О разнообразии шаров графа заданного диаметра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная теория кодирования, автоматов и графов

127

ЛИТЕРАТУРА

1. Sperner E. Ein Satz uber Untermengen einer endlichen Menge // Math. Zeitschrift. 1928. B. 27. No. 1. S. 544-548.

2. Богомолов А. Д., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.

3. Салий В. Н. Шпернерово свойство для многоугольных графов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 135-137.

4. Новокшонова Е. Н. Шпернерово свойство для линейных графов // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. Саратов: Издат. Центр «Наука», 2014. С. 230-231.

5. Atkinson M. D. and Ng D. T. N. On the width of an orientation of a tree // Order. 1988. V. 5. No. 1. P. 33-43.

6. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.

УДК 519.1+519.173 DOI 10.17223/2226308X/8/48

О РАЗНООБРАЗИИ ШАРОВ ГРАФА ЗАДАННОГО ДИАМЕТРА1

Т. И. Федоряева

Изучаются векторы разнообразия шаров (i-я компонента вектора равна числу различных шаров радиуса i) для обыкновенных связных графов в асимптотике. Исследовано асимптотическое поведение числа графов с разнообразием шаров специального вида, в частности с локальным (полным) разнообразием шаров. Для типичного графа заданного диаметра получено описание строения разнообразия шаров больших радиусов.

Ключевые слова: граф, шар, радиус шара, вектор разнообразия шаров.

В работе изучается разнообразие шаров обыкновенного связного графа в асимптотике. Пусть Ti(G) — число всех различных шаров радиуса i в метрическом пространстве графа G с обычным расстоянием между вершинами, т. е. длиной кратчайшей цепи, соединяющей эти вершины.

Определение 1 [1]. Вектор т(G) = (t0(G), ti(G),..., Td(G)), где d = d(G) — диаметр графа G, называется вектором разнообразия шаров графа G.

Например, вектор разнообразия шаров простой цепи длины d, как показано в [1], равен А^ = (ДО, А?,..., А?), где

( d + 1, если 0 ^ i ^ |_d/2j ,

А? = <j 2(d - i) + 1, если [d/2j < i < d, У 1, если i ^ d.

Определение 2 [2]. Граф G обладает локальным t-разнообразием шаров, если |V(G)| = t0(G) = Ti(G) = ... = Tt(G), 0 ^ t < d(G). Граф G с локальным t-разнообра-зием шаров при t = d(G) — 1 называется графом полного разнообразия шаров.

Таким образом, вектор разнообразия шаров графа G с полным разнообразием шаров имеет вид (|V(G)|,..., |V(G)|, 1). В [1] показано, что класс деревьев с полным разнообразием шаров является бедным, так как состоит лишь из звезды K1/n, и получена

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00507.

128

Прикладная дискретная математика. Приложение

характеризация деревьев с локальным разнообразием шаров. Наименьший порядок графов диаметра d с локальным ¿-разнообразием шаров (полным разнообразием шаров) найден в [3], а в [4] все такие графы наименьшего порядка явно описаны с точностью до изоморфизма и вычислены их векторы разнообразия шаров. В [3] установлены все возможные значения параметров n, d и t, при которых существует n-вершинный граф диаметра d с полным разнообразием шаров (локальным ¿-разнообразием шаров). В [5] изучен вопрос единственности n-вершинного графа диаметра d с полным разнообразием шаров. Только при n = 2d > 6 или d ^ 1 существует единственный такой граф — 2d-вершинный цикл при d > 3 и полный граф Kn при d ^ 1.

В настоящей работе исследуется асимптотическое поведение числа графов с локальным (полным) разнообразием шаров и строение вектора разнообразия шаров графа заданного диаметра. Хорошо известен следующий результат.

Теорема 1 [6]. Почти все графы являются графами диаметра 2.

Более того, справедлива следующая

Теорема 2 [2]. Почти все графы являются графами диаметра 2 с полным разнообразием шаров.

Непосредственно из теорем 1 и 2 вытекает

Теорема 3. Граф диаметра 2 является графом полного разнообразия шаров. Основным результатом работы является следующая

Теорема 4. Пусть d ^ 3. Тогда в графе диаметра d число различных шаров радиуса i равно Ad для всех i ^ d/2.

Следствие 1. Пусть d ^ 3 и t ^ d/2. Тогда граф диаметра d не обладает локальным ¿-разнообразием шаров и, в частности, не является графом полного разнообразия шаров.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоряева Т. И. Разнообразие шаров в метрических пространствах деревьев // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2005. Т. 12. №3. С. 74-84.

2. Евдокимов А. А. Локально изометрические вложения графов и свойство продолжения метрики // Сиб. журн. исслед. операций. 1994. Т. 1. №1. С. 5-12.

3. Федоряева Т. И. Векторы разнообразия шаров для графов и оценки их компонент // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2007. Т. 14. №2. С. 47-67.

4. Федоряева Т. И. О графах с заданными диаметром, числом вершин и локальным разнообразием шаров // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2010. Т. 17. №1. С. 65-74.

5. Федоряева Т. И. Мажоранты и миноранты класса графов с фиксированными диаметром и числом вершин // Дискрет. анализ и исслед. операций. 2013. Т. 20. №1. С. 58-76.

6. Bollabas B. Graph Theory. Springer Verlag, 1979.