CC BY
380
УДК 004
О КЛАССИФИКАЦИИ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ АНАЛИЗА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Ефромеева Е.В.,
ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса»
This article investigates data modeling as the process of creating a data model by applying a data model theory and offers a list of current data model theories. The author discusses current methodologies for the design of data models and information system analysis, information protection, and information systems.
Автором статьи сделан обзор основных методов и моделей анализа информационных систем и предложена их классификация. Рассматриваются вопросы: организация и технология защиты инфор-
мации, информационные системы и технологии
Вопросу анализа существующих и проектируемых информационных систем уделяется в настоящее время большое внимание. Широко ведутся разработки на разных уровнях, начиная от отдельного технологического процесса или некоторой функции, и кончая мощными прикладными информационными системами.
В сфере создания сложных информацион-но-управляющих систем используются методы компьютерного моделирования, которые постоянно развиваются. Совершенствуются технологии компьютерного моделирования систем, появляются новые инструментальные средства моделирования, однако при этом явно наблюдается общая тенденция интегрирования средств моделирования и автоматизированного проектирования.
После анализа многочисленных описаний методов и моделей анализа информационных систем и соответствующей терминологии автором статьи были разработаны классификации, отражающие основные общепризнанные подходы к описанию различных методов и моделей анализа информационных систем.
Рассмотрим одну из предложенных классификаций, представленную в табл. 1. Прежде всего, напомним значение основных понятий и терминов, используемых в классификации.
Модель отражает некоторые интересующие исследователя свойства объекта. Модель может быть физическим объектом (макет, стенд) или спецификацией. Среди моделей-
информационные системы.
спецификаций различают функциональные, поведенческие, информационные, структурные модели (описания). Эти модели называют математическими, если они формализованы средствами аппарата и языка математики.
Математические модели могут быть геометрическими, топологическими, динамическими, логическими и т.п., если они отражают соответствующие свойства объектов. Наряду с математическими моделями при проектировании используют функциональные IDF0-модели, информационные модели в виде диаграмм сущность-отношение, геометрические модели-чертежи.
Математические модели можно также разделить на символические и численные. При использовании символических моделей оперируют не значениями величин, а их символическими обозначениями (идентификаторами). Численные модели могут быть аналитическими, т.е. их можно представить в виде явно выраженных зависимостей выходных параметров Y от параметров внутренних Х и внешних Q, или алгоритмическими, в которых связь Y, Х и Q задана неявно в виде алгоритма моделирования. Важнейший частный случай алгоритмических моделей — имитационные модели. Они отображают процессы в системе при наличии внешних воздействий на систему. Иными словами, имитационная модель — это алгоритмическая поведенческая модель.
Классификация математических моделей может быть выполнена также по ряду других
Таблица 1
Классификация методов и моделей
Уро- вень Объекты исследования Решаемые задачи Результаты Математический подход Применяемые математические модели
СИСТЕМНЫЙ Производственные предприятия, транспортные системы, вычислительные системы и сети, производственноорганизационные системы, социальные системы Общие задачи проектирования систем, машин и процессов Структурные схемы, ген. планы, схемы размещения оборудования, диаграммы потоков данных Имитационное моделирование систем массового обслуживания, марковские цепи, уравнения Колмогорова, событийный метод моделирования Модели систем массового обслуживания, сети Петри
ФУНКЦИОНАЛЬНО- ЛОГИЧЕСКИЙ Аналоговый (непрерывный) или дискретный процесс (процесс с дискретным множеством состояний) Исследование аналоговых процессов, исследование дискретных процессов Схемы устройств Аппарат передаточных функций, аппарат математической логики и конечных автоматов, метод простых итераций, метод Зейделя Автоматные модели на основе аппарата передаточных функций или конечных автоматов, синхронные и асинхронные модели
Ь Н Е со О > О К А М Устройства, приборы, узлы разной физической природы (механические, электрические, гидродинамические и т.д.) Проектирование отдельных устройств, узлов, машин и приборов Функциональные, принципиальные и кинематические схемы, сборочные чертежи Явные методы (экстраполяционные), неявные (интерполяционные) методы, методы логического моделирования Алгоритмические модели на основе компонентных и топологических уравнений, системы алгебро-дифферен-циальных уравнений
МИКРО УРОВЕНЬ Поля физических величин (жидкие среды, изгиб, теплопроводность и т.п.) Анализ прочности строительных сооружений, машиностроительных деталей, исследование процессов в жидких средах, моделирование потоков и концентраций частиц Функциональные, принципиальные и кинематические схемы Уравнения математической физики, метод конечных разностей, метод конечных элементов Дифференциальные уравнения в частных производных с краевыми условиями. ^ = Ч* + иуу - двумерное уравнение теплопроводности. и« = Ч* + «Ч + ри — телеграфное уравнение
признаков. Например, в зависимости от принадлежности к тому или иному иерархическому уровню выделяют модели уровней системного, функционально-логического, макроуровня (сосредоточенного) и микроуровня (распределенного).
Именно эта классификация заложена в первый столбец анализируемой таблицы.
По характеру используемого для описания математического аппарата различают модели лингвистические, теоретико-множественные, абстрактно-алгебраические, нечеткие, автоматные и т.п. Это описано в последних столбцах таблицы.
На системном уровне, например, преимущественно применяют модели систем
массового обслуживания и сети Петри, на функционально-логическом уровне—автоматные модели на основе аппарата передаточных функций или конечных автоматов, на макроуровне — системы алгебро-дифференциальных уравнений на микроуровые — дифференциальные уравнения в частных производных. Особое место занимают геометрические модели, используемые в системах конструирования.
Вводятся также понятия полных моделей и макромоделей, моделей статических и динамических, детерминированных и стохастических, аналоговых и дискретных, символических и численных.
Полная модель объекта в отличие от макромодели описывает не только процессы на вне-
Таблица 2
Качественные методы системного анализа
Название метода Отличительные особенности метода
Метод мозгового штурма Когнитивная генерация идей
Метод сценариев Метод подготовки и согласования взглядов на проблему и возможные пути решения в письменной форме
Метод экспертных оценок Неизвестная характеристика трактуется как случайная величина. Основная цель — прогнозирование того или иного варианта решения. Надежность получаемых оценок рассчитывается различными методами (коэффициент конкордации ш).
Метод «Дельфи» Вместо публичных дебатов — тщательно продуманная программа опросов.
Метод анализа иерархий (метод Саати) Метод направлен на выбор альтернативных вариантов решения с использованием мнения различных лиц.
Морфологические методы Систематическое нахождение всех «мыслимых» вариантов решения проблемы или реализаций сложной системы путем комбинирования выделенных элементов или их признаков.
шних выводах моделируемого объекта, но и внутренние для объекта процессы.
Статические модели описывают статические состояния, в них не присутствует время в качестве независимой переменной.
Динамические модели отражают поведение системы. В них обязательно используется время.
Стохастические и детерминированные модели различаются в зависимости от учета случайных факторов.
В аналоговых моделях фазовые переменные — непрерывные величины, в дискретных — дискретные, в частном случае дискретные модели являются логическими (булевыми), в них состояние системы и ее элементов описывается булевыми величинами.
В некоторых случаях полезно применение смешанных моделей, в которых одна часть подсистем характеризуется аналоговыми моделями, другая — логическими.
Информационные модели используют, прежде всего, при инфологическом проектировании баз данных для описания связей между единицами информации.
При создании моделей слабоструктурированных систем возникают некоторые трудности, что характерно прежде всего для системного уровня проектирования. На этом уровне значительное внимание уделяется экспертным методам. В теории систем сформулированы общие рекомендации по подбору экспертов при разработке модели, организации экспертизы, по обработке полученных результатов. В методиках IDEF выражен общий подход к построению моделей сложных слабоструктурированных систем.
Проектирование информационных систем основано на применении идей и принципов, изложенных в разных теоретических подходах.
Наиболее общим является системный подход (анализ).
Системный анализ — термин, обозначающий исследование сложной системы или систематические исследования, снабженные определенной технологией, позволяющей разбить случайный процесс на отдельные подпроцессы, выделить этапы исследования и т.д.
Выделяют также формальные и неформальные методы.
Методы описания сложных систем в ходе системного анализа классифицируются в порядке возрастания степени формализации от качественных до количественных.
С помощью качественных методов описывают организацию постановки задач, осуществляют формализацию задач. Понятие «качественные методы» включает множество альтернативных методов, опирающихся на опыт.
Количественные методы позволяют выполнить оценку и анализ вариантов (показатели эффективности, точности, корректности) при постановке задачи.
Между качественными и количественными методами есть ситуационное моделирование.
Остановимся более подробно на качественных методах системного анализа, применяемых в настоящее время при проведении системных исследований и направленных на активизацию использования опыта и интуиции специалистов (табл. 2).
Метод мозгового штурма или коллективной генерации идей (КГИ) получил развитие с начала 50-х годов прошлого века как метод систематической тренировки творческого мышления, нацеленный на открытие новых идей в достижение согласия группы людей на основе интуитивного мышления.
Обычно при проведении мозговой атаки или сессий КГИ реализуются следующие правила и принципы обсуждения:
• приветствуются любые идеи и обеспечивается свобода мышления в высказывании новых идей, какими бы сомнительными они ни показались изначально;
• не допускается критика, не объявляется ложной ни одна идея и не прекращается обсуждение ни одной из них;
• желательным является высказывание как можно большего числа идей, особенно нетривиальных;
• наиболее ценными считаются идеи, которые связаны с ранее высказанными, представляют их развитие и обобщение. Участникам сессий КГИ не разрешается зачитывать списки заранее подготовленных предложений. В то же время им заранее предоставляется некоторая предварительная информация о существе обсуждаемой проблемы. Одной из задач такой подготовки является задача преодоления стереотипов. Таким образом, сущность данного подхода состоит в обеспечении возможности достаточно свободного, но в то же время конструктивного обсуждения максимального количества идей или вариантов решения сложной системной проблемы.
Метод сценариев — это метод подготовки и согласования взглядов на проблему и рассмотрения возможных путей ее решения, представленных в письменной форме. Сценарием называется любой документ, подготовленный группой специалистов и содержащий анализ рассматриваемой проблемы, предложения по ее решению, прогнозы относительно развития системы. Первоначально предложения по подготовке подобных документов пишутся индивидуально, а затем формируется согласованный текст.
Сценарий предполагает наличие не только содержательных рассуждений, но и, как правило, результатов технико-экономического или статистического анализа с предварительными выводами, которые можно получить на их основе. Группа экспертов, подготавлива-
ющих сценарии, пользуется обычно правом получения необходимых справок от предприятий и организаций, а также консультаций всех ведущих специалистов. Сценарий является предварительной информацией, на основе которой проводится дальнейшая работа по прогнозированию развития отрасли, предприятия или перспективы различных вариантов проекта. Таким образом, метод сценариев позволяет составить обобщенное исходное представление о проблеме, а затем приступить к более формализованному описанию системы для проведения экспертного опроса и применения других методов системного анализа.
В рамках метода экспертных оценок («эксперт» — от лат. «знающий, опытный») неизвестная характеристика исследуемого явления или процесса трактуется как случайная величина, отражением закона распределения которой является индивидуальная оценка спе-циалиста-эксперта о достоверности и значимости того или иного события, высказывания, предположения. В результате опроса группы экспертов получается некоторая совокупность оценок. Если в ходе подобных оценок привлекается достаточно представительная группа квалифицированных экспертов, можно ожидать, что получаемые результаты позволят снизить первоначальную неопределенность по рассматриваемой проблеме. Другими словами, предполагается, что истинное значение исследуемой характеристики находится внутри диапазона оценок группы экспертов и что обобщенное коллективное мнение является достоверным.
Основной целью является, как правило, прогноз эффективности того или иного варианта решения сложной проблемы, научного направления, варианта построения проектируемой системы и т.д.
Решение задачи осуществляется различными методами, в которых обеспечивают оптимизацию выбора группы экспертов, способов опроса и анализа результатов опроса. Надежность получаемых групповых оценок определяется выполнением ряда требований: гладкости распределения оценок, близости оценок при использовании одинаковых подгрупп экспертов. Применяются для этой цели и математические методы. Например, при обработке материалов коллективной экспертной оценки применяются методы ранговой корреляции (для оценки степени согласованности
мнений экспертов вычисляется так называемый коэффициент конкордации).
Рассмотрим метод Дельфи. Его название связано с древнегреческим городом Дельфи, где при храме Аполлона существовал дельфийский оракул-предсказатель.
В отличие от традиционного подхода к достижению согласованности мнений специалистов путем открытой дискуссии, метод Де-льфи предполагает полный отказ от коллективных обсуждений. Это делается для того, чтобы исключить влияние таких психологических факторов, как присоединение к мнению авторитетов, следование за мнением большинства, боязнь отказа от публично выраженного мнения. Публичные дебаты в указанном методе заменены тщательно разработанной программой индивидуальных опросов. Ответы специалистов обобщаются и вместе с новой дополнительной информацией поступают в распоряжение экспертов, после чего они уточняют или изменяют свои первоначальные ответы. Такая процедура итеративно повторяется несколько раз до достижения приемлемой сходимости совокупности высказанных мнений. Существуют различные модификации метода Дельфи, например, использование в каждом туре специалистов различного профиля.
Метод анализа иерархий относится к числу наиболее эффективных методов принятия решений в сложных ситуациях и направлен на выбор альтернативных вариантов поведения с использованием мнений лиц, принимающих решения, а также специальной математической обработки этих мнений, обеспечивающей формирование глобальных приоритетов (рейтингов вариантов). Метод предложен и апробирован американским ученым Т. Саати. Данный метод может использоваться как на ранних стадиях проектирования сложных систем, вплоть до решения проблемы целеполагания, так и на завершающем этапе, когда требуется принятие окончательных решений по выбору альтернативных вариантов.
Реализация этого метода предполагает выполнение нескольких этапов исследования сложной проблемы. На первом этапе осуществляется декомпозиция проблемы в виде иерархии, в вершине которой лежит цель (фокус проблемы), на следующем нижележащем уровне определяются частные критерии или факторы, от которых зависит достижение цели, и, наконец, на самом нижнем уровне иерархии размещаются альтернативные ва-
рианты, каждый из которых может быть охарактеризован общим набором критериев, определенных на втором уровне. На следующем этапе осуществляется формирование множества сравнительных попарных суждений, обеспечивающих численные оценки превосходства одного критерия над другим в плане достижения общей цели, а также одного варианта над другим по отношению к каждому из критериев. В результате на каждом уровне формируются матрицы попарных сравнений. Наконец, на последнем этапе осуществляется синтез приоритетов, т.е. установление абсолютных рейтингов каждого из критериев второго уровня в смысле влияния на достижение цели, а затем, с учетом важности критериев, установление глобальных рейтингов каждого альтернативного варианта решения проблемы. При формировании приоритетов используются математические методы, обеспечивающие анализ степени согласованности матриц попарных сравнений, что позволяет либо продолжить анализ проблемы в случае отсутствия требуемого уровня согласованности, либо перейти к окончательному выбору вариантов.
Метод анализа иерархий представляется более универсальным, чем, например, метод Дельфи: он допускает использование как групповых сравнительных суждений лиц, принимающих решения, так и использование независимых суждений, которые затем объединяются в рамках матриц попарных сравнений. Данный метод обеспечивает структурирование проблемы участниками обсуждения непосредственно во время ее решения. При этом структуризация может уточняться в процессе анализа в интерактивном режиме так, чтобы повысить степень согласованности сравнительных суждений.
Морфологические методы базируются на идее систематического нахождения всех «мыслимых» вариантов решения проблемы или реализаций сложной системы путем комбинирования выделенных элементов или их признаков. В систематизированном виде подход был разработан и применен швейцарским астрономом Цвикки, который предложил три метода.
Первый из них — метод систематического покрытия поля — основан на выделении опорных пунктов знания в исследуемой области и заполнении поля на основе сформулированных принципов мышления.
Второй — метод отрицания и конструирования, его исходным положением являет-
Рис. 1. Развитие
ся утверждение, что на пути прогресса стоят догмы и компромиссы, которые есть смысл отрицать. Следовательно, сформулировав некоторые очевидные предположения, полезно заменить их на противоположные, а затем использовать при проведении анализа.
Наибольшее распространение получил метод морфологического ящика Цвикки. Он состоит в определении всех мыслимых параметров, от которых может зависеть решение проблемы, и представлении их в виде матриц-строк. Затем производится определение морфологического ящика-матрицы всех возможных сочетаний по одному из каждой строки. Полученные таким образом варианты могут подвергаться анализу с целью выбора наилучшего.
Используя идею морфологического анализа для моделирования информационных систем в технике, разрабатывают языки моделирования или языки проектирования, которые применяют для порождения возможных ситуаций в системе, возможных вариантов решения и т.д.
Кроме рассмотренных качественных методов системного анализа следует упомянуть метод дерева целей, метод организованных стратегий и др.
Таким образом, качественные методы и подходы системного анализа направленны в первую очередь на изыскание возможных вариантов построения системы или решения проблемы.
Количественные методы системного анализа направлены, прежде всего, на оценку этих вариантов и их окончательный выбор. Важнейшим и наиболее универсальным из
системного анализа
этих методов является метод моделирования (математического, физического, смешанного, компьютерного и т. п.). Поэтому в литературе термины «системный анализ» и «моделирование систем» часто отождествляют.
Между этими крайними классами методов имеются методы и подходы, которые направлены на то, чтобы в максимально возможной степени охватить все стадии (постановка задачи, выбор альтернативных вариантов, их исследование и количественная оценка). К ним относятся кибернетический подход, синергетический подход, различные методы ситуационного моделирования. История развития системного анализа показана на рис. 1.
На начальном этапе развития системного анализа в качестве методологии исследований использовались методы теории оптимизации и исследования операций. При этом особое внимание уделялось получению в той или иной форме соотношений, связывающих цели со средствами, т.е. показателей эффективности со структурой и параметрами объекта, который пытались отобразить в виде хорошо организованной системы. На современном этапе в дополнение к методам теории оптимизации и исследования операций большое внимание уделяется использованию неформальных, качественных методов анализа и количественных методов, основанных на реализации различных способов моделирования систем. Единой платформой для проведения системных исследований всегда являлись аналитические и статистические методы, теоретико-множественный подход и другие методы и подходы современной математики общего назначения.
Таблица 3
Классификация основных типов моделей
Исходная система Модельная система Примеры моделей Используемые методы Достоинства Недостатки
1 Ф* А Математические модели реальных систем Математические методы описания и исследования физических процессов и явлений Удобны, эффективны Не все реальные системы строго могут быть описаны
2 А Ф Логарифмиче-ская линейка, компьютер, электролитические ванны для решения уравнений в частных производных Процесс математического моделирования практически заменяется физическим Незаменим для исследова-нияразличного рода математических задач Ограничения по применению
3 Ф Ф Масштабные модели (специальные бассейны для исследования водных объектов, применение аэродинамиче-ских труб для исследования летательных аппаратов), имитационные модели Реализуют принцип геометрического подобия физических систем — подлинника и модели Воспроизводят существенные условия функционирования реальных объектов Дорогостоящие, не всегда выполнимы
4 А А Важные для прикладной математики модели Опираются на упрощения, преобразования Обеспечивают упрощенный характер исследования Существенное упрощение
* Ф — физическая, А — абстрактная система
Моделирование позволяет решить две различные задачи:
• создать модели,
• проанализировать свойства систем на основе исследования их моделей.
Если допустить существование абстрактных систем — систем, которые не имеют физических каналов связи с внешней средой, то возможны четыре основных типа моделей в зависимости от природы исходной и моделирующей системы. Они представлены в табл. 3.
Самый мощный аппарат современной математики позволяет адекватно описать поведение только относительно простых систем. При исследовании сложных систем приходится идти на существенное упрощение модели. Поэтому сейчас используются технологии имитационного моделирования. Имитационное моделирование позволяет решить главную проблему современной науки — проблему сложности («проклятие размерностей»).
Имитационное моделирование — формальное (выполненное на некотором языке) опи-
сание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействие ее отдельных элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинно-следственные связи, присущие системе и обеспечивающие статические эксперименты.
Если рассматривать любую информационную систему как некоторую специализированную вычислительную машину, то имитационная модель, реализованная на ЭВМ, относится к третьему типу моделей, представленных в табл. 3. Процесс получения имитационной можно представить в виде схемы Ф—»А => Ф ->А => Ф-»Ф.
В качестве основных этапов этого процесса можно выделить следующие действия.
I. Построение математического описания процессов и подпроцессов, протекающих в системе.
II. Построение набора алгоритмов, обеспечивающих имитацию всех процессов.
III. Реализация на ЭВМ программы имитации и статистического анализа.
Тпивье тгаюгаческие сгаяы - модели элементов шише систем
Модамв непрерьвном Бремені
Медам в декретом
Модам паратегыък
ГфОЦВССОВ
КЬмбтфоватые
медам
Дегермні
рованьв
Сішаст
Детермт
ровакньє
| Обькнове ННэЕ РУ СНомаїгар —іьвгфИборьі обслуиюатя Конвчъв автоматы
Отстали Конечно-
Спжасти
ческие
__ Верситносг
ческие IV
разноспье
ураном
Сети
Петри
Спхасппеские
нонешораэноспъе
уравнена
Боети
Агрегаты
Гибривъв
автоматы
Рис. 2. Классификация типовых математических моделей ДУ — дифференциальные уравнения
При использовании имитационного моделирования мы имеем дело с такими моделями, в рамках которых нельзя заранее вычислить или предсказать результат. Таким образом, это крайнее средство, так называемый силовой прием для решения сложной проблемы. Классификация элементов математических схем, используемых для моделирования сложных систем, приведена на рис. 2.
Для обоснования типовых математических схем элементов используется понятие общая динамическая система.
Общая динамическая система — совокупность следующих величин:
• входных воздействий на систему;
• воздействий внешней среды;
• внутренних собственных параметров системы;
• выходных реакций системы. Математические модели и численные методы должны соответствовать следующим требованиям:
• адекватности (приемлемой точности отражения через модель реальных свойств), оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности;
• точности (степени соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели);
• экономичности (вычислительной эффективности), под этим понятием подразумеваются затраты ресурсов, которые требуются для реализации модели.
Рассмотрим основные этапы метода математического моделирования.
Первый этап — создание качественной модели. На этом этапе выясняется характер законов и связей, действующих в системе. В зависимости от природы модели законы могут быть физическими, химическими, биологическими, экономическими.
Задача моделирования — выявить главные, характерные черты явления или процесса, его определяющие особенности. Применительно к исследованию физических явлений создание качественной модели — это формулировка физических закономерностей явления или процесса на основании эксперимента.
Второй этап — создание математической модели (постановка математической задачи). Если математическая модель описывается некоторыми уравнениями, то такая модель называется детерминированной. Рассмотренные в курсе методов математической физики начально-краевые задачи являются примерами детерминированных дифференциальных моделей. Если модель описывается некоторыми вероятностными законами, такая модель называется стохастической.
На этом этапе выделяют вначале существенные факторы (основной принцип: если в системе действует несколько факторов одного порядка значимости, все они должны быть учтены, или все отброшены), а затем дополнительные условия (начальные, граничные, условия сопряжения и т.д.).
Третий этап — изучение математической модели — подразумевает выполнение следующих операций:
а) математическое обоснование модели, исследование внутренней непротиворечивости модели, обоснование корректности модели; доказательство теорем существования, единственности и устойчивости решения;
б) качественное исследование модели, выяснение поведения модели в крайних и предельных ситуациях;
с) численное исследование модели: с1) разработка алгоритма; с2) разработка численных методов исследования модели. Разрабатываемые методы должны быть достаточно общими (пригодными для исследования математических моделей достаточно широкого класса) и алгоритмичными (обеспечивающими автоматизацию вычислений). Новое требование — возможность распараллеливания (использование кластерных вычислительных систем); с3) создание и реализация программы; с4) компьютерный эксперимент.
По сравнению с лабораторным экспериментом компьютерный эксперимент дешевле,
Литература
безопасней, может проводиться в тех случаях, когда лабораторный эксперимент принципиально невозможен.
На четвертом этапе — этапе получения результатов и их интерпретации — полученные данные сопоставляются с результатами качественного анализа, натурного эксперимента и данными, полученными с помощью других численных алгоритмов, происходит уточнение и модификация модели и методов ее исследования.
Пятый этап — использование полученных результатов, предсказание новых явлений и закономерностей.
Полученные результаты по обобщению и классификации основных методов и моделей анализа информационных систем могут быть использованы при подготовке специалистов по специальностям «Организация и технология защиты информации», «Информационные системы и технологии» специализации «Информационные системы и технологии в системах массовой информации», а также могут применяться на начальных этапах разработки прикладных информационных систем.
1. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.
2. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука. — М.: Мир, 1978.
3. КраснощековП.С., ПетровА.А. Принципы построения моделей.— М.: МГУ, 1983.
4. СоветовБ.Я. Моделирование систем. — М.: Высшая школа, 2001.
5. Хемди А. Таха. Введение в исследование операций. — М.: Вильямс, 2005
6. Сирота А.А. Компьютерное моделирование и оценка эффективности сложных систем. — М.: Техносила, 2006.
7. Шишкин Е.В., Шишкина Г.Е. Исследование операций: учеб. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006.
8. Дэвид М. Левин, Дэвид Стефан, Тимоти С. Кребиль, Марк Л. Беренсон. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel. — М.: Вильямс, 2004.
9. Джеффри Х. Мур, Лари Р. Уэдерфорд. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. — М.: Вильямс, 2004.
10. КонрадКарлберг. Бизнес-анализ с помощью Microsoft Excel. — М.: Вильямс, 2005.
11. Джеймс Андерсон. Дискретная математика и комбинаторика. — М.: Вильямс, 2004.
12. Самарский А.А. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1982.
