CC BY
5
УДК 517.926 ББК 22.161.616 С 78
Сташ Айдамир Хазретович
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: [email protected]
О некоторых свойствах гиперчастот решений линейных многомерных дифференциальных систем
(Рецензирована)
Аннотация. Установлено, что полные гиперчастоты, рассматриваемые как функционалы на множестве решений линейных однородных многомерных дифференциальных систем с непрерывными ограниченными на полуоси коэффициентами, не являются остаточными (то есть могут меняться при изменении решения на конечном отрезке). Кроме того, при любом наперед заданном натуральном n > 2 приводится пример n -мерной дифференциальной системы, для некоторого решения которой полная и векторная гиперчастоты не совпадают.
Ключевые слова: линейная дифференциальная система, колеблемость решений, число нулей функции, полная частота, векторная частота.
Stash Aydamir Khazretovich
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: [email protected]
On some properties of hyper frequencies of solution of linear multidimensional differential systems
Abstract. We have established that the full hyper frequencies considered as functionals on a set of ssolutions of linear homogeneous multidimensional differential systems with the continuous coefficients limited on a semiaxis are not residual (that is can change at change of the solution on a final section). Besides, at any beforehand given natural n > 2 we give the example of n -measured differential system, for some solution of which full and vector hyper frequencies do not coincide.
Keywords: linear differential system, variability of ssolutions, number of zero function, full frequency, vector frequency.
Введение
Настоящая работа логически продолжает и обобщает результаты работы [1] на многомерные дифференциальные системы. Для решений линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка все характеристики колеблемости, введенные И.Н. Сергеевым в работах [2-4], равны нулю, так как эти решения не имеют нулей, а для всех решений любого уравнения второго порядка все верхние (как и все нижние) частоты равны между собой [5]. Следовательно, на множестве решений уравнений первого и второго порядков указанные характеристики идентичны.
Полные и векторные гиперчастоты решений линейных однородных автономных дифференциальных систем были полностью изучены [6]. В частности, было установлено их совпадение на множестве дифференциальных систем с постоянными коэффициентами. Векторные гиперчастоты каждого решения любой дифференциальной системы, как оказалось [4], всегда совпадают с их показателями блуждаемости, которые являются остаточными. В [1] доказано отсутствие свойства остаточности у полных гиперчастот решений линейных однородных двумерных дифференциальных систем, а также приводится пример двумерной системы, для некоторого решения которой полная и векторная гиперчастоты не совпадают. В связи с этим возникали вопросы о возможностях переноса перечисленных свойств на многомерные дифференциальные системы. Этим вопросам посвящена настоящая работа. Рассмотрим множество Mn линейных однородных дифференциальных систем
x = A(t)x, x e Rn, t e R+ =
каждая из которых отождествляется со своей ограниченной непрерывной оператор-функцией A : [о,+го) —^ End Rn. Множество всех ненулевых решений системы A e Mn обозначим через S*(A) и положим Sn = U S*(A) .
AeMn
Определение 1 [3, 4]. Для решения x e S*(A) какой-либо системы A e Mn, чисел t > s > 0 и вектора m e Rn обозначим через v* (x, m, t, s) количество гиперкорней скалярного произведения (x(r), m) на промежутке (s, t], где в процессе подсчета этого количества:
a) каждый некратный корень берется ровно один раз;
b) любой кратный корень берется бесконечно много раз независимо от его фактической кратности (другими словами, как только хотя бы в одной точке г0 e (s, t] выполнены одновременно оба равенства (x(r0),m) = (x(r0),m) = 0, так сразу величина v*(x,m,t,s) считается равной бесконечности, а в противном случае она равна числу нулей функции ^x, m} на промежутке (s, t ]).
Определение 2 [3, 4]. Каждому решению x e S*(A) системы A e Mn поставим в соответствие верхнюю (нижнюю) полную и векторную гиперчастоты, или частоты гиперкорней
<r*(x) = inf lim —v*(x,m,t,0) I <r*(x) = inf lim —v*(x,m,t,0) I,
meRnt—+» t ^ meRn t—+ш t J
£*(x) = lim inf —v*(x, m, t,0) I £*(x) = lim inf — v*(x, m, t,0) I.
t—+»meRn t ^ t—meRn t J
В случае совпадения полной или векторной верхней частоты гиперкорней решения x с одноименной нижней будем называть ее точной и обозначать a*(x) или ^*(x) соответственно.
Определение 3 [7]. Для заданных множеств M и F = {f : R+ — M} назовем функционал Я: F — R остаточным, если для любых функций f, g e F, удовлетворяющих хотя бы при одном t0 e R+ условию f (t) = g(t), t > t0, имеет место равенство Я(f) = Я(g).
Формулировка и доказательство результатов
Теорема 1. Для любого натурального n > 3 найдется система A e Mn, некоторое решение z e S*(A) которой удовлетворяет неравенству £*(z) < a* (z) ■
Теорема 2. При любом натуральном n > 3 каждый из функционалов a*, cf*: Sn — R+ не является остаточным■
Доказательство теоремы 1.
1. Зададим 2— периодическую непрерывно-дифференцируемую функцию <p(t), возрастающую на отрезке [0,—], убывающую на участке [—,2—] и принимающую на концах отрезков значения
<(0) = <р(2ж) = 0, <(—) = —, < (0) = < (—) = < (2—) = 0.
Далее определим последовательность 0,1 > s1 > s2 > ... > положительных чисел, стремящуюся к нулю, и для заданного натурального к зададим n -мерные (n = к + 2 ), непрерывно дифференцируемые по t на R + вектор-функции
f el Л Г 0 ^
0 ег
xi (() = 0 , x2 (() = 0
V 0 J V 0 J
X
о ^
e 0
V 0 J
t е R,
xk +i ((,s, _ ) =
0 0
cos
((1 -s, _>(t)) in((l -s, _i)^(t))
xk+2 ((,e,_i ) =
0
_ sin ((1 _sl_i)y(t)) . cos((1 _S_i)V(t))
£0 = 0, X е [(2/ - 2)т, 2т ], / е #. Нетрудно проверить, что матрица
X ((, -) = (х1 (X), . .., Xе (X), хк+1 (X, -), хк+2 (X, ег_,)) является фундаментальной для системы
0 0
A(t ) = X ((, s, _i )X-1 ((,s, _i ) =
r i 0 • • 0
0 i •
0 0 ■ . i
• 0
V 0 0 • • 0
0 0 0 _(i -s,_i) (t)
, i )(t) 0
е Mn
J
2. Для вектора mi = (0,...,0,i) скалярное произведение (xk+i(t,si-i),miSj удовлетворяет равенствам
(xk+i(^,s, _i), m)=( xk+w,_i), m)=0,
поэтому v* (xk+i, mi ,2п,0) == да .
Для любого вектора m2 = (ai,.,an-i,an), непропорционального вектору mi, при t е (2п, + да) имеем
(xk+i(t,s,_i),m2) = Asin((i - s,_i)p(t) +10), A * 0,
где A = -Jal_i+al , t0 - вспомогательный угол. Поэтому, начиная с некоторого достаточно большого ti(m2), на любом промежутке длины п скалярное произведение (xk+i(t,si-i),m2^j будет иметь один нуль (см. [i]). Кроме того, согласно теореме 2 из [2], найдется вектор m3, непропорциональный вектору mi, для которого при любом t > 0 выполнено неравенство v (x , m3, t,0) < да . Следовательно, для верхней полной частоты гиперкорней имеем
<г* (xk+i) inf f lim пv* (xk+i, m, ti (m3),0)+ Ü^ -v* (xk+i, m, t, ti (m3 ))) =
meRnVt^+да t
■■ lim П
t^+да t
t^+да t
(i _ s— )q)(t) +10 _ ti(m3)
п
0
0
где [] - целая часть числа ^ . Для нижней полной гиперчастоты рассматриваемого решения хк+1 имеют место аналогичные равенства. Следовательно, установлено равенство
а* (х- )= 1. (1)
3. Далее, если ап_1 ^ 0, ап ^ 1, то при любом t > 0 найдется такой вектор да4, что V* (хк+1, т4, ^,о)= 0, а значит, выполнены равенства
0)= 0. (2)
сV+1) = С\xk+1) = lim inf—v (xk+1,m,t,0)= <
tтеКп t
Таким образом, равенства (1) и (2) дают необходимое неравенство а*( хк+1) > С (хк+1). Теорема 1 полностью доказана.
Доказательство теоремы 2.
1. Рассмотрим решение хк_1), построенное в п 1. доказательства теоремы 1 системы А е Мп. Далее выберем решение
z(t,s _i) =
V
0 0
cos((1 -s _i)<(t)) sin((1 -S-i)<(t))
t e [(2i - 2)—, 2—], i e N, s0 = 0,1,
J
системы
B(t) =
f 1 0 • • 0 0 0
0 1 •
0 0 ■ 1 0 0
• 0 0 - (1 -Si -
V 0 0 • • 0 (1 -S,--!< (t) 0
e Mn
совпадающее с хк,е1 _1) на луче [2^, + . Вектор т1 и решение _1) при любом
t > 0 ни разу не будут ортогональными в плоскости хк+1Охк+2, поэтому справедливо равенство v*( 2, т1, t ,0) = 0. Откуда находим
а» = а» = 0. (3)
Несовпадение друг с другом величин (1) и (3) означает, что полные гиперчастоты
СУ п т» +
а ,а : о ^ К не являются остаточными. Теорема 2 доказана полностью.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
Примечания:
1. Сташ А.Х. О некоторых свойствах полных и векторных гиперчастот решений двумерной дифференциальной системы // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2017. Вып. 2 (201). С. 31-34. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Сергеев И.Н. Определения и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25.
References:
1. Stash A.Kh. On some properties of hyper frequencies of decisions for linear differential equations of the highest orders // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2017. Iss. 2 (201). P. 31-34. URL: http://vestnik.adygnet.ru
2. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249-294.
С. 249-294.
3. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 6. С. 908.
4. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Математический сборник. 2013. Т. 204, № 1. С. 119-138.
5. Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 6. С. 21-26.
6. Сташ А.Х. Полные и векторные частоты решений линейной однородной автономной дифференциальной системы // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 6. С. 851-852.
7. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111-166.
3. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of a linear system // Differential Equations. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 908.
4. Sergeev I.N. The remarkable agreement between the oscillation and wandering characteristics of solutions of differential systems // Mathematical Collection. 2013. Vol. 204, No. 1. P. 119-138.
5. Sergeev I.N. Unsteadiness and roaming of solutions of the second order differential equation // Bulletin of Moscow University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. 2011. No. 6. P. 21-26.
6. Stash A.Kh. Complete and vector frequencies of solutions of the linear homogeneous autonomous differential system // Differential Equations. 2016. Vol. 52, No. 6. P. 851-852.
7. Sergeev I.N. On the theory of Lyapunov indices of linear systems of differential equations // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 1983. Iss. 9. P. 111-166.
