CC BY
26
Прикладная теория автоматов и графов
109
2. Когос К. Г., Фомичев В. М. Положительные свойства неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2012. №4(18). С. 116-121.
3. Авезова Я. Э., Фомичев В. М. Условия примитивности системы двух графов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 113-114.
УДК 519.175.3 Б01 10.17223/2226308Х/9/42
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ПОМЕЧЕННЫХ ЦВЕТОЧНО-КОЛЁСНЫХ ГРАФОВ
В. А. Воблый, А. К. Мелешко
Получена точная формула для числа помеченных цветочно-колёсных графов с заданным количеством вершин и лепестков.
Ключевые слова: корневой граф, граф колесо, цветочно-колёсный граф.
Точкой сочленения связного графа называется его вершина, после удаления которой вместе с инцидентными ей рёбрами граф становится несвязным. Блок — это связный граф без точек сочленения, а также максимальный связный нетривиальный подграф, не имеющий точек сочленения. Корневой граф имеет одну выделенную вершину, называемую корнем. Колесо Жп — граф с п ^ 4 вершинами, который образован соединением единственной вершины со всеми вершинами (п — 1)-цикла [1, с. 63]. Граф Ж4 изоморфен полному графу К4.
Цветочно-колёсный граф с т лепестками — это связный граф с одной точкой сочленения, у которого все т блоков (лепестков) — колёса, причём вершина, являющаяся осью колеса, не может быть точкой сочленения. Цветочно-колёсные графы представляют топологию коммуникационных, компьютерных и других сложных сетей [2]. Кроме того, перечисление графов тесно связано с теорией случайных графов; рандомизация колёсных подграфов сети может использоваться для защиты данных пользователей социальных сетей [3].
Теорема 1. Число (п,т) помеченных цветочно-колесных графов с п вершинами и т лепестками при п ^ 7 и т ^ 2 равно
. п! А /т\ /п — 2т — г — 2\ •
(п'т) = тбт£(гА т- 1 )2'
где г = шт(т, п — 3т — 1).
ТО
Доказательство. Пусть Ст(-) = ^ (п, т) —, — число помеченных
п=4 п!
колёс с п вершинами, ЯЖп — число помеченных корневых колёс с п вершинами, Я(-) =
те 7'п
= Е яж -г.
п=4 п!
Так как метку для оси колеса Wn можно выбрать п способами и число циклов с п — 1 помеченными вершинами равно (п — 2)!/2, то = п(п — 2)!/2 при п ^ 5,
N^4 = 1.
Поскольку корень колеса Жп не должен быть вершиной-осью колеса, то метку для него можно выбрать п — 1 способами и при п ^ 5 имеем ЯЖп = (п — = п!/2.
Однако в случае Ж4 (полный граф) осью может быть любая вершина и ЯЖ4 = =
= 4. Поэтому имеем
74 1 те 74 75
Я(-) = - + 1 Е -п = - + , 7 ч.
() 6 2 п=5 6 2(1 — -)
110
Прикладная дискретная математика. Приложение
Граф с одной точкой сочленения может рассматриваться как корневой граф с корнем в точке сочленения. Такой граф можно получить склейкой в одну вершину непомеченных корней блоков. После склейки для непомеченной вершины вводится новая метка. Снятию метки с корня соответствует операция деления соответствующей производящей функции на z, а введению метки — операция умножения производящей функции на z [4, 5]. С учётом перестановок блоков вокруг точки сочленения получим
z /R(z)z /z3 z4 z3m+1(1 + 2z)m
m(z) = m! V= m V"6 + 2(1 - z) / = m!6m(1 - z)m '
С помощью бинома Ньютона и ряда (1 — z)-m = ^ (k+m-^zk найдём
cm —mm к m) k ГТ1)
ym (Z / • ~___ / yl . I 2 z/yl -, I z
Следовательно, имеем (п,т) = п