Научная статья на тему 'Перечисление помеченных цветочно-колёсных графов'

Перечисление помеченных цветочно-колёсных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
127
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОРНЕВОЙ ГРАФ / ГРАФ КОЛЕСО / ЦВЕТОЧНО-КОЛЁСНЫЙ ГРАФ / ROOTED GRAPH / WHEEL GRAPH / FLOWER WHEEL GRAPH

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Воблый Виталий Антониевич, Мелешко Анна Константиновна

Получена точная формула для числа помеченных цветочно-колёсных графов с заданным количеством вершин и лепестков.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Enumeration of labelled flower wheel graphs

The exact formula is obtained for the number of labelled flower wheel graphs with the given numbers of vertices and petals.

Текст научной работы на тему «Перечисление помеченных цветочно-колёсных графов»

Прикладная теория автоматов и графов

109

2. Когос К. Г., Фомичев В. М. Положительные свойства неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2012. №4(18). С. 116-121.

3. Авезова Я. Э., Фомичев В. М. Условия примитивности системы двух графов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 113-114.

УДК 519.175.3 Б01 10.17223/2226308Х/9/42

ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ПОМЕЧЕННЫХ ЦВЕТОЧНО-КОЛЁСНЫХ ГРАФОВ

В. А. Воблый, А. К. Мелешко

Получена точная формула для числа помеченных цветочно-колёсных графов с заданным количеством вершин и лепестков.

Ключевые слова: корневой граф, граф колесо, цветочно-колёсный граф.

Точкой сочленения связного графа называется его вершина, после удаления которой вместе с инцидентными ей рёбрами граф становится несвязным. Блок — это связный граф без точек сочленения, а также максимальный связный нетривиальный подграф, не имеющий точек сочленения. Корневой граф имеет одну выделенную вершину, называемую корнем. Колесо Жп — граф с п ^ 4 вершинами, который образован соединением единственной вершины со всеми вершинами (п — 1)-цикла [1, с. 63]. Граф Ж4 изоморфен полному графу К4.

Цветочно-колёсный граф с т лепестками — это связный граф с одной точкой сочленения, у которого все т блоков (лепестков) — колёса, причём вершина, являющаяся осью колеса, не может быть точкой сочленения. Цветочно-колёсные графы представляют топологию коммуникационных, компьютерных и других сложных сетей [2]. Кроме того, перечисление графов тесно связано с теорией случайных графов; рандомизация колёсных подграфов сети может использоваться для защиты данных пользователей социальных сетей [3].

Теорема 1. Число (п,т) помеченных цветочно-колесных графов с п вершинами и т лепестками при п ^ 7 и т ^ 2 равно

. п! А /т\ /п — 2т — г — 2\ •

(п'т) = тбт£(гА т- 1 )2'

где г = шт(т, п — 3т — 1).

ТО

Доказательство. Пусть Ст(-) = ^ (п, т) —, — число помеченных

п=4 п!

колёс с п вершинами, ЯЖп — число помеченных корневых колёс с п вершинами, Я(-) =

те 7'п

= Е яж -г.

п=4 п!

Так как метку для оси колеса Wn можно выбрать п способами и число циклов с п — 1 помеченными вершинами равно (п — 2)!/2, то = п(п — 2)!/2 при п ^ 5,

N^4 = 1.

Поскольку корень колеса Жп не должен быть вершиной-осью колеса, то метку для него можно выбрать п — 1 способами и при п ^ 5 имеем ЯЖп = (п — = п!/2.

Однако в случае Ж4 (полный граф) осью может быть любая вершина и ЯЖ4 = =

= 4. Поэтому имеем

74 1 те 74 75

Я(-) = - + 1 Е -п = - + , 7 ч.

() 6 2 п=5 6 2(1 — -)

110

Прикладная дискретная математика. Приложение

Граф с одной точкой сочленения может рассматриваться как корневой граф с корнем в точке сочленения. Такой граф можно получить склейкой в одну вершину непомеченных корней блоков. После склейки для непомеченной вершины вводится новая метка. Снятию метки с корня соответствует операция деления соответствующей производящей функции на z, а введению метки — операция умножения производящей функции на z [4, 5]. С учётом перестановок блоков вокруг точки сочленения получим

z /R(z)z /z3 z4 z3m+1(1 + 2z)m

m(z) = m! V= m V"6 + 2(1 - z) / = m!6m(1 - z)m '

С помощью бинома Ньютона и ряда (1 — z)-m = ^ (k+m-^zk найдём

cm —mm к m) k ГТ1)

ym (Z / • ~___ / yl . I 2 z/yl -, I z

Следовательно, имеем (п,т) = п![г ^Ст^^ п 1, где [г ^ —оператор формального вычета:

n! r~-ii ^ ^ fm\ik + m , »+fc+3m-n

—!6m i=o fc=oV г/\ - - 1 _ n! m /m /n - 2— - i - 2N. y

m!6mi=0 \ i J \ m — 1

Поскольку биномиальный коэффициент обращается в ноль при m < i и n — 2m — i — 2 < < m — 1, верхний предел суммы равен r = min(m, n — 3m — 1). ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Харари Ф, Палмер Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977.

2. Bhatti A A., Nisar A., and Kanwal M. Radio number of wheel like graphs // Int. J. Graph Theory in Wireless ad hoc Networks and Sensor Networks. 2011. No. 4. P. 39-57.

3. Brankovic L., Lopez N., Miller M., and Sebe F. Triangle randomization for social network data anonymization // Ars Math. Contemporanea. 2014. V. 7. No. 2. P. 461-477.

4. Jin Y.-L. Enumeration of labelled connected graphs and Euler graphs with only one cut vertex // Yokohama Math. J. 1977. No. 45. P. 125-134.

5. Selkow SM. The enumeration of labeled graphs by number of cutpoints // Discr. Math. 1998. No. 185. P. 183-191.

УДК 519.1+519.173 DOI 10.17223/2226308X/9/43

О ГРАФАХ ПОЛНОГО РАЗНООБРАЗИЯ ШАРОВ1

А. А. Евдокимов, Е. П. Куценогая, Т. И. Федоряева

Изучается разнообразие шаров в конечных связных обыкновенных графах. Получен ряд свойств графов с полным разнообразием шаров. Как следствие, описаны кактусы с таким разнообразием шаров.

Ключевые слова: граф, метрический шар, радиус шара, число шаров, вектор разнообразия шаров.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00507.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.