CC BY
4
5. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве //Тр. геом. семинара /ВИНИТИ. М., 1973. Т.5. С.169-193.
6. Андреев Б.А. О распределении линейных элементов, порожденных отображением f: Pm ^-An (m>n) //Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1979. Вып. 10. С.5-9.
7. Андреев Б.А. Структуры теории точечных соответствий в геометрии гиперполос //Там же, 1996. Вып.27. С. 9-16.
B. A. A n d г e e v
CHARACTERISTIC DIRECTIONS AND PRINCIPAL OF A HYPERSTIP DISTRIBUTIONS
It is shown that a regular hyperstrip distribution in the n-dimensional projective-affine space generates some families of point maps of projective-affine spaces. This fact leads to the appearance of structures of the theory of point correspondences in the geometry of hyperstrip distributions. In particular, a number of new notions and geometric images are introduced, which generalize characteristic directions and principal points of point correspondences. Some theorems are proved, which demonstrate a geometric interpretation of the introduced notions and relations between them.
УДК 514.763.8
О ГОЛОМОРФНОЙ БИСЕКЦИОННОЙ КРИВИЗНЕ 6 - МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБРЫ КЭЛИ
М. Б. Б а н а р у
(Смоленский государственный педагогический институт)
Голоморфная бисекционная кривизна является одной из важнейших характеристик почти эрмитова многообразия, поскольку она во многом определяет не только его геометрию, но и топологию. Напомним, что понятие голоморфной бисекционной кривизны многообразия ввели С.Гольдберг и Ш.Кобаяси [1], а
под почти эрмитовым понимают многообразие M2n, наделенное почти ком-
U U Т U U / \
плексной структурой J и римановой метрикой g = (у у, при выполнении условия
(JX, JY) = (X, Y, X,Ye (M2n). Если при этом еще выполняется условие
[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]=0, то многообразие называют эрмитовым.
Согласно определению, голоморфная бисекционная кривизна в направлении бивектора ХлУ вычисляется так: Б8ХлУ =Я(Х,1Х,У,1У), где ||Х|| = ||У|| = 1. Воспользуемся значениями спектра тензора римановой кривизны (тензора Римана-Кристофеля) 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли [2]:
К аЬса =К аЬса =К аВса =0' К аЬса =- 2 Тае ТЬа , (1)
где Тф - компоненты конфигурационного тензора. Здесь а,Ь,с,а=1,2,3; а =а+3; ф =7,8.
^лгЬ
^лгЬ
Итак, Б8Хлу=КаЬсаХс1ХиУъ1Уа+ЯаъсаХс1ХиУъ1Уа +
+КаЬ саХсТХаУЬ 1Уа+ЯаЬс,Хс 1ХйУЬ1Уа+ЯаЬса ХсЖа УЬТУа + +КаЬ саХсТХаУЬ 1Уа +ЯаЬса Хс 1Ха УЬ1Уа+ЯаЬс,Хс ЖаУЬ1Уа + ,ХсЖаУЬ1Уа +Я Хс ЖаУЬ 1Уа+Я , ,ХсЖаУЬ 1Уа +
аЬса аЬса а1э сс1
+ЯХс ЖаУЬ 1Уа +Я,ХсЖаУЬ 1Уа Хс ЖаУЬ1Уа +
аЬса аЬса аЬса
+КаЬ са Хс Жа УЬ 1Уа+ЯаЬ са Хс Жа УЬ 1Уа =КаЬсаХс ЖаУЬТУа + ,ХсЖаУЬ1Уа +Я Хс ЖаУЬ 1Уа+Я , ,ХсЖаУЬ 1Уа =
аЬса аЬса аЬса
= ЯаЬсаХс ХаУЬУа - ЯаЬса ХсХа УЬУа + ЯаЬ саХс ХаУЬ Уа--КаЬ са ХсХа УЬ Уа= ЯаЬсаХе ХаУЬУа +ЯаЬасХсХа УЬУа + +КЬ асаХс ХаУЬ Уа+ЯЬ аасХсХа УЬ Уа = КаЬсаХс ХаУЬУа +
+ КаЬсаХ Х У У + КаЬсаХ Х У У + КаЬсаХ Х У У =
=4 ЯаЬсаХс ХаУЬУа.
ББ
ХлУ
С учетом (1) получаем:
=-42Таф^ТЬфа ХсХаУЬУа =-42(та(ЬХаУЬТаф;ХаУЬ) = ф ф ^ '
Т^Х'У1'2
=-4 2
ф
В итоге
ББ
ХлУ -4 2
ф
ТаЬХаУЬ
< 0.
(2)
Поскольку равенство ББХлУ =0 в данном случае влечет за собой обращение
в нуль конфигурационного тензора Таф,, то справедлива
Теорема. Голоморфная бисекционная кривизна 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли неположительна, причем обращается в нуль в геодезических точках и только в них.
ф
2
В качестве следствия из этой теоремы получаем, что 6-мерное эрмитово подмногообразие M 6 алгебры Кэли является многообразием нулевой голоморфной бисекционной кривизны в том и только в том случае, когда M6 - область на келеровой плоскости.
Отметим, что формула (2) обобщает известный результат В.Ф.Кириченко [3,с.34], получившего значение голоморфной бисекционной кривизны 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры Кэли. Действительно, положив
Tab = ±iTab, T^8 = +iTjb, что является условием, при котором 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры октав является келеровым, из (2) получим:
BSXaY = -8
т7хауЬ
2
Библиографический список
1. Goldberg S., Kobayshi S. Holmorphic bisectional curvature // G. Differential Geometry. 1967. №1. P.225-233.
2. Банару М.Б. О паракелеровости 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып.25. С.15-18.
3. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Известия вузов. Матем. 1980. №8. С.32-38.
M. B. B a n a r u
ON A HOLOMORPHIC BISECTIONAL CURVATURE OF 6-DIMENSIONAL HERMITIAN SUBMANIFOLDS OF CAYLEY'S ALGEBRA
Results have been obtained concerning one of the most important characteristics of an Hermitian manifold which is a holomorphic bisection curvature. In particular, some properties of this curvature on plane have been considered.
УДК 514.75
О РЕШЕНИИ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И. С. Б а с ю к
(Калининградский государственный университет)
Статья посвящена исследованию систем алгебраических уравнений с несколькими неизвестными. Пункты 1-3 носят в основном реферативный характер; в пункте 4 рассмотрена система трех квадратичных уравнений с четырьмя неиз-
