О компактной форме выражения динамических уравнений Эйлера при относительном движении тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2009. С. 74-78

Теоретическая механика

УДК 531.31:62-56

О компактной форме выражения динамических уравнений Эйлера при относительном движении

тела

И. А. Мухаметзянов

Кафедра теоретической механики Российского университета дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

Получено компактное выражение динамических уравнений Эйлера при относительном движении тела с помощью планарного тензора инерции.

Ключевые слова: тензор инерции, планарный тензор, годограф, эллипсоид энерции.

1. Постановка задачи

Как известно, динамическое уравнение Эйлера для абсолютного движения тела вокруг центра масс с в осях системы координат cxyz, связанных с телом, в векторной форме имеет вид

Jea = Jwa х йа + MC(F), (1)

где J - тензор инерции тела в точке с, являющийся известной (3 х 3)-матрицей с постоянными элементами; и а, Ёа - векторы абсолютной угловой скорости и

углового ускорения тела; Мес, Мс - главные моменты переносной и кориолисовой сил инерции относительно точки с, MC(F) - главный момент внешних физических сил относительно с. Подставляя

СО а = ^ r + ие, еа = ег + ее + ие х иr,

где Ur, üJ е, £е, £г - относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела в уравнение (1), получим

Jer = —3~Ее + JUJ е х ие + Jur х шг + Jur х йе + Jloе х Ur + J[Ur х йе] + Мс(F).

Так как главный момент переносных сил инерции Мс выражается лишь через

йе и £е, а кориолисовых сил инерции Мс - через йг и й е, то из этого уравнения следует

Ме = —3£е + 3ше х ше, МС = х ше + 3ше х шг + 3[йг х (2)

Из (2) видно, что нет необходимости в приведении вектора Мс к более ком_с

пактной форме. По отношению к вектору Мс такое приведение представляется целесообразным.

_с

Поставим задачу о приведении вектора Мс к более компактной форме в виде одного векторного произведения двух векторов вместо трех произведений в (2).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (06-01-00664) и Министерства образования и науки РФ.

2. Решение задачи

Для этого введем понятие планарного кинетического момента инерции тела в точке с от переносного вращения тела

К , = (3)

Л. =

1' 11

°х ° ху и XX

1 Т 1

111'

^ XX V ху

(4)

где з'х = Е, Jу = у2 ^ = 13£

^=1 ^=1 ^=1

являются планарными моментами инерции тела [1] относительно координатных плоскостей сух, схх, сху. Внедиагональные элементы матрицы (4) являются известными центробежными моментами инерции тела. Матрицу (4) назовем планар-ным тензором инерции тела в точке с. Если оси системы схух являются главными осями инерции тела, то матрица (4) становится диагональной, так как при этом внедиагональные элементы обращаются в нуль. Имеет место теорема:

Теорема. Главный момент кориолисовых сил инерции относительно центра масс тела равен удвоенному векторному произведению относительной угловой скорости тела на его планарный кинетический момент от переносного вращения.

Согласно этой теореме имеет место равенство

_и ,

Мс =2рг х ,!'сШе]. (5)

Заметим, что убедиться в справедливости (5) можно было бы сравнением про_к

екций правых частей Мс в (2) и в (5) на оси системы схуг. Такой путь, кроме трудоемкости, обладает еще тем недостатком, что при этом невольно возникает вопрос о том, каким образом авору удалось догадаться ввести понятия планар-

ного момента инерции в виде (3) и планарного тензора инерции в виде (4).

_^

Поэтому используем более очевидный путь определения Мс в виде суммы моментов кориолисовых сил инерции всех частиц тела относительно точки с

Мкс = -2 Е ри х тире х VI], (6)

^=1

где р„ - радиус-вектор частицы тела массой относительно с. Вектор (6) разложим по направлениям ше и V„

п п

Мкс = -2йе Е (р» • VI) +2 Е (Р" • йе) . (7)

и=1 и=1

Подставляя в (7) значение V^ = Уг'с + иг х и учитывая ^ т„р„ = 0,

^=1

р„ • [иг х ри] = 0, получим

Мкс =2шг хЕ Ри (Ые • Ри). (8)

1 с — 2^г х / иьиУу (ше • Ру

и=1

Проектируя Р» (ше • р„) на оси сх, су, сх, соответственно, получим

»=1

п / п \ / п \

ш<е(Ех1) + ш<е Ет»х»у») + ш<е Е

и=1 \»=1 ) \»=1 )

(п \ ( п \ / п \

Е т»у»хЛ + Шу I Е т»у2Л + ( ^ т»у»гЛ , (9)

(п \ / п \ / п \

Е ти х»хА + Шу ( Е уЛ + ( Е ■

п

Из (9) следует представление вектора ^ т»р» (йу • ) в (8) в виде

»=1

п

Е (Ре • Р„) = е ■ (Ю)

»=1

_^

Итак, подставляя (10) в (8), получим выражение вектора Мс в виде (5).

Следовательно, динамические уравнения Эйлера в случае относительного движения тела в компактной форме выражаются в виде

Jer = Jwr х йг — Jse + Jue х йе + 2[шг х J'jJe] + MC(F). (11)

3. Уравнения относительного движения тела вокруг центра масс в главных осях инерции

Как известно, когда оси системы координат cxyz являются главными осями инерции тела, то центробежные моменты инерции Jij обращаются в нуль. При этом матрицы J и J'C становятся диагональными. Следуя традиции диагональные элементы Jx, Jy, Jz матрицы J обозначим через А, В, С, а матрицы J'C через А', В', С'. Проекции вектора йг на оси сх, су, cz обозначим через р, q, г, а вектора йе — через pe, qe, re. Тогда проекции (11) на оси сх, су, cz выражаются в виде

Ар =(В — С )qr — Ape +(В — С ^je + 2(C'qre — В'rqe) + MX(F),

Bq = (С — A)rp — Bq_e + (С — A)rePe + 2(A'rpe — C' pre) + My (F), (12)

Cr = (A — B)qr — Cfe + (A — B)peqe + 2(B' pqe — A'qpe) + Mz (F).

В этих уравнениях A', В', С' можно заменить их выражениями через А, В, С

А' = (В + С — А)/2, В' = (А + С — В)/2, С' = (А + В — С)/2

п

Эти соотношения следуют из (А + В + С) = 2 J2 (x?v + yl + z^). Например,

V =1

п п

учитывая А' = J2 mV, А = J2 mV(vl + ZV>), получим А' = (В + С — А)/2.

V=1 V=1

Выражения В' и С' получаются аналогично.

Попутно заметим, что по аналогии с известным понятием эллипсоида инерции тела с полуосями \/\[~А,\/\[В, \/\/~С напрашивается введение понятия планарно-

го эллипсоида инерции тела с полуосями ,i/Vb> , 1/Vc7.

В связи с тем, что одними из возможных обобщенных координат, характеризующих относительное движение тела, являются углы Эйлера ф, в, (р, определяющие ориентацию системы координат cxyz относительно системы oxiy\Zi, в

уравнения (12) необходимо подставить значения р, q, г, выражаемые следующими кинематическими уравнениями Эйлера:

р = ф sin 9 sin р + 9 cos р, q = ф sin 9 cos р — 9 simp,

In (13)

r = р + ф cos 9.

Аналогичным образом выражаются проекции шХг, , и^ вектора ше на оси системы координат oxiyizi через углы Эйлера фе, 9е, ре, определяющие ориентацию oxiUiZi относительно неподвижной (абсолютной) системы координат ooxoyozo в виде

шХ = фе sin 9е sin ре + 9е cos ре, шУ = фе sin 9е cos ре — 9е sin ре,

. (14)

=ре + фе cos 9е.

Проектируя векторы шХ1 = iiUeXl, шеу1 = jiueyi, шег1 = кци^, где ii, ji, ki -орты осей системы oxiyizi, получим

ре = шХ1 sin 9 sin р + иХ1 cos ф cos р + sin ф cos р, qе = шХ1 sin 9 cos р — шХ1 cos^ sinp — sin^ sin 9, (15)

ге = 2loX1 cos 9 — ш'у1 cos ф sin 9 — шХ1 sin ф sin 9.

Подставляя (13) и (15) в уравнение (12), получим систему трех уравнений второго порядка относительно искомых переменных ф, 9, р.

4. Вращательное движение тела вокруг центра масс с устойчивым геометрическим местом годографа вектора относительной угловой

скорости

Рассмотрим случай, когда главный момент физических сил уравновешивает главный момент переносных сил инерции. При этом

MC(F) = J Ее + йе X ,7йе, (16)

а уравнение (11) принимает вид

dür _ __,__i_,

J-— = Jшr X шг + 2|шг X J'-He]. dt с

Скалярно умножая это уравнение на шг, получим d(шrJшr)/2dt = 0. Следовательно, при условии (16), независимо от характера движения центра масс тела, кинетическая энергия ( АрР'+Bq2 +Сг2)/2 вращательного движения вокруг центра масс сохраняется, оставаясь равной ее начальному значению ( Ар2 + Bq2 + Сг2)/2. Отсюда вытекает, что эллипсоид

Ар2 + Bq2 + С г2 = Ар2 + B q2 + С г 2 (17)

с полуосями

у/Ар2 + B q2 + Сг 2/VA, \J Ар 2 + B q2 + Сг 2/VB, у/ Ар2 + B q2 + Сг 2/VC

является геометрическим местом годографа вектора угловой скорости шг. Следовательно, на полуоси эллипсоида (17), соответствующей наибольшей из величин

А, В, С, имеет место наименьшее значение \шг |. Например, при С < В < А на полуоси, соответствующей С, имеет место max |cJr |, а на полуоси, соответствующей А, — min lur |. Следовательно, имеет место соотношение

max |wr|/ min \йг| = \JА/С = const. (18)

Отсюда следует, что при любых начальных значениях |cJo(po, Qo, fo)| при условии (16), независимо от характера движения тела, отношение max |cJr|/min |cJr| остается постоянным, зависимым лишь от соотношений максимальной и минимальной из величин А, В, С. Заметим, что при малых po, qo, To значение |cJr| при всех t ^ to остается тоже малым, но соотношение (18) при этом сохраняется. Очевидно, что при А = В = С значение |cJr | остается неизменным и равным |c^o|.

Литература

1. Раус Э. Д. Динамика системы твердых тел. — М.: Наука, 1983. — Т. 1, 464 с.

UDC 531.31:62-56

On Compact Form of Eulers Dynamic Equations for Relative

Motion of Body

I.A. Mukhametzyanov

Department of Theoretical Mechanics People's Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str. 6, Moscow, Russia, 117198

The compact expression of Eulers equations of dynamics for the relative motion of a body through the planar tensor of inertia is obtained.