Моделирование движения плоского, шарнирного, четырехзвенного механизма на экране компьютера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Совертков Петр Игнатьевич Шаламов Александр Павлович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОГО, ШАРНИРНОГО, ЧЕТЫРЕХЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА НА ЭКРАНЕ КОМПЬЮТЕРА

Многие учащиеся связывают свою судьбу с техникой. Проектирование механизмов является одним из главных направлений подготовки большинства инженеров.

Кинематика плоского четырехзвен-ного механизма достаточно подробно изучена в [2-5]. В настоящей статье изучается метод геометрического анализа механизма, что позволяет изображать механизм в движении.

Пусть звено АD = й является неподвижным (рисунок 1). Оно называется стойкой. Звенья АВ = а и CD = с могут вращаться вокруг точек А и Д соответственно. Пусть звено АВ является ведущим и вращается вокруг точки А, что вызывает движение остальных звеньев ВС и CD.

При вращении стержня АВ вокруг точки А точка В движется по окружности ю(А, а) . Стержень ВС = Ь постоянной длины приводит в движение точку С и вызывает вращение звена СБ вокруг неподвижной точки D. Поэтому точка С движется по окружности ю(Д с).

Если звено АВ может совершить полный оборот вокруг оси, то оно в механике называется кривошипом. Если наименьшее звено а является кривошипом,

то его длина в сумме с самым длинным звеном й будет меньше суммы длин остальных звеньев Ь и с (правило Грасго-фа), то есть а+й < Ь+с.

Если звено вращается вокруг оси, но не может совершить полный оборот, то оно называется коромыслом.

Для компьютерного моделирования вводим четыре длины звеньев механизма. Основной проблемой при моделировании является наложение условий на длины звеньев и определение типов механизмов, чтобы определить величину угла поворота а ведущего звена.

а) Кривошипно-коромысловый механизм (рисунок 2): ведущее звено а -кривошип, совершает полнооборотное вращение, звено Ь - плоскопараллельное движение, а ведомое звено с - коромысло, выполняет качательное (возвратно-вращательное движение, неполнооборотное вращение). Этот механизм имеет многочисленные применения. Например, в приводе нефтяной качалки. Такой механизм может применяться также для преобразования качательного движения во вращательное.

С

Примером применения этого механизма в обратном направлении, то есть коромыслово-кривошипного механизма является русская прялка, в которой кача-тельное движение ногой педали преобразуется во вращательное движение большого колеса прялки, а затем передается на вращение шпульки для намотки ниток.

Для предельных положений (рисунок 3), когда точки А, В, D расположены на одной прямой, условия на стороны треугольника определяются из системы:

I |Ъ - с| < а + ё < Ъ + с, [IЪ - С < - а < Ъ + с.

При этих условиях звено АВ является кривошипом. Чтобы звено DC было коромыслом, необходимо, чтобы выполнялись условия - С < а + Ъ < ё + с . Итак, кривошипно-коромысловый четырехзвен-ный механизм задается условиями а + ё < Ъ + с, |Ъ - с| < - а|, - с| < а + Ъ < ё + с.

Угол а принимает любые значения. Например, механизмы (60, 90, 80, 100), (40, 60, 60, 45) удовлетворяют условиям (1), и эти механизмы работают как кри-вошипно-коромысловые.

(1)

В [1] приведен пример кривошипно-коромыслового механизма с условиями

Га < с < Ъ < ё,

[ а + Ъ < ё + с. (2)

Механизм (40, 60, 50, 90) удовлетворяет условиям (2), но звено АВ не может совершить полный оборот, так как нарушено условие а+й < Ь+с. Наверно, для механизма с условиями (2) предполагается автоматическое выполнение правил а Грасгофа, что не отражено в [1].

б) Двухкривошипный механизм (рисунок 4) является другой разновидностью шарнирного четырехзвенного механизма: у него сумма длин самого короткого звена й и самого длинного а меньше суммы двух остальных звеньев Ь+с. Такие механизмы преобразуют равномерное вращение ведущего звена а в неравномерное вращение ведомого звена с. Если длины противолежащих звеньев одинаковые (то есть на рисунке 4 имеем параллелограмм), то выходное звено также будет вращаться равномерно.

Звено АВ является кривошипом при условии

Г а + ё < Ъ + с,

11ё - а ^ \ъ - с.

Аналогично, звено ЭС является кривошипом при выполнении условия

Г с + ё < а + Ъ,

1 - с| ^ |Ъ - а

Оба звена являются кривошипами, если выполняется условие

В1 ил

я л

Рисунок 3

Рисунок 4

а + ё < Ь + с, с + ё < а + Ь,

|ё - а > |Ь - с|, (3)

- С > |Ь - а|.

Пример такого механизма (40, 60, 60, 40).

Параллелограмм а = с, Ь = й является частным случаем двухкривошипного механизма. Пример работающего механизма - параллелограмма (40, 60, 40, 60).

При а = й, Ь = с механизм в [1] назван ромбоидом. В геометрии такая фигура часто называется дельтоидом. Дельтоид (40, 60, 60, 40) является двухкриво-шипным механизмом, а дельтоид (40, 40, 60, 60) является кривошипно-коромысло-вым механизмом.

Пример работающего двухкриво-шипного механизма (60, 90, 90, 60). Если левое звено а этого механизма совершает два оборота, то правое звено с совершает один оборот.

В [1] приведен пример двухкоро-мыслового механизма с условием 1а > с > Ь > ё,

а + d < b + c.

(4)

Пример механизма (100, 80, 90, 60), удовлетворяющего условиям (4).

Из неравенств (4) следует выполнение условий (3).

В самом деле: Г а > c {b > d ^ ^ а + b > c + d,

а - d > c - d > c - b,

а - d > c - d, b + c > а + d,

b + c - (b + d) > а + d - (b + d),

c - d > а - b.

Условия (3) являются более общими, чем условия (4).

в) Двухкоромысловый механизм является третьей разновидностью четырех-звенного механизма (рисунок 5), у которого размеры звеньев не удовлетворяют правилу Грасгофа или самое короткое звено не является кривошипом. Такие механизмы используются для передачи на необходимое расстояние качательного движения.

В двухкоромысловом механизме имеются две мертвые зоны (рисунок 6). Возможны различные случаи.

в1) Угол a изменяется в пределах [a2, aj :

а2 + d2 -(b + c )2 2ad

(а + b)2 + d2 - c2 2d (а + b)

Условие существования двухкоро-

мыслового механизма типа в :

cos aj =

Рисунок 5

Откуда получаем, что при а - ё < Ъ - с

двухкоромысловый механизм совершает колебания, причем,

ае [а0; 2р-а0], где

V4а2й2 - (а2 + й2 - (Ъ - с)2)2

tga

"Dfi^xtco^OMUc^aSuu жехлЯи^ж...

I |а - d| < b + c < а + d,

| |c - d\ < а + b < d + c.

в2) Рассмотрим случай, когда стержень а совершает колебания с углом a, где ae [a0,2p-a0] (рисунки 7, 8).

В двухкорымысловом механизме возможна остановка механизма по причине BD < \CD - BC\ (рисунок 8) даже после прохождения мертвой зоны. Например, для механизма (40, 20, 50, 30).

Наложим условия:

|b - c| < t,

b2 + c2 - 2bc < а2 + d2 - 2ad cos a.

а2 + ё2 - (Ъ - с)2

Пример работающего механизма (90, 70, 100, 80).

в3) Пусть механизм совершает колебания с углом а , где ае [-а0, а0] (рисунок 9).

Выполняются условия

I |а - < Ъ + с < а + ё, Ъ - с\ < У - а\ < Ъ + с.

cos a 0 =

а2 + d2 - (b + c)2 2ad

Рисунок 7

Рисунок 8

а

Рисунок 9

Пример работающего механизма (40, 40, 40, 80) с острым углом а 0, (40, 40, 70, 80) - с тупым углом и (80, 50, 50, 60) - с прямым углом.

г) Коромыслово-кри-вошипный механизм: ведущее звено а совершает качание, а ведомое звено является кривошипом и совершает полный оборот.

Заменив звенья а«с , получаем криво-шипно-коромысловый механизм. При программировании следует поменять переменные а и с и вывести сообщение на экран компьютера об этой замене. Пример работающего механизма (80, 90, 60, 100).

На дискете можно познакомиться с анализом движения четырехзвенного механизма в общем виде и программой построения этого движения.

J

d

- механизм...

Литература.

1. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. М.: Наука, 1979, т.1.

2. Вульфсон И.И. и др. Механика машин. М.: Высшая школа, 1996.

3. Иосилевич Г.Б., Строганов Г.Б., Маслов Г.С. Прикладная механика. М.: Высшая школа, 1989.

4. Попов С.А., Тимофеев Г.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и механике машин. М.: Высшая школа, 1999.

5. Юкало П.А. Аналитический синтез четырехзвенного механизма. М., Машиностроение, 1981.

Совертков Петр Игнатьевич, канд. физ.-матем наук, доцент Нижневартовского государственного педагогического института (НГПИ).

Шаламов Александр Павлович, студент факультета информатики и математики НГПИ.

© Наши авторы, 2001. Our authors, 2001.