CC BY
10ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 2 (23). 2017
УДК 539.3
О КОЛЕБАНИЯХ КОЛЬЦА, ПОДКРЕПЛЕННОГО
НИТЯМИ
А. В. Михайлов
Рассматриваются задачи о колебаниях упругих колец, подкрепленных упругими нитями; задачи об устойчивости упругих колец, находящихся под действием пульсирующей нагрузки. Ключевые слова: кольцо, колебание, устойчивость, собственная частота, уравнение Эйлера - Остроградского, матрица монодро-мии, уравнение Матье.
1. Свободные колебания кольца в упругой среде. Дано кольцо радиуса R. Пусть s - длина дуги кольца, $ - центральный угол, отсчитываемый от оси x, ^(s) - угол между касательной к деформированной оси кольца и осью абсцисс, w - перемещения точек кольца по нормали к недеформированной оси кольца, v - перемещения точек кольца по касательной (рис. 1).
Для данного случая имеют место уравнения
xfs (s) = cos ^(s), y's (s) = sin ^(s).
Предполагаем, что ось кольца является нерастяжимой, т. е. ds = Rd$. Таким образом, координаты и перемещения точек кольца можно рассматривать как функции от центрального угла которые будем обозначать x($), y($), w($), v($) и т.д. Далее штрихом будем обозначать производную по центральному углу а точкой - производную по времени t.
Рис. 1. Кольцо
© Михайлов А. В., 2017.
Координаты точек деформированного кольца по известным перемещениям вычисляются по формулам
x($) = (R + w($))cos $ — v($) sin$, y($) = (R + w($))sin $ + v($)cos $.
Дифференцируя равенства (1), получаем
x' = (w' — v) cos $ — (R + w + v') sin $, (2)
y' = (w' — v) sin $ + (R + w + v') cos $.
Упругая энергия деформированного кольца в квадратичном приближении [3] равна
D Г2п
и = 2R3 У0 (w'' + w)2d$, (3)
где D - цилиндрическая жесткость кольца при изгибе.
В случае прямоугольного сечения кольца она вычисляется по формуле D = Eab3/12, где E - модуль Юнга, a и b - длины сторон прямоугольника, причем a > b.
Кинетическая энергия кольца определяется формулой
2п
T = f/ (w2 + v 2)d$,
о
где р — линейная (погонная) плотность материала кольца.
Условие несжимаемости оси кольца x'2 + y'2 = R2 с учетом выражений (2) принимает вид
(w' — v)2 + (R + w + v')2 = R2. (4)
Проинтегрировав выражение (4), учитывая периодичность v($)
п 2п
/ v'd$ = v(2n) — v(0) = 0 о
и отбросив нелинейные слагаемые, получаем условие несжимаемости в виде
v' = —w. (5)
Также предполагаем, что кольцо подкреплено нитями, обладающими жесткостью с. Упругая энергия нитей вычисляется по формуле
2п
и = 2
(6)
С учетом (6) упругая энергия кольца (3) принимает вид
и
Б
2Л3
г-2п
2п
(М" + + -
Для получения уравнений колебания кольца применим принцип наименьшего действия [3]: если Т — кинетическая энергия системы, и — потенциальная энергия, то «истинное движение» в фазовом пространстве дает минимум функционалу:
3 = у (Т - и)(*.
¿0
В нашем случае функционал действия 3 имеет вид:
3
2п
[ ЛР г
1 2 ]
¿0 0
22
2п 2п
/*К + - 2 [
0 0 С учетом (5), (7) функционал 3 запишем в виде ¿1
(И. (7)
3
¿0
2п 2п
(V2 + V'2)(» - 2^3
2п
(V'"+г)2^ - 2 г'2^
а. (8)
Выпишем для функционала (8) уравнение Эйлера - Остроградского:
Яр(г - V'') = Б (гу/ + 2г/у + г'') + сгЛ л3
(9)
Решение уравнения (9) ищем в виде
0
С учетом (10) получаем
Др(& - én'') = R + 2Cn/y + W), где с = 1 + (11) Разделяем переменные:
= nV1 + 2n1V + en" = _ 2 (19)
Dé = n - n'' = p ' (12)
Уравнение (12) разбивается на два уравнения:
é+ R^í = 0, (13)
nVI + 2nIV + en'' + p2 (n - n'') = 0. (14)
Уравнение (13) означает, что движение носит колебательный характер, а уравнение (14) описывает форму колебаний [6]. Решение (13) имеет вид
é = Ci sin шкt + C2 cos шкt,
где Шк = у — частота собственных колебаний.
Решение уравнения (14) должно быть 2п-периодическим. Этому условию удовлетворяет функция вида
те
Пк = ^(ак (г)вт(М) + Ьк (г)сов(М)). (15)
к=1
Подставляем ряд (15) в (14) и с учетом ортогональности системы {sin(fc^); cos(fc^)} получаем
П = [-к6 + 2к4 - (с - р2)к2 + р2] (вги(М) + сов(М)).
Нетривиальное решение существует, если
к6 - 2к4 + (с - р2)к2 - р2 = 0.
Откуда находим зависимость частоты собственных колебаний от номера гармоники [6]
2 к6 - 2к4 + ск2
Рк =
k2 + 1
Общее решение (9) определяется формулой:
те
г($, ¿) = ^^ ( С1к вт(шк¿) + С2к сов(шк¿)) 8т(к$) +
к=1
те
+ ^С1к вт(шк¿) + С2к сов(шкеов(к^). (16)
к=1
Для определения движения необходимы начальные условия:
г($, 0) = го(^), ¿(0, 0) = гго(^),
где г0 и гг0 — известные значения.
Раскладывая их в ряд Фурье, используя (16), можно определить коэффициенты С1к, С2к, С1к, С2к.
Например, пусть заданы следующие начальные условия
те
0) = ^(а 81п(^) + вк ео8(^)), к=1
те
г>(0, 0) = ^(7к 8т(^) + 4 ео8(^)), к=1
где ак, вк, 7к, — известные коэффициенты.
С другой стороны, подставляя в (16) £ = 0, получаем
тете
0) = ^ С2 к зт(Ы) + ^ С2к соз(Ы), к=1 к=1
тете
г)(^, 0) = ^^ С1кшк 8т(к$) + ^^ С1кшк еов(к^). к=1 к=1 Отсюда находим коэффициенты
Тк —— ^к
С1к = -) С2к = ак, С1к = -) С2к = вк •
^к ^к
2. Колебания кольца, подкрепленного нитями одностороннего действия. Предположим, что кольцо подкреплено нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий, т. е. упругая энергия нитей определяется формулой
2п
и2=21< 0
где ш+ — положительная срезка функции:
ш + |ш|
ш+ = тах{0, ш}
2
Один конец нити прикреплен к точке кольца, а другой - к неподвижному центру.
В данном случае функционал 3 принимает вид
3
¿0
2п
2п
2п
(ш2 + V')*> -
(ш'' + ь')2М - - М
<И. (17)
Перемещения точек кольца ищем в виде
N
V = (г)вт(Щ + Бк (г)сов(М)),
к=1
N
ш = ^2(кЛк(г)со8(М) - кБк(г)8т(М)).
к=1
Согласно принципу наименьшего действия, функционал (17) принимает стационарное значение.
Выпишем для него уравнения Эйлера относительно Лк и Б к:
В
2п
Крп(1 + к2)Ак + ^п(к3 - к)2Лк + с Б+к со^МуЯ = 0,
В
2п
Ярп (1 + к2) Б к + ^ п(к3 - к)2Бк - с Б+ к ып(М)М = 0,
где Б.
+
Е^ОЛ' - 3Бз
Выражаем Ак и Б к:
+
А = В(к3 - к)2 А
Лк = - г,, /., , , оч Лк -
2п
Я4р(1 + к2Ярп(1 + к2)' Б+
Б+к сов(к0)<0, (18)
В(к3 - к)2
2п
Бк = —
-Бк +
Я4р(1 + к2) к Ярп(1 + к2)
Б+к яп^)^. (19)
с
Введем вектор V = (Ах,..., Л^, Б\,..., Б^)т.
Систему дифференциальных уравнений (18)-(19) запишем в виде
^ = / (V),
(20)
где
/ =
РЦ3 - з)
Е4 р(1+ з 2 Ерп(1 + з 2)
2п
Л,--
Б+з о,о^(з'&)й'д, з = 1 : Ж,
/ Р(з3 - з)2 В +
2п
Е4 р(1+ з 2) ' Ерп(1 + з 2)
Б+з эт(з$)сМ, з = N + 1 :
Система (20) эквивалентна системе, состоящей из дифференциальных уравнений первого порядка:
У =
¿ = / (V).
(21)
Для решения системы (21) использовался численный метод Рунге-Кутта 4-го порядка [1].
На рис. 2-15 представлены примеры графиков формы колебаний кольца при разных начальных условиях (ш0 = 1.5з1п(2^) для графиков слева, гш0 = 2ео8(3^) - справа). Радиус кольца Е =10 м, жесткость нитей с = 35 Н/мм, цилиндрическая жесткость кольца Р = 66.7 Н-м, шаг интегрирования Н = 2п/199, число шагов по времени п\ = 8500 (слева), п2 = 18000 (справа).
с
15
Г, Л
15 10 0 5 10 15
-5
V У
-15
Рис. 2. t=0
15
/-—10
-15 10 \ 0 15 10 15
10
IV
Рис. 3. t=0
Рис. 4. t=1.2
15 10
10 15
Рис. б. t=2.8
Рис. 5. t=1.2
if
f 5
IS jA / 0 -10 -15 5 N Л 15
Рис. 7. t=6.9
15
^0 \
5
-15 -10 0 5 10 15
-5
4 У
-15
Рис. 8. t=5.2
15 J 5
-15 Si Í 0 5 A V 15
1 -5
-15
Рис. 9. t=8.1
15
10
/5
bV 10 0 V_ 5 НУL5
-10
-15
Рис. 12. t=8
15
/TO"
1 5
-15 Гю 0 \ -5 5 Й 15
~"-10
-15
Рис. 13. t=26.1
Рис. 14. t=16 Рис. 15. t=32.1
Как видно из графиков, наблюдается эффект возврата в начальное состояние (эффект Ферми-Паста-Улама) [8]. Энергия остается локализованной в начальной и нескольких соседних гармониках (Ж < 20). А при больших временах интегрирования наблюдается почти полный возврат энергии в начальную гармонику.
Для рисунков слева разница между начальным (рис. 2) и конечным состоянием (рис. 14) равна
шах{-и — г>0} < 0.039,
шах{-ш — -ш0} < 0.074.
Для рисунков справа (рис.3 — рис.15)
шах{^ — } < 0.040,
шах{-ш — -ш0} < 0.036.
3. Устойчивость кольца под действием периодической нагрузки. Предположим, что кольцо подвергается действию периодической нормальной нагрузки, равной Р в одни промежутки времени и падающей до нуля в другие промежутки времени [2]. Работа пульсирующей нагрузки вычисляется по формуле
2п
тт Р(1 — СОйМ) /\ ,2 2.
и3 = —-^—— (ш* — к^ )сМ.
Здесь параметр к0 отвечает за направление действующей нагрузки: при к0 = 1 нагрузка всегда направлена по нормали к деформированной оси кольца; при к0 = 2 - всегда направлена к неподвижному центру.
Некоторые задачи устойчивости подкрепленных колец нитями, которые не выдерживают этих усилий, рассмотрены в работе [7].
Аналогично предыдущему случаю рассмотрим функционал
3
¿0
2п
Яр ~2
2п
В
2п
^ I (V2 + V2)<§ — — (и'' + и)2<§—
2Я3
с 2
Р (1 — СОй(шЬ))
2п
„ I ии2<М) + 1 2 " (и'2 — к0и2)<^
0 0 Используя условие несжимаемости (5), получаем
¿1
3
¿0
Яр "2
2п
В
2п
^ I (у' + у2)<д—I (у'"+
2п 2п
' / ,.'2^ , Р(1 — СОй(шЬ)) у'2
2 ] V + 0
2
(у''2 — к0У'2)^
(22)
Перемещение V будем искать в виде ряда Фурье:
те
V = ^(Ак (г)вт(М) + Вк (Ь)сов(М)).
к=1
Согласно принципу наименьшего действия, функционал (22) принимает стационарное значение.
Выпишем для него уравнения Эйлера - Остроградского:
А = —
врВ+Ж)—2к4 + к2 + 'В*)*+
Р(1 — сой(шЬ))(к4 — к0к2) . + Яр(1 + к2) Ак.
(23)
Так как для Вк уравнения принимают аналогичную форму, в дальнейшем для краткости будем приводить только уравнения относительно
Ак.
Сделаем замену переменных
шЬ = 2т.
Из уравнения (23) с учетом замены (24) получаем
(24)
Ак + (а + /Зсов(2т ))Ак = 0,
(25)
где
4(В(к6 — 2 к4 + к2 + ^ к2) — РЯ3(к4 — к0к2))
а = д
в =
ш2Я4р(1 + к2) 4Р (к4 — к0к2)
ш2Яр(1 + к2) ' Уравнение (25) называется уравнением Матье.
Аналогично предыдущему случаю, с помощью замены, перейдем от уравнения второго порядка (25) к системе, состоящей из уравнений первого порядка.
Введем вектор у = (А1,..., А^)т, тогда f (ук) = —(а + в'ов(2т))Ак. Система уравнений принимает вид
'У = (26) / = f (у). 1 ;
Для определения области устойчивых колебаний кольца найдем фундаментальную матрицу Ф(Ь) для системы уравнений (26):
ф(ь) = (£ £
где д1, д2 - решения (26), которые называются функциями Матье [5], а к2 — соответственно их производными.
Пусть Ф(Ь) фундаментальная матрица системы (26), удовлетворяющая начальному условию
ф(0)= С 1
а все остальные фундаментальные матрицы принимают вид Ф(Ь)С, где С - постоянная невырожденная матрица.
Представив систему (26) в виде у = М(Ь)г, где М(Ь + Т) = М(Ь) -непрерывная периодическая матрица, заметим что
Ф'(Ь + Т) = М (Ь + Т )Ф(Ь + Т) = М (Ь)Ф(Ь + Т),
т. е. Ф(Ь + Т) - фундаментальная матрица решений.
В силу этого существует единственная невырожденная матрица С, такая, что
Ф(Ь + Т) = Ф(Ь)С,
где Т - период. Если положить £ = 0, то
Ф(Т) = Ф(0)С.
Согласно теории Флоке [4], матрица Ф(Т) называется матрицей мо-нодромии, а ее собственные значения А1 и А2 - мультипликаторами системы, т. е. + Т) = где д(£) - решение системы (26).
Характеристическое уравнение для матрицы монодромии имеет вид
01 - А 02 Л.2 — А
А2 - (#1 + ЫА + 01^2 - 02^1 = 0.
Согласно теореме Лиувилля [9], фазовый объем системы остается постоянным:
£ = 0,
т. е.
ае1Ф(Т) = 01^2 - 02^1 = 1.
С учетом вышесказанного характеристическое уравнение окончательно принимает вид
А2 - а А +1 = 0, (27)
где а = £г(Ф(Т)) - след матрицы монодромии.
Корни характеристического уравнения вычисляются по формуле
А1,
а ± v/а2—4
При а2 < 4, т. е. |а| < 2, корни уравнения (27) будут комплексные, а при |а| > 2 - действительные, причем |А1| > 0, |А2| = [А-11 > 1. Рассмотрим выражение
Ф(Т)Ф(£о) = С1Ф(Т)М1 + С2Ф(Т)М2 = С1А1М1 + С2А2И2,
где и1, и2 - собственные векторы матрицы.
Так как фазовый объем системы сохраняется, т. е. А1А2 = 1, и собственные числа являются комплексно-сопряженными, причем |А1| = |А2| = 1, получаем
|Ф(Т)Ф(£о)| < [СЩА^Ы + |С2||А2|Н < С.
Последнее выражение показывает, что движение носит ограниченный характер.
2
2
Следовательно, условие устойчивости колебаний можем задать неравенством: |а| < 2.
На рис. 16-17 представлены фазовые траектории для гармоник А2 и А4 соответственно. Рис. 16 соответствует параметрам к = 2, с = 0 Н/мм, р = 0.24 Н, и = 2, к0 = 2. Рис. 17 — к = 4, с = 25 Н/мм, р = 1.4857 Н, и = 2, к0 = 2.
Рис. 16. Устойчивая фазовая траектория
Рис. 17. Неустойчивая фазовая траектория
Главным признаком устойчивости колебаний является замкнутость фазовой траектории.
Также стоит отметить, что в ходе численного эксперимента было установлено:
1) Если жесткость нитей с = 0, то критическая нагрузка совпадает со стационарной нагрузкой
Р(к2 — 1)2 Я3 (к2 — к0)'
Р=
В табл. 1 представлены стационарные нагрузки для различных гармоник. Здесь Рст1 — нормальная критическая нагрузка, Рст2 — центральная критическая нагрузка.
Таблица 1
Стационарная нагрузка
к 2 3 4 5
Рст1 0.200 0.533 1.000 1.600
Рст2 0.300 0.609 1.071 1.669
2) Если с = 0, то критическая нагрузка зависит от периодического воз-
мущения.
В данном случае критическая сила вычисляется по формуле
= £(к6 - 2к4 + к2) + сЯ3к2 = Я3 (к4 - кок2) '
В табл. 2 приведены минимальные критические силы — нормальная Р1 и центральная Р2, а также номер гармоники к, соответствующий этой силе.
Таблица 2
Зависимость критической силы Р от жесткости нитей с
с 1 5 10 15 20 25 30 35 40
к 2 3 4 4 4 5 5 5 5
Р1 0.544 1.320 0.653 0.900 1.143 1.638 1.824 2.018 2.188
Р2 0.816 1.509 0.715 0.964 1.225 1.709 1.903 2.106 2.283
Автор выражает благодарность своему научному руководителю
к.ф.-м.н. В.Н. Тарасову за оказанную помощь в подготовке данной статьи.
Список литературы
1. Абромовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям, пер. с англ. под ред. В.А. Диткиной и Л.Н Кармазиной. М.: Наука, 1979. 832 с.
2. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
3. Гельфанд И. М., Фомин С .В. Вариационное исчисление. М.: Гос. изд-во физ.-матем. литературы, 1961. 228 с.
4. Лерман Л. М. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Н. Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. 89 с.
5. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике : пер. с англ. М.: Атомиздат, 1972. 392 с.
6. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967. 318 с.
7. Тарасов В. Н. Методы оптимизации в исследовании конструктивно-нелинейных задач механики упругих систем. Сыктывкар: КНЦ УрО РАН, 2013. 238 с.
8. Улам С. Нерешенные математические задачи / пер. с англ. З.Я. Шапиро. М.: Наука, 1964. 168 с.
9. Фадеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков : учеб. пособие Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1980. 200 с.
Summary
Mikhailov A. V. The fluctuations of the ring supported with threads Problems of fluctuations of the elastic rings supported with elastic threads are considered; problems on the stability of elastic rings under the action of a pulsating load.
Keywords: ring, fluctuation, stability, natural frequency, Euler-Ostrogradsky equation, monodromy matrix, Mathieu equation.
References
1. Abramowitz M., Stegun I. A. Spravochnik po special'nym funkci-yam (Handbook of mathimatical functions with formulas, graphs and mathimatical tables), National bureau of standards applied mathematics series, 1964, 1046 p.
2. Vol'mir A. S. Ustojchivost' deformiruemyh sistem (Stability of deformable systems), Moscow: Nauka, 1967, 984 p.
3. Gelfand I. M., Fomin S. V. Variacionnoe ischislenie (Calculus of Variations), Moscow: Gos. izd-vo fiz.-matem. literatury, 1961, 228 p.
4. Lerman L. M. Linejnye differencial'nye uravneniya i sistemy (The simple differential equations and systems), Nizhny Novgorod: Nizhe-gorodsliy universitet, 2012, 89 p.
5. Mathews J., Walker R. L. Matematicheskie metody v fizike (Mathematical methods of physics), New York - Amsterdam: W. A. Benjamin INC., 1964, 475 p.
6. Panovko Ya. G. Osnovy prikladnoj teorii uprugih kolebanj (Basics of applied theory of elastic vibrations), Moscow: Mashinostroenie, 1967, 318 p.
7. Tarasov V. N. Metody optimizacii v issledovanii konstruktivno-nelinejnyh zadach mekhaniki uprugih sistem (Optimization methods in a research of constructively nonlinear problems of mechanics of elastic systems), Syktyvkar: KNC UrO RAN, 2013, 238 p.
8. Ulam S. M. Nereshennye matematicheskie zadachi (A Collection of mathematical problems), New York: 1960, 150 p.
9. Faddeev L. D., Yakubovskii O. A. Lekcii po kvantovoj mekhanike dlya studentov-matematikov (Lectures on Quantum Mechanics for Mathematics Students), Leningrad: Izd-vo Leningradskogo universi-teta, 1980, 200 p.
Для цитирования: Михайлов А. В. О колебаниях кольца, подкрепленного нитями // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 2 (23). C. 13-28.
For citation: Mikhailov A. V. The fluctuations of the ring supported with threads, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, 2 (23), pp. 13-28.
Коми НЦ УрО РАН
Поступила 20.06.2017
