О конечных группах, в которых любая чистая подгруппа выделяется прямым множителем Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 2. С. 25-26.

УДК 512.567.2

Л.М. Мартынов, О.В. Князев

О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ, В КОТОРЫХ ЛЮБАЯ ЧИСТАЯ ПОДГРУППА ВЫДЕЛЯЕТСЯ ПРЯМЫМ МНОЖИТЕЛЕМ*

Изучаются конечные группы, в которых каждая чистая подгруппа выделяется прямым множителем.

Ключевые слова: группа, подгруппа, чистая подгруппа, многообразие групп.

Предварительные замечания

Настоящая статья посвящена изучению конечных групп, в которых каждая чистая подгруппа выделяется прямым множителем. Она лежит в русле поставленной в [1] проблемы 20: описать алгебры данного многообразия алгебр, любая чистая подалгебра которых выделяется прямым множителем

Напомним необходимые определения. Пусть V - многообразие всех групп; Ь(^ - решетка подмногообразий многообразия V, ХеЬ(^, AeV. Пусть р(Х, А) - наименьшая из конгруэнций на А, фактор-группы по которым принадлежат X. Единственным классом Х-вербальной конгруэнции р(Х, А) на группе А, являющимся подгруппой группы А, будет класс, содержащий единицу группы. Обозначают его через Х(А) и называют X-вербалом группы А (или Х-вербальной подгруппой).

Подгруппу В группы А называют Х- чистой в А, если

Х(В) = Х(А) пВ. (*)

В случае когда равенство (*) выполняется для любого атома решетки Ь^), говорят, что подгруппа В группы А является чистой в А.

Заметим, что упомянутая выше проблема 20 для абелевых групп изучалась в [2; 3].

Группу А называют полной, если равенство Р(А) = А имеет место для любого атома Р из решетки Ь^). Если полная группа не имеет собственных отличных от единицы полных подгрупп, то ее называют минимально полной группой. Заметим, что понятие полной группы в классе абелевых групп эквивалентно обычному понятию полной абелевой группы [4].

Мы будем придерживаться следующих обозначений: (а) - циклическая подгруппа, порожденная элементом а, Ар - многообразие абелевых групп простой экспоненты р. Хорошо известно, что атомы решетки Ь(^ -это в точности многообразия Ар для всех простых р.

Лемма 1. У минимально полных групп нет нетривиальных собственных чистых подгрупп.

Доказательство. Пусть А - минимально полная группа, В - нетривиальная собственная подгруппа группы А. Группа В не является полной группой. Значит, найдется простое число q такое, что Ад(В) Ф В. Но А -полная группа. Следовательно, равенство Ар(А) = А выполняется для любого простого числа р. Тогда Ад(А) п В = А п В = В Ф Ад(В). Итак, подгруппа В группы А не является чистой подгруппой.

Пусть запись р|э означает, что в делится нацело на р.

Лемма 2. Циклическая подгруппа (а)-порядка э группы А является чистой в А тогда и только тогда, когда а 0 Ар(А) для любого простого р такого, что р1 э.

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, задание № 2014/336.

© Л.М. Мартынов, О.В. Князев, 2014

26

Л.М. Мартынов, О.В. Князев

Доказательство. Пусть (а) - чистая подгруппа группы A и | (а) | = s. Если p\s, то (а) Ф Ар((а)). С другой стороны, Ap(A) о (а) = = Ар((а)). Следовательно, а 0 Ap(A).

Обратно. Пусть | (а) | = s и а 0 Ap(A)

и p\s. Тогда Ар((а)) <Ap(A) о (а). При этом Ap(A) о (а) Ф (а) и Ap((а)) - максимальная подгруппа группы (а). Следовательно, Ap(A) о (а) = = Ap(^)). Значит, (а) - Ajj-чистая подгруппа группы A. Пусть теперь | (а) | = s и простое r не \s, то r и s взаимно простые числа. Тогда (а) = A,^)) и а е Ar(A). Поэтому Ar(A) о (а) = (а) = A,^)). Значит, (а) - Ar -чистая подгруппа группы A. Следовательно,

(a) - чистая подгруппа группы A.

О группах, в которых любая чистая подгруппа выделяется прямым множителем

Предложение. Периодическая группа А не имеет собственных чистых циклических подгрупп тогда и только тогда, когда А -полная периодическая группа или А - циклическая р-группа.

Доказательство. Пусть А - полная периодическая группа, b е А и А не является циклической группой. Для всякого неединичного периодического элемента b всегда найдется простое число р такое, что

(b) Ф Ap((b)). Тогда Ap(A) о (b) = (b) Ф Ap((b)). Подгруппа (b) не будет A^^tc^. Пусть А = (а) и | (а) | = рк. Вербал Ap(^)) - наибольшая подгруппа в (а). При этом для любого элемента ав-группы: Ap(^)) о (ав) = (ав), если p\s, при этом (а?) Ф A^^)); либо Ap(^)) о о (а11) = (а), если p не | s. Итак, в А нет собственных чистых циклических подгрупп.

Обратно. Пусть А - периодическая группа, в которой нет собственных чистых циклических подгрупп. Предположим, что А не является полной, т. е. найдется простое число p такое, что Ap(A) Ф А. Пусть ае А\Ap(A). В этом случае порядок группы (а) не может быть взаимно прост с p. Пусть | (а) | = р^ и (s,p) = 1. Тогда (а) = (b) х (с), где | (b) | = рк,

| (с) | = s. Следовательно, с е Ap(A) и

b е А\Ap(A). Тогда А = Ap(A) о (b) = Ap((b)). Подгруппа (b) - Ap-чистая. Очевидно, что в этом случае (b) будет чистой. Полученное противоречие говорит, что не найдется простого числа p такое, что Ap(A) Ф А. Значит, А - полная группа. Если А = (а) и | (а) | = рris и (s,p) = 1, то (а) = (b) х (с). Хорошо известно, что Ap((b) х (с)) = Ap((b)) х Ap((c)). Отсюда нетрудно понять, что подгруппы (b) и (с) суть чистые подгруппы. Следовательно, | (а) | = рк.

Напомним, что подгруппа C группы A называется ретрактом в A, если существует такой гомоморфизм f: A ^ C, что /(с) = с для всех с е C.

Лемма 3 (предложение 1 из [5]). Ретракт является чистой подгруппой группы.

Лемма 4. Диагональ D = {(a, a) | а е A} прямого квадрата А х А группы А есть чистая подгруппа.

Доказательство. Очевидно, что отображение /: А х А D, /(а, b)) = (а, а) являет-

ся групповым гомоморфизмом, который фиксирует подгруппу D. Значит, D - ретракт. Следовательно, по лемме 3 подгруппа D есть чистая подгруппа группы А х А.

Лемма 5 (предложение 1 из [5]). Пусть C < B < A. Тогда если C - чистая подгруппа в В, а В - чистая подгруппа в А, то C - чистая подгруппа в А.

Теорема. Если в конечной группе А всякая чистая подгруппа выделяется прямым множителем, то группа А есть прямое произведение циклических p-групп и попарно не изоморфных минимально полных групп.

Доказательство. Пусть А - конечная группа, в которой всякая чистая подгруппа выделяется прямым множителем. Если А не является полной группой или циклической р-группой, то, по предложению, в ней найдется чистая циклическая подгруппа (а). Тогда группу А можно разложить в произведение А = (а) х В, где В - конечная группа. Если (а) и В не являются полными группами или циклическими р-группами, то вновь применяем предложение. Через конечное число шагов получим, что А = А1 х А2 х ... х Ап, где А1, Ая,..,Ап - полные группы или циклические р-группы. Пусть среди групп А1, А2,...,Ап найдутся изоморфные полные группы, например, группы А1 и А2. Тогда по лемме 4 в группе А1 х А2 подгруппа D = {(а, а) \ а е A1} является чистой подгруппой. Хорошо известно, что полные абелевы группы - это в точности прямые произведения квазициклических групп и аддитивных групп рациональных чисел. Значит, все конечные полные группы суть не коммутативные группы. Из равенства (e, b)fa, а)(е, b-1) = (а, bab-1), где e - единица группы А1, убеждаемся, что подгруппа D не является нормальной подгруппой в группе А1 х А2. Это означает, что чистая подгруппа D не выделяется прямым множителем в группе А1 х А2. Следовательно, по лемме 5 D не выделяется и в А прямым множителем. Таким образом, в произведении А = А1 х А2 х ... х Ап все полные сомножители попарно не изоморфны и при этом должны быть минимально полными группами. Действительно, если группа Аг - полная, но не минимально полная группа, то в Аг любая её полная подгруппа В будет чистой в Аи Значит, по лемме 5 подгруппа В - чистая и в группе А.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Мартынов Л. М. О понятиях полноты, редуцированности, примарности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения : тр. Междунар. семинара. Волгоград, 2000. С. 179-190.

[2] Fuchs L., Kertesz A, Szele T. Abelian groups in which every serving subgroups is a direct summand // Publ. Math. 1953. Vol. 3. P. 95-105.

[3] Черников С. Н. Группы с системами дополняемых подгрупп // Матем. сб. 1954. Т. 35. С. 93128.

[4] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1986. 239 с.

[5] Князев О. В. О чистых алгебрах // Вестн. Ом. ун-та. 2001. № 3. С. 18-20.