CC BY
40ПРОБЛЕМЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ВИРТУАЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ СРЕДЫ
О КОМПЬЮТЕРНЫХ МОДЕЛЯХ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ФИЗИКИ
Рассматриваются сущность моделирования как как метода научного познания , особенности физического и математичес кого моделирования, этапы процесса
математического моделирования с использованием численного эксперимента. Сформулированы цели обучения учащихся методу моделирования в школьном курсе физики.
Статья будет полезна учителям и стуудентам педагогических вузов , интересующимся вопросами органиазации творческой деятельности учащихся, связанной с компьютерным моделированием физических объектов.
1. Что есть модель и каковы задачи моделирования.
В школьном курсе информатики последние годы утвердился раздел «Модели и
моделирование», в котором обычно делается попытка классифицировать модели и охватить более или менее строгими определениями все вопросы, связанные с процессом моделирования в разных областях деятельности человека. Действительно, слова модель и моделирование стали часто использоваться в учебной литературе и в обычных жизненных ситуациях. Моделью называют плюшевого медвежонка и другие разнообразные игрушки, с которыми имеет дело ребенок в повседневной жизни, современные учебники информатики называют моделям и. Девушку, которая
демонстрирует новые покрои одежды, или, глядя на которую, художник рисует картину, также называют моделью. Линию, которую по линейке провел школьник в своей тетради, некоторые учителя склонны называть моделью прямой, желая подчеркнуть е е несовершенство и отличие от “настоящей” математической прямой. Моделью называют плоское графическое или объемное изображение будущего городского микрорайона. Многие считают произведения искусства и литературы моделью “человеческой души”. Систематизированные сведения, представленные об объекте в электронном виде, называемые раньше базой данных, теперь многие методисты считают целесообразным называть информационной моделью объекта. Достаточно распространенным является мнение о том, что совокупность наших знаний о природе образует ее модель [1, 2].
Словарь иностранных слов выделяет шесть разных смыслов слова модель: 1) образец какого -либо изделия для серийного производства; 2) тип, марка, образец конструкции чего-либо; 3) воспроизведение предмета в уменьшенн ом или увеличенном виде; 4) предмет изображения в искусстве, натурщица, позирующая художнику; 5) образец предмета, служащий для изготовления формы при воспроизведении в другом материале; 6) схема, изображение или описание какого -либо явления или процесса в
© Р.В. Бирих, 2006
природе и обществе. Ясно что, многозначность слова модель связана с использованием его в разных областях человеческой деятельности.
В слово моделирование, по своему грамматическому устройству, означающему некоторое действие, вкладывается еще более широкий смысл. Это, во -первых, построение всякого рода моделей. Поскольку человек всегда действует по некоторому заранее подготовленному плану, поэтому считается, что результатом его деятельности является некоторая модель [1]. С этой точки зрения, все, что сделан о человеческими руками или при его вмешательстве, можно считать моделью. Следуя этому взгляду, например, дворник, убирая улицу после ночного снегопада, создает модель чистой улицы. Во -вторых, под моделированием понимают экспериментальное исследование свойств моделей и критическая оценка их возможностей. В -третьих, использование
моделей для формирования умений и навыков.
Обратим внимание еще на существование в “чистой” математике своей строгой теории моделей [3].
Ясно, что такое широкое понимание модели и м оделирования далеко от конструктивного, научного смысла этих слов, делает эти термины малосодержательными или требует классификации, которая из -за многообразия смысла исходных понятий не может быть однозначной и полезной. Широкая дискуссия о том, как в шк ольном курсе ввести понятие модели: на основе строго философского определения [4] или интуитивного бытового понимания этого слова, не может привести к однозначному решению. В связи с этой проблемой нам кажется интересной публикация [5]. Компьютерное моделирование предполагает использование универсального исполнителя - персонального компьютера. На наш взгляд, разумно не классифицировать виды компьютерных моделей, а говорить об области знаний или деятельности, в которых компьютерное моделирование осуществляется. Например, компьютерное моделирование в градостроении, компьютерное моделирование чрезвычайных ситуаций в природе, компьютерное моделирование высокомолекулярных соединений, компьютерное моделирование физических процессов.
Как же ограничить понятие модел и и моделирования для целей исследования физических процессов? Вот что говорит по этому поводу “Физический энциклопедический словарь” 1963 года издания [6], когда слово модель не было в такой моде: “ Моделирование - метод экспериментального исследования, о снованный на замещении конкретного объекта эксперимента (образца) другим, ему подобным (моделью). Моделирование применяется в тех случаях, когда целью исследования является не выяснение общих физических закономерностей, а детальное изучение вполне конкретного процесса, развивающегося в системе с определенными геометрическими и физическими свойствами при заданных режимных условиях.” Далее мы будем придерживаться такой точки зрения и более подробно обсудим эти идеи.
Окружающий человека мир действительно сложе н и разнообразен. В процессе его познания человек вынужден выделять в исследуемых объектах наиболее важные черты и свойства, а в происходящих явлениях существенные связи. Для определения количественных связей экспериментатор создает достаточно сложные приб оры и установки. Они являются обычными физическими объектами, в которых конструктивно второстепенные связи отодвинуты на второй план, и это позволяет экспериментатору установить количественные закономерности. Важнейшие из них составляют содержание законов природы. Называть чувствительные установки экспериментатора моделями чего-либо вряд ли разумно. Например, известные крутильные весы Кулона, на которых измерялась сила взаимодействия заряженных шариков, являются моделью чего?
В том случае, когда устанавлива ются фундаментальные законы или изучаются физико-химические свойства тел, экспериментатор пров одит, как говорят, натурные
эксперименты (опыты Галилея, Кулона, Фарадея - этот список можно долго продолжать). Например, для установления закона всемирного тяготения нужно измерить силу притяжения двух тел, в качестве которых могут быть взяты астрономические тела или большие шары. Для формулировки закона Ома необходимо для разных проводников в эксперименте установить связь между током в цепи и напряжением на кон цах проводника. Для определения вязкости жидкости нужно эту жидкость залить в вискозиметр и провести измерение. Следует еще раз подчеркнуть, что для проведения некоторых экспериментов исследователям приходится делать очень сложные в техническом отношении у становки (не модели). В физической науке, особенно на первоначальном этапе ее развития, доминировали натурные эксперименты. Они должны занимать определенное место и в процессе обучения физике как источник первоначального знания о законах природы. Иллюстрац ия физических законов, на наш взгляд, в случае возможности должна производится в натурном эксперименте. Только в натурном эксперименте можно убедиться в справедливости того или иного закона! В кино и на экране компьютера можно показать все, что угодно! У у чеников в результате изучения физики должна сформироваться уверенность в том, что основные законы природы сформулированы на базе натурных экспериментов, что именно результат натурного эксперимента является критерием истинности наших знаний о природе.
В современной науке ситуация несколько изменилась. Часто возникает потребность в эксперименте, в котором не требуется открывать фундаментальные законы природы, а необходимо установить поведение какого -либо конкретного объекта или характер протекания конкретного процесса в рамках известного класса явлений. Например, вы придумали новую форму корпуса самолета и хотите узнать его летные качества. Хотя физика происходящих в окрестности самолета явлений достаточно ясна, разумно ли сразу строить аппарат натуральных ра змеров и проводить полетные испытания? Или другой пример: в технологическом процессе подготовки высококачественной стали требуется ввести легирующую добавку. В какой момент времени и в каком месте это сделать, особенно, если добавка может выгореть? Можно л и без больших затрат провести прямой эксперимент? Ответ на эти вопроса один: требуются предварительные эксперименты на вспомогательных объектах.
Для детального изучения свойств конкретных объектов и сложных явлений современный исследователь создает вспомог ательные объекты, с которыми ему легче экспериментировать, во взаимодействии которых удобней наблюдать интересующие явления. Как говорилось выше, метод экспериментального исследования, основанный на замене конкретного объекта эксперимента другим, в некотором смысле ему подобным, будем называть моделированием, а объект над (на) которым (ом) производится эксперимент - моделью. Именно только в этом смысле дальше будут употребляться слова модель и моделирование.
Обычно модель предназначается для изучения вполне конкретного процесса, происходящего в системе с определенными геометрическими параметрами и физическими свойствами в условиях, когда обстановка для натурного эксперимента неблагоприятна. Например, геометрические размеры системы чрезмерно велики или очень малы, исследуемый процесс протекает слишком быстро или слишком медленно, очень высоки значения режимных параметров процесса (температура, давление, электрическое напряжение и т.п.), дороговизна или токсичность расходуемых материалов и другие факторы.
Почему мы надеемся получить знание об объекте, экспериментируя на модели? Модель и моделируемый объект связывают условия подобия, что и позволяет на модели воспроизводить явления, подобные тем, которые происходят в объекте (об этом говорит опыт). Модель конечно должна быть геометрически подобна объекту. Понятно, однако,
что поведение физического объекта определяется не только его геометрией, но и характером воздействия на него внешних объектов, его физическими характеристиками. Поэтому требуется выполнение под обия ещё по физическим параметрам. Ясно, что характер протекания физического явления не должен зависеть от выбора единиц измерения физических величин: выберем мы для измерения расстояния метр или другую величину, для измерения времени секунду или период ка кого-нибудь циклического
процесса и т.д., а определяется безразмерными параметрами, т.е. относительными величинами. В случае подобия явлений все их количественные характеристики, представленные в относительной форме, совпадают. Тождественность всех, призн анных существенными, относительных характеристик у модели и оригинала означает соответствие между оригиналом и моделью. Иногда это требование оказывается настолько жестким, что модель оказывается совпадающей с оригиналом. В этом случае некоторые характерис тики объекта провозглашаются несущественными, и строится более грубая модель объекта.
Представление результатов эксперимента с моделью в относительных переменных позволяет исследованием на одной модели обеспечить изучение целой группы подобных явлений. В п ределах этой группы для конкретного объекта численные результаты получаются простым пересчетом, состоящим в умножении на масштабные коэффициенты.
2. Особенности физического моделирования
При физическом моделировании предполагается физическая однородность объекта и модели, их геометрическое подобие и подобие краевых распределений. Кроме этого остаются еще требования количественного характера, выражающиеся в равенстве критериев подобия. Критерии подобия - это безразмерн ые числа, величина которых определяется как произведение степенных функций воспроизводимых (или управляемых) параметров (только степенные функции параметров позволяют сделать их произведение имеющим нулевую размерность).
Приведем примеры. При исследовании общей картины обтекания твердого тела однородным потоком несжимаемой жидкости воспроизводимыми параметрами являются: характерный геометрический размер тела Ь см, скорость набегающего потока вдали от тела V 0 м/с, кинематическая вязкость жидкости V см2/с. Э ти три параметра связываются в один безразмерный критерий подобия - число Рейнольдса: Яе = ^ Ь/п. В модели, воспроизводящей характер обтекания реального объекта, кроме геометрического подобия, требуется выполнить равенство чисел Рейнольдса модели и объек та (только в этом случае структура течения около модели будет подобна структуре течения около объекта):
Яе' = Яе", (1)
где штрихом отмечена величина, относящаяся к объекту, а двумя штрихами -величина, относящаяся к модели. Уравнение (1) удобно записать в другом виде
Яе'
Яе"
V
—
/ ' \-1 'V Л
/
У
(2)
1
или, вводя множители преобразования воспроизводимых параметров
/ т- / /
к = А-, кь = —, к = — .
V ^ ’ — Т ГГ 5 V
в виде
(3)
Уравнение (3) связывает три параметра модели одним уравнением, оставляя большую свободу для построения модели (выбора жидкости, размера тела или скорости потока). Используя ту же жидкость, можно, например, в два раза уменьшить размер модели, одновременно в два раза увеличив скорость течения жидкости.
Если, однако, существенным становится еще хотя бы один воспроизводимый параметр, то ситуация может существенно измениться. Пусть, например, обтекаемое тело находится не слишком далеко от поверхности жидкости, и на ее обтекании сказывается сила тяжести. В этом случае появляется, по крайней мере, еще один воспроизводимый параметр g - ускорение свободного падения и еще один независимый критерий подобия - число Фруда
Это означает, что натурную жидкость ( кп = 1) в модели использовать нельзя, поскольку при этом модель становится тождественной натуре (^ = 1, к— = 1).
Как сформулировать критерии подобия для произвольной физической проблемы? Если интересующий физический процесс описывается некоторой системой уравнений (с помощью фундаментальных физических законов в разумном приближении удается записать систему уравнений), то переход в этой системе к собственным единицам измерения (к безразмерным единицам) автоматически порождает все критерии подобия задачи. Если такие уравнения не используются, то необходимо выписать все существенные воспроизводимые параметры физического явления и по строить
независимые безразмерные критерии, подобно тому, как это было сделано выше. Формулировка критериев подобия обязательна при любом моделировании, так как числовые значения именно этих критериев определяют характер протекающего процесса.
3. Особенности математического моделирования
Отказ от требования физической однородности явлений в натуре и модели расширяет возможности моделирования. Для построения модели можно использовать количественное описание исследуемого явления с помощью алгебраических, дифференциальных или других уравнений и неравенств. Совокупность этих математических соотношений, представляющих обычно сложную математическую задачу, должна отражать существенные стороны моделируемого объекта. Как в этом случае нам удается получить новые зн ания об объекте? Дело в том, что, пользуясь фундаментальными законами физики, мы можем легко описать поведение объекта на малых интервалах времени и изменение полей, задающих состояние объекта, на малых пространственных масштабах. Наоборот, для целей практ ики обычно требуется знание интегрального поведения объекта, т.е. изменения его состояния на большом промежутке
Требование равенства чисел Фруда для модели и объекта приводит к уравнению
(4)
(5)
времени. Таким образом, в модель мы закладываем свои дифференциальные знания об объекте, а в результате экспериментов с моделью получаем некотор ые интегральные знания. Метод моделирования в этом случае называется математическим
моделированием и сводится к построению решения некоторой обычно сложной математической задачи, его анализу и наглядному представлению результатов исследования.
Создавая математическую модель, необходимо установить количественные связи, описывающие свойства объекта или явления. Каждая характерная черта объекта, особенность его поведения должна быть зафиксирована в виде некоторого математического отношения. Наиболее просто св язи между характеристиками объекта моделирования устанавливаются на малых промежутках времени и для близких точек пространства. Записывая такие связи, мы обычно приходим к дифференциальным уравнениям или к их конечно -разностным аналогам. Построение математ ических
моделей с использованием дифференциальных уравнений является наиболее распространенным методом в физике, поскольку все основные законы современной физической науки записываются в виде таких уравнений. Дифференциальными уравнениями являются уравнения механики Ньютона и квантовой механики, уравнения гидродинамики, электродинамики и термодинамики.
Исследование математических моделей, построенных на базе дифференциальных уравнений или их конечно -разностных аналогах, почти всегда сводится к численному эксперименту или, как говорят, к численному моделированию. Численное моделирование стало важным методом научного исследования в связи с тем, что модели содержат нелинейные уравнения или обладают большим числом степеней свободы (описываются системой уравнений с большим числом переменных) и не поддаются аналитическому анализу. Кроме того, в распоряжении исследователей появилась техника с огромными вычислительными и графическими возможностями - персональные компьютеры. Их использование в математическом моделиров ании наложило свой отпечаток на характер экспериментального исследования модели. Формулировка задачи для компьютера требует четкого понимания цели численного эксперимента и вопросов, на которые должен дать ответ этот эксперимент. Оперативное графическое пр едставление
результатов численного эксперимента на дисплее позволяет сделать результаты наглядными и приблизить численный эксперимент к аналитическому исследованию математической модели.
Важной проблемой во всяком моделировании, а при численном - в особенн ости, является проблема достоверности результатов эксперимента, т.е. правильного описания поведения реального объекта в результатах эксперимента на модели. В численном эксперименте, кроме огрубления реального объекта при переходе к математической модели, в носятся дополнительные ошибки, связанные с приближенным решением сформулированной в модели математической задачи. Контроль за погрешностями в численном эксперименте может быть организован разными способами, но должен присутствовать всегда. Эффективным методом такого контроля можно считать привязку результатов численного эксперимента к нескольким возможным асимптотическим решениям математической задачи или сопоставление результатов численных экспериментов, проведенных разными математическими методами. Послед ним словом в пользу справедливости результатов моделирования является согласование его результатов с контрольными натурными экспериментами.
В заключение этого параграфа сформулируем кратко, на какие этапы можно условно разделить весь процесс математическог о моделирования с использованием численного эксперимента.
1. Начать моделирование нужно с обсуждения физической проблемы и постановки вопросов, на которые следует получить ответ.
2. Для физических величин, появившихся при этом обсуждении, написать управляющие ур авнения, используя фундаментальные законы или знания о дифференциальных свойствах исследуемого процесса. Необходимо убедиться в математической полноте сформулированной задачи.
3. Выбрать характерные масштабы для переменных и записать уравнения в безразмерном виде. Выбрать независимые критерии подобия задачи.
4. Переформулировать математическую задачу на языке алгебры и выбрать метод ее решения.
5. Составить алгоритм численного эксперимента.
6. Записать алгоритм на алгоритмическом языке и провести пробные вычисления для проверки работоспособности выбранного метода. При неудаче вернуться к п.4.
7. Провести численный эксперимент для широкого диапазона значений критериев подобия. Выделить те из них, при которых происходит смена режимов в исследуемых физических процессах.
8. Подвергнуть критическому анализу все полученные результаты, сравнить их с известными натурными экспериментами. Рассмотреть возможные пути улучшения модели, если результаты в каком -либо смысле оказались неудовлетворительными, или упрощения модели, если численный эксперимент оказался трудоемким.
Важной причиной использования моделей в школьном курсе физики может служить привлечение их как средства обучения и тренажа. Можно сформулировать следующие цели школьного курса моделирования:
1) дать научные основы моделир ования (правила построения моделей и экспериментов с ними);
2) при математическом моделировании дать практические примеры использования математических методов, вложив в формальные математические подходы конкретный смысл практической деятельности;
3) продемонстрировать возможности современных компьютеров для решения задач, не укладывающихся в офисные приложения.
4) углубить знания учащихся в области конкретных наук и придать изучению этих наук творческий характер;
5) разнообразить уроки информатики с помощью решения конкретных вытекающих из практики задач.
Библиографический список
1. Ашихмин, В.Н., Гитман, М.Б., Келлер, И.Э., Наймарк, О.Б. и др. Введение в математическое моделирование: Учебное пособие / Под ред. П.В. Трусова. М.: Логос, 2004, 440 с.
2. Могилев, А.В., Пак, Н.И., Хеннер, Е.К . Информатика: Учеб. пособие для студ. пед. вузов / Под ред. Е.К. Хеннера. М.: Академиа, 1999, 816 с.
3. Корн, Г., Корн, Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974, 832 с.
4. Макарова, Н.В., Титова, Ю.Ф. О подходах к определению базовых понятий раздела «Моделирование» в школьном курсе информатики // Информатика и образование. 2004, № 9, с. 2-10.
5. Гейн, А.Г. Четыре года спустя, или Стандарт по информатике: и в нем нам хочется дойти до самой сути / Первое сентября. Информатика. 2005, № 2, с. 3 -13.
6. Физический энциклопедический словарь: т. 3. М.: Советская энциклопедия, 1963.
Статья подготовлена в рамках проекта «Информатизация системы образования», реализуемого Наци оналъным фондом подготовки кадров по заказу Министерства образования и науки Российской Федерации. Проект финансируется из средств Международного банка реконструкции и развития.
