CC BY
33
The research results show that in the studied temperature and concentration range, no new chemical compounds or solid solutions are formed in the system. The system is of a simple eutonic type [5].
A feature of solubility polytherm is that, due to the good solubility in this system, sodium rhodanide has a significant salting out effect on sodium chlorate, the crystallization field of which increases with increasing temperature.
At -10; 0; 10 and 20 ° C, the solubility of sodium chlorate in the presence of sodium rhodanide is reduced by 33.7; 36.4; 38.4 and 41.0% compared with its initial solubility in water. Sodium chlorate has little effect on the solubility of sodium rhodanide. With increasing temperature, the composition of etonic solutions of sodium chlorate - sodium rhodanide - water is significantly enriched with sodium rhodanide while reducing the content of sodium chlorate [6,7].
From the results of the study of sodium chlorate - sodium rhodanide - water follows the feasibility of obtaining defoliants in those ratios of components at which there is a minimal salting out of sodium rhodanide on sodium chlorate.
References / Список литературы
1. Zakirov T.S. Ways to improve the effectiveness of defoliants // Questions of fertilizers, defoliation and the fight against wilt cotton. Tashkent: Gos. izdat. Uz SSR, 1964. V. 5. Р. 63-67.
2. Imamaliyev A.M., Abdurashidova L.X. Some features of the effect of mixtures of defoliants on cotton // Proceedings of the 1 st All-Union Conference on defoliation and desiccation of crops, ... 23-25th august, 1972 y. Tashkent, 1974. Р. 134-137.
3. Abdurashidova L.X. Features of the effect of defoliant blends on cotton: Avtoref. dis. Tashkent, 1968. 24 p.
4. Kirginsev A.N., Trushnikova L.N., Lavrenteva V.G. Solubility of inorganic substances in water. L.: Chemistry, 1972.
5. Kodirova D.T. Physical and chemical bases and technology of obtaining developments based on chlorates, rodanids and ethanolamine phosphates: diss. Tashkent, 2005.
6. Hamdamova Sh.Sh., Igamberdiyev B.G. Physicochemical studies of water systems based sodium chlorate and diethanolamine. The First European Conference on Chemical Sciences,2015. С. 55-59.
7. Adylkhodzhaev A.I., Igamberdiev B.G., Umarova M.M. The use of rice straw to increase the strength characteristics of gypsum binders // Universum: Technical sciences: electron. scientific journals, 2018. № 10 (55). [Electronic Resource]. URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/6441/ (date of access: 25.05.2019).
О КЛАССИФИКАЦИЯХ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ ЧЕТЫРЁХЗВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ, ОСНОВАННЫХ НА СООТНОШЕНИИ ДЛИН ИХ ЗВЕНЬЕВ. Часть 1 Киселёв В.М. Email: Kiselev17139@scientifictext.ru
Киселёв Вячеслав Михайлович — кандидат технических наук, доцент, кафедра системы автоматизированного проектирования и теории механизмов и машин, Текстильная академия им. А.Н. Косыгина, г. Москва
Аннотация: определение области допустимых значений параметров механизма является необходимой задачей, с которой сталкивается исследователь в процессе оптимального синтеза механизма. Традиционно задача эта решается с помощью правила Грасгофа, сформулированного автором в 19 веке. Анализ работ, относящихся как к проектированию механизмов, в частности, так и к теории механизмов и машин, в целом, показывает, что все, без исключения, решают указанную задачу с помощью неравенства Грасгофа. Особенно в случаях, когда предельные механизмы не рассматриваются. При этом всё чаще, особенно в отечественных работах и учебных курсах, имя Франца Грасгофа уже и не упоминается. А между тем, развитие идеи правила Грасгофа на аффинное трёхмерное пространство подвижных звеньев позволяет классифицировать все мыслимые плоские шарнирные четырёхзвенники.
Ключевые слова: Правило (закон) Грасгофа, октанты косоугольной системы координат в трёхмерном пространстве, пространство подвижных звеньев, группы множеств точек пространства, замкнутые относительно операции инверсии, классификация плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов.
ON CLASSIFICATIONS PLANE FOUR-BAR LINKAGE HINGED, BASED ON THE RATIO OF THE LENGTHS OF THEIR LINKS. PART 1
Kiselev V.M.
Kiselev Vyacheslav Mikhailovich - PhD of Technical Sciences, Associate Professor,
DEPARTMENT OF COMPUTER AIDED DESIGN AND THEORY OF MECHANISMS AND MACHINES, TEXTILE ACADEMY A.N. KOSYGIN, MOSCOW
Abstract: determining the range of permissible values of the parameters of the mechanism is a necessary task that the researcher encounters in the process of optimal synthesis of the mechanism. Traditionally, this problem is solved using the Grashof's rule, formulated by the author in the 19th century. An analysis of works related both to the design of mechanisms, in particular, and to the theory of mechanisms and machines, in general, shows that everyone, without exception, solves this problem with the help of Grashof inequality. Especially in cases where extreme mechanisms are not considered. Wherein, more and more often, especially in domestic works and training courses, the name of Franz Grashof is not mentioned anymore. And, meanwhile, the development of the idea of the Grashof's rule on the affine three-dimensional space of moving links allows us to classify all conceivable flat hinged four-link mechanisms.
Keywords: Grasgofs rule (law), octants of oblique-angled coordinate system in three-dimensional space, space of movable links, groups of sets of points in space, closed with respect to inversion operation, classification ofplane hinged four-link mechanisms.
УДК 621.01
Одной из ключевых задач оптимального синтеза механизмов является задача задания области определения функции - совокупного критерия оптимизации, т.е. определения области изменения параметров, на которой отыскивается то их сочетание (набор), которое и поставляет экстремум принятому критерию. В случае плоского шарнирного четырёхзвенника, который часто выступает как составляющий элемент проектируемого более сложного механизма, это задача определения области изменения длин его звеньев. Изначально, к решению этой задачи привлекается классификация плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов, основанная на правиле Грасгофа [3 ^ 11,2.1^2.10]'.
Для достижения поставленной цели нам понадобится следующий несложный инструментарий. Одно из звеньев плоского шарнирного четырёхзвенного механизма фиксировано; оно называется стойкой. В плоскости механизма можно ввести прямоугольную правую декартову систему координат, поместив начало системы в один из шарниров стойки (координаты шарнира (0,0)) и направив ось абсцисс по линии стойки в сторону её второго шарнира (координаты (0,10)). Смотрим на плоскость механизма со стороны оси аппликат z; {i,j,k} - основные векторы этой правой прямоугольной системы.
Длины всех четырёх звеньев будем измерять в длинах стойки, т.е. координаты опорных шарниров будут соответственно (0,0) и (0,1). Длины остальных трёх звеньев в безразмерном виде обозначим 1г, I и 12 в порядке обхода цепочки от шарнира с координатами (0,0) к шарниру с координатами (0,1). Обозначим I и s длины наибольшего и наименьшего из звеньев [1, 1г, I', 12] и p и q - длины двух остальных. Рассмотрим все возможные варианты равенства
I + s = p + q.
Только на первый взгляд может показаться, что это перестановки из четырёх элементов. Их значительно меньше по нескольким причинам; одна из них,- коммутативность операции сложения; независимых вариантов получается только три:
(1 + 1Г = «! + 12 • 1 + = 1Г + «2 (1) .1 + l2 = 1Г + «!
Эти три уравнения определяют в трёхмерном евклидовом пространстве (o 1г, £ь 12), рис.1, три плоскости. Их нормали некомпланарны:
1 Конечно, не всегда цитируемый автор использует слово "классификация", однако, здесь считается, что использование оборотов " все механизмы делятся на ", " применяя правило Грасгофа, все четырёхзвенники разбивают на" и т.п., даёт право говорить о классификации.
Статья состоит из двух частей, поэтому там, где номер источника содержит точку,".", означает ссылку на источник из другой части, номер которой стоит перед точкой. Это правило относится и к ссылкам на номера формул.
-Ill 1-11 11-1
l
x ,
Эти три плоскости пересекаются в одной общей точке D (1,1,1) и определяют в нашем трёхмерном пространстве косоугольную систему координат (D I-, Хь I2), см. рис. 1. Каждый косоугольный октант этой системы представляет собой открытый трёхгранный угол с гранями - плоскими непрямыми координатными углами. У восьми октантов координатной системы двенадцать плоских координатных углов. Отметим два свойства этой системы, которые нам здесь понадобятся. Во-первых, суммарно все внутренние точки косоугольных октантов (тут удобно ввести обозначение oo - от oblique-angled octant), вместе с их границами, исчерпывают все точки трёхмерного евклидова пространства (o 1г, 11, 12). Во-вторых, строгое неравенство Грасгофа делит эти восемь косоугольных октантов на две непересекающиеся группы, по четыре в каждой. Если ввести масштаб для осей {Ii}, то легко написать формулы аффинного преобразования {£i}^{Ii}, например
АЛ II ) = ; VV
невырожденность матрицы этого преобразования доказывает первое свойство. Для доказательства второго разобьём наши косоугольные октанты на две группы (см. рис. 3):
1-я группа: ooDKEG U ooDKBC U ooDGAB U ooDECA.
2-я группа: ooDABC U ooDAGE U ooDBKG U ooDCEK.
Для внутренних точек первой группы s + I < р + q; для внутренних точек второй группы s + I > р + q.
Рассмотрим ooDKEG. Для внутренних точек этого косоугольного октанта, ограниченных тремя плоскостями (1), справедлива система неравенств:
(1 + lr < + 12 1 + < lr + 12 (1.1). 11 + 12 < lr +
Складывая попарно эти неравенства, получаем lr,l 1 , I 2 > 1 , следовательно, в качестве наименьшего по длине звена в этом oo выступает стойка: . Если
£г = I 1 = I 2 ( 1 ■ 1 ')
то, в качестве можно взять любое из этих звеньев, а в качестве неравенства Грасгофа взять то из неравенств (1.1), в котором это звено фигурирует в левой части. Получим s + I < р + q. Если (1.1 ) не выполняется, то среди звеньев lr, I1t I2 есть звено, не меньшее одного из остальных звеньев и большее второго. В качестве неравенства Грасгофа, в этом случае, берём то из (1.1), в котором это звено фигурирует в левой части. Получаем , что и
требовалось доказать.
ooDKBC. Из рис. 3 видим, что внутренние точки этого косоугольного октанта расположены с определённой стороны от каждой из координатных плоскостей (1), именно:
i1 + lr < I 1 + I 2 ■ 1 + I 2 > lr + I 1 . 1 + I 1 > lr + I 2
Или, придав двум последним неравенствам более удобный вид
i1 + lr < I 1 + I 2 ■ lr + I 1 <1+ I 2 (1.2) Xr + I 2 < 1 + I 1
Рис. 1. Косоугольная система координат в трёхмерном пространстве подвижных звеньев.
Рис. 2. Внутренние точки множества АБСЬРЕММИ пространства подвижных звеньев определяют замкнутые кинематические цепочки.
1, I1, I2 > £г, следовательно, в этом
Попарно складывая эти неравенства, получаем октанте 5 = £г. Если
1 = I 1 = I 2 ( 1 . 2 ') , то, в качестве I можно взять любое из этих звеньев, а в качестве неравенства Грасгофа взять то из неравенств (1.2), в котором это звено фигурирует в левой части. Получим 5 + I < р + д. Если (1.2 ) не выполняется, то среди звеньев 1 ,11(£2 есть звено, не меньшее одного из остальных звеньев и большее второго из них. Очевидно, это наибольшее по длине из четырёх звеньев механизма. Его принимаем в качестве (. А в качестве неравенства Грасгофа, в этом случае, берём то из (1.2), в котором это звено фигурирует в левой части. Получаем 5 + I < р + , что и требовалось доказать.
Доказательства справедливости второго свойства для ооБОЛБ (5 = I 2 ) и ооБЕСЛ (5 = I 1) совершенно аналогичны, поэтому рассмотрим вторую группу косоугольных октантов.
ооБЛБС. Непосредственно из рис.3 следует, что координаты внутренних точек этого косоугольного октанта удовлетворяют системе неравенств:
Г"1 + £г > 11 + 12
1 + «1 > £г + I 2 (2.1). 11 + 12 > £г + 11
Складывая попарно эти неравенства, получаем £ГД 1 ,1 2 < 1 , следовательно, в качестве наибольшего по длине звена в этом косоугольном октанте выступает стойка: . Если
£г = I 1 = I 2 ( 1 . 1 ') , то, в качестве можно взять любое из этих звеньев, а в качестве доказываемого неравенства взять то из неравенств (2.1),в котором это звено фигурирует в левой части. Получим .
Если (1.1) не выполняется, то среди звеньев £ГД 1 ,1 2 есть звено, не большее одного из остальных звеньев и меньшее второго. В качестве наименьшего по длине, 5, выбираем это звено, а в качестве доказываемого неравенства, в этом случае, берём то из неравенств (2.1), в котором это звено фигурирует в левой части. Получаем , что и требовалось
доказать.
ооБЛОЕ. Из рис.3 видим, что внутренние точки этого косоугольного октанта расположены с определённой стороны от каждой из координатных плоскостей (1), именно:
Г1+ £г > I^ I2 ■ £г + I 1 > 1 + I 2 Л- + I 2 > 1+ I 1 Попарно складывая эти неравенства, получаем 1 октанте I = £г. Если
1 = I 1 = I 2
то, в качестве можно взять любое из этих звеньев, неравенства взять то из неравенств (2.2), в котором выбранное звено фигурирует в левой части. Получим 5 + I > р + д. Если (1.2 ) в рассматриваемой точке ооБЛОЕ не выполняется, то
(2.2).
, 11, 1 2 < 1г ( 1.2 '),
следовательно, в этом
а в качестве доказываемого
среди звеньев 1 ,l i, l 2 есть звено, не большее одного из остальных звеньев и меньшее второго из них. Очевидно, это наименьшее по длине из четырёх звеньев 1 ,lr,l i ,£ 2. Его принимаем в качестве s. А в качестве доказываемого неравенства, в этом случае, берём то из неравенств (2.2), в котором это звено фигурирует в левой части. Получаем s +1 > р + q, что и требовалось доказать.
Доказательства справедливости второго свойства для ooDBKG ( I = lи ooDCEK ( I = l2) совершенно аналогичны только что приведённым доказательствам.
До сих пор речь шла обо всём евклидовом пространстве подвижных звеньев плоского четырёхзвенника (o £r, £j, l2). Очевидно, однако, что не все точки этого пространства интересны, как определяющие своими координатами длины подвижных звеньев плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов. Исключая из рассмотрения механизмы, некоторые из подвижных звеньев которых имеют отрицательную длину, для точек, определяющих плоские шарнирные четырёхзвенники, получаем один октант прямоугольной системы (o lr, £ь l2):
(£г >0 ■ I i >0
U 2 >0
Исключим также из рассмотрения плоские шарнирные четырёхзвенники, одно из звеньев которых может быть не меньше суммы длин остальных трёх, см. рис.2. В результате, для точек пространства (o lr, £ь l2), определяющих все возможные плоские шарнирные четырёхзвенные механизмы, остаётся внутренняя часть выпуклого неограниченного многогранника ABCLPFMNH [2.12,2.13]. На рисунках 1 и 2 изображено одно и то же пространство с системой координат (o lr, £ь l2).
г £г >0 I i >0 12 >0
• £r + li + l2 > 1 (3) I i + I 2 + 1 > lr lr + l2 + 1 > £i ,£r + l i + 1 > l 2
Совмещая эти два рисунка, получаем рис. 3, на котором изображены части косоугольных октантов общие с множеством точек, определяющих замкнутые четырёхзвенные цепочки.
Эти части косоугольных октантов представляют собой три треугольных призмы, трёхгранный открытый угол, тетраэдр и части трёх двугранных углов, заключённых между соответствующей координатной плоскостью (D X,, Хь X2) и параллельной ей плоскостью, определяемой одним из трёх последних неравенств системы (3). Об этих трёх призмах, тетраэдре, трёхгранном и двугранных углах, их гранях и рёбрах и идёт речь в работе [2.13].
Именно, ooDKEG полностью располагается внутри множества (3). Согласно [2.13], внутренние точки этого открытого трёхгранного угла и только они определяют классические двухкривошипные шарнирные четырёхзвенники1. От ooDKBC плоскость, определяемая первым неравенством (3) оставляет треугольную полубесконечную призму с боковыми гранями: полуполосой NCBM, двумя косыми полуполосами KDCN и KDBM и основанием ADBC, по терминологии [2.13] это первая призма, её внутренние точки и только они определяют классические кривошипно-коромысловые шарнирные четырёхзвенники. Так как призма эта является подмножеством ooDKBC, здесь будем обозначать её soDKBC. От ooDGAB плоскость, определяемая третьим неравенством (3) оставляет треугольную полубесконечную призму с боковыми гранями: полуполосой FBAP, двумя косыми полуполосами GDAP и GDBF и основанием ADAB, по терминологии [2.13] это вторая призма, её внутренние точки и только они определяют классические коромыслово-кривошипные шарнирные четырёхзвенники. Так как призма эта является подмножеством ooDGAB, здесь будем обозначать её ещё soDGAB. От ooDECA плоскость, определяемая вторым неравенством (3), оставляет треугольную полубесконечную призму. Её боковые грани: полуполоса LACH, две косые полуполосы EDCH и EDAL и основание ADCA, по терминологии [2.13] это третья призма, её внутренние точки и только они определяют классические двухкоромысловые шарнирные четырёхзвенники, за полный цикл движения которых, шатун совершает полный оборот. Так как призма эта является
1 Классическими называем здесь четырёхзвенники, для которых неравенство Грасгофа имеет строгий вид, в отличие от случая, когда неравенство переходит в равенство. Последний случай в некоторых источниках [9,10] называется предельным, в других [15] особенным; в работе [2.13] он назван вырожденным.
подмножеством ooDECA, здесь будем обозначать её soDECA. От ooDABC плоскость, определяемая четвёртым неравенством (3) оставляет тетраэдр ABCD.
Рис. 3. Шестиугольник ИЬРЕЫИ- пересечение Рис.4. (а) симметричные друг другу механизмы,
границ множества замкнутых кинематических соответствующие симметричным точкам
цепочек плоскостью {г + { ± + {2 = сошЬ (сошЬ пространства подвижных звеньев; (б) положение
> 3). Вершины правильного ДEGK — точки и и положение L; (в) кинематическая цепочка
пересечения этой плоскостью осей А2, А плоского шарнирного четырехзвенника
От ooDAGE, ooDBKG и ooDCEK плоскости, определяемые соответственно пятым, шестым и седьмым неравенствами системы (3), оставляют двугранные углы, заключённые между данной плоскостью и параллельной ей координатной плоскостью из системы (1). Например, от ooDBKG условие 1Г + 12 + 1 > Iх оставляет двугранный угол между двумя косыми полуполосами KDBM и GDBF с общим ребром DB. В работе [2.13] доказано, что внутренние точки пространственных фигур, получившихся из косоугольных октантов второй группы, и только они определяют, в каждом случае, вполне определённые классические двухкоромысловые шарнирные четырёхзвенники, за полный цикл движения которых, шатун не совершает полного оборота1. Так как эти фигуры являются подмножествами второй группы октантов косоугольной системы координат, для удобства, будем для них использовать обозначения, соответственно, soDABC, soDAGE, soDBKG, soDCEK. Отметим, что восемь фигур - частей косоугольных октантов, общих с множеством замкнутых цепочек (3), обладают двумя свойствами, сформулированными для октантов косоугольной системы координат, быть может, с соответствующими поправками. Например, суммарно внутренние точки всех фигур на рис.3, вместе с их гранями и рёбрами, исчерпывают все внутренние точки фигуры, изображённой на рис.2. Инверсией кинематической цепочки на определённое её звено называется образование механизма путём фиксирования этого звена. В нашем случае, можно считать, что механизм уже дан, а неизвестными являются три инверсии на три подвижных звена. Над точками пространства подвижных звеньев введём операцию приведённой инверсии кинематической цепочки. Приведённая инверсия кинематической цепочки отличается от просто инверсии тем, что, после фиксирования новой стойки, все звенья механизма приводятся к безразмерному виду относительно её длины.
Определение. Приведённой инверсией кинематической цепочки плоского четырёхзвенного шарнирника на правое смежное со стойкой звено называется функция /2(г)^г', ставящая в соответствие любой точке пространства подвижных звеньев, г = (1г, 11, 12)Т , другую точку пространства подвижных звеньев, Г = (1г', 11', 12')Т, где
А
/€г \ /М
ж?
2 УУ
Знак "2" внизу знака функции означает, что инверсия производится на звено 12.
1 Двухкоромысловыми эти механизмы принято называть в русскоязычной литературе. В англоязычной литературе они часто называются не-Грасгофскими (поп-О^Ио!) [2.5,2.7] и трёхкоромысловыми [2.4,2.5,2.8,2.9]. Очевидно, важно тут лишь то, что все понимают, что речь идёт об одном и том же.
Точно так же можно определить операцию приведённой инверсии на звенья 1г и £j. А можно и так:
fi(f) = fidAf)) , fX?) = fltf0)) . Далее можно доказать, что f2(о о D КЕ G) = soDKBC, f2(sо DКВ С) = soDECA, f2(s о DЕ СА) = soDGAB, f2(sо DGAB) = ooDKEG. И, аналогично, fff s о DABC ) ) ) ) = s о DAB С.
Эти записи означают, что каждая из двух групп фигур рисунка 3 замкнута по операции приведённой инверсии1. Но внутренние точки подмножеств косоугольных октантов этих двух групп определяют только классические плоские шарнирные четырёхзвенники. Внутренние точки (т.е. без осей косоугольной системы координат) подмножеств координатных углов определяют предельные механизмы первого вида [2.13], то есть укладывающиеся в линию стойки одним способом. Эти подмножества, см. рис.3, представляют собой: три грани трёхгранного угла: zEDG, zGDK, zKDE, шесть подмножеств косых плоских координатных углов, расположенных внутри множества замкнутых цепочек: KDBM, KDCN, EDCH, EDAL, GDAP, GDBF и три треугольника: ABCD, AABD и ACAD. Чтобы было удобнее ассоциировать последние девять плоских фигур с координатными углами, см. рис.3, используем для них обозначения, соответственно: sozKDB, sozKDC, sozEDC, sozEDA, sozGDA, sozGDB, so zBDC, so zBDA, so zCDA. Далее, точки подмножеств осей косоугольной системы координат определяют предельные механизмы второго вида, то есть, [2.13], укладывающиеся в линию стойки двумя способами. Далее, точке D соответствует ромб,- механизм, укладывающийся в линию стойки тремя способами. Нетрудно доказать, что все эти двенадцать подмножеств координатных углов, шесть, вообще говоря, подмножеств координатных полуосей и точка D, распадаются ещё на шесть групп, замкнутых относительно операции приведённой инверсии. Именно
3. f2(zED G) = so zKDB, f2( s о zKD В) = so zEDC, f2(s о zED C) = so z BDA, f2(s о zBDA) = z
EDG;
4. f2(zKD E) = so zBDC, f2(s о zB D C) = sozEDA, f2( s о zEDA) = so zGDB, f2(s о zGD В) = zKDE;
5. f2( z GD K) = so zKDC, f2( s о zKDС ) = so zCDA, f2( s о zC DA) = so zGDA, f2(s о z G DA) =
GDK;
6. fr (D G) = AD, fr (AD) = CD, fr ( С D) = DK, fr (D K) = DG;
7. fr (D E) = BD, fr (B D) = DE.
8. fr (t . D) = f2 (t . D ) = тЛ (неподвижная точка преобразования инверсии).
Здесь, в группах 6. и 7. AD, BD и CD - открытые отрезки, а DK, DE и DG - открытые лучи.
В работе [2.13] используется понятие шарнирного четырёхзвенника, симметричного данному относительно перпендикуляра, восстановленного из середины стойки. При этом, направление обхода цепочки не изменяется, а порядок обхода цепочки изменяется, см. рис.4а. В пространстве подвижных звеньев механизма, рис.2, этой оси симметрии соответствует плоскость с уравнением £г = 12 . Это симметрия по построению. Всюду ниже, если не оговорено противное, понятие симметрии будем использовать именно в этом смысле.
При внимательном рассмотрении перечисленных выше восьми инверсионных групп, можно заметить, что многие группы заключают в себе симметричные множества точек. И, таким образом, инверсии в этих группах проходят через симметричные четырёхзвенные механизмы. Но 3-я и 4-я группы этим свойством не обладают. Эти две группы симметричны друг другу (каждому множеству одной группы соответствует симметричное множество другой).
В плоском шарнирном четырёхзвеннике четыре вращательные кинематические пары. Угол пары - угол между звеньями пары.
Определение. Невыпуклой укладкой предельного четырёхзвенника в линию стойки называется укладка, в которой углы всех его кинематических пар равны нулю. В противном случае, укладка называется выпуклой. Основным свойством выпуклой укладки является возможность вывода предельного четырёхзвенника из этого положения в виде выпуклого четырёхугольника. Для невыпуклой укладки это сделать нельзя.
Три подвижных звена плоского четырёхшарнирника образуют две кинематические пары. Звено, общее для этих двух пар, здесь будем называть шатуном.
Допустим, имеем один из плоских шарнирных четырёхзвенников. Его можно изобразить в одном из его положений. На рис.4 это положение обозначено U. Если разобрать этот
1 В любом месте этой статьи можно перейти к размерному виду результатов обсуждения. Для этого достаточно длине стойки присвоить желаемое значение, например, 8. При этом точка Э будет иметь координаты (8,8,8); в уравнениях и неравенствах будет стоять 8 на месте 1; приведённая инверсия будет обычной инверсией и т.д.
четырёхзвенник, сняв подвижные звенья со стойки и разъединить их, получим три отдельных звена О <0 , О 0 и 0Т . Если, затем, снова соединить извлечённые звенья в четырёхзвенник так, чтобы одноимённые концы звеньев попали в одноимённые шарниры, заботясь лишь о том, чтобы новое положение звена 0 ОI не совпало с его положением в положении и механизма, получим другое положение нашего механизма. Это положение называется его возможным положением. Среди таких возможных положений есть, например, положение механизма, полученное из положения и зеркальным его отражением относительно линии стойки. На рис.4 -это положение, обозначенное L.
Определение. Плоский шарнирный четырёхзвенный механизм обладает неединственной сборкой, если его нельзя непрерывным образом перевести из положения и в положение L. В противном случае, четырёхзвенник имеет только одну сборку.
В работе [2.13] используется понятие полного цикла движения механизма. Это движение данного механизма, начинающееся и заканчивающееся в одном и том же его положении, непрерывно через все возможные его положения в рамках одной сборки. Механизмы первой инверсионной группы, и только они, за полный цикл своего движения, не могут пройти и положение L и положение и. Все остальные механизмы могут. Таким образом, все плоские шарнирные четырёхзвенники обладают единственной сборкой, за исключением механизмов 1 -й инверсионной группы (ooDKEG и soDKBC и soDGAB и soDECA), которые имеют две сборки. Для любого механизма 1-й группы однозначно определяется наименьшее из звеньев - 5. На рис.4в схематически изображена кинематическая цепочка механизма 1-й группы |Л< А< |= 5. Звенья цепочки изображены векторами в плоскости механизма так, что А < А 2 + А < А 3 = А < А 4 + . Сборку кинематической цепочки механизма 1 -й группы назовём сборкой верхнего типа,
если
{[Л^ х [АО02 - в]}■ к = С >0 (й).
В противном случае, то есть, если й< 0, это будет сборка нижнего типа.
Очевидно, не будет большим умалением общности, ограничиться рассмотрением только части 1-й группы механизмов, например, верхней сборкой. А, если нужно синтезировать механизм другой сборки, достаточно отобразить результаты зеркально относительно стойки. Это обеспечивает взаимно-однозначное соответствие внутренних точек множества замкнутых цепочек пространства подвижных звеньев и множества плоских четырёхзвенных шарнирных механизмов.
Теперь можно приступить к рассмотрению того, как вопрос определения области изменения параметров плоского шарнирного четырёхзвенника освещён в литературе по теории механизмов и машин.
Конечно, при описании синтеза механизмов, можно вообще обойти стороной вопрос определения области изменения параметров оптимизации; можно обойти его частично. Но, тем выше значение тех работ, где этот вопрос поднят до уровня классификации механизмов.
В работе [1], исходя из кинематической цепочки { а, Ь, с, й } с наименьшим звеном а, приводятся условия:
'а + Ь < с + с1 а + с < Ь + с1 а + й<с + Ь (ЛЛ а <Ь (4).
а<с У а<с1
При этом неявно, в рисунке цепочки, заложено, что наибольшее из четырёх звеньев является смежным со звеном . И, далее, в соответствии с четырьмя инверсиями исходной цепочки изображены три типа получающихся таким образом шарнирных четырёхзвенников.
Три первых неравенства (4) (три последних являются следствием трёх первых), в зависимости от выбранной инверсии определяют внутренние точки одного из четырёх множеств первой группы рис. 3. Таким образом, если читателю этой работы нужно синтезировать классический шарнирный четырёхзвенник одного из четырёх типов первой группы, в котором наименьшее звено смежно с наибольшим, у него есть возможность правильно определить область изменения параметров синтеза. Ни в синтезе классических механизмов второй группы ни в синтезе предельных механизмов формулы этой работы не помогут. Потому, что первых формул нет, а вторые имеют общий вид, не детализированный по
виду предельных механизмов. В работах [2] и [3] также приведены неравенства (4) и, таким образом, синтез механизмов ограничен классическими механизмами первой группы, при условии применения процедуры инверсии замкнутой четырёхзвенной цепочки.
В работе [4] приведена система неравенств
(£г + 1<£1 + £2 I | А-- 1 I > I А- —2 I (5)
И сказано: "При этих условиях входное звено (в наших обозначениях это £г) способно совершить полный оборот, т.е. будет кривошипом". Это действительно так, поскольку система (5) определяет в совокупности два подмножества косоугольных октантов. При £г > 1-ооБКЕО; при £г <1 - ооБКБС. Очевидно, последователь данного подхода, при оптимальном синтезе механизма, рискует, например, начав путь оптимизации с кривошипно-коромыслового механизма, закончить оный среди двухкривошипных механизмов.
В фундаментальном словаре [5] три статьи посвящены плоским шарнирным четырёхзвенникам. Двухкоромысловый механизм. Условия существования его следующие: 1)
+ {2 < {г + 1 5= —1 ( наи ме н ьш е е з в ен о) (6)
1= -¿^(наибольшее звено)
Нетрудно показать, что из системы (6) следует
1 + £г > £1 + £2 1 + —1 < —г + —2 (6.1) 1 + £2 > -(г +
Добавляя сюда очевидное неравенство, 1} >0 , получаем систему условий подмножества ооБЕСЛ. Это классические двухкоромысловые механизмы первой группы.
2)
■е2 + 1 < -¿V + г-у 5= —2(на и мен ь ш ее з в е н о) (7) 1= 1(наиболыпее звено)
Как и ранее, отсюда следует
1 + £г > £1 + £2 1 + — 1 > —г + —2 (7.1) 1 + {2 < -¿V +
Наряду с очевидным неравенством, 12 >0, это подмножество ооБОЛБ (коромыслово-кривошипные механизмы). Иными словами, если взять, например, ЛБ=0.5, СБ=БС=0.875, ЛБ=1, все условия 2) будут выполнены, но это коромыслово-кривошипный механизм. Очевидно, условие 2) нужно заменить.
Двухкривошипный механизм. Точки пространства подвижных звеньев, определяющие классические механизмы этого типа, согласно [2.13], заполняют внутреннюю область ооБКЕО, предельные механизмы этого типа определяются внутренними точками граней этого трёхгранного угла, его рёбрами и открытым отрезком ББ. Механизмы, определяемые точками этого отрезка, получаются из механизмов, определяемых точками открытого луча БЕ приведённой инверсией по смежному со старой стойкой звену. Досадная опечатка в [5] не даёт возможности ничего сказать об условиях существования классических механизмов этого типа. При рассмотрении предельных механизмов, автор сразу переходит к рёбрам трёхгранного угла. Видно, что схема в является инверсией кинематической цепочки схемы г и, следовательно, в схеме в недостаёт условия, аналогичного условию Ь >а схемы г. Схема д соответствует открытому лучу БК. Луч БО также оставлен без внимания.
Кривошипно-коромысловый механизм.
Условия существования классического типа механизмов, в наших обозначениях, имеют вид
1 + £г < + -И 2
—1 > —г (8)
.1 + -е2 > -¿V + ■е1
Это множество не совпадает ни с одним из подмножеств косоугольных октантов. Поэтому, если положить, например, ЛБ=0.9,БС=1.2, СБ=1.9, ЛБ=1, все условия статьи будут выполнены. Но это классический двухкоромысловый механизм. Эти условия, конечно, нужно
заменить. В предельных механизмах, как и ранее, сразу сделан скачок на ребро CDG, где, конечно, надо разделять случаи а < < и а > d.
В работе [6] правило Грасгофа сформулировано следующим образом: "самое короткое звено шарнирного механизма будет кривошипом, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев." Пусть это звено даже шатун двухкоромыслового механизма! Поэтому далее написано: "Из этого следует, что механизм будет двухкоромысловым, если размеры его звеньев не удовлетворяют указанному правилу; и т.д." Наверно, это пример, как не следует трактовать правило Грасгофа.
В работе [7] вопрос об определении областей изменения допустимых длин звеньев шарнирных четырёхзвенников, как параметров их оптимального синтеза, действительно поднят до уровня классификации механизмов. "Все шарнирные четырёхзвенники можно подразделить на две группы. К первой группе принадлежат те шарнирные четырёхзвенники, у которых сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше, чем сумма длин остальных двух звеньев, или обе суммы одинаковы. У шарнирных четырёхзвенников второй группы первая сумма больше второй. Если наименьшее звено шарнирного четырёхзвенника первой группы является станиной, то образуется двухкривошипный механизм; если соседнее звено наименьшего звена является станиной, то наименьшее звено является кривошипом, а ему противоположное -коромыслом и, наконец, если звено, противолежащее наименьшему звену, является станиной, то получается двухкоромысловый механизм.
Все шарнирные четырёхзвенники второй группы являются двухкоромысловыми механизмами, не имеющими кривошипов". Не всё, конечно, правильно в этой классификации плоских шарнирных четырёхзвенников, основанной на правиле Грасгофа. В той её части, которая относится к классическим механизмам всё справедливо и полностью совпадает с группами наших подмножеств косоугольных октантов. Все предельные механизмы отнесены автором к первой группе. Но предельные механизмы делятся на укладывающиеся в линию стойки одним способом и на укладывающиеся в линию стойки двумя способами. А для последних предельных механизмов ошибочными являются правила: "если соседнее звено наименьшего звена является станиной, то наименьшее звено является кривошипом, а ему противоположное - коромыслом и, наконец, если звено, противолежащее наименьшему звену, является станиной, то получается двухкоромысловый механизм".
По сути, в работе [8] та же классификация шарнирных четырёхзвенников, что и в работе [7]. Поэтому, предыдущие замечания относятся к обоим источникам. Добавим к ним замечание, что в правиле Грасгофа не фиксируется последовательность соединения звеньев в кинематическую цепь и не фигурирует понятие стойки. Следовательно, при оптимальном синтезе механизмов, с помощью классификации, основанной на одном линейном неравенстве, как не крути, не получишь ничего более, чем разбиение множества параметров оптимизации на два подмножества (т.е. две группы). Это означает, что перед исследователем, использующим при оптимальном синтезе механизма названные классификации, всегда маячит перспектива, начав поиск экстремума целевой функции в области механизмов одного типа, закончить оный среди механизмов другого типа. Перспектива для серьёзного исследователя неприемлемая.
В работах [9] и [10] приведена классификация плоских шарнирных четырёхзвенников, также основанная на правиле Грасгофа: "Применяя правило Грасгофа шарнирные четырёхзвенники разбивают на три группы: 1) механизм будет кривошипно-коромысловым, если размеры его звеньев удовлетворяют правилу Грасгофа и за стойку принято звено, расположенное рядом с самым коротким; 2) механизм будет двухкривошипным, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев и за стойку принято самое короткое его звено; 3) механизм будет двухкоромысловым, если размеры его звеньев не удовлетворяют правилу, а также в том случае, когда сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев, но самое короткое его звено является шатуном.
В предельном случае, когда неравенство Грасгофа превращается в равенство, все звенья механизма в одном из крайних положений располагаются по одной прямой. В результате появится неопределённость движения выходного звена (оно сможет двигаться либо в одном, либо в другом направлении)."
Принципиальное отличие этой классификации от предыдущих в том, что разделение на группы сделано не по отношению к неравенству Грасгофа, а по функциональным особенностям механизмов. Кроме того, в отдельную группу (четвёртую?) выделены все предельные механизмы. Безусловно, по сравнению с рассмотренными ранее классификациями шарнирных
четырёхзвенников, эта классификация - шаг вперёд. Однако, объединение в третью группу механизмов, определяемых подмножествами пяти косоугольных октантов, представляется необоснованным и чреватым упомянутой выше перспективой, неприемлемой для серьёзного исследования.
Работа [11] посвящена решению задач структурного и кинематического анализа и синтеза плоских рычажных механизмов с числом звеньев более четырёх. Поэтому понятно, что тема статьи в [11] затронута только отчасти. В то же время, при синтезе плоских рычажных механизмов, нельзя обойти стороной вопрос определения области допустимых значений "постоянных параметров кинематической схемы" проектируемого механизма. В этом аспекте, в основном, и рассмотрим здесь эту работу.
Но прежде, несколько слов о понятии другой сборки. В главе 2, стр.44, это понятие определяется иначе, чем в данной статье. На рис.2.11 показаны два варианта сборки диады -двухзвенной группы вида ВВВ (в статье рассматриваются четырёхзвенники, имеющие только такие диады). Даже, не касаясь предельных механизмов, согласно этому определению, каждый механизм, каждого из четырёх множеств второй инверсионной группы (классические двухкоромысловые механизмы), должен иметь, по меньшей мере, две сборки !?! Но и в четырёхзвенных шарнирных механизмах, действительно имеющих две сборки (четыре множества первой инверсионной группы), процедура зеркального отражения диады относительно прямой, проходящей через опорные шарниры, приводит к другой сборке только в половине случаев!
Область А существования параметров - длин звеньев проектируемого механизма непосредственно выписана в этой книге в четырёх местах (сс. 63, 68, 75, 207).
Меняя местами первое и третье неравенства, и немного переставляя члены неравенств, имеем:
' 1 + а < Ь + с ■ 1+ Ь > а + с (2.21) 11 + с > а + Ъ
Строго говоря, системе (2.21) удовлетворяют наборы ( а, Ь, с), в которых а к 0. Отсекая эти неположительные значения звена а, получаем подмножество косоугольного октанта soDKBC, внутренние точки которого определяют все возможные классические кривошипно-коромысловые механизмы.
Следующая "область А допустимых значений параметров а, Ь,с, е, /,д, X, в пределах которой существует шестизвенник в заданной сборке", после упрощения второго неравенства:
1 + а < Ь+ с 1 + Ъ > а + с
1+ с > а + Ь (2 38).
'+ 3 > Ртах 31 < Рт,„
Как и в предыдущей системе, всё здесь правильно, если не считать, что параметр свободный и место его среди семи заявленных, два из которых, е и X, почему-то выпали из системы (2.38).
Раскрывая знаки абсолютной величины во втором неравенстве (2.41), получаем две системы линейных неравенств, эквивалентные, в совокупности, исходной системе: 1 + а < Ь + с ■ 1+ Ь > а + с soDKBC (а > 0) (2.41') .1 + с > а + Ъ
(1 + а < Ь+ с
■ 1+ Ь < а + с ooDKEG (2.41'').
11+ с < а + Ь
Над областью допустимых значений (2.41) исследовались шатунные кривые шарнирного четырёхзвенника. Как видим, эта область представляет собой две непересекающиеся подобласти. (2.41') - классические кривошипно-коромысловые и (2.41'') - классические двухкривошипные механизмы. К сожалению, результаты исследования не привязаны к этим двум различным множествам механизмов, и итоговая таблица полученных шатунных кривых выглядит совсем отвлечённо.
И, наконец, на стр.207 видим "область возможных значений параметров а, Ь , с двух-кривошипного четырёхзвенника." Если двойное неравенство записать в виде двух неравенств и раскрыть знак абсолютной величины, получаем:
Г1 + а < Ъ+ с 1+ Ь < а + с 11+ с < а + Ь
(5.3)
Это косоугольный октант ooDKEG, принадлежащий 1-й инверсионной группе, над которым определены все классические двухкривошипные четырёхзвенники. На рис. 5.1 изображён такой механизм в сборке М=-1 и а < с. За полный цикл своего движения двухкривошипный шарнирный четырёхзвенник дважды проходит положения, когда шатун его параллелен стойке. Четыре угла, которые составляют при этом кривошипы относительно линии стойки, выражаются через длины звеньев. Это записывается формулами (5.6),..,(5.9). По формулам (5.11), (5.12), не смотря на очевидную опечатку в выражении аэ¡па; = ЬбIп/?; , [ =0,1, получаются четыре уравнения (5.14) с обозначениями (5.15) и (5.16), и т.д. Как и в предыдущих трёх случаях, всё правильно и безупречно. И, вот, после отбрасывания постороннего корня, остаётся решение
а = с = ^ Г Г Г1
(5.33)
С учётом обозначений (5.18), эти равенства можно записать так
а2 Ъ2 с2 Ь2
^=1,^-^=1 (5.33')
где = , = , = , = .
В трёхмерном пространстве переменных (а,Ь,с) это канонические уравнения гиперболических цилиндров (первый с осью с, второй с осью а). Одна из двух поверхностей каждого гиперболического цилиндра располагается вне прямоугольного октанта ( 0, с > 0 ). А от второй поверхности косоугольный октант (5.3) отсекает вполне определённый кусок. Для каждой точки ( рт, трщ), из прямоугольника рис. 5.4, над каждым из этих кусков, можно, например, с помощью интегрального критерия, синтезировать оптимальный двухкривошипный шарнирный четырёхзвенник. Но, если читателя, в качестве критерия оптимизации, устраивает наилучший угол передачи, то лучше, конечно, воспользоваться "Справочной картой по аналитическому синтезу двухкривошипного четырёхзвенника".
В заключении, два слова о дефекте ветвления при синтезе рычажных механизмов,
Рис. 5. Шестизвенный механизм, имеющий только одну сборку: а) приведённая схема механизма; б) функция перемещения исходного механизма (фт =4п); в) ветви функции перемещения после изменения
условий присоединения диады ВЕР
которому посвящён п. 5.5 работы [11]. Если к базовому шарнирному четырёхзвеннику присоединять последовательно двухзвенные группы вида ВВВ, не изменяющие степень свободы механизма, будем получать 6-ти, 8-ми, и т.д. - звенные механизмы. У этих многозвенных механизмов может быть неединственная сборка, возникшая вследствие условий присоединения. Это благоприобретённая неединственность сборки. В то же время, шарнирные четырёхзвенники, которые можно выделить в полученном многозвеннике, сами по себе, могут обладать не единственной сборкой. Это наследственная неединственность сборки многозвенного механизма. Поясню сказанное примерами. У шестизвенников на рис.5 и рис.6 обозначения звеньев и шарниров заимствованы у соответствующих элементов шестизвенника
3 20 14 21 15 75 3
рис.2.18 (стр.67) работы [11]. На рис. 5 (а,Ъ,с,<Л,1,в,^,Н) = (—, —, —,1,л, — ,-,—,-). Это
шестизвенник, имеющий единственную сборку. Четырёхзвенник OABC - кривошипно-
коромысловый механизм из подмножества косого координатного угла so третьей
инверсионной группы, а четырёхзвенник CDEF - классический двухкоромысловый механизм из
подмножества косоугольного октанта soDCEK второй инверсионной группы. За полный цикл
движения первого четырёхзвенника, второй также совершает полный цикл своего движения.
Условия присоединения диады специальные, поэтому свободными, для оптимального синтеза,
здесь являются параметры а,Ъ,с&Н. Если немного изменить условия присоединения, диады
DEF, шестизвенник перестаёт существовать над интервалами (щ1> ф2) и (<р3> ф4) и получает
благоприобретённую неединственность сборки. На рис.5,е , над отрезками [0, ф;], [ф2, ф3], [ф4,
фт], по две кривых у = у(ф). Одна кривая получена при сборке диады М=1, другая, - при
сборке диады М=-1, в определении работы [11]. На лицо дефект ветвления. На рис.6
(а,Ъ,сЛ1,в,/^,к) = (2.5, 2.5, 1, 1, - , 1.5, 4.8, 4.5, 3).
6
Рис. 6. Шестизвенный механизм, обладающий только наследственной неединственностью сборки Здесь четырёхзвенник OABC - механизм Галловея1 - механизм, определённый над лучом DG, одним из множеств 6-й инверсионной группы. А четырёхзвенник CDEF - классический кривошипно-коромысловый механизм, определённый над подмножеством косоугольного октанта soDKBC первой инверсионной группы. Подобно предыдущему примеру, за цикл движения первого четырёхзвенника, второй совершает полный цикл своего движения. Но шестизвенник, рис.6, имеет две сборки потому, что две сборки имеет четырёхзвенник CDEF сам по себе. Это пример наследственной неединственности сборки. Свободными для оптимального синтеза здесь являются все девять указанных выше параметров.
Если неединственность сборки благоприобретённая, устранить её, а, следовательно, и связанный с ней дефект ветвления, не составляет никакого труда. Если неединственность сборки наследственная, устранить её нельзя в принципе, за исключением редких надуманных случаев, только подтверждающих это правило. Например, заменить однокривошипный четырёхзвенник на входе синтезируемого механизма на двухкоромысловый нельзя принципиально. Но, как только мы осознаём необходимость наследственной неединственности сборки, проблема дефекта ветвления исчезает на глазах, конечно, в той её части, где дефект ветвления связан с наличием нескольких сборок у синтезируемого механизма.
Список литературы / References
1. Кожевников С.Н., Есипенко Я.И., Раскин Я.М. Механизмы. Справочное пособие. 4-е изд. М.: Машиностроение, 1976. 784 с.
2. Борисенко Л.А. Теория механизмов, машин и манипуляторов. Учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2011. 285 с.
1 Часть своего полного цикла движения этот механизм проходит, имея подвижными только два звена. Исключить эту часть можно наложением дополнительной связи. Подобно тому, как гладкое прохождение мёртвых положений предельных механизмов достигается использованием известных динамических эффектов.
3. Юдин В.А., Петрокас Л.В. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие для втузов. 2-е изд. М.: "Высш. школа", 1977. 527 с.
4. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие для вузов./ [ Коловский М.З., Евграфов А.Н., Семёнов Ю.А., Слоущ А.В.] 3-е изд. М.: издательский центр "Академия", 2008. 560 с.
5. Крайнев А.Ф. Механика машин. Фундаментальный словарь. 2-е изд. М.: Машиностроение, 2001. 904 с.
6. Заблонский К.И., Белоконев И.М., Щёкин Б.М. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие. Киев: "Высш. школа", 1989. 390 с.
7. Озол О.Г. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1984. 432 с.
8. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. 4-е изд. М.: Наука, 1988. 639 с.
9. Теория механизмов и механика машин. Учеб. для втузов. / [ Фролов К.В., Попов С.А., Мусатов А.К. и др.] 3-е изд. М.: Высш. шк., 2001. 496 с.
10. Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Издательство центр Юрайт, 2011. 351 с.
11. Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. М.: Машиностроение, 1988. 232 с.
О КЛАССИФИКАЦИЯХ ПЛОСКИХ ШАРНИРНЫХ ЧЕТЫРЁХЗВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ, ОСНОВАННЫХ НА СООТНОШЕНИИ ДЛИН ИХ ЗВЕНЬЕВ. ЧАСТЬ 2 Киселёв В.М. Email: Kiselev17139@scientifictext.ru
Киселёв Вячеслав Михайлович — кандидат технических наук, доцент, кафедра системы автоматизированного проектирования и теории механизмов и машин, Текстильная академия им. А.Н. Косыгина, г. Москва
Аннотация: целью данной статьи (часть 1 и часть 2) является сравнительный анализ классификаций плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов, основанных на правиле Грасгофа и не только таковых, и выявление формулировки, к которой все эти классификации являются той или иной степенью приближения. Эта окончательная классификация основана на правиле Грасгофа и на объединении двадцати семи множеств функционально различных механизмов в восемь инверсионно независимых групп. Она наглядна и проста в использовании и тем самым наиболее пригодна в решении задачи определения области допустимых значений параметров при оптимальном синтезе механизмов.
Ключевые слова: Правило (закон) Грасгофа, октанты косоугольной системы координат в трёхмерном пространстве, пространство подвижных звеньев, группы множеств точек пространства, замкнутые относительно операции инверсии, классификация плоских шарнирных четырёхзвенных механизмов.
ON CLASSIFICATIONS PLANE FOUR-BAR LINKAGE HINGED, BASED ON THE RATIO OF THE LENGTHS OF THEIR LINKS. PART 2
Kiselev V.M.
Kiselev Vyacheslav Mikhailovich - PhD of Technical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF COMPUTER AIDED DESIGN AND THEORY OF MECHANISMS AND MACHINES, TEXTILE ACADEMY A.N. KOSYGIN, MOSCOW
Abstract: the purpose of this article (part 1 and part 2) is a comparative analysis of the classifications of flat hinge four-link mechanisms based on the Grashof's rule and not only those, and the identification of the wording to which all these classifications are of varying degrees of approximation. This final classification is based on the Grashof's rule and on the combination of twenty-seven sets of functionally different mechanisms into eight inversionally independent groups. It is visual and easy to use, and thus is most suitable in solving the problem of determining domain of admissible values of the parameters at the optimum synthesis of mechanisms.
Keywords: Grasgofs rule (law), octants of oblique-angled coordinate system in three-dimensional space, space of movable links, groups of sets of points in space, closed with respect to inversion operation, classification ofplane hinged four-link mechanisms.
УДК 621.01
