CC BY
8
www.volsu.ru
DOI: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.5.3
УДК 517.925.52 + 517.926 ББК 22.161.6
О ГРУБОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Владимир Шлеймович Ройтенберг
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Ярославский государственный технический университет угокепЬе^@шаЛ. ги
просп. Московский, 88, 150023 г. Ярославль, Российская Федерация
Аннотация. Рассматриваются линейные неоднородные дифференциальные уравнения «-го порядка с о-периодическими коэффициентами. Даны необходимые и достаточные условия грубости в цилиндрическом фазовом пространстве Я« х R / оZ относительно пространства всех таких систем. При « = 2 также получены необходимые и достаточные условия грубости в фазовом пространстве RP2 х R / оZ.
Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения, периодические коэффициенты, проективная плоскость, грубые уравнения, мультипликаторы.
В работе автора [3] рассматривались о-периодические линейные неоднородные дифференциальные системы «-го порядка в фазовом пространстве Rn х R / оZ и их естественные продолжения на фазовое пространство RP2 х R / оZ. Были получены необходимые и достаточные условия грубости в Rn х R / оZ относительно банахова пространства LS^ всех таких систем. В случае п = 2 были также доказаны необходимые и достаточные условия грубости в фазовом пространстве RP2 х R / оZ относительно пространства LS^.
В настоящей работе мы получим аналогичные результаты для линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
1. Обозначения и определения. Будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения «-го порядка (п > 2)
I: X« + а«_^)х(«_1) +... + а^)х' + а0^)х = /(О, (1)
где а0,а1,...,а«_1 и/- непрерывные о-периодические функции. Уравнение I естественно отождествляется с векторной функцией (а0,а15...,а«_1,/): Я ^ Я«+1, а множество LE^ всех таких уравне-^ ний с банаховым пространством непрерывных о-периодических функций Я ^ Я«+1 - с равномер-^ ной нормой 111||: = шахшах{| a0(t) |, | а^) |,...,| an_1(t) |, | /^) |}. Э От уравнения I перейдем к линейной системе
а
$ Х = Х2,...,Х«_1 = X«, Х'« =_ао(?)х1 _ .... _ а«_1(0х« + /(0. (2)
I
о Под траекториями уравнения I в Ф« := Я« х Я / юZ будем понимать траектории динами© ческой системы
Х1 = X2,..., Х'п-1 = Хп , Х'п = " а0(*) Х1 " .... " 0,-1^) Хп + /X = 1
в фазовом пространстве Фп.
Пусть X^) = X(t, I) - нормированная фундаментальная матрица уравнения I, точнее, соответствующей линейной системы (2). Как обычно, мультипликаторами уравнения называются собственные значения матрицы монодромии X (ю).
Будем рассматривать Rn как аффинную часть проективного пространства RPn. Система (2) единственным образом продолжается до динамической системы на фазовом пространстве Фп := RPп х R / юZ. Ее траектории будем называть траекториями уравнения I в Фп. «Бесконечно удаленное» множество Е := Фп \ Фп = КРп-1 х Я / юZ состоит из траекторий.
Определение 1. Уравнения I е LEЮ и I еLEn) топологически эквивалентны в Фп (в Фп), если существует гомеоморфизм h : Фп ^ Фп (И : Фп ^ Фп, Н(Е) = Е), переводящий ориентированные траектории уравнения I в Фп (в Фп) в ориентированные траектории уравнения I в Фп (в Фп).
Определение 2. Уравнение I е LEЮ называется грубым в Фп (в Фп) [относительно пространства LEЮ], если существует такая его окрестность Vв LEЮ, что I и любое уравнение I е V топологически эквивалентны в Фп (в Фп).
2. Формулировки результатов. Обозначим Е0LEЮ множество уравнений из LEn] с мультипликаторами, не лежащими на единичной окружности.
Теорема 1. 1) Уравнение I е LEЮ является грубым в Фп тогда и только тогда, когда оно принадлежит Е0LEЮ.
2) Уравнения I е LE"ю, грубые в Фп, всюду плотны в LEЮ.
Обозначим Е = ЕLEЮ множество уравнений из LEЮ, мультипликаторы которых действительны, различны и не совпадают с ±1. Выделим в Е подмножества Е+, Е-, Е+^, Ею, Е+и и Е-и, состоящие из уравнений I с мультипликаторами ц1 и ц2, для которых 0 < ц1 < 1 < ц2 (ц2 < -1 < ц1 < 0), если
I е Е+ (I е Е-), 0 < ц1 < ц2 < 1 (-1 < ц1 < ц2 < 0), если I е Е+т (I е Е-), 1 < ц1 < ц2 (ц1 < ц2 < -1), если I е Е+ (I еЕ").
пи V пи' _
Теорема 2. 1) Уравнение I е LEЮ является грубым в Ф2 тогда и только тогда, когда она принадлежит множеству Е = ЕLEЮ.
2) Динамические системы, задаваемые в Ф2 уравнениями из Е, являются системами Морса-Смейла [2]. Множества Е+, Е-, Е+, Е- , Е+ и Е- - классы топологической эквивален-
± _ L J ^ ^ п£> т^ пи пи
тности в Ф2 уравнений из Е.
Замечание. Структура фазовых портретов в Ф2 уравнений из ЕLEЮ описана в [1].
3. Грубость в Ф". Доказательство теоремы 1. Уравнения I е Е0LEЮ имеют в Ф" единственную гиперболическую периодическую траекторию, их грубость - известный факт [2].
Пусть уравнение I е LEЮ IЕ0LEЮ имеет вид (1). Сделаем в соответствующем однородном уравнении
х( п) + ап-1 ^) х(п-1) + а1 ^) х' + а0 ^) х = 0 (3)
замену у = хехреg(t), где g(t) = | sin2n (2л9 / ю) й9. Получим уравнение
у(п) + (ап-1 (*) + е dn-l (Г, е)) у(п-1) +... + (а (0 + в й (г, в)) у' + (а0 (0 + в ^е)) у = 0, (4)
где ,е),..., йп-1 (¿, в) - непрерывные функции, ю-периодические по ¿. Если х(0 - решение уравнения (3), то у(?) = х(?)ехре g (?) - решение уравнения (4) и у(к)(0) = х(к )(0), у(к )(ю) = х(к)(ю)ехре g (ю) для всех к = 0,1,...,п -1. Поэтому матрица монодромии уравнения
¿8 еLEЮ : /п) + (^(0 + ейп_1(1,е))уп-1) +... + Ц(0 + ейга,е))у' + а0(1)у = /(0
получается из матрицы монодромии уравнения I умножением на ехре g (ю): X (ю, /е) = X (ю, I )ехре g (ю). Для любой окрестности V уравнения I в LEЮ найдется такое е > 0, что при всех е е (-е", е) ¿е е V.
Поскольку все собственные значения матрицы X(ю, 1ё) получаются из собственных значений матрицы X(ю,I) умножением на ехреg(ю), а g(ю) > 0, то при достаточно малом ё, для всех в, 0 < |ё < ё, их модули отличны от единицы. Таким образом, в Vесть уравнения из , то есть
Е0ЬЕЮ всюду плотно в ЬБЮ-
Покажем, что любое уравнение I е ЬЕЮ I £0ЬЕ"" - негрубое в Ф". Уравнение из имеет
единственную гиперболическую периодическую траекторию, устойчивое инвариантное многообразие которой имеет размерность п- +1, где п- - сумма кратностей мультипликаторов с модулем меньшим единицы [2]. Но для уравнения 1Е при достаточно малых |е| числа п_ разные для положительных и отрицательных значений в. Следовательно, хотя бы одно из этих уравнений не топологически эквивалентно I и потому I - негрубое уравнение. Теорема 1 доказана.
5. Грубость в Ф2. Доказательство теоремы 2. Грубость в Ф2 уравнения I е ^ЕЮ и утверждение 2) теоремы следуют из [1].
Покажем, что уравнение I е LEЮ: х" + р(?)х' + q(t)х = /(?), грубое в Ф2, принадлежит множеству 2ЬЕЮ. Так как уравнение, грубое в Ф2, является и грубым в Ф2, то по теореме 1 I е Е0ЬЕЮ-Предположим, что I е 20ЬЕЮ I ^ЬЕЮ, и получим противоречие.
( х() х2(?) ^
Пусть X (?) = 1 2 - нормированная фундаментальная матрица уравнения I, а ц1 и -
у xl(t) х2( ) )
его мультипликаторы. Обозначим также А := (х1 (ю) + х2 (ю)) / 2, Ж(?) := det X(?) = ехр(-1 p(s)ds
Пусть сначала А2 < Ж(ю), то есть мультипликаторы комплексные: ц12 = А ± ^Ж(ю) - А . Тогда х2(ю) ^ 0. Выберем число Ы, удовлетворяющее условиям
N > 1, N > тахтахтах{| хк (?) |,| хк (?) |}, N > 100/1 х2(ю) |, (5)
0<?<1 к=1,2
а затем число 5 е (0, ю) так, чтобы
V? е [0,5] 2-1 < x1(t) < 2, | х1(?)| < Ы~2, |х2(?)| < Ы~2, 2-1 < x2(t) < 2, 2-1 < Ж(?) < 2. (6)
Рассмотрим уравнение 1Е е LEЮ: х" + р(?)х' + ) - sg(t))х = /(t), где g(?) - непрерывная ю-периодическая функция, удовлетворяющая условиям:
im р 5
g (t )dt =1 g (t)dt = 5. (7)
0 J 0
■ 5
Ю " 4 ' J0 '
Можно, например, взять g(?) = 2 - 25-115 - 2?| для t е (0,5).
Пусть х*(?,ё) и х*(?,ё) - решения соответствующего однородного уравнения х" + р(?) х' + ) - sg (?)) х = 0, удовлетворяющие начальным условиям х* (0,е) = 1, (х*)" (0,ё) = 0 и х* (0,ё) = 0, (х*)" (0,ё) = 1. Тогда х^ (?,0) =хк (?) (к = 1,2). Мультипликаторы уравнения !е при достаточно малом |ё| имеют вид
Й,2 = А(е) ± ЦЖ (а) - А2(е) = ^ Ж (а) е±'в(в),
А(е)
где A(s) = (х*(ю,е) + (х*)'t(ю,е))/2, в(е) = arcctg
VW(©) - A2(s)'
Производная ук (?) = дх*к (? ,0)/ дё (к = 1, 2) удовлетворяет уравнению в вариациях Ук + Р(?) Ук + Ч(?) Ук = g (?) хк (?) и нулевым начальным условиям: ук (0) = у'к (0) = 0. Поэтому
ю ю
Ук (ю) = - х1 (ю) | Ж-1 (?) g (?) хк (?) х2 (?) dt + х2 (ю) | Ж-1 (?) g (?) хк (?) х1 (?) d?, (8)
>2 (ю) = - X (ю){ Ж-1 (t) g (t) х22 (t) Л + х2 (ю)| Ж-1 (t) g ^) х1 (t) х2 (О Л. (9)
0 0
Из (5)-(7) получаем
Ю
| Жg (0х,2(0^ > 5/8. (10)
< 45/N2. (11)
0 <| Ж-1 (t)g^)х22 (t< 25/ N2, | Ж-1 (t)g(t)х1 (t)х2 (t
0 0
Вследствие (8)-(11) и (5)
2 | Л'(0)| = | у1(а) + >2(®)1 > I х2(а)|5/8 -105/N > 0.
Но тогда и 0'(0) Ф 0. Поэтому при достаточно малом 8 > 0 0(е) - непрерывная монотон-í ау 6о1 еоеу í а (-8,8). Из работы [1] следует, что уравнения 1е и I не могут быть топологически эквивалентными в Ф2 при всех 8 е(-8,8). Но это противоречит предположению о грубости I в Ф2, поскольку уравнение 1е можно сделать сколь угодно близким к I, выбрав в достаточно малым.
Пусть теперь Л2 = Ж(ю), то есть ц12 = Л. Если х2(ю) ф 0, то, как и выше, Л(0) ф 0. Если х2(ю) = 0, х'(ю) ф 0, то х1(ю) = х2(ю) = ц12 = Л. Из (8)-(9) получим
5
Л' (0) = - ^ х;(ю)| Ж-1(t) g (t) х22^) ^. (12)
0
Функция х2(?) не равна тождественно нулю на (0,5). Если бы это было не так, то х2(?), а потому и Ж^) обращалось бы в нуль, что невозможно. Поскольку х2^), Ж) и g(/) непрерывны, Ж) > 0, g^) > 0 при t е (0,5), то из (12) следует, что Л(0) ф 0. Так как в обоих рассмотренных случаях Л(0) ф 0, то в любой окрестности уравнения I есть как уравнения с различными действительными мультипликаторами, так и уравнения с комплексными сопряженными мультипликаторами. Как следует из [1], такое уравнение не может быть грубым в Ф2.
Осталось получить противоречие в случае, когда х[(ю) = х2(а) = 0. Из (8) следует, что
а
дх'г(а,0)/да = >2(а) = -х1(ю)|Ж)g^)х22^)Л Ф 0.
0
Поскольку х*(а,0) = х2(а) = 0, то при достаточно малых а > 0 х2(а,а) ф 0. Будем считать, что в выбрано столь малым, что 1е также грубое уравнение, топологически эквивалентное I в Ф2. Выше доказано, что в этом случае 1е не может иметь комплексных или кратных действительных мультипликаторов. Различных действительных мультипликаторов оно также не может иметь, так как в этом случае, согласно [1], оно не будет топологически эквивалентно I в Ф2. Получили противоречие. Тем самым, теорема 2 доказана.
Замечания. 1) Линейные однородные уравнения образуют линейное подпространство ^Е^, в LEЮ. Множество уравнений из 0^Епа (^Е;;), грубых в Фп (в Ф2) относительно ^Еа (^Е;;), очевидно, совпадает с Е0ЬЕЮ п °ЬЕЮ (ЕЬЕЮ п 0ЬЕ;Ю).
2) Хотя в условиях грубости не фигурирует правая часть уравнения, она начинает играть роль при изучении бифуркаций в Фп. Это видно из [3], а также из работы [2], где описаны типичные бифуркации, при которых гиперболическая периодическая траектория линейной неоднородной системы в Фп «исчезает из Фп, уходя в бесконечность».
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Палис, Дж. Геометрическая теория динамических систем. Введение : пер. с англ. / Дж. Палис, В. диМелу. - М. : Мир, 1986. - 301 с.
2. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях периодических траекторий линейных неоднородных дифференциальных систем с периодическими коэффициентами / В. Ш. Ройтенберг // Математика и естественные науки. Теория и практика : межвуз. сб. науч. тр. Вып. 11. - Ярославль : Изд. дом ЯГТУ 2016. - С. 66-71.
3. Ройтенберг, В. Ш. О структуре пространства систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / В. Ш. Ройтенберг // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. - 2017. - №> 1 (38). - С. 13-21. - DOI: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2017.1.2.
REFERENCES
1. Palis J., Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. An Introduction. Moscow, Mir Publ., 1986. 301 p. (in Russian).
2. Roitenberg V. Sh. O bifurkatsiyakh periodicheskikh traektoriy lineynykh neodnorodnykh differentsialnykh sistem s periodicheskimi koefftsientami [On Bifurcations of Periodic Orbits of Linear Non-Homogeneous Differential Systems With Periodic Coefficients]. Matematika i estestvennye nauki. Teoriya ipraktika : mezhvuz. sb. nauch. tr. Vyp. 11 [Mathematics and Natural Sciences. The Theory and Practice: Inter-university Collection of Scientific Works. Iss. 11]. Yaroslavl, YaSTU Publ., 2016, pp. 66-71.
3. Roitenberg V. Sh. O strukture prostranstva sistem lineynykh differentsialnykh uravneniy s periodicheskimi koeffitsientami [On the Structure of Space of Systems of Linear Differential Equations With Periodic Coefficients]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics]. 2017, no. 1 (38), pp. 13-21. DOI: https://doi.org/10.15688/ jvolsu1.2017.1.2.
ON THE STRUCTURAL STABILITY RELATIVE TO THE SPACE OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH PERIODIC COEFFICIENTS
Vladimir Shlejmovich Roitenberg
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Yaroslavl State Technical University vroitenberg@mail. ru
Prosp. Moskovsky, 88, 150023 Yaroslavl, Russian Federation
Abstract. Let LE^ be the Banach space of linear non-homogeneous differential equations of order n with ra-periodic coefficients. We prove the following statements. The equation
1 e LE^ is structurally stable in the phase space On := Rn x R / raZ (n > 2) if and only if its multiplicators do not belong to the unit circle. The set of all structurally stable equations is everywhere dense in LE^. The equation l e LE;; is structurally stable in the phase space
02 := RP2 x R / raZ if and only if its multiplicators are real, different and distinct from +1. We describe also the topological equivalence classis of structurally stable in O2 equations.
Key words: linear differential equations, periodic coefficients, projective plane, structurally stable equations, multiplicators.
