CC BY
27
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 3 (1), с. 155-162
УДК 517.977.1
О КЛАССИФИКАЦИИ СВЯЗНЫХ КОМПОНЕНТ МНОЖЕСТВА НЕУПРАВЛЯЕМОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
© 2012 г. В.П. Савельев
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 29.09.2011
Методами качественной теории дифференциальных уравнений проводится полная классификация связных компонент множества неуправляемости нелинейного локально управляемого осциллятора, содержащих в составе своей границы одну порождающую седловую точку.
Ключевые слова: качественная теория дифференциальных уравнений, связная компонента множества неуправляемости.
В работе изучается структура границы Г области управляемости и локально управляемого
[1] нелинейного осциллятора, движение которого задано дифференциальным уравнением второго порядка
X + f (х, X) = и(ї), (1)
где кусочно-непрерывная функция и(і), со значениями в заданном отрезке [д, р], задает управляемое воздействие, а непрерывно-дифференцируемая в R2 функция f (х, X) задает неуправляемое воздействие (воздействие среды) на движение объекта. Вследствие локальной управляемости системы (1) множество управляемости и будет открытой связной областью. Множество неуправляемости N замкнуто и представляет собой, как правило, совокупность связных множеств, которые называются связным- компонентам- множества неуправляемости. В работе [1] проведена классификация связных компонент множества неуправляемости N при условии диссипативности объекта (1). В работах [2, 3] структура границы Г изучалась при более общих предположениях. Показано
[2], что кроме нескольких простых типов связных компонент множества неуправляемости (они указаны) любая связная компонента содержит в составе своей границы хотя бы одну седловую точку вместе с ее ю-сепаратрисами одной из автономных систем
х = ^ у = р - У(х y), (2)
х = ^ у = д - f(x, у\ (3)
которые будем называть соответственно р-сис-темой и д-системой. В работе [3] в предположении, что область управляемости расположена в ограниченной части фазовой плоскости, изложен алгоритм построения границы Г, из которого следует, что ее структура может быть чрез-
вычайно сложной при большом числе седловых точек систем (2) и (3). В настоящей работе предлагается метод классификации связных компонент множества неуправляемости объекта (1), содержащих в составе своей границы лишь одну седловую точку одной из систем (2), (3) вместе с ее ю-сепаратрисами (будем называть ее порождающей седловой точкой связной компоненты).
Свойство 1. Любая траектория р-системы (д-системы) либо целиком принадлежит множеству управляемости и, либо целиком принадлежит множеству неуправляемости Ы, либо существует разделяющая точка R, такая, что положительная полутраектория р-системы (д-сис-
темы) у+ (Я) (у * (Я)) принадлежит множеству Ы, а отрицательная полутраектория р-системы (д-системы) у~ (Я) (у“ (Я)) принадлежит множеству и.
Свойство 2. Вместе с точкой М, лежащей в полуплоскости О = {(х, у): у > 0} (О = {(х, у): у < < 0}) и принадлежащей границе Г, в состав границы входит целиком или частично [1]: непро-должаемая в О (О) траектория ур(М) р-системы, если точка М не является разделяющей для этой траектории; непродолжаемая в О (О ) траектория уд(М) д-системы, если точка М не является разделяющей для этой траектории; обе непродолжаемые в О (О ) положительные полутраектории у+р (М), у * (М), если точка М
является разделяющей точкой для обеих траекторий.
Свойство 3. Точки границы Г, лежащие на оси ОХ, подразделяются на 4 типа: левосторонние, правосторонние, двусторонние и несущественные [1] в зависимости от того, с какой стороны от граничной точки расположена область управляемости.
Определение 1. Пусть непродолжаемая в О+ полутраектория ур (М) имеет предельную точку на оси ОХ, являющуюся седлом р-системы. Будем называть в соответствии с [4] а-продол-
жением полутраектории ур (М) и траектории
ур(М) в О а-сепаратрису этого седла, непро-должаемую в О+. Траекторию ур(М), продолженную таким образом через седловые точки р-системы, будем называть а-непродолжаемой в О+. Если а-непродолжаемая в О траектория ур(М) имеет предельную точку С на оси ОХ, не являющуюся седлом р-системы, будем называть ее а-ограниченной, а точку С - ее конечной точкой, в противном случае траекторию ур(М) будем называть а-неограниченной.
Определение 2. Пусть непродолжаемая в О полутраектория у-р (М) имеет предельную точку на оси ОХ, являющуюся седлом р-системы. Будем называть ю-продолжением в О полутраектории у- (М) и траектории ур(М) ю-сепарат-рису этого седла, непродолжаемую в О+. Траекторию У- (М), продолженную таким образом
через седловые точки р-системы, будем называть ю-непродолжаемой в О . Если ю-непро-должаемая в О траектория ур(М) имеет предельную точку А на оси ОХ, не являющуюся седлом р-системы, будем называть ее га-ограниченной, а точку А - её начальной точкой, в противном случае траекторию ур(М) будем называть га-неограниченной.
Аналогично вводятся понятия а-непродол-жаемой, а-ограниченной, а-неограниченной, ю-непродолжаемой, ю-ограниченной, ю-неограни-ченной в О траектории д-системы, а также а-непродолжаемых, а-ограниченных, а-неограни-ченных, ю-непродолжаемых, ю-ограниченных, ю-неограниченных в О~ траекторий р-системы и д-системы.
Определение 3. Траекторию р-системы или д-системы, а-непродолжаемую и га-непродолжаемую в О (в О ), будем называть ага-непро-должаемой в О (в О ) траекторией.
Определение 4. Пусть в состав границы Г области управляемости и входит лишь конечная дуга АС аю-непродолжаемой в О или в О траектории уд(М) (ур(М)) и при этом точка А не является разделяющей для уд(М) (ур(М)). Тогда точки А и С будем называть соответственно начальной граничной точкой и конечной граничной точкой траектории уд(М) (ур(М)). Отметим, что в случае аю-непродолжаемой в О траектории уд(М) (ур(М)) начальная граничная точка А будет правосторонней (левосторонней) граничной точкой оси ОХ, а конечная граничная точка
С будет левосторонней (правосторонней) граничной точкой оси ОХ. В случае же аю-непро-должаемой в О~ траектории уд(М) (ур(М)), наоборот, точка А будет левосторонней (правосторонней) граничной точкой оси ОХ, а точка С будет правосторонней (левосторонней) граничной точкой оси ОХ.
В данной работе кроме локальной управляемости объекта (1) мы будем предполагать, что:
a) системы (2) и (3) имеют лишь простые состояния равновесия;
b) положительные полутраектории р-сис-темы и д-системы не имеют вертикальных асимптот;
c) любая а-непродолжаемая в О (в О ) полутраектория ур (М) (ур (М)) является а-огра-
ниченной, то есть имеет конечную точку («условие эффективности торможения»).
При построении границы Г связной компоненты множества неуправляемости мы часто будем использовать понятия положительного луча Г+(А) = {(х, у): х = х0, у > у0} и отрицательного луча Г~(А) = {(х, у): х = х0, у < у0}, выходящих из некоторой точки А(х0,у0). А именно, мы будем использовать их следующие очевидные свойства: если луч L (А) расположен в верхней полуплоскости О+, то все допустимые траектории объекта (1) пересекают его слева направо, если же луч Г (А) расположен в нижней полуплоскости О~, то все допустимые траектории объекта (1) пересекают его справа налево.
Лемма 1. Если в состав границы Г входит а-непродолжаемая в О (О) полутраектория
ур (М) (ур (М)), то она обязательно имеет конечную граничную точку.
Действительно, в противном случае область, расположенная справа (слева) от луча Г+(М) (Г~(М)) и слева от полутраектории ур (М) (ур (М)), будет принадлежать множеству неуправляемости N, поскольку допустимые траектории объекта (1) могут входить в эту область лишь пересекая луч Г(М) (Г~(М)), а выходить из нее - лишь пересекая полутраекторию ур (М) (ур (М)). А это означает, что с обеих сторон от полутраек-тории ур (М) (ур (М)) будет располагаться
множество неуправляемости N, то есть она не может входить в состав границы Г.
Лемма 2. Пусть в состав границы Г некоторой связной компоненты множества неуправляемости входят:
- дуга ВС аю-непродолжаемой в О траектории ур(М), где точки В и С являются соответственно ее начальной и конечной граничными точками;
Рис. 1
- дуга CD а-непродолжаемой в G~ полутраектории уp (C), где точка D является ее конечной граничной точкой.
Если точка D лежит на интервале (BC) оси OX и интервал (DC) оси OX не содержит начало координат, то точка D будет порождающей сед-ловой точкой этой связной компоненты.
Действительно, вместе с левосторонней граничной точкой D в состав границы Г может входить [1] либо а-непродолжаемая в G+ полутраектория у^ (C), либо ю-непродолжаемая в G+ полутраектория у-(D). Построим луч L+(D),
который пересечет дугу BC в некоторой точке P. Очевидно, что область, ограниченная отрезком [DP] луча L+(D) (справа от него), дугой PC траектории Yp(M) и дугой CD полутраектории уp (C) (рис. 1), принадлежит множеству неуправляемости. Это значит, что а-непродолжа-емая в G+ полутраектория у^ (D) не может входить в состав границы Г. Следовательно, в состав границы Г входит ю-непродолжаемая в G+
полутраектория у- (D) целиком или частично, которая, как и дуга CD а-непродолжаемой в G~ полутраектории уp (C), является ю-сепаратри-
сой седла D q-системы.
Замечание. Лемма остается справедливой, если вместо дуги BC аю-непродолжаемой в G+ траектории p-системы взять ©-неограниченную в G+ полутраекторию у- (C).
Лемма 3. Пусть в состав границы Г некоторой связной компоненты множества неуправляемости входят:
- дуга BC аю-непродолжаемой в G~ траектории Yq(M), где точки B и C являются соответственно ее начальной и конечной граничными точками;
- дуга CD а-непродолжаемой в G полутраектории у^ (C), где точка D является её конечной граничной точкой.
Если точка D лежит на интервале (СВ) оси ОХ и интервал (CD) оси ОХ не содержит начало координат, то точка D будет порождающей сед-ловой точкой этой связной компоненты. Доказывается так же, как лемма 2.
Замечание. Лемма остается справедливой, если вместо дуги ВС аю-непродолжаемой в О траектории д-системы взять ю-неограниченную
в полутраекторию у- (С).
Лемма 4. Пусть в состав границы Г некоторой связной компоненты множества неуправляемости входит дуга ВС аю-непродолжаемой в Є+ траектории д-системы, где точка В отрицательной полуоси ОХ и точка С положительной полуоси ОХ являются соответственно ее начальной и конечной граничными точками. Если
а-непродолжаемая в О полутраектория ур (С)
имеет конечную граничную точку D, то она может входить в состав границы Г только в том случае, если точка D расположена на интервале (ВО) оси ОХ.
Предположим, что дуга CD а-непродолжа-
емой в Є~ полутраектории ур (С) входит в состав границы Г и точка D лежит правее точки О. Построим луч Г+^), который пересечет дугу ВС в некоторой точке Р. Нетрудно видеть, что область, ограниченная дугой CD а-непродол-жаемой в О полутраектории ур (С), отрезком
[DP] луча Г+^) и дугой РС аю-непродолжа-емой в Є+ траектории д-системы (рис. 2), принадлежит множеству неуправляемости. Это противоречит тому, что а-непродолжаемая в полутраектория ур (С) входит в состав границы
Г, поскольку с обеих сторон от нее будет располагаться множество неуправляемости.
Предположим, что точка D лежит левее точки В. Построим луч Ь~(В), который пересечет дугу CD в некоторой точке F. Нетрудно видеть, что область, расположенная вне замкнутой кривой, образованной отрезком [BF] луча Ь~(В) (слева от него), дугой ВС и дугой CF а-
непродолжаемой в G полутраектории ур (С)
(рис. 2), принадлежит множеству неуправляемости. Это противоречит тому, что вся дуга СО а-непродолжаемой в G~ полутраектории ур (С)
входит в состав границы Г.
Аналогично доказывается
Лемма 5. Пусть в состав границы Г некоторой связной компоненты множества неуправляемости входит дуга ВС аю-непродолжаемой в G~ траектории р-системы, где точка В положительной полуоси ОХ и точка С отрицательной полуоси ОХ являются соответственно ее начальной и конечной граничными точками. Если а-непродолжаемая в G+ полутраектория ур (С)
имеет конечную граничную точку О, то она может входить в состав границы Г только в том случае, если точка О расположена на интервале (ОВ) оси ОХ.
В силу леммы 1 и предположения с) («условие эффективности торможения») любая связная компонента множества неуправляемости N будет иметь в пересечении с осью ОХ хотя бы один отрезок (конечный или бесконечный). Предположим, что хотя бы один такой отрезок расположен на положительной полуоси ОХ и точка В является левым концом ближайшего к началу координат такого отрезка. Это означает, что точка В является ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой, входящей в состав границы Г некоторой связной компоненты множества неуправляемости.
В окрестности левосторонней граничной точки В возможны четыре варианта [1] строения границы Г. В [1] проводится классификация возможных типов связной компоненты множества неуправляемости для одного случая, когда в состав границы Г вместе с седловой точкой В д-системы входят обе ее ю-сепарат-рисы: ю-непродолжаемая в G+ сепаратриса 51 частично или полностью и ю-непродолжаемая в СГ сепаратриса 52 частично или полностью. В остальных трех случаях набор различных типов связных компонент не будет полным.
Определение 5. Если в состав границы Г входит вся ю-непродолжаемая ю-неограничен-ная в G+ сепаратриса 5], то будем говорить, что в состав границы Г входит сепаратриса ^1(1^); если в состав границы Г входит лишь дуга RB ю-непродолжаемой в G+ сепаратрисы 5], где точка R является ее разделяющей точкой, то будем говорить, что в состав границы Г входит сепаратриса ^(^й), если в состав границы Г входит лишь дуга А\В ю-непродолжаемой в G+ сепаратрисы 5], где точка А] является ее начальной граничной точкой, расположенной на отрицательной полуоси ОХ, то будем говорить,
что в состав границы Г входит как минимум сепаратриса £1(1Е).
В случаях £^1. и £^!й) процесс построения границы Г на основе сепаратрисы £1 будет закончен. В случае £1(1Е) процесс построения границы Г на основе сепаратрисы £1 будет также закончен, если в состав границы Г вместе с начальной граничной точкой А 1 войдет а-непродолжаемая в О~ полутраектория ур (А1).
Если же в состав границы Г вместе с начальной граничной точкой А1 войдет ю-непродолжаемая в О~ полутраектория у- (А1) частично или полностью, то мы будем ее рассматривать как двукратное ю-продолжение сепаратрисы £1 и процесс построения границы Г на основе сепаратрисы £1 будет продолжен. Если в состав границы Г входит вся ю-непродолжаемая ю-неограни-ченная в О полутраектория у- (А1), то будем
говорить, что в состав границы Г входит сепаратриса £^2.). Если двукратным ю-продолже-нием сепаратрисы £1 является дуга А2А1 ю-непродолжаемой в О~ полутраектории у- (А1),
где точка А 2 является ее начальной граничной точкой, то возможны следующие два варианта, в зависимости от того, каким является интервал (А1А2) оси ОХ. Если интервал (А1А2) оси ОХ содержит в себе начало координат, то двукратное ю-продолжение сепаратрисы £1 будем называть внешним. В этом случае будем говорить, что в состав границы Г входит: как минимум £1(2Е), если двукратным ю-продолжением сепаратрисы £1 является вся дуга А2А1 полутраектории у-р (А1); £1(2Я), если двукратным ю-продолже-нием сепаратрисы £1 является лишь дуга RA1 полутраектории у-р (А1), где точка R является
разделяющей точкой. Если интервал (А 1 А 2) оси
ОХ не содержит в себе начало координат, то двукратное ю-продолжение сепаратрисы £1 будем называть внутренним. В этом случае будем говорить, что в состав границы Г входит: £1(1Е+1К), если двукратным ю-продолжением сепаратрисы £1 является лишь дуга RA1 полутраектории у- (А1); как минимум £1(1Е+1Т), если двукратным ю-продолжением сепаратрисы £1 является вся дуга А2А1 полутраектории у- (А1).
В случаях £^2.), S1(2R) и S1(1E+1R) процесс построения границы Г на основе сепаратрисы £1 будет закончен. В случаях £1(2Е) и £1(1Е+1Т) процесс построения границы Г на основе сепаратрисы £1 будет также закончен, если в состав границы Г вместе с начальной граничной точкой А 2 войдет а-непродолжаемая в О+ полутраектория ур (А2). Если же в состав границы Г
Рис. 3
вместе с начальной граничной точкой А2 войдет ю-непродолжаемая в G+ полутраектория у“ (А2)
частично или полностью, то мы будем ее рассматривать как трехкратное ю-продолжение сепаратрисы 51 и процесс построения границы Г будет продолжен и т.д. Отметим, что если на каком-то шаге ю-продолжение сепаратрисы 51 оказалось внутренним, то все дальнейшие ю-продолжения сепаратрисы 51 могут быть только внутренними. Аналогичный смысл имеют обозначения 52(1^), 52(1й), 52(1Е), а также 52(2^), 52(2й), 52(2Е), 52(1Е+17), 52(1Е+1й) и т.д.
В зависимости от того, какие ш-продолже-ния сепаратрис 51 и 52 порождающей седловой точки В д-системы входят в состав границы Г, образуется тот или иной тип связной компоненты множества неуправляемости: будем обозначать символом Кд(1Е,1Р) связную компоненту, границу которой образуют сепаратрисы 51(1^) и 52(1^); символом Кд(1й, 2й) - связную компоненту, границу которой образуют сепаратрисы 51(1й) и 52(2й); символом Кд(2Е+11,1Е) - связную компоненту, границу которой образуют сепаратрисы 51(2Е+11) и 52(1Е), и т.д.
Теорема 1. Пусть точка В положительной полуоси ОХ является единственной порождающей седловой точкой д-системы связной компоненты множества неуправляемости и ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой. Если в состав границы Г входит 52(1^), то связная компонента имеет либо тип Кд(1^,1^), либо тип Кд(2^,1^).
Действительно, ю-продолжение сепаратрисы 51 в G+ не может иметь вид 51(1й) или 51(1Е). В первом случае в состав границы Г вместе с разделяющей точкой й должна войти и непродол-жаемая в G+ полутраектория ур (й), чего быть
не может, поскольку она лежит в области, ограниченной лучом Ь+(Й) (справа от него), сепаратрисами 51(1й), 52(1^) (рис. 3) и принадлежащей множеству неуправляемости. Во втором случае вместе с начальной граничной точкой А1, лежащей на отрицательной полуоси ОХ (на по-
ложительной полуоси точка А1 не может располагаться в силу выбора точки В), в состав границы Г должна войти непродолжаемая в С полутраектория у р (А1). Однако она лежит внутри
области, ограниченной лучом Ь~(А1) (слева от него), сепаратрисами 51(1Е), 52(1^) и принадлежащей множеству неуправляемости. Таким образом, либо в состав границы Г должна войти 51(1^), и тогда связная компонента имеет тип Кд(1Г,1Р), либо сепаратриса 51 имеет двукратное ю-продолжение через точку А1, то есть в состав границы Г входит ю-непродолжа-емая в
полутраектория ур (А1) целиком или частично (рис. 3).
Предположение о том, что двукратное ю-продолжение сепаратрисы 51 имеет вид 51(2й) или 51(1Е+1й), как и в случае 51(1й), приводит к противоречию с тем, что в состав границы Г должна входить и положительная полутраекто-
рия ур (й). Это ю-продолжение не может быть внешним, то есть иметь вид 51(2Е), так как траектория р-системы ур (А1) не может пересекать
траекторию д-системы 52(1^) в С справа налево. Покажем, что если это ю-продолжение является внутренним, то есть имеет вид 51(1Е+11), то связная компонента будет иметь в составе своей границы еще одну порождающую седло-вую точку. Действительно, в этом случае в состав границы Г должна входить дуга А2А1 ю-
непродолжаемой в С полутраектории ур (А1),
где точка А2 располагается на интервале (А1О) отрицательной полуоси ОХ. Поскольку точка А2 является левосторонней граничной точкой, то связная компонента будет содержать в себе некоторый отрезок [А2О] отрицательной полуоси ОХ, так что точка О будет правосторонней граничной точкой. Вместе с точкой О в состав границы Г должна войти либо непродолжаемая в
полутраектория ур (О), либо непродолжаемая в полутраектория у“ (О) целиком или
частично. Однако первый случай приводит к противоречию, поскольку полутраектория
у р (О) будет располагаться внутри области, ограниченной лучом Ь~(О) (слева от него), отрезком [А2О], сепаратрисами 51(1Е+11), 52(1^) и принадлежащей множеству неуправляемости. Таким образом, в состав границы Г должна войти непродолжаемая в полутраектория ур (О)
целиком или частично. Покажем, что вместе с точкой О в состав границы Г должна войти и
непродолжаемая в в+ полутраектория ур (О)
целиком или частично, то есть точка О будет второй порождающей седловой точкой в соста-
8і(2Р)
Рис. 4
ве границы связной компоненты. Действительно, в противном случае в состав границы Г должна войти непродолжаемая в в+ полутраек-тория ур (О). Однако этот случай приводит к противоречию, поскольку полутраектория у р (О) не может пересечь дугу А1В сепаратрисы
51 и поэтому должна иметь конечную граничную точку Е на интервале (ОО) оси ОХ (точка Е не может располагаться на интервале (ОВ) в силу выбора точки В). Но тогда область, ограниченная лучом Ь~(Е) (слева от него), дугой ОЕ, отрезком [А2О], сепаратрисами 5\(1Е+11), 52(1^) (рис. 3), принадлежит множеству неуправляемости. Это противоречит тому, что дуга ОЕ а-непродолжаемой в в+ полутраекто-рии у р (О) входит в состав границы Г, поскольку с обеих сторон от нее располагается множество неуправляемости. Итак, предположение о том, что двукратное ю-продолжение сепаратрисы 51 имеет вид 5\(1Е+11), приводит к противоречию со статусом связной компоненты. Поэтому если сепаратриса 51 имеет двукратное ю-продолжение, то оно может иметь лишь вид 51(2^), и в этом случае связная компонента будет иметь тип Кд(2Г,1Р).
Теорема 2. Пусть точка В положительной полуоси ОХ является единственной порождающей седловой точкой д-системы связной компоненты множества неуправляемости и ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой. Если в состав границы Г входит 52(2Р), то связная компонента имеет лишь один из указанных трех типов: либо Кд(1Г, 2Р), либо Кд(2^, 2Р), либо Кд(3^, 2Г).
Итак, пусть в состав границы Г связной компоненты входит 52(2Р), то есть некоторая дуга С1В ю-непродолжаемой в С сепаратрисы 52 и ю-непродолжаемая ю-неограниченная в в+ полутраектория ур (С1) (рис. 4). Так как точка В является порождающей седловой точкой д-системы, то в состав границы Г входит также ш-непродолжаемая в в сепаратриса 51 целиком или частично.
Заметим вначале, что ю-непродолжаемая в G+ сепаратриса 5і не может пересечь ю-непро-должаемую ю-неограниченную в G+ полутраек-торию ур (С1), ибо тогда, в соответствии со
свойством 2, сепаратриса 51 не может входить в состав границы Г. Аналогично тому, как это сделано в теореме 1, показывается, что в состав границы Г не может входить ни 5^1Я), ни 5^1Е). Таким образом, или в состав границы Г входит 5^1^), и мы получим связную компоненту Кд(1Е, 2^), либо ю-непродолжаемая в G+ сепаратриса 51 имеет двукратное ю-продолжение через начальную граничную точку А1 (рис. 4). Аналогично тому, как это сделано в теореме 1, показывается, что двукратное ю-продолжение сепаратрисы 51 не может иметь вид 5^2Я) или 5^1Е+1Я), а вариант 5^1Е+1Я) влечет за собой появление второй порождающей седловой точки в составе границы Г. Значит, либо в состав границы Г должна войти 51(2^1), и тогда мы получим связную компоненту Кд(2Г, 2Р), либо сепаратриса 51 имеет двукратное ш-продолже-ние типа 5^2Е), то есть в состав границы Г входит вся дуга А2А1 ш-непродолжаемой в С~ полу-траектории у р (А1), где точка А2 располагается
на положительной полуоси ОХ. Эта точка будет правее точки С1, так как траектория р-системы не может пересекать в G” траекторию д-систе-мы справа налево. Вместе с правосторонней граничной точкой А2 в состав границы Г должна входить ш-непродолжаемая в G полутраектория у ” (А2), а не а-непродолжаемая в G+ полутраектория ур (А2), так как последняя будет
лежать внутри области, ограниченной лучом L+(A2) (справа от него), сепаратрисой 52(2Е), сепаратрисой 51(2К) (рис. 4) и принадлежащей множеству неуправляемости.
Итак, сепаратриса 51 имеет трехкратное ш-продолжение через начальную граничную точку
А2. Предположение, что полутраектория у” (А2)
имеет разделяющую точку Я, приводит к противоречию с тем, что в состав границы Г должна входить и а-непродолжаемая в G+ полутраектория ур (Я). Вариант 51(3Е) невозможен, поскольку непродолжаемая в С+ полутраектория у” (А2) не может пересечь справа налево ш-непродолжаемую ш-неограниченную в С+ полу-траекторию ур (С1).
Покажем, что трехкратное ш-продолжение типа 51(2Е+11) влечет за собой появление второй порождающей седловой точки в составе границы Г связной компоненты множества не-
управляемости. Предположим, что в состав границы Г входит дуга А3А2 ш-непродолжаемой в С полутраектории у" (А2), где точка А3 является ее начальной граничной точкой и расположена справа от точки С1 (рис. 4). Поскольку точка А 3 является правосторонней граничной точкой оси ОХ и точка С1 является правосторонней граничной точкой оси ОХ, то на интервале (СА3) существует левосторонняя граничная точка Е, такая, что отрезок [ЕА3] принадлежит связной компоненте множества неуправляемости. Так как область, ограниченная лучом Ь+(Е) (справа от него), отрезком [ЕА3] оси ОХ, сепаратрисой 51(2Е+11) и сепаратрисой 52(2Р), принадлежит множеству неуправляемости, то в состав границы Г входит ш-непродолжаемая в С+ полутраектория у" (Е) целиком или частично, а не а-непродолжаемая в С полутраектория у+р (Е). Если же предположить, что в состав границы Г входит ш-непродолжаемая в полутраектория у" (Е) целиком или частично, то это
будет означать, что в состав границы Г связной компоненты входит еще одна порождающая седловая точка. Значит, в состав границы Г входит а-непродолжаемая в полутраектория ур (Е), которая будет иметь конечную граничную точку Q либо на интервале (С1Е) оси ОХ, либо на интервале (А1О) оси ОХ. Но первый случай невозможен, поскольку область, ограниченная лучом Ь+(<0) (справа от него), дугой EQ полутраектории ур (Е), отрезком [ЕА3] оси ОХ,
сепаратрисой 51(2Е+11) и сепаратрисой 52(2Р), принадлежит множеству неуправляемости, что означает, что с обеих сторон от дуги EQ располагается множество неуправляемости. Во втором случае в силу леммы 5 вместе с точкой Q в состав границы Г может войти а-непродолжае-мая в С полутраектория ур (<0) лишь при условии, что ее конечная граничная точка будет лежать на интервале (ОВ) оси ОХ, но это противоречит выбору точки В. Значит, в состав границы Г войдет ш-непродолжаемая в С полутраектория у“ ^), а это означает, что точка Q становится второй порождающей седловой точкой. Таким образом, трехкратное ш-продолжение сепаратрисы 51, не приводящее к наличию еще одной порождающей седловой точки в составе границы Г связной компоненты, возможно только в виде 51(3^), и в этом случае мы имеем связную компоненту типа Кд(3Е, 2Р).
Теорема 2 с помощью метода полной математической индукции может быть обобщена.
Теорема 3. Пусть точка В положительной полуоси ОХ является единственной порождающей седловой точкой д-системы связной компоненты множества неуправляемости и ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой положительной полуоси ОХ. Если в состав границы Г связной компоненты входит 52(mF), т = 2, 3,..., то связная компонента имеет тип либо Кд((т - 1)^ т.?), либо Кд(тЕ, т.?), либо Кд((т + 1)^ т.?).
Также с помощью метода полной математической индукции и с использованием изложенной выше методики многократного ю-продол-жения и а-продолжения траекторий р-системы и д-системы доказываются теоремы 4 и 5, результаты которых совместно с результатами теорем 1 и 3 означают полную классификацию связных компонент множества неуправляемости с одной порождающей седловой точкой д-системы для объекта (1).
Теорема 4. Пусть точка В положительной полуоси ОХ является единственной порождающей седловой точкой д-системы связной компоненты множества неуправляемости и ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой положительной полуоси ОХ. Тогда:
- если в состав границы Г связной компоненты входит 52(1Е+пТ), п - натуральное число, то связная компонента К имеет тип Кд(2Е + (п + 1)1,
1Е+п1);
- если в состав границы Г связной компоненты входит 52(1Е+пК), п - натуральное число, то связная компонента К имеет тип Кд(2Е + (п + 1^, 1Е+иЛ).
Теорема 5. Пусть точка В положительной полуоси ОХ является единственной порождающей седловой точкой д-системы связной компоненты множества неуправляемости и ближайшей к началу координат левосторонней граничной точкой положительной полуоси ОХ. Тогда:
- если в состав границы Г связной компоненты входит 52(тЕ), т - натуральное число, то связная компонента К имеет тип Кд((т + 1)Е + + 11, тЕ);
- если в состав границы Г связной компоненты входит 52(тК), т - натуральное число, то связная компонента К имеет тип Кд((т + 1)Е + + 2R, mR);
- если в состав границы Г связной компоненты входит 52(тЕ+п1), т - натуральное число, т > 2, п - натуральное число, то связная компонента К имеет тип или Кд((т + 1)Е + (п + 1)1, тЕ + пТ), или Кд((т - 1)Е + (п - 1)1, тЕ + пТ);
- если в состав границы Г связной компоненты входит 52(тЕ+пК), т - натуральное число, т > 2, п - натуральное число, то связная компонента К имеет тип Кд((т + 1)Е + (п + 2^, тЕ + nR) или Кд((т - 1)Е + (п - 2^, тЕ + nR).
Отметим, что случай, когда точка В является ближайшей к началу координат правосторонней граничной точкой отрицательной полуоси ОХ и порождающей седловой точкой р-системы, входящей в состав границы Г некоторой связной компоненты множества неуправляемости, рассматривается аналогично с заменой траекторий и полутраекторий р-системы на траектории и полутраектории д-системы, полуплоскости С на полуплоскость , сепаратрисы 51 на сепаратрису 52 и наоборот.
Список литературы
1. Савельев В.П. Классификация связных компонент множества неуправляемости одномерного движения // Межвузовский сборник «Динамика систем». 1975. Вып. 5. С. 118-144.
2. Савельев В.П., Павлючонок З.Г. О наличии седловых точек в составе границы области управляемости нелинейного объекта второго порядка // Межвузовский сборник «Дифференциальные и интегральные уравнения». 1978. Вып. 2. С. 116-123.
3. Бутенина Н.Н., Павлючонок З.Г., Савельев В.П. Качественные методы глобального исследования областей управляемости на плоскости // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, №4. С. 555-568.
4. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов [и др.]. М.: Наука, 1986. 568 с.
ON CLASSIFICATION OF CONNECTED COMPONENTS OF AN UNCONTROLLABILITY SET IN A NONLINEAR OSCILLATOR
V.P. Savelyev
For a nonlinear locally controlled oscillator, a complete classification is carried out of connected components of an uncontrollability set with boundaries having only one generating saddle point.
Keywords: nonlinear controlled oscillator, generating saddle point.
