О КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЯХ ЗАМКНУТЫХ ЗУБЧАТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И ТРАНСПОРТ: ТЕОРИЯ, ТЕХНОЛОГИИ, ПРОИЗВОДСТВО

УДК 621.8 DOI: 10.46960/1816-210X_2023_3_82

О КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЯХ ЗАМКНУТЫХ ЗУБЧАТЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ

Б.Н. Акрамов ORCID: 0000-0002-0049-0463 e-mail: akramov57@bk.ru

Таджикский технический университет им. акад. М.С. Осими Душанбе, Таджикистан

И.А. Исматов

ORCID: 0000-0003-2176-6219 e-mail: ismatov.ismoiljon@mail.ru

Таджикский технический университет им. акад. М. С. Осими Душанбе, Таджикистан

Рассмотрены кинематические возможности замкнутых зубчатых дифференциалов, относящихся к группе эпициклических зубчатых механизмов. Для исследования выбраны широко применяемые и практичные схемы на основе наиболее простого планетарного механизма с варьированием только замыкающей части. Рассмотрены три возможные схемы в виде рядового зубчатого механизма. С помощью метода обращенного движения предлагается методика определения кинематических возможностей механизма замкнутого зубчатого дифференциала - получение минимального и максимального допустимых значений коэффициента передаточных отношений с учетом различных дополнительных условий. При этом учитываются ограничения на число зубьев колес для внутренних и внешних зацеплений, а также вопросы технологии сборки механизма (условие соосности, условие соседства и условие сборки). Предложен модульный принцип составления механизма из базовой (неизменяемой) части - дифференциальный механизм простейшей конструкции и сменной части - рядовой зубчатый механизм замыкающей части. Полученные на основе этого принципа схемы дифференциальных зубчатых механизмов обладают значительными преимуществами по сравнению с аналоговым сдвоенным планетарным механизмом.

Ключевые слова: зубчатый дифференциальный механизм, дифференциал, замыкающая часть, кинематические возможности механизма, метод обращенного движения, условие соосности, главное и дополнительные условия синтеза, передаточное отношение механизма.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Акрамов, Б.Н. О кинематических возможностях замкнутых зубчатых дифференциальных механизмов с цилиндрическими колесами / Б.Н. Акрамов, И. А. Исматов // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2023. № 3. С. 82-89. DOI: 10.46960/1816-210X 2023 3 82

ON KINEMATIC CAPABILITIES OF CLOSED GEAR DIFFERENTIAL MECHANISMS WITH CYLINDRICAL WHEELS

B.N. Akramov ORCID: 0000-0002-0049-0463 e-mail: akramov57@bk.ru

Tajik Technical University named after academician M.S. Osimi Dushanbe, Tajikistan

© Акрамов Б.Н., Исматов И.А., 2023

I.A. Ismatov

ORCID: 0000-0003-2176-6219 e-mail: ismatov.ismoiljon@mail.ru

Tajik Technical University named after academician M.S. Osimi Dushanbe, Tajikistan

Abstract. This article discusses the kinematic capabilities of closed gear differentials (mechanisms from the group of epicyclic gear mechanisms). The most widely used and practical schemes of the mechanism based on the simplest planetary mechanism with variation only in the closing part are studied. Three possible schemes in the form of an ordinary gear mechanism are considered as the closing part. A method for determining the kinematic capabilities of the mechanism of a closed gear differential is proposed with the help of the inverted motion method. The essence of the method is to obtain the minimum and maximum allowable values of the gear ratio factor, taking into account various additional conditions. The method takes into account restrictions on the number of gear teeth for internal and external gearing, as well as issues of mechanism assembly technology (alignment condition, neighborhood condition and assembly condition). A modular principle of composing the mechanism from the base (unchangeable) and replaceable part is proposed. The base part is a differential mechanism of the simplest design, while the replacement part is an ordinary gear mechanism of the closing part. The schemes of differential gear mechanisms obtained on the basis of this principle make it possible to obtain more advantageous schemes of the mechanism in comparison with a similar (solving the same task) double planetary mechanism.

Key words: gear differential mechanism, differential, closing part, kinematic possibilities of the mechanism, inverted motion method, coaxiality condition, main and additional synthesis conditions, gear ratio of the mechanism.

FOR CITATION: B.N. Akramov, I.A. Ismatov. On kinematic capabilities of closed gear differential mechanisms with cylindrical wheels. Transactions of NNSTU n.a. R.E. Alekseev. 2023. № 3. Рp. 82-89. DOI: 10.46960/1816-210X 2023 3 82

Введение

Зубчатые механизмы замкнутого дифференциала служат для передачи и преобразования вращательного движения. Принцип работы данных механизмов основан на создании контакта между зубьями зубчатых колес дифференциальный (31,4,11 и Н) и замыкающей (1,2,21 и 3) частей механизма (рис. 1). Отношение угловой скорости одного звена к угловой скорости другого звена в механизме называется передаточным отношением и обозначается буквой и с цифровыми индексами, соответствующими номерам рассматриваемых звеньев.

Рис. 1. Замкнутый зубчатый дифференциал Fig. 1. Closed gear differential

Передаточное отношение сложного многоступенчатого зубчатого механизма есть произведение взятых со своими знаками передаточных отношений отдельных его ступеней:

Ц = UЛ1 Ц , Ц , •••U , (1)

1и 12 2'3 3 4 (п-1)'и 4 '

Шп

В технике применяется механизм на основе дифференциала, между выходными звеньями которого установлена промежуточная зубчатая передача. Она накладывает дополнительное условие связи, и дифференциальный механизм превращается в сложный планетарный с одной степенью свободы. Такой механизм называется замкнутым дифференциальным.

На рис. 1 показана схема механизма дифференциала, у которого колеса 11 и 31 связаны промежуточной зубчатой передачей, состоящей из колес 1, 2, 21 и 3, вследствие чего угловая скорость колеса 31 зависит от угловой скорости входного колеса 1. Для определения общего передаточного отношения Иш от вала О1 к валу Он удобно мысленно расчленить два зубчатых механизма: I - замыкающий, II - дифференциал.

Метод исследования

Начнем с рассмотрения кинематики дифференциала. Для этого механизма имеем, согласно уравнению Виллиса:

Ц™ = Ш1 ~Шн (2)

Нам необходимо знать передаточное отношение и1Н = ——. Чтобы его ввести, разделим

ан

числитель и знаменатель уравнения (2) на угловую скорость Юн и получим:

ц(И) = ®н - 1 = Ц1 н -1 (3)

13 а)ъ/ соН -1 а>ъ1 соН -1 Вследствие того, что колеса 1 и 11 и колеса 3 и 31 жестко связаны друг с другом, имеем соотношения Ю1=Юг и Ю3=Ю3\ Теперь рассмотрим замыкающую часть механизма. Передаточное отношение Ц13 этого механизма равно:

Из уравнения (4) получим:

и„ = ^ (4)

соъ

со,

ю, = ——

3 ии

Подставив полученное выражение для Ю3 в уравнение (3), получим:

и(И) = иш -1 = и 13(Ц 1Н -1) (5)

1131 т1!(рни13) -1 и1 н - и 13

Из уравнения (5) определяем общее передаточное отношение Цш механизма:

иЖН? -1)

и = V = ^ (6)

1Н ггСН) ТТ и\ - и13

Передаточные отношения, стоящие в правой части уравнения (6) могут быть определены, если известны числа зубьев 21, 2г, 22, 22^3, 23' и 24 колес 1, 2, 21, 3, 31 и 4. Для них имеем:

ин = (-1)2 ^ = ^ (7)

Ц5 = (-1) ^ = - ^ (8)

^ • 24 ^

При расчете дифференциальных механизма, кроме главного условия синтеза (получение заданного движения), также должны выполняться и дополнительные условия синтеза (условия приведены в виде отвечающем технологии нарезания зубчатых колес по методу обкатки и стандартным режущим инструментом). В данном случае они имеют вид:

• 2|тЛп> 17(15) - ограничение на минимально допустимое число зубьев колес: (нарезание зубчатого колеса методом обкатки) разрешено применение только стандартных колес, чтобы условие соосности выполнялось абсолютно точно (17 - теоретическое значение, 15 - практическое значение, которое разрешено стандартом).

• ограничение на размеры (габаритные): 2шах < 150 (для колес с внутренними зубьями), Zmax < 100 (для колес с внешними зубьями);

• отсутствие интерференции зубьев для колес с внутренним зацеплением: zcн > 20, zcв > 85, Zcв - Zcн > 5 (при условии, что колеса нарезаны стандартным инструментом).

Кроме того, все эпициклические механизмы из цилиндрических колес - соосные механизмы, поэтому должно выполнятся условие соосности - ось входного звена и ось выходного звена механизма должны лежать на одной геометрической линии. В данном случае условие соосности имеем следующий вид:

+ 24 = 231 " 24 (9)

Для каждого планетарного механизма существует свой диапазон передаточных чисел. Определим его для планетарного механизма лежащего в основе нашего дифференциала.

U11H + U ^ = 1 (10)

U1И = 1 -и™ (11)

1131

^ 2 , 2 ,

u (Н) = _ 2± = _

1131 г г г

11 4 211

и, н = 1 - (- = 1 + ^ (12)

2 . 2 .

11 11

Минимальное значение числа зубьев для колеса 11: Zr=15. Максимальное значение числа зубьев для колеса 31: Zз•=150. Поэтому минимальное значение передаточного числа обращенного механизма составит:

и н = -^ = _ I50 = _10 1131 211 10

Тогда для планетарного механизма максимальное значение передаточного отношения составит:

и, = 1 - и(Н) = 1 - (-10) = 11

1 Н 131 4 7

По условию отсутствия интерференции зубьев внутреннего зацепления число зубьев колеса 4 - Z4 > 20 и для колеса 31 - Zз•> 85.

Из условия сборки получим максимально допустимое число зубьев колеса 11:

2, = 2 , - 2 • 24 = 85 - 2 • 20 = 45

1 з1 4

С учетом того что колесо 11 находится внутри колеса 31 принимаем Zr= 40. Минимальное значение передаточного отношения обращенного механизма составит:

и(щ =_ 85 =_2,125

л1 40

Тогда для планетарного механизма получим:

и11 н = 1 - и(Н1 = 1 - (-2,125) = 3,125 Для замыкающий части замкнутого зубчатого дифференциала имеем: Пг= П1; П3 = П3'

и13 = и 12 ■ и2.3 = (• (= + -

-1 21

Отсюда получим: П3 = ПтИв

Подставим это выражение в формулу Виллиса:

2 ■ 2 1 п пн

1 21 3 н

(13)

Откуда находим:

т, п 1 - пн

и (н) = 11 н

13 Пн • (и13 - 1)

п, - Пн = Пн ■ и ® • (и13 - 1)

пн =

п11

пн =■

1+ин • (и13 -1)

п11

и 13 =

1 - ^

2 1

11

Л ( 2

2 1 • 2,

V 21 1

- 1

V 21 У

Л

2 1

V 21 у

= и12 • и 1 = 36

12 213

(14)

(15)

и 12 =" = 6 21

21=12; 22=21-^2=12-6=72

и3 =-^ = 5

213 22!

22'=14; 23=22'И2'3=14-5=70 ( - > 12 72

и 21 =

(

и 1 =

1 о1

22 )

2 Л

__2

23 )

= -14 - -0.2

70

и31=и32-и21=0,2-0,167=0,0334

1 + и ® • (и13 -1) = = и 1Н

пн

1-10 (30-1) = 291 1-2,125 (0,0334-1) = 3,05 3,05 < Иш < 291

Результат исследования

Аналогично определим передаточное отношение замкнутого дифференциального зубчатого механизма для других возможных схем механизма при сохранении дифференциала и изменении замыкающей части механизма. Далее рассмотрим две схемы.

1. Схема № 1 (рис. 2).

J

л //

_Т

Рис. 2. Замкнутый зубчатый дифференциал (схема № 1) Fig. 2. Closed gear differential (scheme № 1)

Z2 - Zi - Z2' + Z3 Zi > 20, Z2 > 85

(

U13 = U12 • U 213 =

'A. z1 Zn

\

z ,

V 21 у

Z • z .

1 21

U12 = - = 3 H-I

Z1 > 20

z2 = z1 • U12 = 20 • 8 = 160

U 1 = = 1 6

213 z

21

Z2-20

Z3 = Z 1 • U 1 = 20 • 6 = 160

3 21 213

U13 = U12 • U213 = 8 • (-6) = -48

U31 = U321 • U21

U1 =-Zl = _ 2L = -0.167 321 z3 120

z 20 U, = — =-= 0.125

-2

160

U31 = U321 • U21 = (-0.167) • 0.125 = -0.0208

^ • (Un-1) = П

nъ

1 + U ® • (U13 -1) = = U1H

H

1-10 (-48-1) - 491 1-2,125 (0,0208-1) - 3,16 3,16 < U1H < 491

2. Схема № 2 (рис. 3).

/ , Ч

Рис. 3. Замкнутый зубчатый дифференциал (схема № 2) Fig. 3. Closed gear differential (scheme № 2)

(

U13 U12 ' U 23

V Z1 У

U12 =" ^ = "6 Z1

Z1 > 20 z2 = z1 - U12 = 20 • 6 = 120

z 20

U21 =—L =--= -0,167

21 z2 120

U 23 = ^ = 8 Z2 Z2-20 z3 = z2 -U23 = 20 • 6 = 160

z, 20

U32 = -2- =--= 0,125

32 z3 160

U13 = U12 • U23 = (-6) • 8 = -48

U 31 =1

U31 = U32 -U21 = 0.125 • (-0.167) = -0.0208

U31 U32 ' U 21

1 + U1? • (U13 -1) = — = U1

1-10 (-48-1) - 491 1-2,125 (0,0208-1) - 3,16 3,16 < U1H < 491

Выводы

1. Рассмотрена методика определения кинематических возможностей (допустимые пределы изменения передаточного отношения) замкнутого зубчатого дифференциала на основе метода обращенного движения и учета основного и дополнительных условий синтеза, разработанного для планетарных механизмов.

H

2. Замкнутый зубчатый дифференциал, имея более простую структурную схему по сравнению со сдвоенными планетарными механизмами, позволяет получить значительно большее передаточное отношение (для сдвоенного планетарного механизма, использованного в виде базового дифференциала, максимально допустимое значение передаточного отношения составит всего Uih = 121).

3. Комбинируя схему (модульный принцип проектирования) выбранного дифференциала основной части механизма (простейший планетарный механизм) с различными схемами замыкающей части (рядовой зубчатый механизм), можно получать модификации замкнутого зубчатого дифференциала, отличающиеся по своим кинематическим возможностям. Рассмотрено три варианта механизма замкнутого зубчатого дифференциала, отличающиеся только замыкающей частью.

Библиографический список

1. Тимофеев, Г.А. Теория машин и механизмов / Г.А. Тимофеев. - М.: Юрайт, 2013. - 351 с.

2. Фролов, К.В. Теория машин и механизмов/учебник для вузов / К.В. Фролов. - М.: Высшая школа, 2005. - 496 с.

3. Коловский, М.З. Теория механизмов и механика машин / М.З. Коловский, - М.: Академия, 2008. -560 с.

4. Матвеев, Ю.А. Теория машин и механизмов / Ю.А. Матвеев, Л.В. Матвеева. - М.: Альфа-М, 2009. - 3 20 с.

5. Иванов, М. Н. Детали машин: Учебник для машиностроительных специальностей вузов / М.Н. Иванов, В. А. Финогенов. -12-е изд. испр. - М.: Высшая школа, 2008. - 408 с.

6. Ряховский, О.А. Детали машин / О.А. Ряховский, А.В. Клыпин. - М.: Дрофа, 2002. - 288 с.

7. Детали машин и основы конструирования / Под ред. М.Н. Ерохина. - М.: Колос, 2004. - 362 с.

8. Горячева, И.Г. Механика фрикционного взаимодействия / И.Г. Горячева. - М.: Наука, 2001. - 477 с.

9. Андриенко, Л.А. Детали машин: Учебник для вузов / Л.А. Андриенко, Б.А. Байков, И.К. Ганулич и др. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 472 с.

10. Вереина, Л.И. Техническая механика / Л.И. Вереина. М.М. Краснов. - М.: Академия, 2013. - 352 с.

11. Прянин, Б.А. Бесступенчатые клиноременные и фрикционные передачи (вариаторы) / Б.А. Пря-нин, Г.А. Ревков. - М.: Машиностроение, 1980. - 360 с.

12. Миронов, К.Е. Планетарный конический вариатор // Карельский научный журнал. 2015. № 1(10). С. 183-185

13. Волков, Г.Ю. Геометрические критерии оценки долговечности фрикционных передач с самонатяжением / Г.Ю. Волков, Д.А. Курасов // Вестник КГУ. 2013. № 2. Серия технических наук. Вып. 8. С. 11-15.

14. Ряховский, О.А. Экспериментальные исследования фрикционных планетарных передач / О.А. Ря-ховский, А.Н. Воробьев // Инженерный журнал: наука и инновации. 2016. № 10. С. 1-9.

15. Сигаев, П. А. Анализ и обзор поведения фрикционного взаимодействия цилиндров в зоне силового контакта // Молодой ученый. 2018. № 29 (215). С. 35-38.

16. Бекмуродова, О.А. Особенности расчета фрикционных передач / О.А. Бекмуродова, И.Р. Замали-ева, О.Р. Каратаев // Национальная ассоциация ученых. 2015, № 15-1 (15) С. 73-74.

17. Khurmi, R.S. Machinal Design / R.S.Khurmi, J.K.Gupta. - ( S.I.Units)-Ram Nagar, New Delhi-110055, 2005 - 1054 p.

18. Shigley's Mechanical Engineering Desing. - The McGraw -Hill Companies, 2008. - 1054 p.

19.Акрамов, Б.Н. К проектированию конической фрикционной передачи с параллельными валами / Б.Н. Акрамов, И.А. Исматов, М.А. Тошев // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2023. № 1. С. 60-68. DOI: 10.46960/1816-210X_2023_1_60

Дата поступления в редакцию: 27.04.2023

Дата принятия к публикации: 25.07.2023