CC BY
34
УДК 517.2/.3 ББК 22.161.1 С 78
Сташ А.Х.
Кандидат физико-.матаматических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и .методики преподавания .математики факультета .математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]
О конечных спектрах полной и векторной частот линейной двумерной дифференциальной периодической системы
(Рецензирована)
Аннотация
Установлено, что не существует числа, ограничивающего сверху мощность множества сущест-( , ) -
ной дифференциальной системы с периодическими коэффициентами.
Ключевые слова: линейная дифференциальная система, колеблемость решений, число нулей функции, полная (векторная) частота решения.
Stash A.Kh.
Candidate of Physics and Mathematics, Senior Lecturer of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]
On finite spectra of full and vector frequencies of linear two-dimensional
differential periodic system
Abstract
The paper shows that there is no number limiting from above a cardinal number of essential (both metrically and topologically) values of full and vector frequencies of any linear two-dimensional differential system with periodic coefficients.
Keywords: linear differential system, variability of solutions, number of zero function, full (vector) frequency of solution.
Введение
Рассмотрим множество Mn линейных однородных дифференциальных систем
x = A(t)x, x e Rn, t e [0,+^), каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функцией A : [о,+<^>) —^ End Rn. Множество всех ненулевых решений системы A e Mn обозначим через S*( A).
Определение 1 [1]. Для каждой системы A e Mn произвольного решения x e S*(A) вектора m e Rn и момента t > 0 обозначим через v(x, m, t) число нулей (возможно, бесконечное) скалярного произведения (x(t), m) на промежутке Te (о, t], а полной и векторной частотами решения x назовем величины
— п — П
<(x) = inf lim — v(x, m, t), Z(x) = lim inf — v(x, m, t).
meRnt—+~ t t—+™ meRn f
К определению 1 добавим обозначение v(x, m, t2, t1) = v(x, m, t2) -v(x, m, t1) числа нулей скалярного произведения (x(t),m) на промежутке Te (t1,t2].
С каждой из частот а, описанных в определении 1, и с каждой системой A e Mn можно связать функционал а>А : S*(A) — [0,+^).
Определение 2. Спектром частоты оА системы А е Mn назовем область ее значений, а значение частоты о, принадлежащее спектру системы А, назовем:
а) метрически существенным [2], если оно принимается на решениях хе S*(А), множество наборов х(0) е Rn начальных значений которых содержит множество положительной меры Лебега в Rn;
б) метрически существенным [3], если оно принимается на решениях х е S*(А),
множество наборов х(0) е Rn начальных значений которых, пресеченное с некоторым
открытым подмножеством U с Rn, служит дополнением в U к множеству первой категории Бэра.
Спектры полной и векторной частот неавтономных дифференциальных систем, в отличие от автономных (см. [4, 5]), не были исследованы. Спектры полной и векторной частот неавтономных однородных дифференциальных уравнений второго порядка состоят из одного числа [6]. В связи с этим возникал вопрос: распространяется ли это свойство на все множество M 2 или указанные спектры двумерных систем будут больше напоминать спектры частот неавтономных дифференциальных уравнений третьего порядка (см. [7, 8]). Этому вопросу посвящена настоящая статья.
Основной результат
Теорема. Для любого наперед заданного натурального N найдется система А е M2, имеющая такие N решений х1,..., xN е S* (А), удовлетворяющие условиям
о(х,) = Z(х) = j i = 1,2,...,N,
причем все эти значения полных и векторных частот являются метрически и топологически существенными.
Данный результат был доложен на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ имени М.В. Ломоносова и анонсирован в докладе [9]. При доказательстве этой теоремы нам понадобится следующая
Лемма [10, 11]. Пусть последовательность положительных чисел t1 < t2 <... удовлетворяет условиям
lim tk = +~, lim tjk±L = 1.
lk
Тогда для любого решения х е S*(А) любой системы А е Mn справедливы равенства:
— ж — ж
ст(х) = inf lim— v(x, m, tk), Z(х) = lim inf— v(x, m, tk).
mеRn kt, kmsER" t,
kk
Доказательство теоремы.
1. По заданному натуральному N определим следующие величины: - >£>Ö1 >... >Sn , 0 = r0 < s0 < r < S1 < ... < Sn-1 < Tn ,
6
так что
1 <£ + St <1, i = 1,2,...,N, (1)
4 , 3,
s,-1 -T-1 = ж, r, -s,-1 = ж, , = N. (2)
Зададим 2п периодическую непрерывно-дифференцируемую функцию y/(t), воз-
растающую на отрезке [0,п], убывающую на участке [п,2п] и принимающую на концах отрезков значения
у(0) = у(2п) = 0, у(п) = п, у/ (0) = у/ (п) = у/ (2п) = 0.
Сначала на промежутке [0,2П] = [[, г1 ]и[, г2] и... и [—, ты ] построим двумерную систему х = А1 (г) х с непрерывными коэффициентами. Для этого на промежутках
[_1,г ], г = 1,2, к,N, определим соответственно фундаментальные системы
Х(гД) = (), х2(гД)}, / = 1,2,..., N,
где
(3)
x:(t) =
cos((1 -e)y(t)) sin((1 -e)W(t))
, х 2(t Д) =
- sin((1 + Д )w(t)) cos((1 + Д )w(t)),
Так как при любом i е {1,2,..., j}
то матрицы
x ~\ta)
det X (t, Д) = cos((£ + Д )p(t)) > 1/2,
1 Г cos((1 + ДМ0) sin((1 + ДМ0)
COs((f + Д )y(t)) V- sin((1 - £)y(t)) cos((1 - £)y(t))
У
ограничены.
Известно, что фундаментальная матрица удовлетворяет исходному матричному уравнению
X(г, $) = А, (г)X(г, $), г е [_1, г ] г = 1,2,..., N, а значит, на участках (3) без труда восстанавливаются системы
А, (г) = Х^ДОХ-ЧгД), г = 1,2, к, N. Построенные фундаментальные матрицы в точках стыка удовлетворяют равенствам
X (T Д) = X (т ,$+,)
10
V0 1У
X (r Д) = X (т Д+,)
00 V0 0У
i = 1,2,..., N -1,
благодаря которым фундаментальная матрица
'X(гД), ге г],
X \t) =
X (t,S2), t е[, r2],
Х(г,$ X г е[_1, ^]
является непрерывно-дифференцируемой на а значит, коэффициенты системы
'Л (г), г е [0, г ], А2(г), г е[, Г2 ],
^(t)=
AN (t X t е \[n-1, rj]
являются непрерывными на указанном отрезке.
2. Теперь построим систему А е М2 с периодическими коэффициентами. В силу равенств
х >(0) = X l(2nN):
'1 0^ V0 1У
, X40) = X1 (2nN) ■
00 V0 0У
фундаментальная матрица
X (t):
X l(t), t e[0,2nN ] X\t - 2nN), t e[2nV,4nV], Xl(t - 4nN), t e[4nV,6nV],
на полуоси [0,+~) является непрерывно-дифференцируемой, следовательно, система
' Л1Ц ), г е[0,2пУ], л\г - 2П), г е[2пУ,4П ], Л1(г - 4П), г е[4П,6П]
A(t) =
на [0,+~) является непрерывной и 2П -периодической.
3. Нетрудно убедиться в том, что из множества 5*,(Л) можно выделить решения
y1 = cl'x1 + с2х2, c1, c2 > 0, i = 1,2, K, N,
удовлетворяющие условиям
-ky1 (r-i) = У (s-1), k > 0, i = 1,2,...,N.
(4)
Последнее означает, что угол между векторами У (г-1), у1 (^-1) равен 1800. Введем в рассмотрение функцию р, которая каждому ненулевому двумерному вектору ставит в соответствие угол между этим вектором и положительным направлением оси ох1, отсчитываемым против часовой стрелки.
Заметим, что решения х1 и х2 удовлетворяют следующим равенствам: р( х1 (^)) - р( х1 (г-1)) = (1 - е)я, 1 = 1,2,..., N, р( х2 (^)) - р( х2 (Г'-1)) = (1 + 8 )п, 1 = 1,2,..., N, из которых (с учетом 81 > 82 >... > 8Г4) следует, что
<0(У1) > Р(У1) > к > рN-1 (У1), 1 = 1,2, к, N,
где
Р-1 (У1) = Р(У (^-1)) - <(У (Г-1)), ' = 1,2,..., N. Следовательно, будут справедливы неравенства
р(У1 (0)) < р(у2 (0)) < к < р(ум (0)) < р(х2 (0)), 1 = 1,2, к, N.
Проследим за поведением любого фиксированного решения У е £«(Л) на промежутке
(0,2П] = (г^ ^0 ] и С^Р Г1 - -1, ^ ] .
На участке
-1, Si-1 ]
(5)
решение У, в силу (4), поворачивается против часовой стрелки ровно на Р(У (^1-1)) - р(У (Г'-1)) = 1800, а на участке
(3-1, Г ] (6)
решение у1, поворачиваясь по часовой стрелке, занимает исходное направление
У (Г-1) = (, 4). (7)
На каждом из промежутков
Г, ] ] = 0,к,1 - 2, (8)
решение у1 поворачивается против часовой стрелки более чем на 1800 (но менее чем на 2700 ), а на каждом из промежутков
(3-1, г} 1 ] = 1,2,..., 1 -1, (9)
решение у1 совершает такие же, что и в предыдущих промежутках, повороты по часовой стрелке и занимает каждый раз исходное место (7). На каждом из промежутков
(г, ], ] = 1,1 +1,..., N -1, (10)
решение у1 поворачивается против часовой стрелки менее чем на 1800, а на каждом из промежутков
(3], Г]+1 ] ] = 1, 1 +1,..., N -1, (11)
совершает такие же, что и в предыдущих промежутках, повороты по часовой стрелке и занимает каждый раз исходное направление (7).
Любой вектор, совершающий поворот не менее чем на 1800 (но менее чем на 2700), бывает ортогональным либо один раз, либо два раза любому другому наперед заданному ненулевому вектору. Поэтому можно указать такой вектор mi, что на каждом из
промежутков (5), (6) , (8), (9) решение у1 бывает только раз ортогонально этому вектору.
Вектор, совершающий поворот менее чем на 1800, бывает ортогональным либо один раз, либо ни разу любому другому ненулевому вектору. Поэтому можно указать такой вектор т1, что решение у1 на каждом из промежутков (10), (11) не будет ни разу ортогонально этому вектору. Нетрудно заметить, что вектор т1 обслуживает и вектор т1 в
том смысле, что вектору т1 решение у1 бывает только раз ортогонально этому вектору на каждом из промежутков (5), (6) ,(8), (9). Таким образом, справедливы равенства
К у1, т, ^ ) = У( у1, т1, ^ ) = 21, 1 = 1,2,..., N. (12)
теК
5. Для вычисления частот произвольного периодического решения у1 е £„(А) зададим последовательность
гк = гк - + 2П, ¿0 = 0,
обладающую свойствами
г
= 1.
lim tk = lim = lim
k k t k lk-1
, 2nN 1 +-
V tk-1 J
Тогда по лемме, при любом i е {1,2,..., N}, имеем
k
nYv(y!, m, t1, t1 -1)
Г 1Л ■ С r~" j=1 • i- Г- nkv(y, m, t1) . v(y!, m, t1) i c(y ) = inf lim —■■-= inf lim-——— = inf ——— = —.
meR2 ktk meR2 k2nkN meR2 2N N'
y, m, tj, tj
m,
у, . -= - " — . _ nkv(y,m,t1) — 2i i Z(y ) = lim inf —--= lim inf-——— = lim-= —.
kmeR2 t k—+- meR2 2nkN k—+- 2N N
Таким образом, установили
<(y)=z(y0=N, ,=u,...,n. (13)
6. Обозначим через yN+1(0) = x2(0). Для фиксированного ie{l,2,...,N} произвольное решение z e S*(A) с начальными условиями
p(z(0)) e [p(/ (0)),p(yM(0)))
обладает свойствами:
- на каждом из промежутков (r-,s-] - = 0,1,...,i-1, поворачивается против часовой стрелки более чем на 1800 (но менее чем на 2700);
- на каждом из промежутков (s--1,r-_[ - = 1,2,...,i, совершает такие же, что и в
предыдущих промежутках, повороты по часовой стрелке и занимает каждый раз исходное направление;
- на каждом из промежутков (10) поворачивается против часовой стрелки менее чем на 1800;
- на каждом из промежутков (11) совершает такие же, что и в предыдущих промежутках, повороты по часовой стрелке и занимает каждый раз исходное направление.
Поэтому на основании п. 5 настоящего доказательства для решения z e S*(A) выполняются равенства
<( z) = Z( z)=N.
Следовательно, значения, задаваемые равенствами (13), являются существенными и метрически, и топологически.
Теорема доказана полностью.
Замечание. Доказанная теорема остается в силе и после замены верхнего предела в определениях полной и векторной частот на нижний предел.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
Примечания: References:
1. Сергеев И.Н. Определение полных частот ре- 1. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of шений линейной системы // Дифференциаль- solutions of a linear system // Differential equa-ные уравнения. 2009. Т. 45, № 6. С. 908. tions. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 908.
2. Сергеев И.Н. Метрически типичные и сущест- 2. Sergeev I.N. Metricaally typical and essential val-венные значения показателей линейных систем ues of indices of linear systems // Differential equ-// Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, ations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1661-1662.
№ 11. C. 1661-1662.
3. Сергеев И.Н. Топологически типичные и суще- 3. Sergeev I.N. Topologically typical and essential
- values of indices of linear systems // Differential
тем // Дифференциальные уравнения. 2012. equations. 2012. Vol. 48, No. 11. P. 1567-1568. . 48, 11. . 1567-1568.
4. Сергеев И.Н. Сравнение полных частот и пока- 4. Sergeev I.N. Comparison of full frequencies and зателей блуждаемости решений линейной сис- indices of roaming of solutions of a linear system // темы // Дифференциальные уравнения. 2010. Differential equations. 2010. Vol. 46, No. 11. T. 46, № 11. C. 1667-1668. P. 1667-1668.
5. Бурлаков Д.С., Цой СВ. Равенство полной и векторной частот решений линейной автономной системы // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1662-1663.
6. . .
решений дифференциального уравнения второ-// -тета. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 6. С. 21-26.
7. . . -
ристик колеблемости решений линейных диф-
//
Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 2 (119). С. 9-22. URL: http://vestnik.adygnet.ru
8. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и вектор// -
венного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 3 (122). С. 9-17. URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. . . -
тот решений двумерных линейных дифферен-// -нения. 2013. Т. 49, № 11. С. 1497-1498.
10. . . -
//
. . . . 2006.
Вып. 25. С. 249-294.
11. . .
множестве линейных двумерных дифферен-// -сударственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 4 (125). С. 25-31. URL: http://vestnik.adygnet.ru
5. Burlakov D.S., Tsoy S.V. Equality of full and vector frequencies of solutions of linear autonomous system // Differential equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1662-1663.
6. Sergeev I.N. Unsteadiness and roaming of solutions of the second order differential equation // Bulletin of Moscow University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. 2011. No. 6. P. 21-26.
7. Stash A.Kh. On essential values of variability characteristics for the solutions of third order linear differential equations // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 20113. Iss. 2 (119). P. 9-12. URL: http://vestnik.adygnet.ru
8. Stash A.Kh. On existence of third-order linear differential equation with continuous ranges of complete and vector frequencies // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2013. Iss. 3 (122). P. 9-17.
URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. Stash A.Kh. Properties of full and vector frequencies of solutions of two-dimensional linear differential systems // Differential equations. 2013. Vol. 49, No. 11. P. 1497-1498.
10. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249-294.
11. Stash A.Kh. On discontinuity of extreme frequencies on a set of the linear two-dimensional differential systems // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2013. Iss. 4 (125). P. 25-31. URL: http://vestnik.adygnet.ru
