О графах полного разнообразия шаров Текст научной статьи по специальности «Математика»

Граф с одной точкой сочленения может рассматриваться как корневой граф с корнем в точке сочленения. Такой граф можно получить склейкой в одну вершину непомеченных корней блоков. После склейки для непомеченной вершины вводится новая метка. Снятию метки с корня соответствует операция деления соответствующей производящей функции на z, а введению метки — операция умножения производящей функции на z [4, 5]. С учётом перестановок блоков вокруг точки сочленения получим

z /R(z)z /z3 z4 z3m+1(1 + 2z)m

m(z) = m! V= m V"6 + 2(1 - z) / = m!6m(1 - z)m '

С помощью бинома Ньютона и ряда (1 — z)-m = ^ (k+m-^zk найдём

cm —mm к m) k ГТ1)

ym (Z / • ~___ / yl . I 2 z/yl -, I z

Следовательно, имеем (п,т) = п![г ^Ст^^ п 1, где [г ^ —оператор формального вычета:

n! r~-ii ^ ^ fm\ik + m , »+fc+3m-n

—!6m i=o fc=oV г/\ - - 1 _ n! m /m /n - 2— - i - 2N. y

m!6mi=0 \ i J \ m — 1

Поскольку биномиальный коэффициент обращается в ноль при m < i и n — 2m — i — 2 < < m — 1, верхний предел суммы равен r = min(m, n — 3m — 1). ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Харари Ф, Палмер Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977.

2. Bhatti A A., Nisar A., and Kanwal M. Radio number of wheel like graphs // Int. J. Graph Theory in Wireless ad hoc Networks and Sensor Networks. 2011. No. 4. P. 39-57.

3. Brankovic L., Lopez N., Miller M., and Sebe F. Triangle randomization for social network data anonymization // Ars Math. Contemporanea. 2014. V. 7. No. 2. P. 461-477.

4. Jin Y.-L. Enumeration of labelled connected graphs and Euler graphs with only one cut vertex // Yokohama Math. J. 1977. No. 45. P. 125-134.

5. Selkow SM. The enumeration of labeled graphs by number of cutpoints // Discr. Math. 1998. No. 185. P. 183-191.

УДК 519.1+519.173 DOI 10.17223/2226308X/9/43

О ГРАФАХ ПОЛНОГО РАЗНООБРАЗИЯ ШАРОВ1

А. А. Евдокимов, Е. П. Куценогая, Т. И. Федоряева

Изучается разнообразие шаров в конечных связных обыкновенных графах. Получен ряд свойств графов с полным разнообразием шаров. Как следствие, описаны кактусы с таким разнообразием шаров.

Ключевые слова: граф, метрический шар, радиус шара, число шаров, вектор разнообразия шаров.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00507.

Прикладная теория автоматов и графов

111

В случае дискретных метрических пространств шары заданного радиуса с центрами в различных вершинах не всегда различны, а могут совпадать. Данный эффект, когда шар имеет несколько центров, наблюдается в графах. О проблеме характериза-ции графов с заданным вектором числа различных шаров можно посмотреть в [1], а о связи свойств структуры шаров в графах и вложениями дискретных метрических пространств — в [2, 3]. Заметим также, что наличие в графе шаров с несколькими центрами позволяет, например, передавать управление с одного центра на другой, оставаясь при этом в зоне контроля или достижимости, определяемой шаром, в случае, например, «отказа» некоторого центра. Постановка подобных вопросов надёжности информационного взаимодействия и обмена данными в пределах заданных областей (окрестностях центров) приводит к задачам исследования взаимосвязей свойств структур или сетей с наличием в них окрестностей с «множественным центром», их числе, возможностей покрытия такими областями всего пространства и т. п. Далее связный конечный граф рассматривается как дискретное метрическое пространство с обычной метрикой пути [4]. Простейший пример графа с отмеченным эффектом даёт так называемый волан.

Определение 1 [5]. Граф Ук (и, V), изображённый на рис.1, а, называется воланом на вершинах и, V. Граф С имеет волан, если в С есть подграф Ук(и, V) и degG и = = degG V = к + 1 (рис. 1, б).

Рис. 1. Волан

Если граф С имеет волан (рис. 1, б), то все шары с различными центрами и, V Е € У (С) совпадают для любого радиуса г ^ 1 [5].

Пусть тДС) —число всех различных шаров радиуса г в метрическом пространстве конечного связного графа С.

Определение 2 [6]. Вектор т(С) = (т0(С), т1(С),... , т^(С)), где й = ^С) —диаметр графа С, называется вектором разнообразия шаров графа С.

Определение 3 [7]. Граф С обладает локальным ¿-разнообразием шаров, если |У(С)| = т0(С) = Т1(С) = ... = т4(С), 0 ^ Ь < ^С). Граф С с локальным ¿-разнообразием шаров при Ь = ^С) — 1 называется графом полного разнообразия шаров.

Таким образом, вектор разнообразия шаров графа С с полным разнообразием шаров имеет вид (|У(С)|,... , |У(С)|, 1). В настоящей работе изучаются свойства конечных связных обыкновенных (т. е. не имеющих кратных рёбер и петель) графов с полным разнообразием шаров.

Теорема 1. Пусть С — граф диаметра ^С) ^ 3 с полным разнообразием шаров. Тогда в графе С либо нет мостов, либо имеется единственный мост, один из концов которого является висячей вершиной.

Теорема 2. В классе п-вершинных графов диаметра й существует граф с полным разнообразием шаров тогда и только тогда, когда п ^ 2й > 0 или п = й +1 = 3.

Как следствие из найденных свойств получено описание графов с полным разнообразием шаров для кактусов — связных графов, в которых нет рёбер, принадлежащих более чем одному простому циклу.

Теорема 3. Цикл и звезда — все с точностью до изоморфизма кактусы с полным разнообразием шаров.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евдокимов А. А., Федоряева Т. И. О проблеме характеризации векторов разнообразия шаров // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2014. Т. 21. №1. С. 44-52.

2. Евдокимов А. А. Кодирование структурированной информации и вложения дискретных пространств // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2000. Т. 7. №4. С. 48-58.

3. Евдокимов А. А. Вложения графов в п-мерный булев куб и интервальное кодирование табло // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 17. С. 15-19.

4. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

5. Федоряева Т. И. Операции и изометрические вложения графов, связанные со свойством продолжения метрики // Дискрет. анализ и исслед. операций. 1995. Т. 2. №3. С. 49-67.

6. Федоряева Т. И. Разнообразие шаров в метрических пространствах деревьев // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2005. Т. 12. №3. С. 74-84.

7. Евдокимов А. А. Локально изометрические вложения графов и свойство продолжения метрики // Сиб. журн. исслед. операций. 1994. Т. 1. №1. С. 5-12.

УДК 519.1 Б01 10.17223/2226308Х/9/44

ОБ АТТРАКТОРАХ В КОНЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

ОРИЕНТАЦИЙ ПОЛНЫХ ГРАФОВ

А. В. Жаркова

Рассматриваются конечные динамические системы ориентаций полных графов. Состояниями системы являются все возможные ориентации данного полного графа, а эволюционная функция задаётся следующим образом: динамическим образом данного орграфа является орграф, полученный из исходного путём переориентации всех дуг, входящих в стоки, других отличий между исходным орграфом и его образом нет. Приводится критерий принадлежности состояний системы аттракторам, описывается формирование аттракторов системы, их вид, длина.

Ключевые слова: аттрактор, граф, конечная динамическая система, ориентация графа, полный граф, эволюционная функция.

Под ориентированным графом (или, для краткости, орграфом) понимается пара = (У,в), где У — конечное непустое множество (вершины орграфа), а в ^ У х У — отношение на множестве У (пара (и^) € в называется дугой орграфа с началом и и концом V). Отношение в называют отношением смежности. Неориентированным графом (или, для краткости, графом) называется пара С = (У, в), где в — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин У. Дуги неориентирован-