CC BY
28
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 22-29 = Математика
УДК 517.5
О количественной мере качества оптимальных коэффициентов
Н. К. Серегина
Аннотация. Дается разложение в конечный ряд Фурье количественной меры качества оптимальных коэффициентов.
Ключевые слова: параллелепипедальная сетка, квадратурные формулы, метод оптимальных коэффициентов, количественная мера качества сетки.
1. Введение
1.1. Актуальность и цель работы. Актуальность темы состоит в том, что количественная мера качества оптимальных коэффициентов играет важную роль в современных исследованиях по теоретико-числовому методу приближенного анализа (см. [2-4], [6-11], [13-17]).
Особое место параллелепипедальных сеток с оптимальными коэффициентами объясняется тем фактом, что квадратурные формулы с этими сетками задают ненасыщаемые алгоритмы численного интегрирования на классах Е? (а > 1) (см. [1], [12]).
Цель работы — получить разложение в конечный ряд Фурье количественной меры качества оптимальных коэффициентов параллелепипедальных сеток.
1.2. Параллелепипедальные сетки Н. М. Коробова. В 1959 году профессор Н. М. Коробов предложил новый класс теоретико-числовых сеток — параллелепипедальные сетки:
М =({ £}--{#}) =
и соответствующие квадратурные формулы с равными весами 1 1 1
1-1 и (X)-=N ё - ^ и-
о о к=0
где КN [И] - погрешность квадратурной формулы.
На классе Еа периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье были получены наилучшие результаты
1па(«-1) N
[¡] \ << -тт- (Н. С. Бахвалов [2], Н. М. Коробов [10]).
N а
1.3. Качество параллелепипедальной сетки. Количественной мерой качества набора коэффициентов а0, ах,..., а8 параллелепипедальной сетки называется величина
= ^ ЕЙ (1 ^2 • {а^г })2 , (1)
р к=0 j=0 4 У. р ) /
которая равна приближенному значению интеграла от периодической функции
М*) = 3*+1П (1 - 2Х})2 j=0
по квадратурной формуле с параллелепипедальной сеткой
1=И-И= ^ Е п(1 - 2- {пт})2 - *
где Кр[Ь] — погрешность приближенного интегрирования.
Выбор функции Н(х) и величины Н(р, а) связан с тем, что функция Н(х)
является граничной функцией класса Еа (■, П2 ) (подробности см. в [11]).
2. Оптимальные параллелепипедальные сетки
2.1. Оптимальные коэффициенты сетки. Покоординатный алгоритм. Переходя к вопросу о вычислении оптимальных коэффициентов по модулю р, прежде всего рассмотрим покоординатный алгоритм вычисления, который требует для своей реализации О (в2 • р2) элементарных арифметических операций:
НТ 1(р,в) :=
ав-г ^ 1, Ьо ^ 1, ао ^ 1 forj е 1..в — 1 Я <- У+1
for с е 1..р — 1
Ьз ^ с
33 + 1
с, Я-
р-1
Е
к = 0
П I1 — 2( ^ — Поог(
1=0 if г < Я
Ьз ^ аз
г <—
р
]
а
2.2. Обоснование покоординатного алгоритма. Необходимо отметить, что первоначально Н. М. Коробов свой алгоритм обосновал только для простых модулей. Позднее он его модифицировал для составных модулей равных произведению двух простых, что позволило сократить трудоемкость алгоритма вычисления оптимальных коэффициентов с О N2) до О N). Хотя в литературе не встречается обоснование этого алгоритма для произвольного составного модуля, но нетрудно понять, что такое обоснование, но без оценок качества, нетрудно дать.
Действительно, из результатов разных авторов (например, [3]) следует существование оптимальных коэффициентов по любому составному модулю. Кроме того, известно, что 8-мерный набор оптимальных коэффициентов всегда можно дополнить до (в + 1)-мерного набора. Поэтому, если среди всех (в + 1)-мерных наборов с фиксированными первыми в коэффициентами взять набор с минимальным значением функции Н — количественной меры качества оптимальных коэффициентов, то этот набор и будет оптимальным.
2.3. Произведение сеток. Пусть х = (х1,..., х3) € К5, тогда {х} = = ({х1},..., {х5}) — дробная часть х.
Для любых двух сеток М1 и М2 их произведение есть сетка
М = М1 ■ М2 = {{х + у}\х € М1,у € М2}.
Различные аспекты теории произведения обобщенных параллепипедальных сеток рассматриваются в работе [5].
При построении алгоритма Л. П. Добровольской поиска оптимальных коэффициентов существенно используется представление параллелепипедаль-ной сетки по составному модулю как произведение сеток по взаимно простым модулям.
3. Конечный ряд Фурье количественной меры качества
3.1. Конечные ряды Фурье. Пусть функция И(х) определена на точках равномерной сетки М3(и), где
М3(и) = { -1
кг
и
к
0 ^ к1,...,к3 ^ и - 1
из N = и точек, тогда её можно разложить в конечный ряд Фурье
П2
И (х) = £ с (т)
т\,. . . ,те=—П1
2п1(т,х)
где и1 =
и1
и2 =
и 2\
С ) = 1т. И (х)е-2жг(гйХ).
£ема (п)
Доказательство этого факта см. [11, стр. 26, лемма 8].
3.2. Конечный ряд Фурье для 3(1 — 2{ж})2. Периодическая функция / (х) = 3(1 — 2{х})2 имеет разложение в обычный ряд Фурье вида
/ (х) = 1 + ^
6
п2т2
Из этого разложения нетрудно получить и некоторое выражение для коэффициентов конечного ряда Фурье. Действительно,
С (т) = "Е/
п— 1
1 „ /х'\ 2пгт — ) е п п ^' \п
х=0
1 п— 1 ж п—1
Ау- е—2пг т + у-' п п2к2 п ^
х=0 к=—ж х=0
оо
= 6п(т) + Пк 5,п(к — т). Отсюда следует, что
12 Ж 1 12 2
С = = 1 + -Г"2 С (2) = 1 +—2, (2)
п2п2 ^ к2 п2п2 п2
п2к2 п
к=
п2..
к=1
6 ж 1
С(т)^-2 У 7-г-т (т = 0). (3)
п2 (т + пк)2
к=—ж
Сравнивая формулы (2) и (3), видим, что при т = 0 необходимо получить более простое выражение для С(т).
В следующей лемме с помощью двукратного применения преобразования Абеля получено конечное выражение для конечных коэффициентов Фурье конечного ряда Фурье функции 3(1 — 2{х})2.
Прежде всего выпишем преобразование Абеля в нужной форме:
Е акЬк = ^(ак — ак+1+ "п Е Ък■ (4)
п— 1 п— 1 к п— 1
I ап
к=0 к=0 V=0 к=0
Лемма 1. Для конечного ряда Фурье 2 п—1
3(1 — 2{ Х}) =Е С(т)е2пгт (х = 0,1,...,п — 1) (5)
т=0
справедливы равенства
2
С (0) = 1 + -2, (6)
п2
т=—оо
С(т) =
и2 8Ш2 ^пт
(т = 0, 0 <т ^ и — 1).
(7)
Доказательство. Действительно, конечные коэффициенты Фурье имеют вид
п— 1
С (т)= пЁ И(и
х\ „—2т т — в п
х=0
поэтому, полагая
ак =311 — 2< = — 'к =
2
(к = 0,1... ,и — 1)
и применяя преобразование Абеля (4), при т = 0 получим
ак — ак+1 =
12 12(2к + 1)
и
к
к
ЕЬ» = £ в
V=0 V=0
п1
-2пг-
и2
в п — 1
в п — 1
к
п1
с (т) = ^2(ак — ак+1)^2 ^ + ап £ Ьк
к=0
V + ап v=0 к=0
п1
0 . — (к+1)
12'^ Л 2к + 1\ в—2пг— 1
и
к=0
и
в
-2пг-
г(п-1 + 1)
в п — 1
+3
в п — 1
— 1 12 - = — х
и
1 в—2пг П п—1
-, в—2пгп (и — 1 — (и — 1)) + р—2пг п " -, Е ( 1 — 1 — в п в п — 1 к=0
2к + 1
и
—2пг гтк
вп
в
-2пгт п—1
12
и в—2пг п - 1
к=0
1-
2к + 1
и
2пг гтк
вп
Полагая dk = 1 — 2к+1, получим
С (т) = — ■
вп
12
и в—2т п - 1
^ — (Ь+1 = —-
и
п1
к
п-1
— dk+l)^2 К + dn Ьк
к=0
24 в—2пг п п—1 2пг ^^ . 24 в п в п — 1
Е
и в п — 1 к=0 в п — 1 24 1
V=0
24
и2 ^ ^е—2пг п — 1)2
к=0
вп
и2 I в—пг - впг ^ \2
I в п — в п )
и2 8Ш2 —
п
и лемма полностью доказана.
6
X
6
Следствие 1. При m = 0, 0 < m ^ n — 1 справедливо равенство
~ 1 П2
Е
, (m + nk)2 n2 sin2 — '
Доказательство. Действительно, как показано в (3)
а 1
6 Е 1
к=-ж
6 1
C(m) = ^ V -—^ (m = 0),
п2 (m + nk)2
но по лемме 1 „
6
C (m) = (m = 0),
n2 sin2 П
что и доказывает утверждение следствия.
Из доказанной леммы вытекает теорема о конечном ряде Фурье для количественной меры качества оптимальных коэффициентов.
Теорема 1. Справедливо равенство
и/ ^ Л , 2\s+1 , V2' 6p(aomo + ... + asms) H(p, a) = 1 + ^ + > ———г-—г-,
V pv mo,.. =—pi ^(m0)...^(ms)
где , 2
p2
при m = 0;
■0(m) = <
p2 + 2
p2 sin2 nm
p / n
- при m = 0.
6
Доказательство. Действительно,
я 1 е * ({N} .....{ N}) = 1 е п / ({N
1 к=0 ' К ' 7 1 к=0 3=0 4 ^
где /(х) =3(1 - 2{х})2.
Подставляя в сумму вместо /(х) её конечный ряд Фурье, из леммы 1 получим
т-ка-
р-1 в Р2 2пг—-—-
Н(р,а) = 1^и V -=
1 к=0 3=0 т-=-р1 3
Р2 р-1 2пг к(т0а0 +■ ■ ■ +твав)
1 е р
5-у p 5-у
mo,. . . ,ms=-pi к=0 0 s'
= 5p(aomo + ... + asms)
^ ^(mo)...i>(ms)
mo,. . . ,ms=-pi ' '
то,. . . ,та = —р1
5р(а0т0 + ... + а3т&) ф(т0). ..ф(т3)
и теорема полностью доказана.
Список литературы
1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
2. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестник Моск. ун-та. Сер. матем. 1959. N 4. С. 3-18.
3. Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8. Вып. 1(21). С. 4-109.
4. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9. Вып. 1(25). С. 185-223.
5. Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3. Вып. 2(4). С. 43-59.
6. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестник Моск. ун-та. Сер. матем. 1959. N 4. С. 19-25.
7. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 6. С. 1207-1210.
8. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009-1012.
9. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физ-матгиз, 1963.
10. Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. № 2. С. 83-90.
11. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: МЦ-НМО, 2004.
12. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО «Янус», 1995.
13. Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. 2009. Т. 10. Вып. 1(29). С. 65-77.
14. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом остановки // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: матер. 7-й Междун. конф. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2010. С. 153-158.
15. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом остановки // Многомасштабное моделирование структур и нанотехно-логии: матер. Междун. научно-практич. конф., посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, 100=летию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2011. С. 153-158.
16. Algorithms fot computing optimal coefficients / N.M. Dobrovolskiy, L.P. Dobrovols-kaya, N.N. Dobrovolskiy, N.K. Ogorodnichuk, E.D. Rebrov // Computer Algebra and Information Technology: book of abstracts of the Intern. scient. conf. Odessa, 2012. P. 22 - 24.
17. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе / Л.П. Добровольская, Н.М. Добровольский, Н.Н. Добровольский, Н.К. Огород-ничук, Е.Д. Ребров, И.Ю. Реброва // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тр. X Междун. конф. Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Ч. 2. С. 90-98.
Серегина Надежда Константиновна (nadj\_nadj@mail.ru), главный инструктор-специалист, отдел кадров, Управление муниципальной службы и кадров Администрации г. Тулы.
About quantitative measure of the quality of the optimal
coefficients
N.K. Seregina
Abstract. This paper presents a decomposition in finite Fourier series of quantitative measures of the quality of the optimal coefficients.
Keywords : parallelepipedal net, quadrature formula, method of optimal coefficients, quantitative measure of the quality of the grid.
Seregina Nadegda (nadj\_nadj@mail.ru), chief instructor-specialist, Department of personnel management municipal service and personnel administration city of Tula.
Поступила 28.11.2014
