CC BY
59
3. Юдин В.А., Петрокас Л.В. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие для втузов. 2-е изд. М.: "Высш. школа", 1977. 527 с.
4. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие для вузов./ [ Коловский М.З., Евграфов А.Н., Семёнов Ю.А., Слоущ А.В.] 3-е изд. М.: издательский центр "Академия", 2008. 560 с.
5. Крайнев А.Ф. Механика машин. Фундаментальный словарь. 2-е изд. М.: Машиностроение, 2001. 904 с.
6. Заблонский К.И., Белоконев И.М., Щёкин Б.М. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие. Киев: "Высш. школа", 1989. 390 с.
7. Озол О.Г. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1984. 432 с.
8. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. 4-е изд. М.: Наука, 1988. 639 с.
9. Теория механизмов и механика машин. Учеб. для втузов. / [ Фролов К.В., Попов С.А., Мусатов А.К. и др.] 3-е изд. М.: Высш. шк., 2001. 496 с.
10. Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Издательство центр Юрайт, 2011. 351 с.
11. Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. М.: Машиностроение, 1988. 232 с.
О КЛАССИФИКАЦИЯХ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ ЧЕТЫРЁХЗВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ, ОСНОВАННЫХ НА СООТНОШЕНИИ ДЛИН ИХ ЗВЕНЬЕВ. ЧАСТЬ 2 Киселёв В.М. Email: Kiselev17139@scientifictext.ru
Киселёв Вячеслав Михайлович — кандидат технических наук, доцент, кафедра системы автоматизированного проектирования и теории механизмов и машин, Текстильная академия им. А.Н. Косыгина, г. Москва
Аннотация: целью данной статьи (часть 1 и часть 2) является сравнительный анализ классификаций плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов, основанных на правиле Грасгофа и не только таковых, и выявление формулировки, к которой все эти классификации являются той или иной степенью приближения. Эта окончательная классификация основана на правиле Грасгофа и на объединении двадцати семи множеств функционально различных механизмов в восемь инверсионно независимых групп. Она наглядна и проста в использовании и тем самым наиболее пригодна в решении задачи определения области допустимых значений параметров при оптимальном синтезе механизмов.
Ключевые слова: Правило (закон) Грасгофа, октанты косоугольной системы координат в трёхмерном пространстве, пространство подвижных звеньев, группы множеств точек пространства, замкнутые относительно операции инверсии, классификация плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов.
ON CLASSIFICATIONS PLANE FOUR-BAR LINKAGE HINGED, BASED ON THE RATIO OF THE LENGTHS OF THEIR LINKS. PART 2
Kiselev V.M.
Kiselev Vyacheslav Mikhailovich - PhD of Technical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF COMPUTER AIDED DESIGN AND THEORY OF MECHANISMS AND MACHINES, TEXTILE ACADEMY A.N. KOSYGIN, MOSCOW
Abstract: the purpose of this article (part 1 and part 2) is a comparative analysis of the classifications of flat hinge four-link mechanisms based on the Grashof's rule and not only those, and the identification of the wording to which all these classifications are of varying degrees of approximation. This final classification is based on the Grashof's rule and on the combination of twenty-seven sets of functionally different mechanisms into eight inversionally independent groups. It is visual and easy to use, and thus is most suitable in solving the problem of determining domain of admissible values of the parameters at the optimum synthesis of mechanisms.
Keywords: Grasgofs rule (law), octants of oblique-angled coordinate system in three-dimensional space, space of movable links, groups of sets of points in space, closed with respect to inversion operation, classification ofplane hinged four-link mechanisms.
УДК 621.01
В работе [1] закон Грасгофа иллюстрируется четырьмя инверсиями плоской четырёхзвенной кинематической цепочки. В этой цепочке I - звено наибольшей длины, 5- звено наименьшей длины (принято смежным с () и остальные звенья имеют длины р и ц. Далее говорится: "Закон Грасгофа утверждает, что одно из звеньев, в частности, самое короткое звено будет непрерывно вращаться относительно остальных трёх звеньев тогда и только тогда, когда
5 + 1 < р + ц.
Если это неравенство не выполняется, ни одно из звеньев не совершит полного оборота относительно другого. Если длины звеньев плоской четырёхзвенной кинематической цепочки удовлетворяют неравенству Грасгофа, справедливы следующие утверждения.
Если наименьшее звено соединено с фиксированным звеном, получаем кривошипно-коромысловый механизм.
Механизм драги, называемый также двухкривошипным механизмом, получается фиксацией наименьшего звена .
Фиксацией звена, противоположного наименьшему, 5, получаем двухкоромысловый механизм".
Как видим, здесь все предельные механизмы включены в множество механизмов, удовлетворяющих неравенству Грасгофа. А для предельных механизмов второго типа ошибочны утверждения: "Если наименьшее звено соединено с фиксированным звеном, получаем кривошипно-коромысловый механизм." и "фиксацией звена, противоположного наименьшему, , получаем двухкоромысловый механизм."
Нет также детализации механизмов, для которых неравенство Грасгофа не выполняется. А это четыре типа механизмов в соответствии с четырьмя подмножествами косоугольных октантов, причём каждый тип индивидуален функционально. В работе [2] используется нестрогая форма неравенства Грасгофа: "Одним из важнейших условий при проектировании многих четырёхзвенных механизмов является гарантия того, что коленвал может совершать полный оборот. Для определения условия, когда входной кривошип четырёхзвенного механизма может совершать полный оборот, используется закон Грасгофа. Этот закон утверждает, что, если в плоском четырёхзвенном механизме сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше, чем сумма других двух звеньев, непрерывное относительное вращение между двумя звеньями может быть осуществлено. Пусть 5 и I, соответственно, длины наименьшего и наибольшего звеньев, а р и ц - длины других двух звеньев. Тогда, согласно закону Грасгофа, наименьшее звено будет непрерывно вращаться, если
5 + I < р + ц.
Либо это неравенство удовлетворяется, либо никакое из звеньев не может совершать полного оборота относительно остальных звеньев. ... В законе Грасгофа не указывается ни звено, которое фиксируется ни порядок, в котором звенья соединены. Тем не менее, некоторые кинематические инверсии четырёхзвенного механизма могут быть получены путём выбора фиксированного звена и организацией порядка соединения звеньев, основываясь на их длинах. Когда кривошип, являющийся наименьшим звеном, соединён с фиксированным звеном, получается механизм кривошипно-коромыслового типа. Если фиксируется наименьшее звено, получается двухкривошипный механизм, который называется ещё механизмом драги. Когда фиксируется звено, противоположное наименьшему, получается двухкоромысловый механизм. Двухкоромысловый механизм получается также, если сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев больше, чем сумма (длин) других двух звеньев".
Отсутствие раскладки всех механизмов по группам, замкнутым по инверсии, делает очень затруднительным использование этой работы при синтезе механизмов конкретного подмножества как классических, упомянутых здесь групп, так и групп предельных механизмов, оставленных автором без внимания.
В работе [3] неравенство Грасгофа используется в нестрогом виде: "Четырёхзвенная плоская цепь, удовлетворяющая следующему соотношению, называется цепью Грасгофа.
1+5 < р + ц (3.5)
где I и 5 - длины наибольшего и наименьшего звеньев, а р и ц - длины других двух звеньев. Инверсии цепи Грасгофа дают двухкривошипный, двухкоромысловый и кривошипно-коромысловый типы механизмов. . Если в четырёхзвенной цепи сумма наибольшего и наименьшего звеньев больше, чем сумма других двух звеньев, , все четыре
инверсии такой цепи дают двухкоромысловый механизм. Далее, четырёхзвенная цепь в ситуации , причём , а , приводит к трём специальным механизмам:
(О Механизм параллелограмма ... Все четыре инверсии этого механизма дают двухкривошипный механизм.
(и) Механизм дельтоида, в котором большее звено фиксировано.
(ш) Механизм Галловея, являющийся дельтоидом с фиксированным меньшим звеном."
Не всё, конечно, так, как здесь сказано. Вместо: " Инверсии цепи Грасгофа дают...", следовало сказать: " Инверсии цепи Грасгофа, за исключением специальной ситуации, рассматриваемой ниже, дают.". Параллелограмм, как было выше показано, входит в замкнутую по инверсии группу из двух функционально различных множеств механизмов. А дельтоид образует замкнутую по инверсии группу, состоящую из четырёх множеств функционально различных механизмов.
В работе [4], для классификации плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов используется строгое неравенство Грасгофа: "Четырёхзвенный механизм имеет по крайней мере одно проворачивающееся звено, если . И наоборот, три подвижных звена
будут просто качаться, если Б + (>р + ц. б- короткое звено; I -длинное звено; р, ц-промежуточные по длине звенья."
Таблица 1. Классы четырёхзвенных механизмов
Случай Критерий Наименьшее звено Класс
1 х + 1 < р + д стойка Двухкривошипный
2 х + 1 < р + д смежное стойке Крившипно- коромысловый
3 х + 1 < р + д шатун Двухкоромысловый
4 х + 1 = р + д любое Критическая точка
5 х + 1 > р + с7 любое Трёхкоромысловый
Красиво, конечно. Однако, нужно заметить, что в случае 5, множество классических механизмов, называемых здесь трёхкоромысловыми, имеет четыре подгруппы функционально различных механизмов, по числу подмножеств косоугольных октантов второй группы. А в случае 4, когда Критерий принимает вид б + I = р + ц , механизмы (исключая из рассмотрения случай ромба(т. D)) делятся на два подкласса: 4.1) имеющие одну критическую точку и 4.2) имеющие две критические точки. Механизмы подкласса 4.1 раскладываются на три замкнутых по инверсии подгруппы по четыре множества функционально различных механизмов. Механизмы подкласса 4.2 образуют две замкнутых по инверсии подгруппы, соответственно из четырёх и двух множеств функционально различных механизмов.
В работе [5] читаем: "Закон Грасгофа утверждает, что сумма самого короткого и самого длинного звеньев плоского четырёхзвенника не может быть больше суммы остальных двух звеньев, если непрерывное относительное вращение между двумя звеньями имеет место. Если (мы) обозначим наибольшее звено как , наименьшее как , и оставшиеся два как и , то справедливы следующие соотношения:
1. Если 1 + б < р + ц , существуют четыре реализации Грасгофских механизмов.
a. Кривошипно-коромысловый механизм получается, когда стойка смежна с наименьшим звеном.
b. Двухкривошипный механизм (драга) получается, когда наименьшее звено является стойкой.
а Коромыслово-кривошипный механизм получается, когда наименьшее звено выходное.
d. Двухкоромысловый механизм реализуется, когда звено, противоположное наименьшему, является стойкой.
2. Если I + б > р + ц, получаются четыре не-Грасгофских трёхкоромысловых механизма. В этом случае невозможно непрерывное относительное вращение звеньев.
3. Если 1 + б = р + ц, возможны четыре механизма a.—d. случая 1, только все они подвержены проходу через точку смены состояния: центральные линии всех звеньев становятся коллинеарными, создавая моментальную вторую степень свободы. При этом возникнет ситуация переключения состояния (появляющаяся когда входное звено и шатун выстраиваются в одну линию).
Механизм параллелограмма и механизм дельтоида являются специальными случаями механизмов с точкой ветвления, когда и . В механизме параллелограмма короткие
звенья соединяются длинным звеном. Все параллелограммы являются двухкривошипными механизмами и требуют контроля при прохождении точки ветвления. Только эти четырёхзвенники способны осуществлять параллельное движение шатуна, причём все точки шатуна движутся по дугам окружностей.
Дельтоид имеет два смежных коротких звена равной длины, соединённых с двумя смежными длинными звеньями равной длины. С большей стороной - стойкой получается кривошипно-коромысловый механизм; со стойкой - меньшей стороной получается двухкривошипный механизм, в котором короткий кривошип совершает два оборота за один оборот длинного (механизм Галловея). Опять же этот механизм имеет точку ветвления".
Всё, что касается Грасгофских классических механизмов, правильно. Не-Грасгофским механизмам требуется такая же инверсионная раскладка, как и механизмам пункта 1. А механизмы пункта 3 имеют пять замкнутых по инверсии групп функционально различных механизмов с одной или двумя точками ветвления.
В работе [6] используется нестрогое неравенство Грасгофа: "Четырёхзвенный механизм является, вероятно, наиболее наглядным из практически используемых механизмов, несмотря на видимую его простоту - только три подвижных звена - в нем скрыта большая изощрённость. В четырёхзвенном механизме звено, способное непрерывно вращаться в одном направлении называется кривошипом, если звено может только колебаться, оно называется коромыслом (рычагом). Оставшееся связующее подвижное звено называется шатуном. Подвергая различным инверсиям четырёхзвенную кинематическую цепочку, получаем кривошипно-коромысловый, двухкривошипный и двухкоромысловый механизмы. Условия, определяющие эти различные ситуации могут быть изучены с помощью соотношения Грасгофа..
Пусть ( = длина самого большого звена = длина самого короткого звена р , ц = длины остальных двух звеньев.
Тогда, закон Грасгофа утверждает, что одно из звеньев, в частности, самое короткое звено будет вращаться непрерывно относительно остальных трёх звеньев тогда и только тогда, когда
I + б < р + ц
Если неравенство не выполняется, никакое из звеньев не будет совершать полный оборот относительно другого звена. А точнее, справедливы
следующие утверждения
1) Если ( + 5 < р + ц, то
Возможны два различных кривошипно-коромысловых механизма. В зависимости от того, то или иное из двух смежных с наименьшим звеном будет зафиксировано, как стойка, в обоих случаях наименьшее звено - кривошип.
a) Двухкривошипный механизм получаем, когда наименьшее звено является стойкой.
b) Один двухкоромысловый механизм формируется в том случае, когда звено, противоположное наименьшему, является стойкой..
2) Если ( + 5 = р + ц, то
Возможны четыре типа механизмов, подобно описанным в предыдущем пункте. Только все они подвержены прохождению через так называемую точку ветвления. В этой точке, где центральные линии всех звеньев становятся коллинеарными, кривошипы могут сменить направление вращения, однако, рассмотрение этого выходит за пределы данного руководства.
Механизм параллелограмма является специальным случаем равенства .
Тем не менее, все четыре механизма являются двухкривошипными, если контролировать их прохождение через точку ветвления.
3) Если , то
В этом случае получаются только двухкоромысловые механизмы. Четыре (различных) двухкоромысловых механизма будут сформированы в зависимости от того, какое из звеньев сделать стойкой (фиксированное звено)."
В общих чертах всё это верно. Но нужно заметить, что, для механизмов пункта 2), не сделано чёткого разделения на механизмы с одной точкой ветвления и механизмы с двумя точками ветвления. Кроме того, без описания всех инверсионно независимых (замкнутых по операции инверсии) множеств механизмов, их классификация не может быть полной.
В работе [7] присутствует только нестрогое неравенство Грасгофа. После формулировки самого закона и замечания, что: "закон Грасгофа не указывает порядка, в котором звенья соединены (в цепь). Так, любое из звеньев, имеющих длины i, р или q, может быть звеном, противоположным звену s . Цепь, удовлетворяющая закону Грасгофа продуцирует только три различных инверсии. А не-Грасгофская цепь, с другой стороны, продуцирует только одну отдельную инверсию, именно двухкоромысловый механизм ". Далее тема завершается перечислением трёх инверсий Грасгофской цепи.
Но, как выше было показано, не-Грасгофская цепь образует инверсионно замкнутую группу из четырёх множеств функционально различных двухкоромысловых механизмов. А Грасгофская цепь, при определении её нестрогим неравенством, представляет собой шесть инверсионно независимых групп множеств функционально различных механизмов.
В работе [8] обсуждаемому вопросу посвящён параграф:
"11.8.1 Классификация
В некоторых случаях может потребоваться спроектировать четырёхзвенный механизм, в котором входное звено является ведущим и вращается непрерывно. Существенно, что входное звено может совершать полный оборот без какого либо ограничения. Грасгоф предложил закон, предоставляющий простой тест для условия проворота входного звена. Закон Грасгофа утверждает, что сумма наибольшего и наименьшего звеньев не может быть больше, чем сумма остальных звеньев, если имеет место непрерывное относительное вращение между какими либо двумя звеньями". Далее, ссылаясь на рисунок четырёх инверсий группы механизмов, называемой здесь первой группой, автор говорит: "Из рисунков видно, что одно из звеньев (обычно, это наименьшее звено) будет в состоянии вращаться непрерывно, если будут выполнены следующие условия
s ( н а и м . з в н о ) + i ( н а и б .з в е н о ) < р + q .
Коль скоро закон Грасгофа удовлетворён, становятся возможными различные инверсии кинематической цепочки путём фиксации различных её звеньев.
Механизм, удовлетворяющий критерию Грасгофа, называется механизмом Грасгофа.
Для не-Грасгофской цепи существует только коромыслово-коромысловый механизм, в случае, когда
s ( н а и м . з в н о ) + i ( н а и б . з в е н о ) > р + q.
В этом случае, все три подвижных звена будут коромыслами".
Эффективность классификации [8] в деле определения области изменения длин звеньев механизма, как параметров оптимального синтеза, становится очевидной, как только читатель попытается определить эту область для любого функционально конкретного механизма. Например, для трёхкоромыслового механизма, в котором максимальным является правое смежное со стойкой звено. Не говоря уже о предельных механизмах.
В работе [9] сделана попытка представить все плоские четырёхзвенные механизмы группами, замкнутыми по инверсии:
"Закон Грасгофа
Необходимы, как минимум, четыре кинематических пары, чтобы кинематическая цепь могла передавать движение, согласно заданному закону. Цепь, состоящая из четырёх звеньев и имеющая в вершинах вращательные пары, образует четырёхзвенную цепь или a quadric cycle chain. Множество механизмов может быть получено из четырёхзвенной цепи, в зависимости от соотношений длин её звеньев. При проектировании двигателя, приводящего в движение четырёхзвенный механизм, наиболее важными являются условия, обеспечивающие входному звену полный оборот вкруг точки его подвески.
Закон Грасгофа утверждает, что, в плоской четырёхзвенной цепи, сумма (длин) наименьшего и наибольшего звеньев не может быть больше, чем сумма (длин) остальных двух звеньев, если имеет место непрерывное относительное движение между двумя звеньями.
Если длина наибольшего из звеньев - i, наименьшего - s и остальных двух звеньев р и q, то, согласно закону Грасгофа .
Это соотношение гарантирует четырёхзвенной цепочке соединение в простейший механизм с одной степенью свободы. В четырёхзвенном механизме звено, не соединённое со стойкой, называется шатуном, а два звена соединённых со стойкой, называются кривошип и ведомое звено(!). В зависимости от длин образующих звеньев, возможны три различных механизма (i) двухкривошипный механизм или драга, в котором и кривошип и ведомое звено совершают полный оборот; (ii) кривошипно-коромысловый механизм, в котором полный оборот кривошипа продуцирует колебания ведомого звена (коромысла); (iii) двухкоромысловый механизм, в котором оба, и ведущее и ведомое звенья только колеблются. Если
цепочка называется Грасгофской цепочкой. Грасгофская цепочка путём инверсий даёт три механизма, это: (1) двухкривошипный механизм, в котором наименьшее звено, б, является стойкой, (и) два различных кривошипно-коромысловых механизма, в которых одно или другое из звеньев, смежных с наименьшим - б , является стойкой, (ш) двухкоромысловый механизм, в котором наименьшее звено, б , является шатуном.
Если I + б > р + ц, возможны четыре трёхкоромысловых механизма в зависимости от того, какое из звеньев выбрано для фиксации. Точно так же, если I + б = р + ц, четыре инверсии получаются, аналогично, как они получаются, когда I + б < р + ц, но только они имеют особенности в виде мёртвых точек. Для преодоления звеньями этих мёртвых точек в нужном направлении, используется инерция звеньев механизма. Аналогично, когда I + б = р + ц и механизм имеет две пары звеньев одинаковой длины, получаются (1) параллелограмм и антипараллелограмм, в которых равные звенья не соединены друг с другом, и (и) дельтоид, в котором равные звенья непосредственно соединены. Механизм параллелограмма весьма полезен, так как может в точности передавать вращательное движение ведущего кривошипа ведомому. Наиболее известным использованием этого механизма является спаривание дворников для покрытия всей ширины лобового стекла автомобиля".
Здесь, очевидно, следует заметить, что Грасгофская цепочка путём инверсий даёт не три, а четыре механизма. Хотя каждый кривошипно-коромысловый механизм является одновременно и коромыслово-кривошипным, полагая ведущим звеном кривошип или коромысло, сразу видим их функциональное различие. На рис. 3 это различие закреплено различными областями пространства подвижных звеньев. При синтезе механизма нельзя отказывать кандидатам на оптимальный четырёхзвенник в этом различии. Что касается трёхкоромысловых механизмов, всё правильно. Если же , получаются пять инверсионно замкнутых групп множеств функционально
различных механизмов. И, конечно, соотношение Грасгофа не гарантирует четырёхзвенной цепочке замкнутости и, следовательно, соединения в какой-либо механизм.
В работе [10] изложение материала по обсуждаемой теме иллюстрируется рисунком четырёх инверсий кинематической цепи плоского четырёхзвенного шарнирного механизма. При этом цепь на рисунке относится к первой инверсионно замкнутой группе, наименьшее звено, обозначенное б, образует пару с наибольшим звеном, обозначенным I, а р и ц - два остальных звена. Сами инверсии обозначены: на смежные с наименьшим звенья - (а) и (Ь); на наименьшее звено - (с); на звено, противоположное наименьшему -(ф. Теме посвящён параграф:
"1.7 Закон Грасгофа для четырёхзвенной цепи.
С практической точки зрения, интересно знать, при каком условии для данной цепи, по крайней мере, одно из звеньев будет способно совершить полный оборот. В этом случае двигатель может крутить такое звено. Ответ на этот вопрос даёт закон Грасгофа, который утверждает, что, для четырёхзвенной цепи, если сумма наименьшего и наибольшего звеньев не больше, чем сумма остальных двух звеньев, по крайней мере, одно из звеньев будет проворачиваться. В обозначениях рисунка (приведённых нами выше), закон (условие) Грасгофа выражается в виде:
б + I < р + ц (1.2)
Так как цепь на рисунке удовлетворяет закону Грасгофа, в каждой из инверсий имеется, по крайней мере, одно проворачивающееся звено: для инверсий (а) и (Ь) это наименьшее звено б; для инверсии (с) два проворачивающихся звена - смежные со звеном б; для инверсии (ф проворачивающееся звено снова наименьшее - ".
Если на месте неравенства "(1.2)" написать строгое неравенство, то всё будет абсолютно правильно.
В работе [11] приведена классификация плоских шарнирных четырёхзвенников безотносительно к правилу Грасгофа. Результат этой классификации изображён там на рис. 6 пятью конфигурационными пространствами кинематических схем всех возможных шарнирных четырёхзвенников (если исключить конфигурационные пространства под номерами 1 и 2, относящиеся к фермам, которые мы здесь не рассматриваем).
Чтобы понять, к какому конфигурационному пространству отнесены автором те или иные из
3 4 5 6 7
0 о © © ©
В этой работе указанный результат помещён в табл. 1 в главе, посвящённой, в основном, классификации кинематических шарнирных схем. Там написано, что к конфигурационным пространствам 3 и 4 относятся группы 2 и 1 соответственно. К конфигурационному пространству 5 - три инверсионные группы, 3,4 и 5; к конфигурационному пространству 6 -группы 6 и 7; к конфигурационному пространству 7 - группа 8(группа т.Б). Этот расклад говорит о том, что, классификация плоских шарнирных четырёхзвенников, основанная на представлении конфигурационного пространства линиями, гомеоморфными окружности, даже с отметкой на них точек, отвечающих конкретным положениям механизмов, по меньшей мере, нуждается в доработке. И, строго говоря, конечно, надо доказать, что каждой инверсионной группе механизмов отвечает одно конфигурационное пространство; а разным инверсионным группам механизмов отвечают разные конфигурационные пространства. Тем более, что первое утверждение кажется очевидным. В лекциях [14, 15] изложен надёжный и простой метод изображения конфигурационных пространств плоских шарнирников. Следуя этому методу, можно нарисовать восемь схем, классифицирующих все плоские шарнирные четырёхзвенники (не заменяя проходимую дважды дугу конгруэнтной ей окружностью). Эти схемы можно оставить для лекций и учебников. Здесь, в след за автором [11, 12], приведём классификацию плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов, основанную на частной характеристике конфигурационного пространства, - кинематических парах.
Рис. 1. Инверсионные группы плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов
В любом механизме 1-й группы однозначно определяется наименьшее звено 5. Если О > 0, см. (1.О), обе кинематические пары, включающие это звено, за полный цикл движения механизма, совершают полные обороты относительно 5. Если 0<0, конфигурационное пространство механизма получается из предыдущего конфигурационного пространства зеркальным отражением относительно стойки.
В любом механизме 2-й группы однозначно определяется наибольшее звено . Все четыре кинематических пары, за полный цикл движения механизма, совершают только колебательные движения.
Любой механизм 3-й группы за полный цикл своего движения выпукло укладывается в линию стойки одним способом.
Конфигурационное пространство механизмов 4-й группы симметрично конфигурационному пространству 3-й группы.
Любой механизм 5-й группы за полный цикл своего движения невыпукло укладывается в линию стойки одним способом.
Любой механизм 6-й группы за полный цикл своего движения укладывается в линию стойки двумя способами: выпукло и невыпукло.
Любой механизм 7-й группы за полный цикл своего движения укладывается в линию стойки двумя способами, при этом, обе укладки выпуклы.
Ромб, единственный механизм 8-й группы, за полный цикл своего движения укладывается в линию стойки тремя способами - в двух укладках выпукло и в одной невыпукло.
Сформулируем, наконец, классификацию плоских четырёхзвенных шарнирных механизмов, к которой классификации работ [1.2^1.11,1^12] являются той или иной степенью приближения.
Как и ранее, и - наименьшее и наибольшее из звеньев механизма соответственно, а и - два остальных звена. Благодаря взаимно-однозначному соответствию множества всех
возможных плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов и множества точек замкнутых цепочек в трёхмерном пространстве подвижных звеньев, см. замечание (1.0) и рис. 1.3, можно говорить о множествах механизмов, именуя их соответствующими множествами точек. Если исключить из рассмотрения механизм-ромб, в котором , то все плоские
шарнирные четырёхзвенники делятся на 7 групп, рис. 1.
К первой группе относятся механизмы, для которых справедливо I + б < р + ц. В каждом из четырёх множеств этой группы однозначно определяется только - наименьшее из звеньев. Поэтому классификация механизмов этой инверсионной группы осуществляется по расположению в кинематической цепочке и по поведению кинематических пар, включающих в себя стойку:
В ооБКЕО, б=1, обе кинематические пары, включающие в себя стойку, за полный цикл движения механизма, проходят и угол 0 рад и угол п рад (двухкривошипные механизмы).
В 8оБКБС, б=£г, левая кинематическая пара, включающая в себя стойку, за полный цикл движения механизма, проходит и угол 0 рад и угол п рад, а правая не достигает ни одного из этих положений (кривошипно-коромысловые механизмы).
В 8оБЕСЛ, б=£ ь ни одна из кинематических пар, включающих в себя стойку, за полный цикл движения механизма, не проходит ни угол 0 рад, ни угол п рад (двухкоромысловые механизмы).
В 8оБ0ЛБ, б=£ 2, правая кинематическая пара, включающая в себя стойку, за полный цикл движения механизма, проходит и угол 0 рад и угол п рад, а левая не достигает ни одного из этих положений (коромыслово-кривошипные механизмы).
Ко второй группе относятся механизмы, для которых справедливо . В каждом
из четырёх множеств этой группы однозначно определяется только I - наибольшее из звеньев. Все механизмы этой группы двухкоромысловые. Поэтому классификация механизмов этой инверсионной группы осуществляется по расположению в кинематической цепочке и по поведению кинематических пар, включающих в себя шатун:
В 8оБЛБС, 1=1, обе кинематические пары, включающие в себя шатун, за полный цикл движения механизма, дважды проходят положения, в которых их углы равны п рад.
В 8оБЛЕ0, 1=£г, левая кинематическая пара, включающая в себя шатун, за полный цикл движения механизма, дважды проходит положения, в которых её угол равен 0 рад, а правая - дважды положения, в которых её угол равен п рад.
В 8оББК0, 1=£ ь обе кинематические пары, включающие в себя шатун, за полный цикл движения механизма, дважды проходят положения, в которых их углы равны 0 рад.
В 8оБСЕК, 1=£ 2 , правая кинематическая пара, включающая в себя шатун, за полный цикл движения механизма, дважды проходит положения, в которых её угол равен 0 рад, а левая -дважды положения, в которых её угол равен п рад.
В каждом из четырёх множеств механизмов каждой из трёх следующих инверсионных групп однозначно определяются и , и . Соответствующие двенадцать множеств точек, это, по большей части, подмножества косых координатных углов системы координат (Б I,., Хь 12). Но, как говорилось выше, рис. 1.3, три из этих координатных углов целиком входят в множество замкнутых цепочек: ¿ЕБО, ¿КБЕ, ¿ОБК. Каждый из этих углов входит только в одну из следующих трёх инверсионных групп и, следовательно, может служить отправным (порождающим) множеством группы. Для механизмов этих трёх групп, - предельных механизмов первого вида справедлива, в каждом координатном угле своя, реализация соотношения
1 + б = р + ц (9).
К третьей группе относятся предельные механизмы первого вида, инверсируемые из ¿ЕБО:
В ¿ЕБО, б=1, 1=£г, следовательно, (9) имеет вид 1 + £г=£ 1 + -Ч2, двухкривошипные механизмы, за полный цикл своего движения, дважды выпукло укладывающиеся в линию стойки одним способом:
В 8о ¿КББ, б=£г, 1=£ь следовательно, (9) имеет вид £г+£ 1 = 1 + £2, кривошипно-коромысловые механизмы, в которых, за полный цикл движения, кривошип делает два оборота, а сам механизм дважды выпукло укладывается в линию стойки одним способом:
В 80 ¿ЕБС, 5=-!, (=-2, следовательно, (9) имеет вид + -2 = 1 + -г, двухкоромысловые механизмы, в которых, за полный цикл движения, шатун делает два оборота, а сам механизм дважды выпукло укладывается в линию стойки одним способом:
В 80^ББЛ, 5=-2, (= 1, следовательно, (9) имеет вид -2 + 1 = -г + -ъ коромыслово-кривошипные механизмы, в которых, за полный цикл движения, кривошип делает два оборота, а сам механизм дважды выпукло укладывается в линию стойки одним способом:
Каждому множеству механизмов 4-й группы соответствует множество симметричных им механизмов 3-й группы. Поэтому, исходя из ¿КБЕ, инверсией на правое смежное со стойкой звено, получаем все множества механизмов 4-й группы:
В ¿КБЕ, 5=1, (=-2, следовательно, (9) имеет вид 1 +-2 =-,•+-!, двухкривошипные механизмы, за полный цикл своего движения, дважды выпукло укладывающиеся в линию стойки одним способом:
О т
дг^йг
а,
«К"
В 80^ОББ, 5=-2 , (=-ь следовательно, (9) имеет вид -2 + - 1 = -г + 1, коромыслово-кривошипные механизмы, в которых, за полный цикл движения, кривошип делает два оборота, а сам механизм дважды выпукло укладывается в линию стойки одним способом:
В 80^ЕБЛ, 5=- ь (=-г, следовательно, (9) имеет вид - 1 + -г = 1 + - 2 , двухкоромысловые механизмы, в которых, за полный цикл движения, шатун делает два оборота, а сам механизм дважды выпукло укладывается в линию стойки одним способом:
О
т
а ^
В 80 ¿ББС, 5=-г, (= 1 , следовательно, (9) имеет вид + 1 = - 1 +-2 , кривошипно-коромысловые механизмы, в которых, за полный цикл движения, кривошип делает два оборота, а сам механизм дважды выпукло укладывается в линию стойки одним способом:
Из полных координатных углов остался только ¿ОБК. Подобно предыдущим двум группам, используем его в качестве исходного при описании множеств предельных механизмов первого вида, составляющих 5-ю группу:
В ¿ОБК, 5=1, (=-ь следовательно, (9) имеет вид 1 + - 1=-г+-2 , двухкривошипные механизмы, за полный цикл своего движения, дважды невыпукло укладывающиеся в линию стойки одним способом:
В 80 ¿КБС, 5=-г, (=-2 , следовательно, (9) имеет вид -г+-2 = 1+-1, кривошипно-коромысловые механизмы, в которых, за полный цикл движения, кривошип делает два оборота, а сам механизм дважды невыпукло укладывается в линию стойки одним способом:
В 80^СБЛ, 5=- (= 1 , следовательно, (9) имеет вид -1 + 1 = + - 2 , двухкоромысловые механизмы, в которых, за полный цикл движения, шатун делает два оборота, а сам механизм дважды невыпукло укладывается в линию стойки одним способом:
В 80 ¿ОБА, 5=-2, (=-г, следовательно, (9) имеет вид -2+-г = 1 + -ь коромыслово-кривошипные механизмы, в которых, за полный цикл движения, кривошип делает два оборота, а сам механизм дважды невыпукло укладывается в линию стойки одним способом:
6-я и 7-я группы - группы множеств предельных механизмов второго вида, т.е. укладывающихся в линию стойки двумя способами. Эти механизмы хорошо известны. Для них нельзя однозначно определить ни 5 , ни (. Длины подвижных звеньев этих механизмов, -это координаты точек осей косоугольной системы (Б I,, Хь 12).
6-я группа:
Луч БО, - 2=1, - г=-1 >1, двухкривошипные механизмы Галловея, за полный цикл своего движения, дважды укладывающиеся в линию стойки выпукло и дважды невыпукло. Схемы укладки:
Луч БК, -г=1, -2=- 1 >1, Каждый механизм этого луча симметричен соответствующему механизму луча БО. Схемы укладки:
Интервал СБ, - 2=1, -г=-1 <1, кривошипно-коромысловые механизмы дельтоида, за полный цикл своего движения, дважды укладывающиеся в линию стойки выпукло и дважды невыпукло. Схемы укладки:
Интервал ЛБ, =1, = 1, Каждый механизм этого интервала симметричен
соответствующему механизму луча СБ. Схемы укладки:
7-я группа:
Луч БЕ, -1=1, -г=-2 >1, параллелограммы, - двухкривошипные механизмы, половину своего полного цикла двигающиеся в виде параллелограмма, а половину в виде антипараллелограмма и укладывающиеся в процессе этого движения в линию стойки по два
раза двумя способами только выпукло. Схемы укладки:
Интервал ВБ, - 1=1, - г=-2 <1, также параллелограммы, двухкривошипные механизмы, половину своего полного цикла двигающиеся в виде параллелограмма, а половину в виде антипараллелограмма, причём, вторую половину, в отличие от механизмов предыдущей группы, кривошипы вращаются в разных направлениях. И укладывающиеся в процессе этого движения в линию стойки по два раза двумя способами выпукло. Схемы укладки:
О. о R
nl J•
■—ь
о Qn2 т X
А ■ А ■
Выводы
1. Сформулированная выше классификация плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов является окончательной в том смысле, что, во-первых, не осталось ни одной инверсионной группы механизмов, особенности которой не были бы в ней названы, во-вторых, каждый из всех возможных механизмов получил в ней своё место, в третьих, в классификации удовлетворены все замечания, высказанные к классификациям цитируемых выше авторов.
2. Эта классификация полностью совпадает с классификацией работы [13], если туда добавить оговорку о сборках механизмов первой инверсионной группы.
3. Каждый, прочитавший статью, легко и, главное, просто сможет выписать систему соотношений, определяющих область изменения длин звеньев искомого механизма, как параметров оптимального синтеза. Сделать это не так просто, пользуясь классификациями, основанными на классическом правиле Грасгофа.
4. Показано, что множество инверсионных групп плоских шарнирных четырёхзвенников вполне классифицируется с использованием особенностей их кинематических пар.
5. В этой классификации понятие другой сборки имеет не только определение и своё место (1-я инверсионная группа), но и признак (см. (1. О)). С точки зрения программирования, этот признак ничуть не сложнее признака, используемого в работе [1.11], но избавлен от указанных его противоречий.
1. Shigley J.E., Uicker J.J. Theory of machines and mechanisms. Second edition, McGraw-Hill BookCompany, 1995. 719 p.
2. Shabana Ahmed A. Computational dynamics. 3rd ed.: John Wiley & Sons, 2010. 542 p.
3. Sharma C.S., Kamlesh Purohit. Theory of mechanisms and machines. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2006. 720p.
4. Myszka David H. Machines and mechanisms: Applied kinematic analysis. Fourth edition, McGraw-Hill BookCompany, 1995. 719 p.
5. Erdman Arthur, Sandor George and Kota Sridhar. Mechanism Design. Vol 1: Analysis and Synthesis, 4th ed, Prentice Hall. Upper Saddle River. NJ, 2001.683 p.
6. Phakatkar H.G. Theory of Machines and mechanisms-1: Fourth edition, NIRALI PRAKASHAN, 2009. 588 p.
7. Ashok G. Ambekar. Mechanism and Machine Theory. New Delhi, 2007. 986 p.
8. Keith L. Richards. Design Engineer's Reference Guide. Mathematics, Mechanics, and Thermodynamics. CRC Press New York, 2014 - 357p.
9. Sawhney G.S. Fundamentals of Mechanical Engineering: Thermodynamics, Mechanics, Theory of Machines, Strength of Materials and Fluid Dynamics. 3rd ed.: Delhi-110092, 2015. 938p.
10. Vinogradov Oleg G. Fundamentals of kinematics and dynamic of machines and mechanisms. CRC Press LLC, 2000.
11. Ковалев М.Д. Вопросы геометрии шарнирных устройств и схем. М.: Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение, 2001. № 4. С. 33-51.
12. Ковалев М.Д. Геометрическая теория шарнирных устройств. Известия РАН. Серия математическая. Т. 58. М.: ВИНИТИ, 1994. С. 45-70.
13. Киселев В.М. Система классификации плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов. Научно-методический журнал "Проблемы современной науки и образования", 2016. № 5 (47) С. 56-81.
14. Сосинский А.Б. Двумерные поверхности и конфигурационные пространства шарнирных механизмов. Лекция первая. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=130.
15. Сосинский А.Б. Двумерные поверхности и конфигурационные пространства шарнирных механизмов. Лекция вторая. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid= 131 .&Option_land=ru s/ (дата обращения: 29.04.2019).
Список литературы / References
