электротехнических комплексов и систем.
Литература
1. Бартини Р.О. Некоторые соотношения между физическими константами // Доклады Академии наук СССР. 1964. Т. 163, № 4. С. 861-864.
2. Бартини Р.О., Кузнецов П.Г. О множественности геометрий и множественности физик // Проблемы современной научной методологии. Свердловск: Урал. науч. центр. АН СССР, 1978. С. 55-65.
3. ЗоммерфельдА. Электродинамика: пер. с нем. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 504 с.
4. Крон Г. Тензорный анализ сетей: пер. с англ. М.: Сов. радио, 1979. 720 с.
5. МаксвеллД.К. Трактат об электричестве и магнетизме: в 2 т. М.: Наука, 1989. Т. 1. 416 с.
6. Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме: в 2 т. М.: Наука, 1989. Т. 2. 437 с.
7. Планк М. Введение в теоретическую физику. Ч. 1. Общая механика: пер. с нем. М.: ГТТИ, 1932. 200 с.
8. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1976. 536 с.
9. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. М.: Наука, 1977. 440 с.
ЩЕДРИН ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ - кандидат технических наук, профессор кафедры электроснабжения промышленных предприятий имени А.А. Федорова, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
ВОРОНОВ ПАВЕЛ ЛЕОНИДОВИЧ - аспирант кафедры электроснабжения промышленных предприятий имени А.А. Федорова, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
V. SHCHEDRIN, P. VORONOV
PRESENTATION MODE PARAMETERS ELECTRO-TECHNICAL COMPLEXES AND NETWORKS IN SPACE-TIME SYSTEM OF PHYSICAL QUANTITIES Key words: electrical and magnetic quantities, units, made parameters, energy, power, power invariance spatio-temporal system of physical quantities.
There are formulas of dimension and tables of relations between the electromagnetic parameters of the mode of electrical systems and networks in SI units and GHS, they being connected with spatio-temporal system of physical quantities of R. O. Bartini. Physical sense of the dimension formulas is disclosed in relation to the electric and magnetic values. The connection of basic units with the nature and character of the physical phenomena being studied in the analysis of modes of electrotechnical complexes and systems is revealed.
References
1. Bartini R.O. Nekotorye sootnoshenija mezhdu fizicheskimi konstantami [Some relations between physical constants]. Doklady Akademii naukSSSR, 1964, vol. 163, no. 4, pp. 861-864.
2. Bartini R.O. Kuznecov P.G. O mnozhestvennosti geometrij i mnozhestvennosti fizik [On the multiplicity of geometries and multiplicity physicist]. In: Problemy sovremennoj nauchnoj metodolo-gii [Problems of modern scientific methodology]. Sverdlovsk, AN USSR Publ., 1978, pp. 55-65.
3. Sommerfeld A. von. Elektrodynamik. Leipzig, Akad. Verl.-Ges. Geest und Portig, 1949 (Russ. ed.: Jelektrodinamika. Moscow, 1958, 504 p.).
4. Kron G. Tensor analysis of networks. N.Y.; L., 1965 (Russ. ed.: Tenzornyj analiz setei. Moscow, Sovetskoe Radio Publ., 1979, 720 p.).
5. Maxwell J.C. A treatise on electricity and magnetism. Oxford, Clarendon Press, 1873, vol. 1 (Russ. ed.: Traktat ob elektrichestve i magnetizme. Moscow, Nauka Publ., 1989, vol. 1, 416 p.).
6. Maxwell J.C. A treatise on electricity and magnetism. Oxford, Clarendon Press, 1873, vol. 2 (Russ. ed.: Traktat ob elektrichestve i magnetizme. Moscow, Nauka Publ., 1989, vol. 2, 437 p.).
7. Planck M. Einführung in die Theoretische Physik Band I: Einführung in die Allgemeine Mechanik. Leipzig, Hirzel, 1928 (Russ. ed.: Vvedenie v teoreticheskuju fiziku. Ch. 1. Obshhaja mehanika. Moscow, 1932, 200 p.).
8. Sedov L.I. Metody podobija i razmernosti v mehanike [Similarity and dimensional methods in mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 536 p.
9. Sena L.A. Edinicy fizicheskih velichin i ih razmernosti [Units of physical quantities and their dimensions]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 440 p.
SHCHEDRIN VLADIMIR - Candidate of Technical Sciences, Professor of Industrial Enterprises Power Supply Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
VORONOV PAVEL - Post-Graduate Student of Industrial Enterprises Power Supply Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
Ссылка на статью: Щедрин В.А., Воронов П.Л. Представление параметров режима электротехнических комплексов и сетей в пространственно-временной системе физических величин // Вестник Чувашского университета. - № 3. - С. 132-148.
